khóa luận tốt nghiệp tổng quan mô hình tính toán phát xạ sóng điều hòa bậc cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ HẠNH

TỔNG QUAN MÔ HÌNH TÍNH TOÁN
PHÁT XẠ SÓNG ĐIỀU HÒA BẬC CAO

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ HẠNH

TỔNG QUAN MÔ HÌNH TÍNH TOÁN
PHÁT XẠ SÓNG ĐIỀU HÒA BẬC CAO
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. HOÀNG VĂN HƯNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự động viên giúp đỡ rất nhiều từ quý
thầy cô, gia đình và bạn bè.
Tôi xin tỏ lòng tri ân sâu sắc đến Thầy ThS. Hoàng Văn Hưng đã giúp tôi tiếp cận
với phương pháp nghiên cứu khoa học, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt thời
gian thực hiện khoá luận.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong khoa Vật Lý, các Thầy Cô tổ Vật Lý
Lý Thuyết Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt nguồn
tri thức quý báu, đó chính là nền tảng quan trọng để tôi thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè, lòng biết ơn đến gia đình đã tạo điều kiện,
động viên, chăm sóc, giúp đỡ cả về vật chất lẫn tinh thần để tôi tập trung nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn!


MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT..................................................................... iii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ................................................................................. iv
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN CÁC LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN PHÁT XẠ
SÓNG ĐIỀU HOÀ BẬC CAO .................................................................................4
1.1

Phổ phát xạ sóng điều hoà bậc cao.............................................................4

1.2

Lý thuyết tính toán phổ phát xạ sóng điều hoà bậc cao...........................5

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH LEWENSTEIN...............................................................7
2.1

Tổng quan mô hình......................................................................................7

2.2

Tư tưởng mô hình........................................................................................8

2.3

Cơ sở lý thuyết .............................................................................................9
Quá trình ion hoá xuyên hầm ..............................................................9
2.3.1
Giả thuyết trường mạnh (SFA) .........................................................10
2.3.2
Giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (TDSE) ........11
2.3.3
Phương pháp điểm yên (saddle-point method) ................................13
2.3.4
Phổ HHG và vị trí cut-off...................................................................14
2.3.5

2.4

Phạm vi áp dụng ........................................................................................16

2.5

Ưu nhược điểm...........................................................................................18

2.5.1

Ưu điểm................................................................................................18

2.5.2

Nhược điểm..........................................................................................19

2.6

Hiệu chỉnh cut-off ......................................................................................20

CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH QRS ...............................................................................22

i


3.1

Tổng quan mô hình....................................................................................22

3.2

Tư tưởng mô hình......................................................................................23

3.3

Cơ sở lý thuyết ...........................................................................................25

3.3.1

Lưỡng cực dịch chuyển bằng sóng tán xạ ........................................25

3.3.2

Bó sóng từ SFA....................................................................................26

3.3.3

Bó sóng từ TDSE.................................................................................28

3.3.4

Phổ HHG .............................................................................................30

3.4

Phạm vi áp dụng ........................................................................................31

3.5

Ưu nhược điểm...........................................................................................36

3.5.1

Ưu điểm................................................................................................36

3.5.2

Nhược điểm..........................................................................................37

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .............................................................38

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................39

ii


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HHG: sóng điều hòa bậc cao (High-order Harmonic Generation).
Laser: khuếch đại ánh sáng bằng bức xạ cưỡng bức (Light Amplification by
Stimulated Emission of Radiation).
SFA: xấp xỉ trường mạnh (Strong-Field Approximation).
TDSE: phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (Time-Dependent
Schrödinger Equation).

iii


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Tần số của photon phát ra khi cho nguyên tử, phân tử tương tác với laser
cường độ cao. ..............................................................................................................4
Hình 1.2. Hình dạng phổ HHG. .................................................................................5
Hình 2.1. Mô hình 3 bước của Lewenstein. (1) Điện tử bị ion hoá sẽ xuyên hầm từ trạng
thái cơ bản ra miền năng lượng liên tục. (2) Điện tử được gia tốc bởi trường
điện trong nửa chu kì đầu của trường laser với vận tốc đầu bằng 0, chuyển động
như một hạt tự do và được tính toán cổ điển. (3) Do tính tuần hoàn của laser, nửa
chu kì sau điện tử bị kéo ngược về, kết hợp lại với ion mẹ và phát ra HHG. .............8 Hình
2.2. Quá trình ion hoá xuyên hầm của nguyên tử trong trường laser có cường độ cỡ 1014
W/cm2 (a) thế năng Coulomb của nguyên tử (b) thế năng tổng hợp khi có trường
laser.................................................................................................................9

  ứng với tính toán lượng tử (đường liền nét) và Ekin

C 
ứng với tính toán bằng phương trình Newton (đường nét đứt) là một hàm của thời
Hình 2.3. Các hàm số 2

gian trở lại τ [6].........................................................................................................15 Hình 2.4. Mô
hình Lewenstein và TDSE cho nguyên tử hydro [17].........................16
Hình 2.5. Sự phụ thuộc HHG vào góc hợp giữa trục phân tử với phương phân cực
laser (a) phân tử O2 (b) phân tử N2 [17]. ..................................................................17
Hình 2.6. Phổ HHG tính toán từ mô hình Lewenstein (SFA) và từ factorized SFA
cho phân tử H2O khi sử dụng xung laser cường độ 0.61014W / cm2, chu kì 25 fs,
bước sóng 1200 nm [21]............................................................................................18
Hình 2.7. Biểu diễn sự phụ thuộc của hàm

F

I

p

/U p

 vào tỉ số I

p

/ U p [6]. ............20

Hình 2.8. Vị trí cut-off với I p  30 đối với U p  10 (đường chứa ô vuông màu trắng)
và U p  20 (đường chứa ô vuông màu đen) [6]. .....................................................21
Hình 3.1. (a) Phổ HATI của Ar và Xe. Sử dụng xung laser 5 chu kì, cường độ 1.1014

W/cm2, bước sóng 800 nm. (b) Phổ HATI của Ar. Xung laser 5 chu kì, cường độ
1014W/cm2, bước sóng lần lượt là 400 nm, 800 nm, 1000 nm [24]. ........................22

iv


Hình 3.2. Cường độ NSDI của nguyên tử Ar. Sử dụng laser xung 30 fs, bước sóng
800 nm. Dữ liệu thực nghiệm kí hiệu các thập đỏ. QRS: các sao xanh có xét đến
ảnh hưởng sự suy giảm trạng thái và tương tác e-e, vòng tròn xanh bỏ qua sự suy
giảm trạng thái [25]. .................................................................................................23
Hình 3.3. Quá trình phát xạ HHG: (a) trường điện của laser ion hoá nguyên tử làm
cho điện tử ở vân đạo ngoài cùng (HOMO) xuyên hầm ra miền liên tục trong thời
gian đầu của xung laser, (b) bó sóng được gia tốc trong trường laser và bị kéo
ngược trở về khi trường laser đổi chiều, (c) bó sóng kết hợp lại với ion mẹ và phát
xạ HHG. ....................................................................................................................24
Hình 3.4. Bó sóng trích xuất từ phổ HHG của Ar và Ne khi sử dụng laser cường độ
2.1014W/cm2, xung 50 fs, bước sóng 1064 nm từ mô hình SFA [24]........................28
Hình 3.5. Bó sóng thu được từ giải TDSE cho Ar, sử dụng nguyên tử hydro hiệu
chỉnh (scaled H) và SFA [10]....................................................................................31
Hình 3.6. Phổ HHG của Ar thu được từ các mô hình khác nhau [10].....................32
Hình 3.7. Phổ HHG của Xe thu được từ các mô hình khác nhau [9].......................32
Hình 3.8. Phổ HHG của Ne thu được từ các mô hình khác nhau [9]. .....................33
Hình 3.9. Phổ HHG của H  thu được từ TDSE (màu đỏ), QRS1 (màu xanh dương), 2
QRS2 (mà đen nét liền), SFA (màu đen nét đứt) [26]. ..............................................33
Hình 3.10. Sự phụ thuộc các bậc điều hoà vào góc định phương khi sử dụng xung
laser cường độ đỉnh 2.1014W/cm2, 30 fs bước sóng 800nm [10]. .............................34
Hình 3.11. Cường độ phổ HHG khi sử dụng xung laser cường độ đỉnh 1.1014W/cm2, 20 fs
bước sóng 1600nm [10]....................................................................................35 Hình
3.12. Phổ HHG từ mô hình QRS cho phân tử đa nguyên tử [28]....................35
Hình 3.13. (a) Tiết diện tán xạ vi phân của quá trình tái kết hợp điện tử (DCS) và

(b) pha của lưỡng cực tính theo gần đúng sóng phẳng (PWA) và sóng tán xạ (sử
dụng mô hình thế năng Muller hoặc Tong & Lin) đối với Ar [10]. ..........................36

v


LỜI MỞ ĐẦU
Năm 1960 đánh dấu sự ra đời của nguồn laser đầu tiên với độ dài xung 100
nano giây được tạo bởi John L. Hall, Theodor W. Hansch và Roy J. Glauder làm việc
tại phòng thí nghiệm Hughes, bang California (giải Nobel Vật Lý năm 2005). Năm 1964,
laser có xung cỡ pico giây (10-12 s) được chế tạo ra và khoảng 20 năm sau, rút ngắn
xuống cỡ femto giây (10-15 s). Trong những năm gần đây với sự nỗ lực của các nhà khoa
học, xung laser đã đạt đến mức 12 atto giây (10-18 s) [1]. Những thành tựu trong quá
trình chạy đua rút ngắn xung laser có vai trò quan đặc biệt quan trọng và trở thành công
cụ lý tưởng trong nghiên cứu các quá trình cực nhanh.
Một trong những hiệu ứng phi tuyến xảy ra khi nguyên tử, phân tử tương tác với
laser cường độ cao và xung cực ngắn đó là phát xạ sóng điều hoà bậc cao -HHG (Highorder Harmonic Generation). Dựa vào nguồn dữ liệu mà HHG thu được có thể trích
xuất thông tin cấu trúc động của phân tử, phục vụ cho việc nghiên cứu các phản ứng hoá
học như sự hình thành, đứt gãy các liên kết, hay sự dao động của các nguyên tử trong
phân tử. Do đó, HHG là một trong những hiệu ứng được cộng đồng các nhà khoa học
quan tâm, nghiên cứu về cả thực nghiệm lẫn lý thuyết.
Đối với nguyên tử và phân tử, hình dạng phổ sóng điều hoà bậc cao thu được có
đặc điểm gần như giống nhau: cường độ HHG giảm nhanh ở các bậc ban đầu, một vùng
phổ kéo dài có cường độ gần bằng nhau và kết thúc tại vị trí cut-off, sau đó cường độ
giảm rất nhanh. Phổ HHG có thể đo được bằng thực nghiệm hay các tính toán lý thuyết.
Về cách tiếp cận lý thuyết có thể chia thành hai hướng giải quyết (i) giải pháp số ab initio
như phương pháp TDSE (giải số phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian) [2],
TDHF (Hartree-Fock phụ thuộc thời gian) [4] hay TDDFT (lý thuyết phiếm hàm mật độ
phụ thuộc thời gian) [5], (ii) hoặc là phương pháp giải tích dựa trên sử dụng mô hình [610]. Tuy nhiên, phương pháp số chiếm nhiều tài nguyên máy tính và tốn nhiều thời gian
để thu được kết quả. Trừ những nguyên tử

và phân tử đơn giản như H2, H , H3 [3][11,12], đối với các phân tử phức tạp hơn 2
hầu như không thể thực hiện được. Để tính toán HHG, các mô hình cũng được đưa

1


ra, tuy kết quả không chính xác bằng TDSE so với thực nghiệm, nhưng thời gian
tính toán giảm đi rất nhiều. Không những vậy việc xây dựng mô hình giúp hiểu những
hiện tượng vật lý diễn ra, điều mà phương pháp số không thể làm được.
Kể từ sự quan sát đầu tiên vào năm 1987 [13] cho đến nay, có rất nhiều mô
hình để tính toán phổ HHG. Mỗi mô hình đều có những điểm mạnh, điểm yếu, phạm
vi áp dụng khác nhau. Do đó chúng tôi chọn đề tài "TỔNG QUAN MÔ HÌNH TÍNH
TOÁN PHÁT XẠ SÓNG ĐIỀU HOÀ BẬC CAO" với mục tiêu tìm hiểu tổng quan lý
thuyết các mô hình tính phát xạ sóng điều hòa bậc cao đã được chấp nhận, sử dụng
rộng rãi trong cộng đồng và làm cơ sở để chúng tôi thực hiện các nghiên cứu sau này.
Để thực hiện mục tiêu trên, các công việc cụ thể cần tiến
hành là:
1. Tìm hiểu bổ sung kiến thức về quá trình tương tác giữa laser xung cực ngắn,
cường độ cao.
2. Tìm hiểu mô hình Lewenstein và QRS - hai mô hình được chấp nhận rộng rãi
trong cộng đồng khoa học - về tính toán phát xạ HHG.
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận có ba chương. Trong
chương đầu tiên, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan các lý thuyết tính toán phát xạ HHG,
sự tương tác của nguyên tử, phân tử với trường laser. Trong chương hai và chương ba,
chúng tôi sẽ lần lượt trình bày ý tưởng, phương pháp để tính toán phát xạ HHG trong
mô hình Lewenstein và mô hình QRS. Ở mỗi mô hình, chúng tôi chỉ ra ưu, nhược điểm
và các bài toán đã được áp dụng thành công.
Trong chương 1, "Tổng quan các lý thuyết tính toán phát xạ sóng điều hoà bậc
cao", chúng tôi sẽ giới thiệu về tính chất và hình dạng phổ của sóng điều hòa bậc cao,
sự quan sát HHG lần đầu tiên và các thí nghiệm sau đó cùng với thành tựu chạy đua rút

ngắn xung laser. Chúng tôi cũng đưa ra cơ sở tính HHG xuất phát từ lưỡng cực theo
chiều dài hoặc theo gia tốc lưỡng cực, chỉ ra ưu, nhược điểm của hai hướng lý thuyết
tính toán phát xạ HHG là TDSE và sử dụng mô hình, cho thấy sự cần thiết phát triển
các mô hình bên cạnh việc cải thiện tốc độ, mở rộng tính toán trong TDSE.

2


Trong chương 2, "Mô hình Lewenstein", chúng tôi giới thiệu mô hình ba bước
mô tả quá trình phát xạ HHG. Mô hình Lewenstein [6] sử dụng lý thuyết gần đúng
trường mạnh SFA, đưa ra các giả thuyết để đơn giản hoá quá trình tương tác và chỉ tính
toán cho một điện tử duy nhất chuyển động trong trường laser. Từ thành phần
mô-men lưỡng cực

D

t  dọc theo trục phân cực của laser, bằng cách kết hợp với

phương pháp điểm yên ngựa, phổ HHG được xác định qua phép biến đổi chuỗi
Fourier của

D

t  vào không gian tần số. Mô hình cũng đưa ra được công thức xác

định vị trí cut-off.
Trong chương 3, "Mô hình QRS" mô hình này được mở rộng tính toán HHG
không chỉ cho nguyên tử, phân tử thẳng mà cho cả các phân tử đa nguyên tử phức tạp
hơn, với ý tưởng chính sử dụng hàm sóng tán xạ thay vì sóng phẳng trong bước cuối
cùng điện tử va chạm với ion mẹ, sự trở lại của điện tử được mô tả bằng bó sóng.

Chúng tôi chỉ ra cơ sở mà các tác giả sử dụng để có được bó sóng trong QRS bằng cách
sử dụng SFA hoặc TDSE, cách tính toán lưỡng cực dịch chuyển bằng hàm sóng tán xạ.
Kết quả hai phiên bản của QRS: QRS1 và QRS2 cũng được so sánh với mô hình
Lewenstein và giải chính xác TDSE.
Kết luận và hướng phát triển là phần cuối cùng của luận văn. Trong phần này
chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt các kết quả thu được khi thực hiện luận văn cũng như đề ra
hướng phát triển cho đề tài này.

3


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN CÁC LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN
PHÁT XẠ SÓNG ĐIỀU HOÀ BẬC CAO
1.1

Phổ phát xạ sóng điều hoà bậc cao

Phát xạ sóng điều hoà bậc cao-HHG (High-order Harmonic Generation) là
những photon năng lượng cao phát ra khi cho một laser cường độ cao tương tác với
nguyên tử, phân tử.

Hình 1.1. Tần số của photon phát ra khi cho nguyên tử, phân tử
tương tác với laser cường độ cao.
HHG phát ra ứng với các photon có tần số là bội số lẻ nguyên lần tần số của
laser ,3,5.... nên HHG mang năng lượng lớn. HHG được nghiên cứu để tạo ra
xung ánh sáng siêu ngắn, cường độ cao, ứng dụng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu
nguyên tử, phân tử, quang phổ học plasma, phân tích huỳnh quang. Đặc biệt, HHG phát
ra ngay tại thời điểm điện tử tái kết hợp với ion mẹ nên nó còn là nguồn thông tin quan
trọng để nghiên cứu cấu trúc động của phân tử - một trong những đề tài nghiên cứu sôi
động nhất của lĩnh vực quang phi tuyến.

Các thí nghiệm trong những năm giữa thập niên 80 khi cho bức xạ laser cường
độ cao tác động lên nguyên tử, các nhà khoa học đã quan sát được phổ sóng điều hoà
(bậc thấp). Năm 1987, hình ảnh phổ sóng điều hoà bậc cao lần đầu tiên được

4


quan sát, lên đến bậc thứ 17 bởi McPherson và đồng nghiệp [13] với nguyên tử
được sử dụng là khí neon tương tác với laser hồng ngoại xung cực ngắn (femto giây) và
cường độ cao (cỡ 1014 W/cm2).

Hình 1.2. Hình dạng phổ HHG.
Phổ HHG của nguyên tử và phân tử khi tương tác với laser cường độ cao,
xung cực ngắn đều có đặc điểm như hình 1.2, cường độ HHG giảm nhanh ở các bậc đầu
tiên, có giá trị gần như không đổi trong miền phẳng (plateau), kết thúc tại vị trí cut-off,
sau vùng cut-off cường độ HHG giảm rất nhanh theo thứ tự bậc. Năm 1992, K.Schafer,
J.Krause và K.Kulander [14] cũng tiến hành thí nghiệm để quan sát phổ HHG, đồng
thời trình bày cách giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (TDSE), đưa ra
công thức định lượng để xác định vị trí cut-off nhưng chưa phù hợp với thực nghiệm.

1.2

Lý thuyết tính toán phổ phát xạ sóng điều hoà bậc cao

Năm 1990, Sundaram và Milonni chỉ ra rằng phổ HHG có thể thu được từ
lưỡng cực theo chiều dài DL
toán

t    r,t  r  r,t  chính là trị trung bình của

tử tọa độ theo thời gian, bằng phép biến đổi chuỗi Fourier của DL

  vào không gian
t

tần số dưới dạng 4 D  2 có thể thu được phổ HHG. Đến năm 1992, công trình


5


[15] chỉ ra đối với cường độ cao, HHG tính toán theo DL

t là chưa phù hợp. Thay

vào đó, nhờ định lý Ehrenfest, có thể thu được gia tốc lưỡng cực
  
V r
DA    r   
E t
t

z
hơn.
, 
t





r,  , từ đó phổ HHG thu được chính xác
t

Các hướng tiếp cận lý thuyết để tính toán HHG đưa ra với nhiều phương pháp
khác nhau, nhưng có thể phân thành hai hướng chính
-

Một là: phương pháp giải số ab initio như: phương pháp giải chính xác
phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (TDSE), Hartree-Fock phụ thuộc
thời gian (TDHF), lí thuyết phiếm hàm mật độ phụ thuộc thời gian (TDDFT). Ưu
điểm của phương pháp số ab initio là cho kết quả chính xác có độ tin cậy cao, tuy
nhiên chỉ mới áp dụng cho các nguyên tử vì chiếm rất nhiều tài nguyên của máy
tính, đối với phân tử phải lớn, hầu như không thể thực
hiện được trừ các trường hợp đơn giản nhất ion H  [11], phân tử H2 [12]. 2

-

Hai là: phương pháp giải tích dựa trên mô hình. Bằng cách sử dụng các lý
thuyết gần đúng, phổ HHG thu được từ các mô hình cho cho kết quả khá phù hợp
với thực nghiệm. Tuy không chính xác bằng TDSE nhưng với mô hình việc tính
toán HHG đơn giản hơn rất nhiều, tiết kiệm thời gian, có thể áp dụng thành tựu của
các lý thuyết khác cho việc tính toán HHG dựa trên nền các mô hình đưa ra. Quan
trọng hơn, nếu như TDSE là không khả thi đối với phân tử, thì việc phát triển các
mô hình thử nghiệm cho nguyên tử, mở rộng cho phân tử đơn giản và phân tử đa
nguyên tử là có khả năng thực hiện được. Đồng thời, bức tranh tương tác giữa
nguyên tử, phân tử với trường laser cũng được mô tả qua các mô hình.
Do đó, việc phát triển các mô hình giải tích là cần thiết. Trong hai chương tiếp

theo, chúng tôi sẽ giới thiệu hai mô hình được xem là thành công nhất trong tính toán

HHG đã được áp dụng cho nguyên tử và hiện đang được phát triển, mở rộng cho các
phân tử phức tạp hơn.

6


CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH LEWENSTEIN
2.1

Tổng quan mô hình

Năm 1993, mô hình đầu tiên mô tả quá trình phát xạ HHG được phát triển bởi
Kulander [7] và Corkum [8]. Lấy ý tưởng từ phương trình Newton, sau khi bị ion hoá,
một điện tử thoát ra khỏi liên kết với hạt nhân, chuyển động trong trường laser với vận
tốc ban đầu bằng 0, trong vòng một hoặc vài chu kỳ sau khi ion hóa, điện tử dao động có
thể bị kéo lùi trở lại bởi trường laser để lại bắt gặp những ion mẹ, điện tử kết hợp lại trở
về trạng thái liên kết ban đầu và phát xạ HHG. Từ đây, một mô hình được đưa ra gọi là
mô hình ba bước (three-step model) hay mô hình người đàn
ông đơn giải (simple man model) mô tả quá trình phát xạ HHG qua ba bước sau
-

Bước 1: cường độ trường laser làm biến dạng thế năng Coulomb, điện tử
xuyên hầm qua rào thế và bị ion hoá.

-

Bước 2: điện tử được xem là hạt tự do, được gia tốc trong trường laser với vận
tốc ban đầu bằng không.

-

Bước 3: điện tử quay trở lại va chạm vào ion mẹ, phát xạ HHG và năng lượng
tức thời của điện tử được chuyển cho photon phát ra.
Dựa vào bức tranh mô tả quá trình tương tác giữa laser với nguyên tử trong

công trình của Kulander và Corkum. Năm 1994, M. Lewenstein, P.B. Corkum và các
cộng sự đã phát triển mô hình ba bước dựa trên lý thuyết trường mạnh SFA để đơn giản
hoá quá trình tương tác laser-nguyên tử. Sau đó, sử dụng công cụ tính toán, mô tả lại quá
trình phát xạ HHG, tính toán phổ HHG, đồng thời, xác định giá trị của cut-off. Đây được
xem như là phiên bản lượng tử của mô hình ba bước, thường gọi là mô hình Lewenstein
[6].
Ngoại trừ việc giải pháp số ab initio, chưa có một mô hình giải tích nào có thể cho
kết quả HHG gần đúng với thực nghiệm tính tới thời điểm mô hình Lewenstein được đưa
ra. Mô hình này cho kết quả với độ chính xác cao khi so sánh với TDSE, điều đáng quan
tâm là nó đơn giản hơn TDSE rất nhiều. Từ đây, có thể thấy mô

7


hình Lewenstein như một khởi đầu lý tưởng thay thế TDSE trong việc tính toán
HHG cho nguyên tử.

2.2

Tư tưởng mô hình

Xét bài toán chiếu chùm laser cường độ cao cỡ 1014 W/cm2 và xung cực ngắn (cỡ
femto giây, chứa vài chu kỳ) phân cực tuyến tính theo trục x vào nguyên tử, xét
quá trình ion hoá duy nhất một điện tử (single active electron-SAE) tức chỉ có một điện
tử duy nhất chịu tác dụng của trường laser các điện tử còn lại bên trong nguyên tử được

coi là cố định.
Quá trình tương tác laser-nguyên tử được mô tả qua ba bước như hình 2.1

Hình 2.1. Mô hình 3 bước của Lewenstein. (1) Điện tử bị ion hoá sẽ
xuyên hầm từ trạng thái cơ bản ra miền năng lượng liên tục. (2) Điện tử được
gia tốc bởi trường điện trong nửa chu kì đầu của trường laser với vận tốc
đầu bằng 0, chuyển động như một hạt tự do và được tính toán cổ điển. (3) Do
tính tuần hoàn của laser, nửa chu kì sau điện tử bị kéo ngược về, kết hợp lại
với ion mẹ và phát ra HHG.
HHG phát ra là do quá trình kết hợp của hàm sóng điện tử trở về với hàm
sóng ở trạng thái cơ bản tạo ra một lưỡng cực, sự dao động của lưỡng cực sẽ phát ra
HHG. Như vậy, phổ HHG có thể được xác định thông qua lưỡng cực này.

8


2.3

Cơ sở lý thuyết

2.3.1 Quá trình ion hoá xuyên hầm
Để đặc trưng cho sự tương tác giữa laser với nguyên tử, một mô hình ion hoá
được phát triển bởi Viện sĩ Keldysh, thường gọi là hệ số Keldysh [16]:

  I p / 2U p ,
trong đó

Ip

(2.1)

là thế ion hoá của điện tử trong nguyên tử, phân tử cũng chính là năng

lượng liên kết của điện tử yếu nhất,
 E 2
2




(
2
là thế trọng động của điện tử, đó là động năng trung bình trong mỗi chu kì dao động
mà một điện tử tự do thu được khi dao động trong trường laser có cường độ E và
tần số .

Hình 2.2. Quá trình ion hoá xuyên hầm của nguyên tử trong trường
laser có cường độ cỡ 1014 W/cm2 (a) thế năng Coulomb của nguyên tử (b)
thế năng tổng hợp khi có trường laser.

9


Đối với trường hợp 

1 trường laser đủ mạnh gây biến dạng thế năng

Coulomb, làm cho hàng rào Coulomb trở nên hẹp hơn, hàm sóng của điện tử có

I p  chui qua rào thế tới mặt ngoài của rào tại vị trí x0 trong một

ng
phần chu kì dao động của laser. Tổng của thế Coulomb và trường điện của laser gọi
năng lượng bằ

gọi thế năng chuẩn tĩnh, tốc độ xuyên hầm phụ thuộc vào sự thay đổi của trường laser,
có thể xem như là tốc độ ion hoá chuẩn tĩnh tức coi sự thay đổi của điện trường là đủ
chậm để điện tử có đủ thời gian để xuyên hầm ra vùng liên tục trước khi trường laser
đổi chiều, quá trình này gọi là sự ion hoá xuyên hầm (tunnel ionization) (xem hình 2.2).
Do đó, laser sử dụng trong mô hình thường có cường độ vào cỡ 10 14 W/cm2
cho phép quá trình ion hoá xuyên hầm xảy ra. Trong vùng này lý thuyết nhiễu loạn bị vi
phạm và không thể sử dụng, người ta gọi vùng này là vùng trường mạnh của
quang học phi tuyến.

2.3.2 Giả thuyết trường mạnh (SFA)
Khi chiếu nguồn laser cường độ đủ lớn vào cỡ 1014 - 1015 W/cm2 và xung cực
ngắn cỡ vài femto giây vào nguyên tử, trường laser rất mạnh so với thế năng Coulomb,
sự tương tác xảy ra trong vùng trường mạnh chiếm ưu thế. Khi đó các giả
định được đưa ra
(a) Trong quá trình tương tác với laser, chỉ có trạng thái cơ bản 0 của nguyên
tử, phân tử đóng góp vào HHG là đáng kể, đóng góp của các trạng thái còn
lại được bỏ qua.
(b) Sự suy giảm của trạng thái cơ bản theo thời gian được bỏ qua.
(c) Trong vùng phổ liên tục (năng lượng dương), bỏ qua ảnh hưởng của thế năng
Coulomb, điện tử được xem như một hạt tự do chuyển động trong trường laser.

10


2.3.3 Giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (TDSE)
Hamiltonian cho một nguyên tử trong xấp xỉ một điện tử hoạt động dưới ảnh

hưởng của trường laser E cos

 phân cực tuyến tính theo phương x .

t

H   1 2 
V
2

   xE cos   .
x

t

(2.3)

Do sự tương tác giữa nguyên, phân tử với trường laser, hàm sóng ban đầu ở
trạng thái cơ bản tiến hoá thành trạng thái chồng chất giữa hàm sóng ở trạng thái cơ
bản 0 và hàm sóng mô tả các điện tử tự do v trong không gian Hilbert. Sử dụng
giả định (a) và (c) trong SFA hàm sóng có thể được mở rộng

 x,t   eiI t a t  0   d 3vb 
v,
p

Ψ
v,
t





với giả định (b) bỏ qua sự suy giảm ở trạng thái cơ bản nên

a

(2.4)

t   1 là biên độ sóng

ở trạng thái cơ bản,
t

 v,    E cos t  dx  v 
t
i

t 

b

A t
A



0

(2.5)
exp    v 
i 
A
A

 
t

2 / 2  I p dt '' dt ,

t


 t
 t'








là biên độ sóng ở trạng thái tự do,



t

A

t    E cos t  dt  E sin t  ,
dx

A

(2.6)

0

 v  v x 0 ,

(2.7)

t  là thế vectơ của trường laser theo phương phân cực x, dx  v là thành phần


ma
trận lưỡng cực của nguyên tử song song với trục phân cực của laser.
Mô-men lưỡng cực

  gây ra phát xạ HHG trong không gian một chiều dọc theo

D t
trục phân cực của laser

11

D

t    t  x  t  ,

sử dụng phương trình (2.4) (2.7) (2.8),

v,

t

D

v

D

(2.8)

t  được viết lại

t   0 x 0  0 x. d 3vb 
v

2

*





d
vxv

3

v  v,  .x 0  d
b
t

3
v  v, 
b
t
 0 x.  d v  v, 
v v,
b
t
b
t
 0
vv

(2.9)



.x


d

3

3

  d v  v, 
b
t
d*x    c.c.
v



*

3

kết hợp phương trình (2.5) và thực hiện phép đổi biến p  v 

A

t với p là động

lượng chính tắc tại thời điểm t
t

t   i dt ' E cos t dx p 
texp iS p,t,t d*x p  A t  d 3p c.c. (2.10)
A
D

0

Theo mô hình công thức (2.10) có thể được hiểu như sau
 E cost  dx

với động

p  At là xác suất điện tử bị ion hoá tại thời điểm t '

lượng chính tắc p.
 expiS

p,t,t là hệ số pha ứng với hàm sóng điện tử được truyền từ


thời
điểm t ' đến thời điểm t . Trong đó

S

p,t,t gọi là hàm tác dụng cổ điển

t



p,t,t   p 
S
 
A

 d*x

t2 / 2  I p  dt '' .
t'







(2.11)

p  At là xác suất điện tử tái kết hợp với ion mẹ tại thời điểm

t.

Như vậy, dựa vào lý thuyết trường mạnh SFA xét trong xấp xỉ một điện tử
hoạt động, bức tranh mô tả quá trình phát xạ HHG trong mô hình Lewenstein được
minh hoạ thông qua công thức (2.10).

12


2.3.4 Phương pháp điểm yên (saddle-point method)
Sử dụng phương pháp điểm yên để tính toán tích phân trên p trong phương
trình (2.10) và thực hiện phép đổi biến t '  t  với  là khoảng thời gian từ khi
điện tử bị ion hóa đến khi tái kết hợp. Khi đó mô-men lưỡng cực

D


3/ 2







 

*

t



i

(2.12)



i /
2
dx 
pst 
t,


Ax 
0

t




p t,  
t   E cost  



 dx
Ax

st

exp iSst

t,  d 

c.c.


trong đó, vô cùng bé
pst





là do cầu phương Gaussian trên p xung quanh các điểm yên,

t,  là mô-men động lượng tại điểm yên được cho bởi


t

pst



t, 





 dt '  cos(t) 
A
E
t  cos(t   / ,
'
)


t



t

và

Sst
A

(2.13)

t,    




t'2 / 2  I p  dt ' .
t


(2.14)

pst 



Các công thức tại vị trí điểm yên
pst Sst

pst ,t,   x(t)  x(t  )  0 .



(2.15)

2

pst ,t,  pst 

t  

Sst
A








2

  I  0.

(2.16)

p

Công thức (2.15) cho thấy các điểm yên tương ứng với động lượng p mà các
điện tử sinh ra tại thời điểm t '  t  và trở lại tại thời điểm t phải xuất phát từ

cùng một vị trí, vị trí đó được xác định là tại ion mẹ bởi vì nó là vị trí duy nhất mà quá
trình chuyển đổi từ trạng thái cơ bản. Như vậy, sự đóng góp chi phối phát xạ sóng điều
hoà là do các điện tử xuyên hầm đi từ ion mẹ và tái kết hợp tại ion mẹ khi điện tử dao
động trong trường laser.

13