Chuyen de chia da thuc

Chia ®a thøc
Dạng1: Thực hiện phÐp chia
VÝ dơ1: Chia ®a thøc f(x) = 3x4 – 8x3 – 10x2 + 8x – 5 cho ®a thøc g(x) = 3x2 - 2x
+1
4
3
2
+ 8x – 5
3x2 - 2x + 1
- 3x4 – 8x3 – 10x
3x – 2x + x2
x2 – 2x - 15
3
2
6x – 11x + 8x – 5
-–
- 6x3 + 4x2 – 2x
- 15 x2 + 10x – 5
- 15 x2 + 10x – 5
0
4
3
2
2
VËy
3x – 8x – 10x + 8x – 5 = (3x - 2x + 1)( x2 – 2x – 15)
VÝ dơ2: Chia ®a thøc f(x) = x4 – 6x3 +16x2 - 22x + 15 cho ®a thøc g(x) = x2 - 2x +
3
4
3
+16x2 - 22x + 15

- x4 – 6x
x - 4x3 + 6x2
2x3 - 10x2 - 22x + 15
---2x
3
+ 4x2 - 6x
- 14x2 - 16x + 15
- 14 x2+28x - 42
- 44x + 57

x2 - 2x + 3
x2 – 2x - 14

VËy x4 – 6x3 +16x2 - 22x + 15 = (x2 - 2x + 3)( x2 – 2x - 14) + ( - 44x + 57)
BT: 1. (3x4 – 8x3 – 10x2 + 8x + 7): (x + 1)
2. (x4 – 6x3 +10x2 - 22x + 17 ) : ( x -1)
3. (- 3x3 + 5x2 – 9x + 15) : ( -3x + 5)
D¹ng 2: Xác định hệ số của biến
Ví dụ1: Xác định k ®Ó ®a thøc f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hÕt cho g(x) = x2– x
–2
Gi¶i
4
3
2
+x+k
- x4 – 9x3 + 21x
2
x - x - 2x
- 8x3 + 23x2 + x + k
- -8x3 + 8x2 + 16x

15x2 - 15x + k
15x2 - 15x - 30
k - 30

x2 - x - 2
x2 – 8x + 15

§Ĩ f(x) chia hÕt cho g(x) th× k + 30 = 0 suy ra k = - 30
Bài tập vận dụng: Tìm k ®Ĩ
1. f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hÕt cho g(x) = x – 2
2. f(x) = x4 – 10x3 +27x2 + 8x + k chia hÕt cho g(x) = x + 2
3. f(x) = x4 – 19x3 + 25x2 - 6x + k chia hÕt cho g(x) = x – 3


4. f(x) = x4 – 8x3 + 24x2 + 7x + k chia hÕt cho g(x) = x + 4
5. f(x) = 3x4 – 7x3 + 11x2 + x -k chia hÕt cho g(x) = x – 4
6. f(x) = 4x4 – 13x3 + 23x2 + 18x - k chia hÕt cho g(x) = x + 4
VÝ dơ 2: X¸c định các hệ số a, b của f(x) = x4 – 3x3 + 3x2 + ax + b ®Ĩ f(x) chia hÕt cho
g(x) = x2 - 3x + 4
Gi¶i
Thùc hiƯn phÐp chia ta cã
x4 – 3x3 + 3x2 + ax + b x2 - 3x + 4
x4 – 3x3 + 4x2
2
- x2 + ax + b x - 1
- x2+ 3x – 4
(a – 3)x + b + 4
a − 3 = 0
a = 3
⇔

§Ĩ f(x) chia hÕt cho g(x) thì r = 0 với mọi giá trị của x . VËy ta cã 
b + 4 = 0
 b = 4
Bài tập:
1 . Xác định các hệ số a, b sao cho ®a thøc f(x) = 6x 4 – 7x3 + ax2 + 3x + 2 chia
hÕt cho g(x) = x2 x + b
2. Xác định các hệ sè a, b sao cho ®a thøc f(x) = 2x 4 – 6x3 + ax2 - 7x + 3 chia hết
cho g(x) = x2 x + b
Dạng 3: Tìm giá trị nguyên của ẩn .
Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để đa thức f(x) = x 3 - 3x2 - 3x - 1 chia hÕt cho
g(x) = x2 + x + 1
Gi¶i:
Thùc hiƯn phÐp chia ta cã:
x3 - 3x2 - 3x - 1 x2 + x + 1
x3 + x 2 + x
- 4x2 - 4x – 1
x-4
2
- 4x - 4x – 4
3
2
§Ĩ f(x)  g(x) th× 3  x + x + 1
x 2 + x + 1 = -1
 2
x + x + 1 = -3
VËy  2
x + x + 1 = 1
 2
x + x + 1 = 3
1

3
Do x2 +x + 1 = (x+ ) 2 + > 0 nên loại x2 + x + 1 = -1 vµ x2 + x + 1 = -3
2
4
2
Suy ra x + x + 1 = 1
 x = −1; x = 0
⇔
 2
 x = 1; x = −2

x + x + 1 = 3
Vậy có 4 giá trị của x là 0 ; -1 ; 1 ; -2 th× f(x) chia hÕt cho g(x)