Kĩ năng hình học cơ bản 12

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

CHUẨN KĨ NĂNG VỀ HÌNH HỌC
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. KĨ NĂNG VẼ HÌNH
1) Các khối chóp tam giác

a) Hình chóp tam giác thường:
+) Đáy ABC ta vẽ là tam giác thường, nghiêng về một
phía chứ không vẽ tam giác cân. Thường ta vẽ đáy
nghiêng về phía phải, khi đó không gian cho mặt phẳng
SAB lớn hơn và hình vẽ sẽ “thoáng” hơn.
+) Đỉnh S không nằm ngoài không gian đứng của (ABC).

b) Hình chóp tam giác có cạnh bên vuông góc với đáy:
+) Đáy ABC ta vẽ là tam giác thường, nghiêng về một
phía.
+) Giả sử SA ⊥ (ABC), khi đó từ A ta dựng đường vuông
góc với đáy, trên đó lấy đỉnh S.
 SA ⊥ BC

+) Hình chóp này có tính chất  SA ⊥ AC
 SA ⊥ AB


c) Hình chóp tam giác có mặt bên vuông góc với đáy:
+) Đáy ABC ta vẽ là tam giác thường, nghiêng về một
phía.

+) Giả sử (SAB) ⊥ (ABC), khi đó AB là giao tuyến, trên
AB ta lấy một điểm H rồi qua H dựng một đường vuông
góc với AB. Trên đó lấy đỉnh S.
Ở đây ta đã sử dụng một tính chất quan trọng của hai mặt
phẳng vuông góc với nhau để vẽ hình: nếu hai mặt phẳng
vuông góc với nhau, đường thẳng nào nằm trong mặt này
và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng
còn lại.
+)
Tính
chất
của
hình
 SH ⊥ BC

→  SH ⊥ AC
chóp: SH ⊥ ( ABC ) 
 SH ⊥ AB


Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

d) Hình chóp tam giác đều:
+) Đáy ABC ta vẽ là tam giác thường, nghiêng về một
phía (mặc dù đáy là tam giác đều).

+) Xác định trọng tâm G của tam giác (bằng 2/3 đường
trung tuyến), qua G dựng đường thẳng vuông góc với đáy,
trên đó lấy đỉnh S.
+) Tính chất của hình chóp tam giác đều: đáy là tam giác
đều cạnh a, các cạnh bên bằng nhau và bằng b, (a ≠ b).
Chân đường cao trùng với tâm đáy, tức SG ⊥ ( ABC )

e) Hình chóp tứ giác thường:
+) Đáy ABCD ta vẽ là tứ giác thường, đáy lớn nằm trong
mặt khuất.
+) Đỉnh S nằm trong miền không gian đứng của đáy.

f) Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy:
+) Đáy ABCD ta vẽ là hình bình hành.
+) Giả sử SA ⊥ (ABCD), từ A ta dựng đường thẳng vuông
góc vói đáy, trên đó lấy đỉnh S.

g) Hình chóp tứ giác có đáy là hình thang vuông:
+) Đáy ABCD ta vẽ là thang có đáy lớn ở trong, đáy bé ở
ngoài.
+) Giả sử SA ⊥ (ABCD), từ A ta dựng đường thẳng vuông
góc vói đáy, trên đó lấy đỉnh S.

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

h) Hình chóp tứ giác có mặt bên vuông góc với đáy:
+) Đáy ABCD ta vẽ là hình bình hành.
+) Giả sử (SAB) ⊥ (ABCD), trên giao tuyến AB ta lấy một
điểm H rồi qua H dựng đường thẳng vuông góc vói đáy,
trên đó lấy đỉnh S.

h) Hình chóp tứ giác đều:
+) Đáy ABCD là hình vuông, ta vẽ là hình bình hành có
góc nhọn không vượt quá 300
+) Từ tâm O của đáy, ta dựng SO ⊥ (ABCD)
+) Tính chất của hình chóp tứ giác đều: đáy là hình vuông
cạnh a, các cạnh bên bằng nhau và bằng b; chân đường
cao trùng với tâm đáy; các cạnh bên nghiêng đều với đáy,
các mặt bên cũng nghiêng đều với đáy.

2) Các khối lăng trụ

a) Lăng trụ đứng tam giác
+) Đáy ABC ta vẽ là tam giác thường, nghiêng về một
phía chứ không vẽ tam giác cân.
+) Dựng các đường thẳng đứng từ A, B, C, trên dó lấy các
đỉnh A’; B’; C’; sao cho các mặt bên tạo thành các hình
bình hành.
+) Đặc điểm của lăng trụ: các mặt bên là các hình chữ
nhật

b) Lăng trụ xiên tam giác

II. KĨ NĂNG TÍNH TOÁN
1) Định lí hàm sin trong tam giác ABC

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a = 2 R sin A
a
b
c

2R =
=
=

→ b = 2 R sin B
sin A sin B sin C
c = 2 R sin C

2) Định lí hàm cosin trong tam giác ABC


b2 + c 2 − a 2
cos
A
=

2bc

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A

2

a + c2 − b2
 2
2
2
b
=
a
+
c
−
2
ac
.cos
B

→
cos
B
=


2ac
 2

2
2

2
c = a + b − 2ab.cos C

a + b2 − c2
cos C =
2ab

3) Các công thức tính diện tích tam giác ABC

1
1
1
S∆ABC = .a.ha = .b.hb = .c.hc
2
2
2
1
1
1
= ab.sin C = bc.sin A = ac.sin B
2
2
2
1
abc
= p.r = ( a + b + c ) .r =
2
4R
4) Các kết quả tính nhanh với tam giác đều ABC

Tam giác ABC đều cạnh x, khi đó ta có :

a 3
2
2a 3
x=2a

→
=a 3
2
a 2 3 a 6
x=a 2
→
=
2
2
x=a

→

+ Độ dài trung tuyến là

x 3
=
2

a2 3
4
4a 2 3
x = 2a


→
= a2 3
4

x=a

→

+ Diện tích tam giác

x2 3
=
4

(a 2 )
→
x=a 2

4

2

3

=

2a 2 3
2

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A = 600 ; B = 450 ; b = 4 cm. Tính độ dài hai cạnh a và c.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD có AB = 4 cm; BC = 5 cm; BD = 7 cm. Tính độ dài cạnh AC.
Ví dụ 3: Tính các góc của tam giác ABC biết
a) a = 14; b = 18; c = 20
b) a = 4; b = 5; c = 7
3
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có b = 7 cm; c = 5 cm và cos A = .
5

a) Tính a; sinA và diện tích tam giác ABC.
b) Tính đường cao ha của tam giác xuất phát từ A và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

(

)

3
7 2
5 2
Đ/s: a = 4 2 ( cm ) ; sin A = ; S = 14 cm 2 ; ha =
( cm ) ; R =
( cm )
5
2
2

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A = 600; b = 8 cm; c = 5 cm.
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Tính đường cao ha và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đ/s: ha =

20 3
7 3
( cm ) ; R =
( cm ) .
7
3

(

)

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có a = 6 cm; b = 2 cm; c = 1 + 3 cm . Tính các góc A, B, chiều cao ha và bán kính R của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đ/s: A = 600 ; B = 450 ; R = 2 cm.
5) Hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC

Giả sử tam giác ABC vuông tại A. Khi đó ta có
a 2 = b 2 + c 2

+) c = a sin C = a cos B
b = a sin B = a.cos C


1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2
1
1
+) S∆ABC = AH .BC = AB. AC 
→ AH .BC = AB. AC
2
2

AC HC
AC 2
cos
C
=
=

→
HC
=


BC AC

BC
+) 
2
AB
HB
AB
cos B =
=

→ HB =

BC AB
BC

+)

6) Kĩ thuật tách hình

Với một hình mà không thể tính diện tích, thể tích trực tiếp thường ta sử dụng phương pháp tách hình, hoặc tính bằng
cách thêm bớt, cộng trừ diện tích....

Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, AD = a. Gọi M; N là trung điểm của AB và BC; P là điểm di động trên
CD.
Xác định vị trí của điểm P để

a) diện tích tam giác MNP bằng a2
b) diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD vuông tại A, D có AB = a, CD = 2a, AD = 2a.. Gọi M là điểm di động trên AD, N là
trung điểm của CD. Đặt AM = x, tìm x để

a) diện tích tam giác AMB gấp đôi diện tích tam giác DMN.
b) diện tích tứ giác BMNC bằng a2.
c) diện tích tứ giác BMNC đạt giá trị lớn nhất.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC đều, cạnh AB = a 2. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Từ I dựng IH ⊥ AC; IK ⊥ AB.
a) Tính diện tích tam giác HIC.
b) Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!