phuong trinh chua can luyen thi dai hoc 9842

LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Năm học 2010- 2011

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Sinh viên : Phan Sỹ Tân
Lớp : k16kkt3

GOOD LUCKD
1. PHƯONG TRÌNH PHÁP LUỸ THỪA

Dạng 1 : Phương trình

 A ≥ 0( B ≥ 0)
A= B ⇔
A = B

Dạng 2: Phương trình

B ≥ 0
Tổng qt:
A=B⇔
2
A = B

2k

B ≥ 0
A=B⇔
2k
A = B

Dạng 3: Phương trình
+) A +

B =

A ≥ 0

(chuyển về dạng 2)
C ⇔ B ≥ 0

 A + B + 2 AB = C

+) 3 A + 3 B = 3 C ⇔ A + B + 3 3 A.B

(

3

)

A + 3 B = C (1)

và ta sử dụng phép thế : 3 A + 3 B = C ta được phương trình : A + B + 3 3 A.B.C = C (2)
Dạng 4:

3

A = B ⇔ A = B3 ;

2 k +1

A = B ⇔ A = B 2 k +1

Chú ý: - Phương trình (2) là phương trình hệ quả của ph tr (1).
- Phép bình phương 2 vế của một phương trình mà khơng có điều kiện cho 2 vế khơng âm là một phép biến

đổi hệ quả. Sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại.
Giải các phương trình sau:
1)

x2 − 4x + 6 = x + 4

2)

x 2 − 2x + 4 = 2 − x

3) (x − 3) x 2 − 4 = x 2 − 9

4)

3x 2 − 9 x + 1 = x − 2

5)

x 2 − 3x + 2 − 3 − x = 0

6)

8)

4 − 1− x = 2 − x

9)

7) 3x − 3 3x − 1 = 5

10)
13)

3

x + 5 + 3 x + 6 = 3 2 x + 11

11)

x + 3 − 7 − x = 2x − 8

14)

3

3x 2 − 9 x + 1 = x − 2
3

x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x

x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0

12)

x −1 − x − 2 = x − 3

5x − 1 − 3x − 2 − x − 1 = 0

15)

x + 2 − 3 − x = 5 − 2x

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm


Bài tập

nhiều , bên cạnh đó
( hehe...☺
Trang1/19-LTðH-2010

)


LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
16)

y − 14 − 12 − y = 0

18)

x 2 + 3x + 2 + x 2 + 6 x + 5 = 2 x 2 + 9 x + 7

(20)

17)

Năm học 2010- 2011

3x 2 + 6x + 16 + x 2 + 2x = 2 x 2 + 2x + 4

19)

x +1 = x + 9 − 2

20)

x2 + 9 − x2 − 7 = 2

x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2
Nhận xét :

Nếu phương trình :
phương trình về dạng

f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , thì ta biến đổi

f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả

x3 + 1
(21)
+ x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3
x+3

Nhận xét :
Nếu phương trình :

f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) .h ( x ) = k ( x ) .g ( x ) thì ta biến đổi

f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả
2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶT ẨN PHỤ

Dạng 1: Các phương trình có dạng :
∗ α A.B + β A.B + γ = 0 , đặt t = A.B ⇒ A.B = t 2
∗ α . f ( x) + β . f ( x) + γ = 0 , đặt t = f ( x) ⇒ f ( x) = t 2
∗ α .( x − a)( x − b) + β ( x − a)

x −b
x −b
+ γ = 0 đặt t = ( x − a )
⇒ ( x − a )( x − b) = t 2
x−a
x−a

Chú ý:
∗ Nếu khơng có điều kiện cho t, sau khi tìm được x thì phải thử lại
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) ( x + 1)( x + 4) = 5 x 2 + 5 x + 28

7)
2)

5 x 2 + 10 x + 1 = 7 − x 2 − 2 x

(x − 3)2 + 3x − 22 =

x 2 − 3x + 7

3) x( x + 5) = 23 x 2 + 5 x − 2 − 2

5) − 4 ( 4 − x)( 2 + x ) = x 2 − 2 x − 12 6) ( 4 + x )(6 − x) = x 2 − 2 x − 12
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm?
a) (1 + 2 x)(3 − x) = 2 x 2 − 5 x + 3 + m
b) − x 2 + 2 x + 4 (3 − x )(x + 1) = m − 3
4) x 2 − 4 x + 2 = 2 x 2 − 4 x + 5

Bài 3. Cho phương trình: − x 2 + 2 x + 4 (3 − x)( x + 1) = m − 2
a. Giải phương trình khi m = 12
b. Tìm m để phương trình có nghiệm?
Bài 4. Cho phương trình: (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) x + 1 = m
(ð3)
x−3
a. Giải phương trình với m = -3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm?
Dạng 2: Các phương trình có dạng:

A± B±

(

A± B

Bài 1. Giải các phương trình sau:
2

a) (QGHN-HVNH’00) 1 +
x − x2 = x + 1− x
3

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm


)

2

b)

Bài tập

+C = 0

ðặt

t= A± B

2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 - 2

nhiều , bên cạnh đó
( hehe...☺
Trang2/19-LTðH-2010

)

LUYN THI I HC -CHNG VI: PHNG TRèNH CHA CN
c) (AN01) 7 x + 7 + 7 x 6 + 2 49 x 2 + 7 x 42 = 181 14 x
e) 5 x +
h)

5
2 x

= 2x +

1
+4
2x

z 1 + z + 3 + 2 ( z 1)( z + 3) = 4 2 z i)

x+4 + x4
= x + x 2 16 6
2

d)

g) (TN- KA, B 01) 3 x +

(36)

Nm hc 2010- 2011

3
2 x

= 2x +

1
7
2x

3 x 2 + x 1 = 4 x 9 + 2 3 x 2 5 x + 2 (KTQS01)

Bi 2. Cho phng trỡnh:
1 + x + 8 x (1 + x )(8 x ) = a
(HKTQD - 1998)
a. Gii phng trỡnh khi a = 3.
b. Tỡm a ủ phng trỡnh ủó cho cú nghim.?
Bi 3. Cho phng trỡnh: 3 + x + 6 x (3 + x )(6 x ) = m (59)
a. Gii phng trỡnh vi m = 3.
b. Tỡm m ủ phng trỡnh cú nghim?
Bi 4. Cho phng trỡnh:
x + 1 + 3 x ( x + 1)(3 x) = m (m-tham s) (HSP Vinh 2000)
a. Gii phng trỡnh khi m = 2.
b. Tỡm ủ phng trỡnh ủó cho cú nghim.
Bi 5. Tỡm a ủ PT sau cú nghim: 2 + x + 2 x (2 + x )(2 x ) = a
Tt c bi tp 2, 3, 4, 5 ta cú th sỏng to thờm nhng cõu hi hoc nhng bi tp sau:
a) Tỡm a ủ phng trỡnh ủó cho cú nghim duy nht? (K cn v ủ)
b) Tỡm a ủ phng trỡnh ủó cho vụ nghim?
Dng 3: t n ph nhng vn cũn n ban ủu. (Phng phỏp ủt n ph khụng hon ton )
T nhng phng trỡnh tớch

(

)(

x +1 1

)

x +1 x + 2 = 0 ,

(

2x + 3 x

)(

)

2x + 3 x + 2 = 0

Khai trin v rỳt gn ta s ủc nhng phng trỡnh vụ t khụng tm thng chỳt no, ủ khú ca phng trỡnh
dng ny ph thuc vo phng trỡnh tớch m ta xut phỏt .
T ủú chỳng ta mi ủi tỡm cỏch gii phng trỡnh dng ny .Phng phỏp gii ủc th hin qua cỏc vớ d sau .Bi

)

(

1. Gii phng trỡnh : x 2 + 3 x 2 + 2 x = 1 + 2 x 2 + 2
Gii: t t =

t = 3

x 2 + 2 , ta cú : t 2 ( 2 + x ) t 3 + 3 x = 0
t = x 1

Bi 2. Gii phng trỡnh : ( x + 1) x 2 2 x + 3 = x 2 + 1
Gii:
t : t = x 2 2 x + 3, t 2
Khi ủú phng trỡnh tr thnh : ( x + 1) t = x 2 + 1 x 2 + 1 ( x + 1) t = 0
Bõy gi ta thờm bt , ủ ủc phng trỡnh bc 2 theo t cú chn

t = 2
t = x 1

: x 2 2 x + 3 ( x + 1) t + 2 ( x 1) = 0 t 2 ( x + 1) t + 2 ( x 1) = 0
T mt phng trỡnh ủn gin :

(

1 x 2 1+ x

)(

)

1 x 2 + 1 + x = 0 , khai trin ra ta s ủc pt sau

Bi 3. Gii phng trỡnh sau : 4 x + 1 1 = 3x + 2 1 x + 1 x 2
Gii:
Nhn xột : ủt t = 1 x , pttt: 4 1 + x = 3 x + 2t + t 1 + x (1)

(

)

Ta rỳt x = 1 t 2 thay vo thỡ ủc pt: 3t 2 2 + 1 + x t + 4

Cỏch hc tt mụn Toỏn l phi lm


Baứi taọp

(

)

1 + x 1 = 0

nhiu , bờn cnh ủú
( hehe...
Trang3/19-LTH-2010

)


LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Năm học 2010- 2011

(

Nhưng không có sự may mắn ñể giải ñược phương trình theo t ∆ = 2 + 1 + x

)

2

− 48

(

)

x + 1 − 1 không có

dạng bình phương .
Muốn ñạt ñược mục ñích trên thì ta phải tách 3x theo

(

) (
2

1− x ,

1+ x

)

2

Cụ thể như sau : 3x = − (1 − x ) + 2 (1 + x ) thay vào pt (1) ta ñược:

Bài 4. Giải phương trình: 2 2 x + 4 + 4 2 − x = 9 x 2 + 16
Giải .

(

)

Bình phương 2 vế phương trình: 4 ( 2 x + 4 ) + 16 2 4 − x 2 + 16 ( 2 − x ) = 9 x 2 + 16

(

)
= α 2 ( 4 − x ) + ( 9 + 2α ) x

Ta ñặt : t = 2 4 − x 2 ≥ 0 . Ta ñược: 9 x 2 − 16t − 32 + 8 x = 0
Ta phải tách 9 x 2

2

2

− 8α làm sao cho ∆ t có dạng chính phương .

Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ ñạt ñược mục ñích
Bài tập ñề nghị: Giải các phương trình sau
1) (4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1

2) 2(1 − x ) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1

4) 1 + x − 2x 2 = 4 x 2 − 1 − 2x + 1
7) 2 x + x − 1 − 1 − 1 − 3 x − 1 = 0
x
x
x
12
12
(9) 12 − 2 + x 2 − 2 = x 2
x
x

3) x 2 + x + 12 x + 1 = 36

5) 4 1 + x − 3 = x + 3 1 − x + 1 − x 2
6) sin x + sin x + sin 2 x + cos x = 1
x+ y


8) 43. 4 x − x 2 sin 2
+ 2 cos(x + y ) = 13 + 4 cos2 (x + y )
2



Một số dạng khác.

(

1) 9(x + 1) = (3 x + 7 ) 1 − 3 x + 4
2

(

4) 10. x 3 + 8 = 3 x 2 − x + 6
7) x +
10)

x
x 2 −1

=

)

35
12

)

2

2) x 2 − 3 x + 1 = −

5)

4

3
x4 + x2 +1
3

x − x2 −1 + x + x2 −1 = 2

3)
6)

x 3 − 1 = x 2 + 3x − 1

6x
12 x
12 x
−
− 24
=0
x−2
x−2
x−2

1
3x
1− x 2 + x 2
3x
8)
=
−1 ⇔
=
−1
2
2
2

1− x
1− x
1− x
1− x 2

x
x +1
−2
= 3 (ð141)
x +1
x

11)

(1 −

4x 2
1 + 2x

)

2

= 2x + 9

Dạng 4: . ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình thuần nhất bậc 2 ñối với 2 biến :
Chúng ta ñã biết cách giải phương trình: u 2 + α uv + β v 2 = 0 (1) bằng cách
2

u

u
Xét v ≠ 0 phương trình trở thành :   + α   + β = 0
v
v
v = 0 thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng ñưa về ñược (1)

a. A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) .B ( x )
Cách học tốt môn Toán là phải làm


Baøi taäp

nhiều , bên cạnh ñó
( hehe...☺
Trang4/19-LTðH-2010

)


LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Năm học 2010- 2011

α u + β v = mu 2 + nv 2
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận ñược phương trình vô tỉ theo dạng
này .

a) . Phương trình dạng : a. A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) .B ( x )

 P ( x ) = A ( x ) .B ( x )
Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x )

Như vậy phương trình Q ( x ) = α P ( x ) có thể giải bằng phương pháp trên nếu 
Xuất phát từ ñẳng thức :

x3 + 1 = ( x + 1) ( x 2 − x + 1)

x 4 + x 2 + 1 = ( x 4 + 2 x 2 + 1) − x 2 = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)

(

)(

)

x4 + 1 = x2 − 2 x + 1 x2 + 2 x + 1

4 x 4 + 1 = ( 2 x 2 − 2 x + 1)( 2 x 2 + 2 x + 1)
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 4 x 2 − 2 2 x + 4 =

x4 + 1
ðể có một phương trình ñẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at 2 + bt − c = 0 giải “
nghiệm ñẹp”

(

)

Bài 1. Giải phương trình : 2 x 2 + 2 = 5 x3 + 1

Giải: ðặt u =

x + 1, v = x 2 − x + 1

u = 2v
Phương trình trở thành : 2 ( u + v ) = 5uv ⇔ 
u = 1 v
2

3 4
Bài 2. Giải phương trình : x 2 − 3 x + 1 = −
x + x2 + 1
3
2

2

Tìm ñược: x =

5 ± 37
2

Bài 3: giải phương trình sau : 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x 3 − 1
Giải:
ðk: x ≥ 1

(

)

( x − 1) ( x 2 + x + 1)

Nhận xt : Ta viết α ( x − 1) + β x 2 + x + 1 = 7

(

)

ðồng nhất thức ta ñược: 3 ( x − 1) + 2 x 2 + x + 1 = 7

( x − 1) ( x 2 + x + 1)

 v = 9u
ðặt u = x − 1 ≥ 0 , v = x + x + 1 > 0 , ta ñược: 3u + 2v = 7 uv ⇔ 
v = 1 u

4
Ta ñược : x = 4 ± 6
2

Bài 4. Giải phương trình : x 3 − 3 x 2 + 2

( x + 2)

3

− 6x = 0

Giải:

Cách học tốt môn Toán là phải làm


Baøi taäp

nhiều , bên cạnh ñó
( hehe...☺
Trang5/19-LTðH-2010

)


LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Năm học 2010- 2011

Nhận xét : ðặt y =

x + 2 ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 ñối với x và y :
x = y
x3 − 3 x 2 + 2 y 3 − 6 x = 0 ⇔ x3 − 3 xy 2 + 2 y 3 = 0 ⇔ 
 x = −2 y

Pt có nghiệm : x = 2,

x = 2−2 3

b).Phương trình dạng : α u + β v = mu 2 + nv 2
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì ñưa
về ñược dạng trên.

Bài 1. giải phương trình : x 2 + 3 x 2 − 1 =
Giải:

x4 − x2 + 1

u = x 2
Ta ñặt : 
khi ñó phương trình trở thành : u + 3v = u 2 − v 2
2
v = x − 1
Bài 2.Giải phương trình sau :
Giải
ðk x ≥

x2 + 2 x + 2 x − 1 = 3x2 + 4 x + 1

1
. Bình phương 2 vế ta có :
2

(x

2

+ 2 x ) ( 2 x − 1) = x 2 + 1 ⇔

(x

2

+ 2 x ) ( 2 x − 1) = ( x 2 + 2 x ) − ( 2 x − 1)


1− 5
u=
v

u = x + 2 x
2
2
2

Ta có thể ñặt : 
khi ñó ta có hệ : uv = u − v ⇔

1+ 5
v = 2 x − 1
v
u =

2
1+ 5
1+ 5
Do u , v ≥ 0 . u =
v ⇔ x2 + 2x =
( 2 x − 1)
2
2
2

Bài 3. giải phương trình :
Giải:

5 x 2 − 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1

ðk x ≥ 5 . Chuyển vế bình phương ta ñược: 2 x 2 − 5 x + 2 = 5

(

(x

2

− x − 20 ) ( x + 1)

)

Nhận xét : không tồn tại số α , β ñể : 2 x 2 − 5 x + 2 = α x 2 − x − 20 + β ( x + 1) vậy ta không thể ñặt

u = x 2 − x − 20
.

v
x
1
=
+


(

)

(

)

Nhưng may mắn ta có : x 2 − x − 20 ( x + 1) = ( x + 4 )( x − 5 )( x + 1) = ( x + 4 ) x 2 − 4 x − 5 . Ta viết lại phương

(

)

trình: 2 x 2 − 4 x − 5 + 3 ( x + 4 ) = 5 ( x 2 − 4 x − 5)( x + 4) . ðến ñây bài toán ñược giải quyết .

Dạng 5: ðặt nhiều ẩn phụ ñưa về tích
Xuất phát từ một số hệ “ñại số “ ñẹp chúng ta có thể tạo ra ñược những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng
ta lại ñặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ ñể ñưa về hệ
Xuất phát từ ñẳng thức ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b )( b + c )( c + a ) , Ta có
3

Cách học tốt môn Toán là phải làm


Baøi taäp

nhiều , bên cạnh ñó
( hehe...☺
Trang6/19-LTðH-2010

)


LUYN THI I HC -CHNG VI: PHNG TRèNH CHA CN

Nm hc 2010- 2011

a 3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) ( a + b )( a + c )( b + c ) = 0
3

T nhn xột ny ta cú th to ra nhng phng trỡnh vụ t cú cha cn bc ba .

7 x + 1 3 x2 x 8 + 3 x2 8x + 1 = 2
3
3x + 1 + 3 5 x + 3 2 x 9 3 4 x 3 = 0
Bi 1. Gii phng trỡnh : x = 2 x . 3 x + 3 x . 5 x + 5 x . 2 x
u = 2 x
2 u 2 = uv + vw + wu
( u + v )( u + w ) = 2



Gii : v = 3 x , ta cú : 3 v 2 = uv + vw + wu ( u + v )( v + w ) = 3 , gii h ta ủc:
5 w2 = uv + vw + wu



( v + w )( u + w ) = 5
w = 5 x
30

239
u=
x=
60
120
3

Bi 2. Gii phng trỡnh sau : 2 x 2 1 + x 2 3x 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 x + 2

a =

b =
Gii . Ta ủt :
c =

d =

2x2 1
x2 3x 2
2

2x + 2x + 3

a + b = c + d

, khi ủú ta cú :

2
2
2

2
a b = c d

x = 2

x2 x + 2

Bi 3. Gii cỏc phng trỡnh sau

4 x2 + 5x + 1 2 x2 x + 1 = 9 x 3

1)

x + 4 x (1 x ) + 4 (1 x ) = 1 x + 4 x3 + 4 x 2 (1 x )
3

3. PHệễNG PHAP ẹệA VE PHệễNG TRèNH TCH.
TCH

S dng ủng thc

u + v = 1 + uv ( u 1)( v 1) = 0
au + bv = ab + vu ( u b )( v a ) = 0
ax + b cx + d =
2

(a - c) x + (b - d )
m

2

A = B ( A B)( A + B ) = 0
a3b3 (ab)(a2+ab+b2)=0 a=b
Gii: pt

(

3

)(

x +1 1

x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x 2 + 3x + 2
x = 0
x + 2 1 = 0
x = 1

3

Bi 1. Gii phng trỡnh :
3

Bi 2. Gii phng trỡnh : 3 x + 1 +
Gii:
+ x = 0 , khụng phi l nghim

)

3

x2 = 3 x + 3 x2 + x

Cỏch hc tt mụn Toỏn l phi lm


Baứi taọp

nhiu , bờn cnh ủú
( hehe...
Trang7/19-LTH-2010

)