Bài giảng toán cao cấp 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
———————

———————

BÀI GIẢNG
TOÁN CAO CẤP 2

Trần Văn Bằng

Hà Nội-05-10-2013


Mục lục

1 Số thực và dãy số thực

9

1.1. Trường số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1. Các tiên đề của số thực . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.2. Các ký hiệu và thuật ngữ . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.3. Giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.4. Tập số thực mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2. Dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.2. Các tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . .

16

1.2.3. Các phép toán trên các dãy hội tụ . . . . . . . . .

18

1.2.4. Tiến qua giới hạn trong bất đẳng thức . . . . . .

19

1.2.5. Các nguyên lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1


2

MỤC LỤC

1.2.6. Sự hội tụ của dãy đơn điệu . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.7. Giới hạn riêng, giới hạn trên và giới hạn dưới . .

24

1.2.8. Giới hạn vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.9. Bài tập

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Hàm số một biến số thực

31

2.1. Định nghĩa hàm số một biến số thực . . . . . . . . . . .

31

2.2. Đồ thị của hàm một biến số thực . . . . . . . . . . . . .

32

2.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đơn
điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4. Hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5. Hàm số ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.6. Các hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.7. Hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3 Giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến số

41

3.1. Định nghĩa giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2. Các tính chất của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.3. Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47


MỤC LỤC

3

3.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.4.1.

Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.4.2.

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.4.3. So sánh các vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.4.4. Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định

50

3.5. Sự liên tục của hàm một biến số . . . . . . . . . . . . . .

50

3.5.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.5.2. Hàm số liên tục một phía . . . . . . . . . . . . .

51

3.5.3. Các loại điểm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . .

52

3.5.4. Hàm số liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.5.5. Các phép toán trên các hàm liên tục. Hàm số hợp
của hai hàm số liên tục. . . . . . . . . . . . . . .

55

3.6. Các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn . . . .

56

3.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4 Đạo hàm và vi phân hàm một biến

57

4.1. Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.2. Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

4.3. Đạo hàm một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61


4

MỤC LỤC

4.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Các định lý giá trị trung bình

62

65

5.1. Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . .

65

5.2. Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

5.3. Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

5.4. Khảo sát hàm số y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.5. Hệ tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

5.6. Khảo sát đường cong cho bởi phương trình tham số . . .

79

5.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

6 Nguyên hàm và tích phân bất định

87

6.1. Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . .

87

6.1.1. Một số khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . .

87

6.1.2. Tính chất của tích phân bất định . . . . . . . . .

88

6.1.3. Bảng nguyên hàm cơ bản

. . . . . . . . . . . . .

90

6.2. Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . .

91

6.2.1. Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . .

91

6.2.2. Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . .

93


MỤC LỤC

5

6.3. Tích phân một số lớp hàm đặc biệt . . . . . . . . . . . .

94

6.3.1. Tích phân các hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . .

94

6.3.2. Tích phân các hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . .

97

6.3.3. Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . 102

7 Tích phân xác định

105

7.1. Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2. Các điều kiện khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2.1.

Điều kiện cần

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.2.2. Tổng Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2.3. Các tính chất của tổng Darboux. . . . . . . . . . 108
7.2.4.

Điều kiện cần và đủ của tính khả tích . . . . . . 109

7.3. Tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . 111
7.4. Các lớp hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.5. Mối liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định . . . 123

7.5.1.

Hàm theo cận trên . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.5.2. Công thức Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . 125
7.6. Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . 126


6

MỤC LỤC

7.6.1. Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . 126
7.6.2. Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . 129
7.7. Ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . 130
7.7.1. Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . 130
7.7.2. Tính độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.7.3.

Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . 134

7.7.4. Diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . 136
7.7.5. Một vài ứng dụng vật lý . . . . . . . . . . . . . . 138
7.8. Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.8.1. Tích phân suy rộng loại 1 (cận vô tận) . . . . . . 140
7.8.2. Tích phân suy rộng loại 1 của hàm số không âm . 145
7.8.3. Định lý Dirichlet và định lý Abel . . . . . . . . . 148
7.8.4. Tích phân hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . 152
7.8.5. Tích phân suy rộng loại 2 (tích phân của hàm
không bị chặn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8 Chuỗi số

161

8.1. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.1.1. Khái niệm chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . 161


MỤC LỤC

7

8.1.2. Một vài tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . . 165
8.1.3. Phần dư của một chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . 167
8.2. Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.2.1. Các dấu hiệu so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.3. Sự hội tụ của chuỗi với các số hạng có dấu thay đổi . . . 175
8.3.1. Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.3.2. Các định lý Dirichlet và Abel . . . . . . . . . . . 176
8.3.3. Chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ . . . . . . . 177
8.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.4.1. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.4.2. Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182


8

MỤC LỤC

Chương 1
Số thực và dãy số thực

1.1.

Trường số thực

Trong học phần này chúng ta nghiên cứu về hàm số một biến số (biến
số thực, hàm giá trị thực) nên nhất thiết phải hiểu về trường số thực.
Thế nhưng số thực là gì? Đây là một câu hỏi khó. Việc xây dựng số thực
là một vấn đề cơ bản của toán học. Ngày nay, số thực thường được xây
dựng theo một trong các phương pháp sau:

1. Phương pháp nhát cắt Dedekind (xem [4] và [6]);

2. Phương pháp dãy Cauchy (xem [8]);

3. Phương pháp tiên đề (xem [12]).
9


10

Bài giảng Toán cao cấp 2

Trong giáo trình này ta sử dụng phương pháp tiên đề để xây dựng
trường số thực.

1.1.1.

Các tiên đề của số thực

Ký hiệu:
N := {0, 1, 2, ...} là tập các số tự nhiên,
Z := {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} là tập các số nguyên,
Q := { m
n | m, n ∈ Z, n = 0, (m, n) = 1} là tập các số hữu tỷ.
Định nghĩa 1.1. Trường số thực là một tập hợp R các phần tử x, y, z, ...
nào đó với hai phép toán cộng, nhân và quan hệ thứ tự thỏa mãn các
tiên đề dưới đây:
(i) Phép tính cộng + : R × R → R, (x, y) → x + y có các tích chất:
(R, +) là nhóm giao hoán, tức là,
· x + y = y + x với mọi x, y ∈ R;
· x + (y + z) = (x + y) + z với mọi x, y, z ∈ R;
· tồn tại phần tử 0 ∈ R sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ R;
· với mọi x ∈ R tồn tại − x ∈ R sao cho x + (−x) = 0 (−x được gọi
là phần tử đối của x);
và phép tính nhân . : R × R → R, (x, y) → x.y = xy có các tính chất:


Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2

11

(R, .) là nhóm giao hoán, tức là,
· xy = yx với mọi x, y ∈ R\{0};
· x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z ∈ R\{0};
· tồn tại phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x với mọi x ∈ R\{0};
· với mọi x ∈ R\{0} tồn tại x−1 ∈ R\{0} sao cho xx−1 = 1 (x−1
được gọi là phần tử nghịch đảo của x);

Giữa hai phép tính này có mối liên hệ sau
(y + z)x = xy + xz, ∀x, y, z ∈ R (tính chất phân phối).
(ii) Quan hệ thứ tự ≤ sao cho đối với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta
luôn có x ≤ y hoặc y ≤ x và
· x ≤ x ∀x ∈ R và nếu x ≤ y, y ≤ x thì x = y (tính phản xứng);
· nếu x ≤ y, y ≤ z thì x ≤ z (tính bắc cầu);
· x ≤ y khi và chỉ khi x + z ≤ y + z ∀z ∈ R;
· nếu 0 ≤ x, 0 ≤ y thì 0 ≤ xy.
Ta viết x < y (hoặc y > x) nếu x ≤ y và x = y.
(iii) Tiên đề về cận trên. Mọi tập A ⊂ R, A = ∅ bị chặn trên có
cận trên đúng.
Để hiểu Tiên đề về cận trên, ta cần các khái niệm quan trọng sau:


12

Bài giảng Toán cao cấp 2

Định nghĩa 1.2. Ta nói rằng tập A ⊂ R bị chặn trên nếu tồn tại z ∈ R
sao cho x ≤ z với mọi x ∈ A; phần tử z được gọi là cận trên của tập A.
Giả sử A bị chặn trên, z được gọi là cận trên đúng của A nếu:
· z là cận trên của A, tức là, x ≤ z ∀x ∈ A;
· z là cận trên bé nhất của A, tức là, nếu y < z thì y không phải là
cận trên của A.

Cận trên đúng của tập A được ký hiệu là sup A.
Tương tự ta có thể định nghĩa tập bị chặn dưới, cận dưới và cận dưới
đúng như sau

Định nghĩa 1.3. Ta nói rằng tập A ⊂ R bị chặn dưới nếu tồn tại z ∈ R

sao cho z ≤ x với mọi x ∈ A; phần tử z được gọi là cận dưới của tập A.
Giả sử A bị chặn dưới, z được gọi là cận dưới đúng của A nếu:
· z là cận dưới của A, tức là, z ≤ x ∀x ∈ A;
· z là cận dưới lớn nhất của A, tức là, nếu z < y thì y không phải là
cận dưới của A.

Cận dưới đúng của tập A được ký hiệu là inf A.


Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2

13

Định lý 1.1. (i) Nếu A ⊂ R bị chặn trên thì z = sup A khi và chỉ khi


x ≤ z ∀x ∈ A

∀ε > 0 ∃x ∈ A : z − ε < x .
ε
ε
(ii) Nếu A ⊂ R bị chặn dưới thì z = inf A khi và chỉ khi


z ≤ x ∀x ∈ A

∀ε > 0 ∃x ∈ A : x < z + ε.
ε
ε
(iii) Giữa cận trên đúng và cận dưới đúng có mối liên hệ sau

inf A = − sup(−A), sup A = − inf(−A).
Định lý 1.2. (Tính trù mật của tập Q trong R) Giữa hai số thực a < b
bất kỳ luôn luôn có ít nhất một số hữu tỷ r sao cho a < r < b.

1.1.2.

Các ký hiệu và thuật ngữ

Trong giáo trình này chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau đây:
Đoạn, đoạn đóng hay khoảng đóng [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b};
Khoảng hay khoảng mở (a, b) := {x ∈ R | a < x < b};
Khoảng đóng trái [a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b};
Khoảng đóng phải (a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}.
Một tập thuộc bốn loại trên được gọi là một khoảng.


14

Bài giảng Toán cao cấp 2

1.1.3.

Giá trị tuyệt đối

Với x ∈ R, ta gọi giá trị tuyệt đối của x là giá trị


x
nếu x ≥ 0
|x| =


−x nếu x ≤ 0.
Giá trị tuyệt đối có các tính chất cơ bản sau:
i> |x| ≥, ∀x; |x| = 0 khi và chỉ khi x = 0;
ii> |xy| = |x||y; |
iii> |x + y| ≤ |x| + |y|.
Về phương diện hình học: |x| là khoảng cách từ điểm x tới gốc 0; |x−y|
là khoảng cách giữa x và y.

1.1.4.

Tập số thực mở rộng

¯ bao gồm R và hai ký hiệu −∞, +∞ với quy
Tập số thực mở rộng R
ước:
(i) Với mọi x ∈ R ta có
−∞ < x < +∞
và
x + (+∞) = +∞; x − ∞ = −∞;

x
x
=
= 0.
−∞ +∞


Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2

15

(ii) Với mọi x > 0 ta đặt
x(+∞) = +∞; x(−∞) = −∞.

(iii) Với mọi x < 0 ta đặt
x(+∞) = −∞; x(−∞) = +∞.
Định nghĩa 1.4. Nếu tập A không bị chặn trên thì đặt sup A = +∞.
Nếu tập A không bị chặn dưới thì đặt inf A = −∞.
Bài tập
Bài 1.1 Thế nào là tập không bị chặn trên, không bị chặn dưới, không
bị chặn?
Bài 1.2 Ta nói rằng M là phần tử lớn nhất của tập A nếu M ∈ A
và x ≤ M ∀x ∈ A (trong trường hợp đó ta viết M = max A). Tương
tự m là phần tử bé nhất của tập A nếu m ∈ A và m ≤ x ∀x ∈ A
(trong trường hợp đó ta viết m = min A). Chứng minh rằng: nếu A có
phần tử lớn nhất thì sup A = max A; nếu A có phần tử bé nhất thì
inf A = min A.
Bài 1.3 Chứng tỏ rằng: cận trên đúng, cận dưới đúng nếu tồn tại thì
duy nhất.


16

Bài giảng Toán cao cấp 2

1.2.

Dãy số thực

1.2.1.

Định nghĩa và ví dụ

Cho tập hợp các số nguyên dương N∗ := {1, 2, 3, ...}. Ta gọi một ánh
xạ u : N∗ → R là một dãy số thực. Nếu đặt un := u(n) thì ta có thể biểu
diễn dãy số thực đó dưới dạng u1 , u2 , ..., un , .... Ta kí hiệu dãy số đó là
(un ), hoặc {un }. Phần tử un được gọi là số hạng tổng quát của dãy.
Định nghĩa 1.5. Cho dãy số thực (un ). Số a ∈ R được gọi là giới hạn
của dãy (un ) nếu với mọi ε > 0 cho trước bao giờ cũng tồn tại một
số N = N (ε) (phụ thuộc vào ε) sao cho với mọi n ≥ N ta đều có
|un − a| < ε.
Khi đó ta nói dãy (un ) hội tụ đến a hay tiến đến giới hạn a và ta viết
un → a(n → ∞) hay lim un = a.
n→∞

Một dãy không hội tụ thì được gọi là một dãy phân kỳ.
Ví dụ 1.1. (i) Dãy số

1
n

hội tụ đến 0.

(ii) Dãy số (q n ) hội tụ đến 0, trong đó q ∈ R sao cho |q| < 1.

1.2.2.

Các tính chất của dãy hội tụ

Định lý 1.3. Giới hạn của một dãy số (nếu có) là duy nhất.


Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2

17

Chứng minh. Giả sử dãy số (un ) có hai giới hạn a1 , a2 khác nhau khi n
tiến tới vô cùng. Chọn ε0 =

|a1 −a2 |
2

> 0. Do giả thiết lim un = a1 , nên
n→∞

với ε0 > 0 tồn tại N1 sao cho |un − a1 | < ε0 với mọi n ≥ N1 . Tương tự,
do lim un = a2 tồn tại N2 sao cho |un − a2 | < ε0 với mọi n ≥ N2 . Lấy
n→∞

n > max{N1 , N2 }, ta có:
ε0 = |a1 − a2 | ≤ |a1 − un | + |un − a2 | <

ε0 ε0
+
= ε0 (vô lý).
2
2

Điều đó chứng tỏ giới hạn của một dãy số (nếu có) là duy nhất.

Định nghĩa 1.6. Cho dãy số thực (un ) và dãy số nguyên dương (nk )
sao cho n1 < n2 < ... < nk < ... Khi đó dãy (unk ) được gọi là một dãy
con của dãy (un ).
Chú ý rằng với dãy con (unk ) của dãy (un ) ta luôn có nk ≥ k ∀k ∈ N∗ .
Định lý 1.4. Mọi dãy con của dãy hội tụ là dãy hội tụ và có cùng giới
hạn với dãy ban đầu.

Chứng minh. Xem [4, p. 39].
Định lý 1.5. Nếu dãy (un ) hội tụ và lim un = a thì (|un |) hội tụ và
n→∞

lim |un | = |a|.

n→∞

Chứng minh. Xem [4, p. 39].


18

Bài giảng Toán cao cấp 2

Dãy (un ) được gọi là bị chặn nếu tập hợp {un | n ∈ N∗ } là tập
hợp bị chặn, điều này xảy ra khi và chỉ khi tồn tại M > 0 sao cho
|un | ≤ M ∀n ∈ N∗ .
Định lý 1.6. Mọi dãy hội tụ là dãy bị chặn.
Chứng minh. Giả sử dãy (un ) hội tụ và có giới hạn a khi n tiến tới vô
cùng. Theo Định lý 1.5 ta có lim |un | = |a|. Cho ε0 = 1, theo định nghĩa
n→∞

tồn tại N sao cho với mọi n ≥ N ta có |un | − |a| < 1, từ đó suy ra
|un | < |a| + 1 ∀n ≥ N .
Đặt M = max{|u1 |, |u2 |, ..., |uN |, |a| + 1}. Ta có
|un | ≤ M ∀n ∈ N∗ .
Vậy dãy (un ) là dãy bị chặn.

1.2.3.

Các phép toán trên các dãy hội tụ

Định lý 1.7. Giả sử các dãy (un ) và (vn ) hội tụ. Khi đó:
(a) Dãy (un + vn ) cũng hội tụ và lim (un + vn ) = lim un + lim vn .
n→∞

n→∞

n→∞

(b) Dãy (un .vn ) cũng hội tụ và lim (un .vn ) = lim un . lim vn .
n→∞

(c) Nếu lim vn = 0 thì dãy
n→∞

Chứng minh. Xem [4, p. 40].

un
vn

n→∞

n→∞

lim un
un
n→∞
cũng hội tụ và lim
=
.
n→∞ vn
lim vn
n→∞


Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2

19

Hệ quả 1.1. Nếu lim un = a và α ∈ R thì lim αun = αa.
n→∞

1.2.4.

n→∞

Tiến qua giới hạn trong bất đẳng thức

Định lý 1.8. Cho hai dãy hội tụ (un ) và (vn ). Giả sử tồn tại N sao cho
un ≥ vn với mọi n > N . Khi đó lim un ≥ lim vn .
n→∞

n→∞

Chứng minh. Xem [4, p. 42].
Nhận xét 1.1. 1. Từ bất đẳng thức un > vn với mọi n ∈ N∗ , nói chung
không thể suy ra lim un > lim vn .
n→∞

n→∞

2. Nếu lim un = a < r thì tồn tại N sao cho với mọi n > N ta có
n→∞

un < r.
3. Nếu lim un = b > r thì tồn tại N sao cho với mọi n > N ta có
n→∞

un > r.
Định lý 1.9. Giả sử các dãy (un ), (vn ) và (wn ) thỏa mãn các bất đẳng
thức un ≤ vn ≤ wn , đồng thời các dãy (un ) và (wn ) cùng hội tụ đến a.
Khi đó dãy (vn ) cũng hội tụ và có cùng giới hạn và lim vn = a.
n→∞

Chứng minh. Xem [4, p. 43].

1.2.5.

Các nguyên lý cơ bản

Định lý 1.10. (Nguyên lý Cantor) Cho dãy các đoạn [an , bn ](n = 1, 2, ...)

20

Bài giảng Toán cao cấp 2

lồng nhau và thắt lại, tức là [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ... và
∞

lim (bn − an ) = 0. Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử α ∈

n→∞

[an , bn ].
n=1

Chứng minh. Đặt A := {a1 , a2 , ...}. Khi đó tập A bị chặn trên bởi bk bất
kỳ. Do đó tồn tại sup A = α. Theo định nghĩa của cận trên đúng ta có
an ≤ α với mọi n ∈ N∗ . Hơn nữa, do A bị chặn trên bởi bk bất kỳ và α
là cận trên đúng của A nên α ≤ bk với mọi k ∈ N∗ . Vậy α ∈ [an , bn ] với
mọi n ∈ N∗ .
Phần tử α có tính chất đó là duy nhất vì nếu tồn tại α = α sao cho
α ∈ [an , bn ] với mọi n ∈ N∗ , thì ta có 0 < ε = |α − α | ≤ (bn − an ) với
mọi n ∈ N∗ , điều này trái với giả thiết lim (bn − an ) = 0.
n→∞

Định lý 1.11. (Nguyên lý Bolzano - Weierstrass) Mọi dãy vô hạn bị
chặn đều chứa một dãy con hội tụ.
Chứng minh. Giả sử dãy (un ) là một dãy bị chặn. Khi đó tồn tại hai số
a, b sao cho a ≤ un ≤ b với mọi n ∈ N∗ . Ta chia [a, b] thành hai đoạn

bằng nhau. Khi đó ít nhất một trong hai đoạn đó chứa vô số số hạng của
b−a
dãy. Gọi [a1 , b1 ] là một đoạn con có tính chất đó. Ta có b1 − a1 =
.
2
Ta lại chia [a1 , b1 ] thành hai đoạn bằng nhau và gọi [a2 , b2 ] là đoạn con
b−a
chứa vô số số hạng của dãy. Ta có b2 − a2 = 2 .
2
Cứ tiếp tục như thế ta xây dựng được một dãy đoạn lồng nhau
[a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ... ⊃ [ak , bk ] ⊃ ... với bk − ak =

b−a
→ 0 (k → ∞),
2k


Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2

21

mỗi đoạn này chứa vô số số hạng của dãy (un ). Theo nguyên lý Cantor
∞

tồn tại c ∈

[ak , bk ]. Ta chứng minh dãy (un ) chứa một dãy con hội tụ
k=1

đến c. Chọn un1 ∈ [a1 , b1 ] sau đó chọn un2 ∈ [a2 , b2 ] với n2 > n1 , chọn

được vì [a2 , b2 ] chứa vô số số hạng của dãy (un ). Cứ tiếp tục như thế
ta thu được một dãy con (unk ) của dãy (un ) sao cho unk ∈ [ak , bk ]. VÌ
c ∈ [ak , bk ] nên
|unk − c| ≤ bk − ak =

b−a
.
2k

Vậy lim unk = c.
n→∞

Định nghĩa 1.7. Dãy số thực (un ) được gọi là dãy cơ bản hay dãy
Cauchy nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại N sao cho với mọi n, m > N
ta có |un − um | < ε.
Từ định nghĩa dãy cơ bản ta suy ra:
(a) Mọi dãy cơ bản đều bị chặn
(b) Nếu dãy cơ bản (un ) có một dãy con (unk ) hội tụ đến giới hạn a
thì dãy (un ) cũng hội tụ đến a.
Định lý 1.12. (Nguyên lý Cauchy) Một dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là
một dãy cơ bản, tức là khi và chỉ khi
∀ε > 0 ∃N với mọi n, m > N ta có |un − um | < ε.
Chứng minh. (i) Điều kiện cần. Giả sử dãy (un ) hội tụ đến giới hạn a.


22

Bài giảng Toán cao cấp 2

Khi đó

∀ε > 0 ∃N ∀n, m > N |un − um | < ε.
Vì thế với mọi n, m ≥ N ta có
|un − um | ≤ |un − a| + |um − a| <

ε ε
+ = ε.
2 2

(ii) Điều kiện đủ. Ngược lại giả sử dãy (un ) là dãy cơ bản. Khi đó theo
trên dãy (un ) bị chặn và do đó theo nguyên lý Bolzano - Weierstrass dãy
(un ) có một dãy con hội tụ đến một giới hạn a nào đó. Do vậy dãy (un )
cũng hội tụ đến a.
Ví dụ 1.2. Dùng nguyên lý Cauchy xét sự hội tụ của dãy số (un ) với
1
1
1
un =
+
+ ... +
.
1.2 2.3
n.(n + 1)
Ví dụ 1.3. Cho dãy số (un ) với un = 1 +

1
1
+ ... + . Chứng minh rằng
2
n

dãy này phân kỳ.

1.2.6.

Sự hội tụ của dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.8. (i) Dãy (un ) được gọi là dãy tăng (tương ứng dãy tăng
thực sự) nếu un ≤ un+1 với mọi n (tương ứng un < un+1 với mọi n).
(i) Dãy (un ) được gọi là dãy giảm (tương ứng dãy giảm thực sự) nếu
un ≥ un+1 với mọi n (tương ứng un > un+1 với mọi n).


Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2

23

Định lý 1.13. (a) Nếu dãy (un ) tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và
lim un = sup un .

n→∞

n

(b) Nếu dãy (un ) giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và lim un =
n→∞

inf un .
n

Chứng minh. (a) Do dãy (un ) bị chặn trên nên nó có cận trên đúng. Đặt

a := sup un < +∞. Ta có un ≤ a ∀n ∈ N∗ .
n

Với ε > 0 cho trước tùy ý, tồn tại uN sao cho a − ε < uN ≤ a.
Mặt khác vì (un ) là dãy tăng nên với mọi n > N thì uN < un , do đó
a − ε < un ≤ a ∀n ≥ N .
Vậy lim un = sup un = a.
n→∞

n

(b) Nếu dãy (un ) giảm và bị chặn dưới thì dãy (−un ) tăng và bị chặn
trên. Theo phần (a) lim (−un ) = − sup un = − inf un .
n→∞

n

n→∞

Từ đó lim un = inf un .
n→∞

n

Ví dụ 1.4. Xét dãy số sau

un = 1 +

1
1

1
+ + ... + .
1! 2!
n!

Ta thấy dãy này là một dãy tăng và bị chặn trên bởi 3. Thật vậy, hiển
nhiên dãy (un ) tăng và
un < 1 + 1 +

1
1
1
+ 2 + ... + n−1 < 3.
2 2
2


24

Bài giảng Toán cao cấp 2

Do đó, dãy này có giới hạn hữu hạn. Ta ký hiệu
e = lim

n→∞

1+

1
1

1
+ + ... +
.
1! 2!
n!

Rõ ràng 2 < e ≤ 3. Có thể chứng minh e là số vô tỷ và e xấp xỉ bằng
2.7183.
Trong nhiều tài liệu kết quả sau đây thường được dùng làm định
nghĩa của số e.
Định lý 1.14. Ta có
e = lim

n→∞

1.2.7.

1
1+
n

n

.

Giới hạn riêng, giới hạn trên và giới hạn dưới

Định nghĩa 1.9. Cho dãy số (un ). Số a ∈ R được gọi là giới hạn riêng
của dãy (un ) nếu có một dãy con (unk ) của dãy này hội tụ đến a.
Định nghĩa 1.10. Cho (xn ) là dãy số bị chặn. Với mỗi n ta đặt

un = sup{xn+1 , xn+2 , ...} = sup xn+k
k

vn = inf{xn+1 , xn+2 , ...} = inf xn+k
k

(un ) là một dãy giảm và bị chặn dưới; (vn ) là một dãy tăng và bị chặn
trên. Vì thế tồn tại các giới hạn hữu hạn lim un = inf un và lim vn =
n→∞

n

n→∞

sup vn . Các giới hạn này lần lượt được gọi là giới hạn trên và giới hạn
n

dưới của dãy (xn ), ký hiệu là lim xn và lim xn .
n→∞

n→∞