khóa luận tốt nghiệp mô tả vi mô tán xạ đàn hồi của proton 65 mev trên các hạt nhân bền có số khối trung bình và nặng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
----------

NGUYỄN THỊ HƢỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

MÔ TẢ VI MÔ TÁN XẠ ĐÀN HỒI CỦA
PROTON 65 MeV TRÊN CÁC HẠT NHÂN BỀN
CÓ SỐ KHỐI TRUNG BÌNH VÀ NẶNG

Niên khóa: 2012 - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
----------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

MÔ TẢ VI MÔ TÁN XẠ ĐÀN HỒI CỦA
PROTON 65 MeV TRÊN CÁC HẠT NHÂN BỀN
CÓ SỐ KHỐI TRUNG BÌNH VÀ NẶNG
Ngành:

VẬT LÝ HỌC

Mã số sinh viên:

K38.105.074

Giảng viên hướng dẫn: ThS. Bùi Minh Lộc
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Hường

Niên khóa: 2012 - 2016


LỜI CẢM ƠN
"Muốn sang thì bắc cầu kiều
Muốn con hay chữ thì yêu lấy thầy"
Một bài ca dao rất hay, mang ý nghĩa sâu sắc, nhắc nhở chúng ta luôn nhớ đến công
ơn của "người thầy". Trong kí ức mỗi chúng ta, ai cũng luôn ghi nhớ hình ảnh những
người thầy, người cô. Họ không chỉ là những người đứng trên bục giảng, dạy ta những bài
học hay mà còn là những người cha, người mẹ thứ hai dạy ta từng nét chữ, nét người.
Thầy là người đưa ta cập bến tương lai và cũng có thể là người bạn đồng hành cùng ta
trên con đường tìm kiếm tri thức và nhân cách con người. Chặng đường đại học 4 năm tại
trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã mở ra cho tôi bước ngoặc mới trên chặng
đường đi tìm tri thức. Tôi xin gửi lời tri ân đến các thầy cô của trường, tập thể các thầy
cô của khoa Vật Lý, những người thầy đã truyền thụ kiến thức cho tôi. Để giờ đây, tôi
hoàn thành khóa luận tốt nghiệp, chuẩn bị hành trang vào đời.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô khoa Vật Lý đã tạo điều kiện và giúp tôi
hoàn thành tốt khóa luận này. Đặc biệt, gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Bùi Minh Lộc,
người đã dạy tôi, cũng là người hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận tốt nghiệp, thầy đã
chỉ dẫn nhiệt tình giúp tôi hoàn thành tốt khóa luận. Với tôi, thầy không chỉ là một giảng
viên truyền đạt kiến thức, mà còn là người bạn đã động viên chia sẻ, rất tâm lý và nhiệt
tình. Tôi rất yêu quý và kính trọng thầy, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy. Tôi
cũng xin gửi lời cảm ơn đến ba mẹ, gia đình đã luôn ủng hộ và động viên giúp tôi có đủ
tự tin, nghị lực để cố gắng hoàn thành khóa luận này. Ngoài ra, tôi cũng xin cảm ơn

những người bạn đã động viên, giúp đỡ và góp ý chân thành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 5 năm 2016

Nguyễn Thị Hường

i


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. i
MỤC LỤC.................................................................................................................. ii CÁC
TỪ VIẾT TẮT ................................................................................................. iii DANH
SÁCH HÌNH VẼ .......................................................................................... iv DANH
SÁCH BẢNG .................................................................................................v LỜI MỞ
ĐẦU ............................................................................................................1 Chƣơng 1.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT .............................................................................4
1.1.

Tán xạ đàn hồi ...............................................................................................4 1.2.
Tiết diện tán xạ đàn hồi .................................................................................4 1.3.
Hệ tọa độ khối tâm và phương trình Schr dinger cho tán xạ........................8

1.3.1.

Hệ tọa độ khối tâm..................................................................................8

1.3.2.

Phương trình Schr dinger cho tán xạ ...................................................10

Chƣơng 2. MẪU QUANG HỌC VÀ TƢƠNG TÁC NN HIỆU DỤNG
MELBOURNE G-MA TRẬN............................................................................15
2.1.

Mẫu quang học hạt nhân..............................................................................15 2.2.
Mẫu hiện tượng luận....................................................................................16 2.3.
Mẫu quang học vi mô và mẫu folding đơn..................................................18 2.4.
Tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-ma trận .........................................23

Chƣơng 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN .............................................................30
3.1.

Tán xạ đàn hồi của proton lên bia 16O .........................................................30 3.2.
Tán xạ đàn hồi của proton lên bia 48Ca .......................................................31 3.3.
Tán xạ đàn hồi của proton lên bia 90Zr ........................................................32 3.4.
Tán xạ đàn hồi của proton lên bia 208Pb ......................................................32

KẾT LUẬN ..............................................................................................................34 TÀI
LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................35

ii


CÁC TỪ VIẾT TẮT
CMS (Centre of mass system): hệ tọa độ khối tâm
D (direct part): thành phần trực tiếp
EX (exchange part): thành phần trao đổi
HF: Hartree-Fock

Im (Imaginary part): phần ảo
IS (Iso scalar): đồng vị vô hướng
IV (Iso vector): đồng vị vector
LAB (Laboratory coordinate system): hệ tọa độ phòng thí nghiệm
MQH: mẫu quang học NN:
nucleon-nucleon
Re (Real part): phần thực
TQH: thế quang học
WS: Woods-Saxon

iii


DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1.1. Tán xạ đàn hồi của proton lên các hạt nhân bền .........................................4
Hình 1.2. Bố trí thí nghiệm đo tiết diện tán xạ............................................................5 Hình
1.3. Sơ đồ minh họa quá trình va chạm trong hệ tọa độ thí nghiệm ..................8 Hình 1.4.
Sơ đồ minh họa quá trình va chạm trong hệ tọa độ khối tâm. ....................9 Hình 1.5. Sơ
đồ minh họa các vector vận tốc và góc tán xạ trong hai hệ tọa độ. .....10 Hình 1.6. Gắn tọa
độ khối tâm cho các hạt tương tác. ..............................................11 Hình 2.1. Đồ thị biểu
diễn độ sâu của thế thực và thế ảo hiện tượng luận ...............18 Hình 2.2. Các vector tính
toán trong mẫu folding đơn. ............................................20 Hình 2.3. Hình dạng thế tương
tác của thế thực trong mẫu vi mô............................22 Hình 2.4. Hình dạng thế tương tác
của thế ảo trong mẫu vi mô. ..............................23
Hình 3.1. Tán xạ đàn hồi của proton lên bia

16 O

tại năng lượng 65 MeV. Kết quả

tính toán folding, sử dụng tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-ma trận và mật độ hạt
nhân 16O lấy theo tính toán Hartree-Fock-Bogolubov (HFB) [21]. ....................30
Hình 3.2. Tán xạ đàn hồi của proton lên bia 48Ca tại năng lượng 65 MeV. Kết quả
tính toán folding, sử dụng tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-ma trận và mật độ hạt
nhân 48Ca lấy theo tính toán Hartree-Fock-Bogolubov (HFB) [21]. ..................31
90 Zr tại năng lượng 65 MeV. Kết quả
Hình 3.3. Tán xạ đàn hồi của proton lên bia
tính toán folding, sử dụng tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-ma trận và mật độ hạt
nhân 90Zr lấy theo công trình L. Ray và đồng nghiệp [12]. ................................32
208 Pb tại năng lượng 65 MeV. Kết quả
Hình 3.4. Tán xạ đàn hồi của proton lên bia
tính toán folding, sử dụng tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-trận và mật độ hạt nhân
208

Pb lấy theo công trình của L. Ray và đồng nghiệp [12]...............................33

iv


DANH SÁCH BẢNG
Bảng 2.1. Giá trị cường độ S tại năng lượng 65 MeV, mật độ  = 0 hạt/fm3 của thế
vô hướng V00 và thế spin đồng vị V01. ......................................................................25
Bảng 2.2. Giá trị cường độ S tại năng lượng 65 MeV, mật độ  = 0,049 hạt/fm3 của
thế vô hướng V00 và thế spin đồng vị V01. ................................................................26
Bảng 2.3. Giá trị cường độ S tại năng lượng 65 MeV, mật độ  = 0,090 hạt/fm3 của
thế vô hướng V00 và thế spin đồng vị V01. ................................................................27
Bảng 2.4. Giá trị cường độ S tại năng lượng 65 MeV, mật độ  = 0,150 hạt/fm3 của
thế vô hướng V00 và thế spin đồng vị V01. ................................................................28

v

LỜI MỞ ĐẦU
Vật Lý Hạt Nhân là ngành khoa học có vị trí hàng đầu trong Khoa học hiện đại.
Đây là ngành khoa học ứng dụng trong nhiều lĩnh vực nhằm phát triển kinh tế-xã hội ở Việt
Nam nói riêng và trên thế giới. Nghiên cứu hạt nhân được phát triển mạnh mẽ từ thế kỉ
trước. Hiện nay, các nhà khoa học tập trung nghiên cứu sâu về phản ứng hạt nhân và cấu
trúc hạt nhân. Phản ứng hạt nhân trực tiếp (direct reaction) được cho là công cụ hữu hiệu
để đo các hiệu ứng cấu trúc hạt nhân, đặc biệt là thí nghiệm tán xạ hạt nhân đã và đang
được ứng dụng rất hiệu quả trong nghiên cứu cấu trúc hạt nhân. Thế tương tác mạnh
giữa hai hạt nhân tán xạ và tiết diện tán xạ là hai thông số quan trọng của nghiên cứu tán
xạ. Thế tương tác mạnh giữa các nucleon NN (tương tác nucleon-nucleon) là một đối
tượng nghiên cứu rất phức tạp nên ta cần lựa chọn phương pháp tính toán hợp lý cho
tương tác này. Hai quá trình tán xạ đàn hồi và phi đàn hồi là các quá trình cơ bản của
phản ứng tán xạ. Thông qua nghiên cứu tính toán vi mô tán xạ xác định các thông số vật
lý quan trọng của thế tương tác mạnh NN hạt nhân và tiết diện phản ứng giúp ta hiểu rõ
về bản chất vật lý của hạt nhân và phản ứng hạt nhân từ đó mở rộng nghiên cứu về cấu
trúc hạt nhân.
Mặc dù tương tác NN giữa hai nucleon tự do đã được mô tả và giải thích khá chính
xác từ những nguyên lý cơ bản của sắc động lực học lượng tử dựa trên cấu trúc quark
của nucleon, tương tác NN xảy ra trong một phản ứng tán xạ hạt nhân hoàn toàn khác
với tương tác NN tự do. Đây là tương tác giữa hai nucleon nằm trong môi trường vật
chất hạt nhân có mật độ khác nhau và chỉ có thể được tính gần đúng theo các phương pháp
lý thuyết lượng tử nhiều hạt. Do đó thế tương tác NN dùng trong các tính toán nghiên
cứu vi mô phản ứng và cấu trúc hạt nhân thường được xây dựng theo các mẫu lý thuyết
gần đúng khác nhau và được biết đến như tương tác NN hiệu dụng. Tương tự như tương
tác NN tự do, thế tương tác NN hiệu dụng cũng phải đảm bảo thỏa mãn các bất biến đối
xứng cơ bản của vật lý [17] và thành phần xuyên tâm của tương tác NN thường được
biểu diễn dưới dạng hàm phụ
thuộc khoảng cách r giữa hai nucleon như sau:

1


vnn(r)  v00(r)  v10(r)(12)  v01(r)(12)  v11(r)(12)
(12) (*)
Các số hạng trong biểu thức trên lần lượt là thành phần vô hướng, thành phần phụ
thuộc spin, thành phần phụ thuộc spin đồng vị và thành phần phụ thuộc cả spin và spin
đồng vị. Ngoài thành phần xuyên tâm (*), tương tác NN còn có tương tác spin- quỹ đạo
và tương tác tensor không xuyên tâm [17]. Hiện tại, các phiên bản tương tác NN hiệu dụng
có thể được chia làm hai nhóm. Nhóm thứ nhất tương tác NN hiệu dụng được xây dựng
bằng phương pháp hiện tượng luận (như tương tác Skyrme), không có liên kết logic nào
với tương tác NN tự do. Còn tương tác NN hiệu dụng nhóm thứ hai thường được xây
dựng dựa trên cơ sở một G-ma trận là nghiệm của phương trình Bethe-Goldstone cho
tương tác NN trong hệ đa nucleon. Những hiệu ứng tương tác NN bậc cao hơn mà chưa
được tính đến trong G-ma trận được xét đến gần đúng qua việc đưa vào tương tác G-ma
trận một hàm phụ thuộc vào mật độ hạt
nhân, với các thông số được chỉnh chuẩn theo các tính chất bão hòa của hạt nhân.
Trong quá trình tán xạ đàn hồi, các trạng thái vật lý sau tán xạ của hai hạt nhân va
chạm không thay đổi và phương trình Schr ̈ dinger cho tán xạ lượng tử thường được
dùng để tính toán tiết diện tán xạ. Phép tính gần đúng của một kênh tán xạ đàn hồi được
biết là mẫu quang học (MQH) hạt nhân và thế tán xạ hạt nhân còn được gọi là thế quang
học (TQH). Phương pháp phổ biến nhất để phân tích các số liệu tiết diện tán xạ đàn hồi
trong MQH là dùng một TQH hiện tượng luận dưới dạng hàm Woods-Saxon (WS) với
các tham số được hiệu chỉnh để mô tả tốt tiết diện thực
nghiệm tốt nhất bởi nghiệm của phương trình Schr ̈ dinger [7]. Tuy nhiên, TQH hiện
tượng luận không thấy được mối liên hệ giữa cấu trúc vật lý của các hạt nhân va chạm
với số liệu tán xạ thực nghiệm. Để nghiên cứu những hiệu ứng cấu trúc hạt nhân trong
phản ứng tán xạ, mẫu folding được dùng để tính vi mô tán xạ đàn hồi. Đây là mẫu tính
TQH vi mô với các tham số vật lý đầu vào cho các phép tính là hàm sóng hai hạt nhân va
chạm và sử dụng phiên bản tương tác NN hiệu dụng cho tương tác giữa các nucleon của

hạt tới và hạt nhân bia [2].
Như đã bàn luận, đại lượng vật lý quan trọng nhất trong các phương pháp trên là thế
tán xạ hạt nhân tương ứng với các kênh tán xạ khác nhau. Để xây dựng phù hợp

2


các mẫu cấu trúc hạt nhân với các số liệu tán xạ thực nghiệm người ta thường xây
dựng thế tán xạ hạt nhân cho các kênh tán xạ khác nhau, sử dụng hàm sóng tương ứng
của hạt nhân kích thích và tương tác NN hiệu dụng giữa nucleon của hạt tới và nucleon
trong hạt nhân bia.
Đối tượng nghiên cứu cụ thể của khóa luận này là tán xạ đàn hồi của proton lên các
hạt nhân bia 16O, 48Ca, 90Zr, 208Pb tại năng lượng 65 MeV. Tương tự như tương tác NN
(*), nhưng thế tương tác giữa proton và các hạt nhân bia này chỉ có thành phần vô
hướng và thành phần phụ thuộc spin đồng vị do spin của các hạt nhân bia đều bằng
không.
Đối với TQH proton-hạt nhân, phương pháp thường được dùng để xác định thành
phần phụ thuộc spin đồng vị của TQH là nghiên cứu tán xạ đàn hồi đồng thời của
proton và neutron trên cùng một hạt nhân bia, tại cùng một năng lượng. Trong bài khóa
luận này, tôi sử dụng MQH vi mô, cụ thể là mẫu folding đơn và tương tác hiệu dụng
Melbourne G-ma trận để tính thế tương tác và tiết diện tán xạ đàn hồi.
Kể cả phần mở đầu, luận văn này gồm có năm phần. Các lý thuyết cơ sở và hàm sóng
mô tả tán xạ được trình bày trong chương 1; chương 2 trình bày chi tiết các công thức
liên quan đến MQH và TQH, đồng thời trong chương này cũng trình các công thức tính
toán tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-ma trận; chương 3 trình bày các kết quả tính
toán tiết diện tán xạ đàn hồi (p, p). Tóm tắt ngắn gọn về những kết quả thu được và hướng
phát triển nghiên cứu được trình bày trong phần kết luận.

3

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1.

Tán xạ đàn hồi
Tán xạ đàn hồi của hạt tới a và hạt nhân bia A tức là hạt tới a và hạt nhân bia

A giữ nguyên trạng thái nội tại của chúng, có nghĩa là nhiệt lượng của phản ứng

Q  0 và động năng ở trước và sau phản ứng bằng nhau. Ta thường kí hiệu là
A(a,a)A hay:

a Aa A

(1.1)

p 208 Pb  p 208 Pb

(1.2)

n 208 Pb  n 208 Pb

(1.3)

p  48Ca  p  48Ca

(1.4)

Ví dụ:

θ
p
A

Hình 1.1. Tán xạ đàn hồi của proton lên các hạt nhân bền.
Trong bài khóa luận này trình bày về tán xạ của proton lên các hạt nhân bền, bài
toán mô tả vi mô tán xạ đàn hồi của proton sẽ trình bày ở chương sau.
1.2.

Tiết diện tán xạ đàn hồi

4


Xét một tán xạ A(a,b)B. Nếu ta bắn chùm hạt đạn a với thông lượng I0 tới bia có
chứa N hạt nhân A, khi đó số hạt b phát ra trên một đơn vị thời gian sẽ tỉ lệ với N và
I0. Hằng số tỉ lệ được gọi là tiết diện tán xạ, kí hiệu là σ và có thứ nguyên của diện
tích.
dΩ

I0

θ

Chùm tia tới
Bia
Hình 1.2. Bố trí thí nghiệm đo tiết diện tán xạ.
Tiết diện tán xạ là:

  Nb  N

(1.5)

Na / S

với Na: số hạt tới, Nb: số hạt phát ra, S: diện tích bia (cm2) và N: số hạt nhân bia.
Đơn vị của tiết diện được dùng trong phản ứng hạt nhân là barn, kí hiệu là b: 1
barn = 10-24 cm2 = 100 fm2.
Vì số hạt b phát ra trong một đơn vị thời gian trong phạm vi góc khối dΩ. Hằng số tỉ
lệ trong trường hợp này là tiết diện vi phân dσ/dΩ.
Phương trình liên hệ tiết diện tích phân và vi phân:
4



(1.6)

 (d /
d)d
0

Mặt khác do dΩ = sinθ.dθ.dφ, nên suy ra:




0



 sin d  d(d / d )
0

5

(1.7)


Nếu không có sự phân cực spin thì dσ/dΩ không phụ thuộc vào φ, phương trình
trên trở thành:


 2
0

 (d / d)sin d

(1.8)

Ở trên, trình bày sơ lược về tiết diện tán xạ, nhưng để tính được tiết diện tán xạ
cần phải giải phương trình Schr ̈ dinger, tìm nghiệm cho hạt tán xạ trên trường thế và
sử dụng hàm sóng để tính tiết diện tán xạ. Đặc biệt là tính tiết diện tán xạ đàn hồi
từ hàm sóng và biên độ sóng thu được mô tả va chạm giữa hai hạt nhân.
Trong thí nghiệm tán xạ, hàm sóng của chùm hạt tới của kênh vào (α) có dạng là
sóng phẳng:
(1.9)

a  A0 expi(kara at)
trong đó ka  2



1


là số sóng, a  2  Ea và Ea  ha , pa  ka
a

a

Biên độ A0 xác định thông qua thông lượng của chùm hạt I0 là A0  ( I0 )2 với va
va
vận tốc của hạt tới.
Tương tự ta có hàm sóng của hạt nhân bia A là:

A  N1/2 expi(kArA A t)

(1.10)

với N là số hạt nhân bia.
Hàm sóng xác định ở trên là không đầy đủ, nó chỉ mô tả chuyển động tương đối của
hạt tới a và hạt nhân bia A. Các hạt nhân này có các trạng thái nội tại khác nhau
được mô tả bởi hàm sóng  a và  A . Hàm sóng miêu tả trạng thái của hệ sau va
chạm là:

  A0 exp(ikr )a A

(1.11)

Khi xảy ra va chạm giữa hạt tới và hạt nhân bia, sẽ có sóng bị tán xạ phát ra. Va

chạm này có thể tạo ra nhiều kênh phản ứng khác nhau (β) tương ứng với hạt đi ra b và hạt
nhân con B.
Dạng hàm sóng đầy đủ:

6


  A0 exp(ikr ) a A






(1.12)

.
tx

Đối với tán xạ đàn hồi thì a = b, A = B và    .

 , sự phụ thuộc xuyên tâm của hàm

Ở những khoảng cách lớn tính từ bia r
sóng cầu đi theo kênh α có dạng

exp(
)
ik r , do đó cường độ của chúng sẽ suy giảm
r

theo bình phương khoảng cách r giữa hai hạt nhân sau va chạm. Thêm vào biên độ của các
α

sóng cầu này là thừa số f ( ,) sẽ phụ thuộc vào góc tán xạ θ và φ (góc
phương vị theo hướng của chùm hạt tới).
Sóng tán xạ theo mỗi kênh α có dạng:
)

tx (r, ,)  A0 . f ( ,) exp(ikr  a B
r

(1.13)

Ở đây  a và  A là các hàm sóng biểu diễn trạng thái nội tại của hạt a và A. Biên
độ f ( ,) chỉ là biên độ tán xạ ở kênh chỉ có 1 hạt / 1 đơn vị thể tích chiếu tới (A0
= 1) và có năng lượng cho trước.
Tiết diện tán xạ A(a,b)B có thể được suy ra từ hàm sóng tán xạ của phương trình
(1.12). Tuy nhiên, detector luôn đặt ở khoảng cách xa bia, nên dùng hàm sóng tiệm cận
(1.13) là phù hợp. Mặt khác, hàm sóng (1.12) tương ứng với tán xạ từ bia chỉ có 1 hạt
nhân / 1 đơn vị thể tích. Mật độ của hạt a đã tán xạ ở điểm (r,θ,φ) là bình phương mô
đun các tích phân của hàm sóng (1.12) của các biến nội của hai hạt
nhân, tức là bình phương mô đun của phần  tx đề cập đến chuyển động tương đối
của a và A; từ phương trình (1.13) thì tích phân đó là:
(1.14)

1 A f ( ,) 2
r2 0

Vì các hạt này chuyển động ra xa hạt nhân con B với vận tốc v , nên số hạt phát

ra trong một yếu tố góc khối dΩ trên một đơn vị thời gian là v A0 fb 2 d , thông
lượng của chùm hạt chiếu tới là v A0 2 . Khi đó ta có tiết diện vi phân là:

7


d  v f (  , ) 2
d v 

(1.15)
d
Để

Đối với tán xạ đàn hồi thì v  v nên tiết diện vi phân là:

tính

d

được



f (  , ) 2  f (  , ) 2

tiết
diện
tán xạ
đàn
hồi

cần
tìm
được
biên
độ tán
xạ f
(θ,φ).
Như
vậy
cần
phải
giải
phươ
ng
trình
Schr ̈
dinge
r,
phần
sau sẽ
trình
bày
cụ thể


phương trình Schr ̈ dinger cho tán xạ.
1.3.

Hệ tọa độ khối tâm và phƣơng trình

Schr ̈ dinger cho tán xạ
1.

Hệ tọa độ

3.

khối tâm

1.

b

L
AB
a

A

q
θ

C

b

L
A
B

∅
LAB
q
a

B
q
B

Hình 1.3. Sơ đồ minh họa quá trình va chạm trong
hệ tọa độ thí nghiệm.

Trong phản ứng hạt nhân thông thường hạt nhân bia đứng
yên bị bắn phá bởi hạt
tới chuyển động và hạt nhân bia thường nặng hơn hạt nhân tới.
Trên hình (1.3) minh họa quá trình va chạm trong hệ tọa độ thí
nghiệm (Laboratory coordinate system- LAB), hệ tọa độ gắn
với người quan sát thí nghiệm. Ta sử dụng hệ tọa độ này thuận
tiện trong việc bố trí thí nghiệm quan sát cũng như nhận kết
quả. Tuy nhiên, các phép toán lý thuyết thì không phù hợp,
các nhà khoa học thường chọn hệ tọa độ khối tâm (Centre of
mass system-CMS) để các bài toán đơn giản hơn.

8


Trong hệ CMS tổng xung lượng của hệ sau va chạm bằng không, so với hệ LAB
thì hệ CMS chuyển động với vận tốc khối tâm vCM của hệ va chạm. Ta chọn hệ qui
chiếu chuyển động sao cho khối tâm là đứng yên. Sơ đồ biểu diễn mối liên hệ giữa
vận tốc và góc tán xạ của hai hệ trên hình (1.5).

CMS

a

A

C

b

Pb

C

�C
M

∅C

- Pa

Pa

M

B
PB
Hình 1.4. Sơ đồ minh họa quá trình va chạm trong hệ tọa độ khối tâm.

Ta có, vận tốc chuyển động của khối tâm trong hệ LAB là:
m
vCM  va

LAB

a

(1.17)

ma 
mA

với va là vận tốc hạt tới,   ma.mA là khối lượng rút gọn.
ma  mA
Khi đó vận tốc chuyển động trong hệ CMS là:
va

CMS

 va 
LAB

mA v
ma  mA a

(1.18)
LAB

vCM 

Trong khi đó vận tốc của hạt bia vA  vCM nên năng lượng của hệ hạt trong hệ
CMS là:
mA E
ECMS  ma  mA LAB

Biểu thức liên hệ góc tán xạ trong hệ LAB và hệ CMS là:

(1.19)


9


tanLAB 

sinCMS

(1.20)

cosCMS  vCM
vCMS

�����
�����
θ LAB

θC
M

��

�

αC

α LA

M

B

�����

����
�

Hình 1.5. Sơ đồ minh họa các vector vận tốc và góc tán xạ trong hai hệ tọa độ.
1.3.2.

Phƣơng trình Schr ̈ dinger cho tán xạ

Để tính toán tán xạ, ta cần tìm nghiệm phương trình Schr ̈ dinger dưới dạng
(1.12) hoặc (1.13). Ở đây ta xét tán xạ của hệ hai hạt có khối lượng m1, m2 và thế V
(r1,r2) thì phương trình Schr ̈ dinger là:
  2 2  2  2  V r , r



  E

1


2



2
m

(1.21)


1

2
m
2
1

2



Bài toán tán xạ trở nên đơn giản hơn nếu đưa về bài toán khối tâm của hai vật.
Tức là giải hệ phương trình (1.21) trong hệ tọa độ khối tâm. Gắn hệ tọa độ khối tâm


như hình (1.6), khi đó phương trình Schr ̈ dinger theo biến R và r. Trong đó:

r  r1  r2 là khoảng cách của hai hạt và R  m1r1  m2 r2 khoảng cách khối tâm.
m1  m 2

10


y

� = �1 − �2

m1

CM
�1

m2

�1� . �2�
� = � 1+ � 2
1

2

�2

x2

O
x1

x

x
X

Hình 1.6. Gắn hệ tọa độ khối tâm cho các hạt tương tác.

Biến đổi phương trình (1.21) theo hai biến R và r thu được phương trình:

2



  
2


 2 2 V (r)  
E 

2M

R



r



2
trong đó M  m1  m2 và   m1.m2 lần lượt là tổng khối lượng của hai hạt và

m1  m2
khối lượng rút gọn.

(1.22)


11


Để thuận tiện cho việc tính toán chia phương trình Schr ̈ dinger thành hai thành
phần:
- Thành phần mô tả chuyển động tương đối có dạng:
2





 2



V
r

(1.23)

2

(r)   




- Thành phần chuyển động của khối tâm có dạng:
2


2R  0
(1.24)
2
M
Khi đó bài toán tán xạ trở nên đơn giản chỉ cần tìm nghiệm của phương trình chuyển
động tương đối thay vì giải phương trình (1.21) phức tạp.
Xét tán xạ đàn hồi A(a,a)A, xác định toán tử Halmilton của hạt nhân bia H A.
Hàm sóng mô tả trạng thái nội tại của hạt A là ψA, nghiệm của phương trình
Schr ̈ dinger là:

HA  A   A  A

(1.25)

với ɛA là năng lượng riêng của hạt nhân bia khi chưa tương tác.
Hàm sóng toàn phần ψ của kênh α lúc này là:
α


A





A'

(r )

(1.26)

'
A'

trong đó χA' là hàm sóng mô tả chuyển động tương đối của hạt nhân bia. Phương
trình cần giải có dạng:

H  E
với toán tử Halmilton tổng cộng:
H
HA 

(1.27)

2

2  V





Thay H ở phương trình (1.28) vào phương trình (1.27), ta được:

2





(1.28)


 2 

A'

E







 V

 (r )
 A' 
0
A'
(AA')
(1.29)






Nhân hai vế của phương trình (1.29) cho ψa*ψA*, lấy tích phân theo các biến số nội
độc lập của a và A và sử dụng tính trực chuẩn của các hàm sóng nội, ta có:
12


  UA(r )  k2A  A(r )  A'(r )
UA,A'(r )


với

(1.30)

k 2A  2 (E2 

và

A

(1.31)

)
(1.32)

UA,A'(r )  22 A V A'
trong đó (E   A) là động năng chuyển động tương đối, kA là số sóng tương ứng và

UA,A'(r ) là yếu tố ma trận của thế tương tác V , ta viết công thức (1.32) dưới dạng
tích phân:
UA,A'(r )  22




A

V A'd 3xA

(1.33)

vì tích phân trên lấy theo biến số nội xA nên yếu tố ma trận của thế tương tác chỉ là
hàm của r .
α

Đối với tán xạ đàn hồi, vì không xuất hiện các trạng thái kích thích a ', A' sau tán
xạ nên vế phải phương trình (1.30) bằng không, thu được phương trình Schr ̈ dinger
quen thuộc. Khi vế phải khác không, phương trình (1.30) miêu tả tán xạ không đàn hồi
và những ảnh hưởng của nó lên tán xạ đàn hồi. Nếu biết tất cả các yếu tố ma
trận UA,A'(r ) thì giải các phương trình liên kết (1.30) và thu được thông tin về tán
xạ. Do đó (1.30) còn gọi là hệ phương trình liên kênh. Vì hệ phương trình liên kênh
là một tập hợp của vô số phương trình, nên trên thực tế chỉ giải một số kênh quan trọng
và các kênh còn lại có thể bỏ qua hoặc được miêu tả bằng TQH phức.
Hệ phương trình liên kênh được giải bằng chương trình máy tính ECIS97
(Equations Couplées en Itérations Séquentielles-1997) của GS. Raynal. Chương trình
ECIS đầu tiên (ECIS68-1968) được phát triển từ chương trình INCH của Bock và Hill.
Đến nay, phiên bản ECIS97 được phát triển lên nhiều phiên bản khác nhau và phiên bản
ECIS06 được xây dựng dựa trên ECIS97. ECIS06 được ứng dụng vào nhiều mục đích

khác nhau trong đó có giải phương trình liên kênh, của bài toán tán xạ hạt nhân hay bài
toán MQH hạt nhân.
Tìm nghiệm phương trình Schr ̈ dinger ta sẽ thu được biên độ tán xạ, đối với tán
xạ đàn hồi biên độ tán xạ là: