giải hệ phương trình bằng nhiều cách

BÍ QUYẾT ÔN LUYỆN THI THPTQG THEO CHỦ ĐỀ MÔN TOÁN
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC PT – HỆ - BPT VÔ TỶ GIẢI BẰNG NHIỀU CÁCH
 2 x 2  6 xy  17 y 2  17 x 2  6 xy  2 y 2  5  x  y  (1)

 2
x  1 x  2  2 y   6 y  11 x  2  x 2 (2)







Đề KSCL học kỳ II lớp 12 tỉnh Nam Định
 Phân tích hướng giải
ĐKXĐ: x  2
Từ (1) ta có thêm điều kiện sau x  y  0
Dùng chức năng SOLVE với Y=100 ta tìm được X=100=Y. Như vậy, nhân tử chung
của (1) là x – y. Đến đây để tìm ra nhân tử chung từ (1) ta dùng phương pháp đánh
giá để tìm trường hợp dấu “=” xảy ra mà cụ thể là dùng BĐT dấu giá trị tuyệt đối
 2 x 2  6 xy  17 y 2 

Ta có 
 17 x 2  6 xy  2 y 2 


 x  4y  x  y

2

 x  4y

4x  y    x  y 

2

 4x  y

2

2

Cộng vế với vế ta được 2 x 2  6 xy  17 y 2  17 x 2  6 xy  2 y 2  x  4 y  4 x  y  5  x  y 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  0
Thay vào (2) ta được  x 2  1  x  2  2 x    6 x  11 x  2  x 2 (ĐK: x  0 )
Ta viết lại phương trình thành  x2  6 x  12 x  2  2 x3  x2  2 x (3)
Để giải (3) ta có nhiều cách giải như: nâng lên lũy thừa, liên hợp, đặt ẩn phụ, …
Cách 1: Phương pháp nâng lên lũy thừa
Có hai hướng để xử lý bài toán khi dùng phương pháp nâng lên lũy thừa đó là: bình
phương ta được phương trình tương đương cùng với điều kiện kéo theo; bình phương
được phương trình hệ quả nên khi tìm được nghiệm ta phải thử lại. Tùy các bạn làm
theo hướng một hay hai, cá nhân tôi thì chọn hướng hai:
Bình phương hai vế (3) ta được  x 2  6 x  12   x  2    2 x 3  x  2 x 

2

Ta sẽ dùng chức năng CALC của MTCT để giải quyết hậu quả sau khi bình phương
Thao tác bấm máy như sau
1

/>

Tham gia các khóa học ôn luyện thi THPTQG xin liên hệ với: Thầy Nguyễn Mạnh Cường
SĐT: 0967453602 hoặc 0911060820 – Facebook: />
Nhập biểu thức  2 x 3  x 2  2 x    x 2  6 x  12   x  2  rồi ấn CALC 1000 ta thu được
2

2

kết quả là 4, 00299492 1018  4.10006  4x6 , sau đó bấm nút back để trở về biểu thức
ban đầu rồi trừ đi 4x 6 và lại bấm CALC 1000 ta thu được kết quả là  3.1015  3x5 rồi
lại bấm nút back và trừ đi 3x 5 , làm như vậy cho đến khi bằng không và bấm CALC
với một số bất kỳ, ta được kết quả là 0. Như vậy, ta đã khai triển đúng và được kết
quả là

 2x

3

 x 2  2 x    x 2  6 x  12   x  2   4 x 6  3 x 5  5 x 4  80 x 3  260 x 2  432 x  288
2

2

Tiếp theo, ta dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm. Thao tác bấm máy như sau
Nhập biểu thức  4 x6  3x5  5x4  80 x3  260 x2  432 x  288 vào MTCT và ấn = để lưu
lại biểu thức, bấm SHIFT CALC và cho x  14 thì ra được kết quả là
x  1, 276171589 , các bạn nhớ là L – R = 0 thì x mới là nghiệm nhé. Bấm nút back

và chia nghiệm lẻ kia đi bằng cách gán nó vào A (không cần dùng STO nhé) bằng
cách chia cho (X – A) rồi ấn SHIFT CALC, máy hỏi giá trị A thì các bạn ấn Ans (tức

là ta đã thực hiện thao tác gán nghiệm lẻ vào biến A mà không cần dùng chức năng
STO) ta tìm được nghiệm nữa là x  3,526171589 , cũng tương tự như trên, ta gán nó
vào biến B rồi chia nó đi để xem phương trình còn nghiệm nữa không. Bây giờ máy
hiện Can’t solve tức là phương trình đã hết nghiệm rồi.
Bây giờ ta đi kiểm tra xem tổng và tích của hai nghiệm này có phải số hữu tỷ hay
9

 A  B  4
9
9
 A, B là nghiệm của PT x 2  x   0 hay ta viết lại
không thì ta được 
4
2
 A.B   9

2
2
thành 4 x  9 x  18  0 . Lại dùng CALC chia đa thức hay chính là phân tích đa thức
4 x 6  3x5  5 x 4  80 x3  260 x 2  432 x  288
rồi CALC 1000 ta thu
4 x 2  9 x  18
được kết quả  1012  x 4 , bấm nút back rồi trừ đi x 4 và ấn = ta được  3.109  3x3 , làm

thành nhân tử. Nhập

tương tự như trên cho đến khi CALC với số bất kỳ ta thu được kết quả là 0 thì phép
chia đa thức của ta đã đúng và được kết quả là
4 x 6  3x5  5 x 4  80 x3  260 x 2  432 x  288
 x 4  3x3  10 x 2  16 x  16 , hay ta viết lại thành

2
4 x  9 x  18

4 x6  3x5  5x4  80 x3  260 x2  432 x  288   4 x2  9 x  18 x4  3x3  10 x2  16 x  16  .Bây

giờ ta đi chứng minh phương trình bậc bốn vô nghiệm theo hướng dẫn sau
2


BÍ QUYẾT ÔN LUYỆN THI THPTQG THEO CHỦ ĐỀ MÔN TOÁN
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC PT – HỆ - BPT VÔ TỶ GIẢI BẰNG NHIỀU CÁCH
2

Ta tách f ( x)  x 4  3x3  10 x 2  16 x  16   x 2  x   x 2  16 x  16 , do x 2  16 x  16 có
4
2  4

3

9

9

2

3
nghiệm hay ta chưa biết dấu của nó nên ta có f ( x)   x 2  x  m    x 2   x   , ta
2



2
sẽ đi tìm  ,  ,  để tam thức bậc hai g ( x)   x   x    0, x  f ( x)  0, x .Giải

phương trình f '( x)  0 ta được nghiệm x  1 rồi thay vào biểu thức này để tìm m
2

3  1
3
1


m    x 2  x   . Nhập biểu thức f ( x)   x 2  x   và CALC với x = 0 ta tìm
2  2
2
2


63
được hệ số   , thay x = 0 vào biểu thức f’(x) ta tìm được hệ số   16 , bấm nút
4
63
21
back và trừ đi  16 x rồi CALC với x = 1 ta tìm được hệ số   . Như vậy, ta có
4
4
2

21 2
63
3

1
21
63
x  16 x 
 0, x rồi
biểu thức f ( x)   x 2  x    x 2  16 x  , dễ thấy
4
4
2
2
4
4


nhưng ta phải viết về dạng bình phương cộng với một số dương thì mới thuyết phục.
b

Nếu các bạn nhớ tam thức f ( x)  ax  bx  c  a  x     0, x  do _   0  còn
2a  4a

2

2

không nhớ thì ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol (chỉ có ở máy vinacal
570 ES PLUS II và casio fx-570ES PLUS) thì ta làm như sau: nhập hệ số vào máy
32

 X  Value _ Minimum   21
và ấn = ta thu được kết quả 

và được kết quả là
299
Y  Value _ Minimum 

84
2

21 2
63 21 
32  299
x  16 x    x   
 0, x 
4
4
4
21 
84

Như vậy, chỉ còn lại phương trình 4 x 2  9 x  18  0  x 
Thử lại ta thấy x 
x

9  3 41
8

9  3 41
thỏa mãn nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất là
8

9  3 41

9  3 41
y
(tm)
8
8

Cách 2: Phương pháp liên hợp
Đối với cách làm này thì ta phải biết nghiệm của phương trình và xét xem nghiệm
3

/>

Tham gia các khóa học ôn luyện thi THPTQG xin liên hệ với: Thầy Nguyễn Mạnh Cường
SĐT: 0967453602 hoặc 0911060820 – Facebook: />
đó là nghiệm bội mấy đã nên ta dùng TABLE để tìm nhanh khoảng nghiệm, rồi dùng
SOLVE để tìm nghiệm một cách chính xác và nhanh chóng bằng khoảng nghiệm
vừa tìm được, cuối cùng là dùng CALC để kiểm tra xem nghiệm đó là nghiệm bội
mấy (chỉ quan tâm đến nghiệm đơn, kép và bội ba)
Bằng các thao tác trên ta tìm được nghiệm x  3,526171589  A (đã gán vào biến A
trong quá trình dùng SOLVE để tìm nghiệm chính xác) và đây là nghiệm đơn. Bây
giờ, ta sẽ đi tìm lượng liên hợp cho căn thức x  2 (có dạng nhị thức bậc nhất ax+b).
Có hai cách để tìm lượng liên hợp cho nghiệm đơn vô tỷ đó là:
+ Dùng chức năng TABLE bằng cách coi a là ẩn thì b  A  2  a.A là hàm theo ẩn
a và ta gán vào máy như sau a  X  b(a)  F (X) ta sẽ đi tìm X   F ( X ) 
+ Tìm được dạng tường minh của nghiệm (thường thì nó là nghiệm của phương trình
bậc hai ax 2  bx  c  0 ) ta đi tìm a, b, c bằng cách chọn a bất kỳ (cho chạy từ 1,2,3…)
và coi b là ẩn, c  a. A2  b. A là hàm theo ẩn b, ta sẽ gán vào máy như sau
b  X  c(b)  F ( X ) ta sẽ đi tìm X   F ( X )  . Sau khi tìm được nghiệm vô tỷ
ở dạng x 

b 
thì thay vào biểu thức căn rồi tạo thành bình phương để khai căn,
2a

sau đó đưa số vừa được tạo về dạng a.

b 
b 
 b , lúc này ta chỉ việc thay x 
2a
2a

vào và được lượng liên hợp là ax  b
Đối với bài này thì cách 1 không khả quan cho lắm chính vì vậy ta sẽ làm theo cách
hai (cách này xử lý hầu hết được các bài). Bằng chỉ dẫn trên ta tìm được dạng tường
minh của nghiệm x  3,526171589  A là x 
của PT 4 x 2  9 x  18  0 . Ta thay nghiệm x 
hợp x  2 

Hay

9  3 41
15  3 41
2 

8
8

9  3 41
hay nghiệm lẻ này là nghiệm

8

9  3 41
vào căn
8

50  6 41 3  41 2  9  3 41  2

 
  x
16
4
3
8
 3

1
1  4 x 2  9 x  18 
3 x  2  2x   
 ta thấy biểu thức ở mẫu 3 x  2  2 x  0, x  0
3
3  3 x  2  2x 





nên ta nhân liên hợp thoải mái.
Phương trình (3) trở thành

x
4

2

x  2 để tìm lượng liên





 6 x  12  3 x  2  2 x  3  2 x 3  x  2 x   2 x  x 2  6 x  12 


BÍ QUYẾT ÔN LUYỆN THI THPTQG THEO CHỦ ĐỀ MÔN TOÁN
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC PT – HỆ - BPT VÔ TỶ GIẢI BẰNG NHIỀU CÁCH
 4 x 2  9 x  18 
3
2
  x 2  6 x  12   
  4 x  9 x  18 x
 3 x  2  2x 
 x 2  6 x  12

  4 x  9 x  18  
 x  0
 3 x  2  2x

2

Do ĐK x  0 nên phương trình (3) có nghiệm là x 

9  3 41
9  3 41
y
(tm)
8
8

Ta đi trình bày chính thức.
 Bài làm chính thức
ĐKXĐ: x  2
Từ (1) ta có thêm điều kiện sau x  y  0
 2 x 2  6 xy  17 y 2 

Ta có 
 17 x 2  6 xy  2 y 2 


 x  4y  x  y

2

 x  4y

4x  y    x  y 

2

 4x  y

2

2

Cộng vế với vế ta được 2 x 2  6 xy  17 y 2  17 x 2  6 xy  2 y 2  x  4 y  4 x  y  5  x  y 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  0
Thay vào (2) ta được  x 2  1  x  2  2 x    6 x  11 x  2  x 2 (ĐK: x  0 )
Ta viết lại phương trình thành  x2  6 x  12 x  2  2 x3  x2  2 x (3)
Cách 1: Phương pháp nâng lên lũy thừa
(3)   x 2  6 x  12   x  2    2 x 3  x  2 x 

2

 4 x 6  3x5  5 x 4  80 x3  260 x 2  432 x  288  0
  4 x 2  9 x  18  x 4  3x3  10 x 2  16 x  16   0
2

2

3
1
21
32
299
Do x  3x  10 x  16 x  16   x 2  x     x   
 0, x 
2
2
4

21 
84

4

3

2

trình tương đương với 4 x 2  9 x  18  0  x 
Thử lại ta thấy x 
5

nên phương

9  3 41
8

9  3 41
thỏa mãn nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất là
8

/>

Tham gia các khóa học ôn luyện thi THPTQG xin liên hệ với: Thầy Nguyễn Mạnh Cường
SĐT: 0967453602 hoặc 0911060820 – Facebook: />x

9  3 41
9  3 41
y

(tm)
8
8

Cách 2: Phương pháp liên hợp





(3)   x 2  6 x  12  3 x  2  2 x  3  2 x 3  x  2 x   2 x  x 2  6 x  12 
 4 x 2  9 x  18 
3
2
  x 2  6 x  12   
  4 x  9 x  18 x
 3 x  2  2x 
 x 2  6 x  12

  4 x 2  9 x  18  
 x  0
 3 x  2  2x


Do ĐK x  0 nên phương trình (3) có nghiệm là x 

9  3 41
9  3 41
y
(tm)

8
8

 9  3 41 9  3 41 
;
 
8
8



KL: Vậy hệ đã cho có nghiệm là  x; y   
 Bình luận

Đây là câu hệ có mức độ phù hợp với kỳ thi THPTQG nó có cách giải từ cơ bản đến
nâng cao, ngoài hai cách trình cơ bản trên thì còn một số cách khác để giải phương
trình (3) như đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng cách đặt x  2  t  0  x  t 2  2 rồi thay vào
(3) ta sẽ được phương trình hữu tỷ bậc 6. Ở bài trên ta thấy vận dụng nhiều phương
pháp, công thức như chứng minh phương trình bậc bốn vô nghiêm hay các kỹ thuật
dùng MTCT: TABLE, SOLVE, CALC … chính vì vậy, các bạn phải học kỹ các
phần trước trong sách BÍ QUYẾT ÔN LUYỆN THI THPTQG THEO CHỦ ĐỀ
MÔN TOÁN Phương trình – Hệ phương trình – Bất phương trình.

Trên đây là một bài toán được trích ra từ sách BÍ QUYẾT ÔN LUYỆN THI
THPTQG THEO CHỦ ĐỀ MÔN TOÁN Phương trình – Hệ phương trình – Bất
phương trình (sẽ có mặt vào đầu tháng 6 tới) mong bạn đọc tìm đọc.
Các em 12 thân mến, tháng 7 là chúng ta đã thi rồi chính vì vậy, ta phải có phương
pháp ôn tập giai đoạn nước rút này sao cho hiệu quả nhất là các câu mang tính chất
phan loại như: Xác suất, Hình học không gian, Hình học phẳng OXY, Phương trình
– hệ - bất phương trình, Bất đẳng thức. Với các kỹ thuật cũng như mẹo làm bài để

giải quyết nhanh chóng các bài toán phân loại trên như dùng chuẩn hóa để giải hình,

6


BÍ QUYẾT ÔN LUYỆN THI THPTQG THEO CHỦ ĐỀ MÔN TOÁN
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC PT – HỆ - BPT VÔ TỶ GIẢI BẰNG NHIỀU CÁCH

dùng kỹ thuật MTCT casio, vinacal để bổ trợ giải PT – HỆ - BPT cũng như tìm điểm
rơi trong bất đẳng thức. Thầy tin là mình sẽ ôn tập cho các em đạt kết quả tốt.
Các em 9 ôn thi vào 10, các em lớp 10 lên 11, các em 11 lên 12 có nhu cầu học thì
liên hệ với thầy (xuất phát trước là một lợi thế)
Muốn tham gia học xin liên hệ
Thầy Nguyễn Mạnh Cường
SĐT: 0967453602 hoặc 0911060820
Email:
Facebook: />Groups: />Địa chỉ lớp học:
Cơ sở 1: Ngõ Thịnh Quang – Ngã Tư Sở - Đống Đa – Hà Nội

CS1:
53/17
THỊNH
QUANG
- ĐỐNG
Cơ sở 2:
Ngõ 460
– Thụy
Khuê – Tây
Hồ - HàĐA
Nội- HÀ NỘI

CS2: NGÃ TƯ CỔ TIẾT - TAM NÔNG - PHÚ THỌ
Cơ sở 3: Khu 11 – Ngã Tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phu Thọ
Khi học xin liên hệ qua SĐT trước để thày chuẩn bị.
Thân ái chúc các em có kỳ thi thật tốt!

7

/>