skkn xác ĐỊNH ĐƯỜNG CAO HÌNH CHÓP và HÌNH LĂNG TRỤ từ đó TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP và KHỐI LĂNG TRỤ

Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Nam Hà
Mã số: ……………….
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CAO HÌNH CHÓP VÀ HÌNH LĂNG TRỤ TỪ
ĐÓ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ

Người thực hiện: VOÒNG VĨNH SUN
Lĩnh vực nghiên cứu :
- Quản lý giáo dục : ……………
- Phương pháp dạy học bộ môn : Toán……
- Phương pháp giáo dục : ………………
- Lĩnh vực khác : …………………
Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm

 Phim ảnh

 Hiện vật khác

Năm học: 2011 – 2012

1


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

I . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Bài toán tính thể tích của một khối chóp hoặc tính thể tích của một khối lăng trụ là một bài
toán rất phổ biến trong các kì thi tốt nghiệp phổ thông , cao đẳng , đại học .
-Để tính được thể tích của một khối chóp hoặc thể tích của một khối lăng trụ đòi hỏi thí sinh phải
nắm thật chắc nhiều kiến thức, phải vẽ đúng dạng hình đề bài cho , phải tính được diện tích
của mặt đáy và chiều cao của hình . Việc tính diện tích đáy có thể dể dàng nhưng việc xác
định được đường cao và tính độ dài đường cao của hình đôi khi lại là một vấn đề khó đối với
thí sinh .
-Do những yêu cầu trên, với những kinh nghiệm được rút ra từ những năm giảng dạy môn Toán ,
tôi xin giới thiệu chuyên đề “Xác định đường cao hình chóp và hình lăng trụ từ đó tính thể
tích khối chóp và khối lăng trụ” nhằm trao đổi với các đồng nghiệp và hy vọng chuyên đề này
có thể giúp cho học sinh có được kinh nghiệm để giải tốt bài toán nêu trên trong các kì thi tốt
nghiệp phổ thông ,cao đẳng và đại học.
III . NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Nội dung chuyên đề gồm 2 phần :
PHẦN I : XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CAO HÌNH CHÓP VÀ HÌNH LĂNG TRỤ TỪ ĐÓ TÍNH
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ. ( 8 Trường hợp thường gặp)
Trường hợp 1 : Đường cao của hình chóp S.A1A2…An ( hoặc hình lăng trụ ) đã có sẵn .
+ Hoặc đề bài cho sẵn một đoạn thẳng hạ từ đỉnh S vuông góc xuống mặt phẳng
đáy(A1A2…An ).
+ Hoặc theo định nghĩa hình chóp , hình lăng trụ ta xác định được ngay đường cao .
Trường hợp 2 : Hình chóp có đỉnh S nằm trên đường thẳng d và d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong mp

.

Trường hợp 3 : Hình chóp có đỉnh S nằm trong một mặt phẳng

đang vuông góc với

.

Trường hợp 4 : Hình chóp có đỉnh S thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) , (Q) và hai mặt
phẳng này cùng vuông góc với

.

2


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Trường hợp 5 :
+Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
+Hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùng một góc.
Trường hợp 6 : Hình chóp có đỉnh S cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy .
Trường hợp 7 : Hình chóp có từ ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc
Trường hợp 8 :Hình chóp có hai mặt bên liên tiếp tạo với mặt đáy cùng một góc .
PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
NỘI DUNG CỤ THỂ
PHẦN I : XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CAO HÌNH CHÓP VÀ HÌNH LĂNG TRỤ TỪ ĐÓ TÍNH
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ. (8 Trường hợp thường gặp)
Nhận xét : Vì hình lăng trụ có hai đáy nằm trong hai mặt phẳng song song do đó nếu ta lấy một
đỉnh bất kì của mặt đáy này nối đến tất cả các đỉnh của mặt đáy kia thì ta có được một hình chóp
có chiều cao cũng chính là chiều cao của hình lăng trụ.
Vậy cách xác định đường cao của hình lăng trụ tương tự như xác định đường cao của
hình chóp.
S

A’

C’
B’

A

C

B

C

A

B

Minh họa :
+ Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ và hình chóp A’ABC cùng có chung đường cao AA’ .

3


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Dưới đây chúng ta xét một số trường hợp xác định đường cao của hình chóp có đỉnh S và mặt
đáy đang nằm trong mặt phẳng

.

• Trường hợp 1 : Đường cao của hình chóp S.A1A2…An ( hoặc hình lăng trụ ) đã có
sẵn .
+ Đề bài cho sẵn một đoạn thẳng hạ từ đỉnh S vuông góc xuống mặt phẳng đáy
(A1A2…An ).
+ Hoặc theo định nghĩa hình chóp , hình lăng trụ ta xác định được ngay đường cao.
Ví dụ 1: ( Đề thi tốt nghiệp THPT 2009)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , SA ⊥(ABC).
Biết

, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .

Bài giải
Ta có SA ⊥ (ABC) nên :
+ SA là đường cao khối chóp.
+ SA ⊥ AB , SA ⊥ AC

S

Ta có
Suy ra AB = AC
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC cân tại A

A

C

B

Suy ra
Do đó SA=

4


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ
∧
1
a2 3
AB. AC.sin BAC =
2
12
3
1
a 2
V = SA.S ABC =
(dvtt )
3
36

S ∆ABC =

Ví dụ 2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo

a và

Bài giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD .
Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO là đường cao hình
chóp S.ABCD

S

SO vuông góc (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của
SC trên (ABCD) là OC

A

Suy ra góc giữa SC và (ABCD) là góc
B

D
O

C

Tam giác SOC vuông tại O ,ta có:
∧

tan S C O =

SO
a 2
⇒ SO = CO.tan ϕ =
tan ϕ
CO
2

1
1
a 2
a3 2
V = SO.S ABCD = .a 2 .
tan ϕ =
tan ϕ (dvtt )
3
3
2
6

Ví dụ 3
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a.
Tính thể tích khối lăng trụ này theo a.
5


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Bài giải
Do ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đều nên DD’ là đường
cao của lăng trụ.
2

2

2

Ta có BD = BD' - DD' = 9a

A'

2

B'

⇒ BD = 3a

4a

ABCD là hình vuông nên suy ra
SABCD = AB2 =

9a
2

C'

D'

AB =

3a

5a
C

D

2
A

B

2

9a2
.4a = 18a3
Vậy V ABCD.A’B’C’D’ = SABCD.DD' = 2

Ví dụ 4
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều ; AB = 4a ; tứ giác
AA’B’B có diện tích bằng 20

. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Bài giải
Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng suy ra
AA’ là đường cao của lăng trụ.
S AA’B’B = AA’.AB= 20

C’

A’

.

B’

Suy ra AA’ = 5a .
Tam giác ABC là tam giác đều nên S∆ABC
=

A

C

VABC.A’B’C’ = AA’ . S∆ABC =
B

Ví dụ 5
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 3 ,
AA’ = 2a.Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC.
6


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
Bài giải
Gọi H là trung điểm BC .
Theo giả thiết ta suy ra A ' H ⊥ ( ABC ) nên

C’

A’

A’H là đường cao của lăng trụ đã cho.

B’

Ta có
1
1
BC =
AB 2 + AC 2 = a
2
2
A ' H 2 = A ' A2 − AH 2 = 3a 2 ⇒ A ' H = a 3
AH =

S ∆ABC =

2

1
a 3
AB. AC =
2
2

A

C
H
B

Vậy

VABC . A ' B ' C ' = A ' H .S ∆ABC =

3a 3
2

• Trường hợp 2 : Hình chóp có đỉnh S nằm trên đường thẳng d và d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong mp
Nhận xét :

.

Đường cao hình chóp xác định theo định lí sau

d ⊥ a
⇒ d ⊥ (α)

α .
d
⊥
b

Ta có
, với a, b là 2 đường thẳng cắt nhau chứa trong mp ( )

Ví dụ 6 :
Cho tứ diện S.ABC có ba cạnh SA , AB , BC đôi một vuông góc ; SA= AB = BC = a. Tính
thể tích khối tứ diện S.ABC theo a .
Bài giải

7

Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

SA ⊥ AB 
 ⇒ SA ⊥ ( ABC )
SA
⊥
BC

Ta có

S

Suy ra SA là đường cao tứ diện S.ABC

VS . ABC

1
1
a3
= SA.S ∆ ABC = SA.AB.BC = (dvtt )
3
6
6

A

C

B

•

Trường hợp 3 : Hình chóp có đỉnh S nằm trong một mặt phẳng
với mặt phẳng

Nhận xét : Nếu

.

theo giao tuyến là đường thẳng d và điểm H là hình chiếu vuông góc

của S trên d thì SH sẽ vuông góc mặt phẳng

Định lí

đang vuông góc

suy ra SH là đường cao hình chóp .

( β ) ⊥ (α )

( β ) ∩ (α ) = d 
 ⇒ a ⊥ (α )
a ⊂ (β )


a⊥d

Ví dụ 7 (Cao đẳng 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt bên (SAB) là tam giác
0
cân tại S và vuông góc với mặt đáy (ABCD) , góc giữa SC và (ABCD) bằng 45 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .

Bài giải
8


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Gọi H là trung điểm AB

S

Do ∆SAB là tam giác cân tại S nên SH
( SAB) ⊥ ( ABCD)

( SAB) ∩ ( ABCD) = AB 

 ⇒ SH ⊥ ( ABCD)
SH ⊂ ( SAB)



Ta có SH ⊥ AB

H

A

B

D
C

SH là đường cao hình chóp S.ABCD
SH vuông góc (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của SC
trên (ABCD) là HC
Suy ra góc giữa SC và (ABCD) là góc
SHC vuông cân tại H (

)

Nên ta có
Vậy
1
1
5 2 a3 5
V = SH .S ABCD = .a
.a =
(dvtt )
3
3 2
6

Ví dụ 8 : ( Trích Đề thi khối D -2011 )
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng
(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB =

2a 3 và

= 300 .

Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài giải

9


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC.

S

( SBC ) ⊥ ( ABC )

( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC 
 ⇒ SH ⊥ ( ABC )
SH ⊂ ( SBC )


Ta có SH ⊥ BC

SH là đường cao hình chóp S.ABC

B

H

C

Ta có SH

1
S ABC = BA.BC = 6a 2
2
1
VS . ABC = SH .S ABC = 2a 3 3
3

A

• Trường hợp 4:
Hình chóp có đỉnh S thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) , (Q) và hai mặt
phẳng này cùng vuông góc với mặt đáy .
Nhận xét : Đường cao hình chóp xác định theo định lí sau

Định lí

( P ) ⊥ (α )

⇒ d ⊥ (α )
(Q) ⊥ (α )
( P ) ∩ (Q) = d


Ví dụ 9: ( đại học khối A -2009 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB =AD =2a,
0
CD = a , góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60 . Gọi I là trung điểm cạnh AD . Biết
các mặt phẳng (SIB) ,(SIC) cùng vuông đáy (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a .

Bài giải

10


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Ta có

( SIB) ⊥ ( ABCD) 

( SIC ) ⊥ ( ABCD)  ⇒ SI ⊥ ( ABCD)
( SIB) ∩ ( SIC ) = SI 

S

SI là đường cao hình chóp S.ABCD
I

Xác định góc giữa mp (SBC) với mặt phẳng
(ABCD)

A

B
K

(ABCD) = BC (1)

D

C

+ Trong (ABCD) dựng IK vuông góc BC
tại K (2)

D

C

+ (SBC)

Do SI

CB ( SI

(ABCD ))

Nên suy ra SK vuông góc BC tại K (3)
+ Từ (1) ,(2 ) ,(3) suy ra góc

, từ đó suy ra

1

3 15a 3
V = SI .S ABCD =
(dvtt )
3
5
Ví dụ 10:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Các mặt bên (SAB) và (SAD)
0
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy , góc giữa mặt phẳng (SBD) và đáy bằng 60 .

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
11


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Bài giải

+ có

( SAB ) ⊥ ( ABCD) 

( SAD) ⊥ ( ABCD)  ⇒ SA ⊥ ( ABCD)
( SAB ) ∩ ( SAD) = SA

S

Suy ra SA là đường cao hình chóp S.ABCD
Gọi O là giao điểm của AC và BD
( SBD ) ∩ ( ABCD ) = BD

(1)

BD ⊥ AO( ABCD là hình vuông ) (2)

A
B

60

D
O

C

(theo(2)
 BD ⊥ AO
Ta có 
 BD ⊥ SA( SA ⊥ ( ABCD ))
⇒ BD ⊥ ( SAO)
⇒ BD ⊥ SO(3)
∧

(1), (2), (3) ⇒ SOA = 60 0

Tam giác SOA vuông tại A ,ta có:
ˆ = SA ⇒ SA = OA.tan SOA
ˆ = AC .tan 600 = a 6
tan SOA
AO

2
2

Vậy

1
1 a 6 2 a3 6
V = SA.S ABCD = .
.a =
(dvtt )
3
3 2
6

Ví dụ 11 : ( Trích Đề thi khối A -2011 )
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của
AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) bẳng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.

Bài giải
12


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Ta có

( SAB) ⊥ ( ABC )



( SAC ) ⊥ ( ABC )
 ⇒ SA ⊥ ( ABC )
( SAB) ∩ ( SAC ) = SA

S

Suy ra SA là đường cao hình chóp S.ABC và hình chóp
S.BCNM
Xác định góc giữa mp (SBC) với mặt phẳng (ABC)
+ (SBC)

A

N

(ABC) = BC (1)

+ BC AB (2) và BC SA ( SA

(ABC ))

Nên suy ra BC vuông góc SB (3)
+ Từ (1) ,(2 ) ,(3) suy ra góc

C

M
B

SA = AB.tan
Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N
nên suy ra MN song song BC và N là trung điểm AC
Ta có

BC
AB
= a, BM =
=a
2
2
( BC + MN ).BM 3a 2
S BCNM =
=
2
2
1
VS .BCNM = SA.S BCNM = 3a 3
3
MN =

Ví dụ 12 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; AC = 2 3a , BD = 2a ; AC và BD cắt
nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
a 3
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 4 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD

13

Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

theo a.
Bài giải
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng
là SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
Suy ra SO là đướng cao hình chóp S.ABCD
Ta có tam giác ABO vuông tại O có AO = a 3 ,
600

BO = a nên suy ra

Suy ra tam giác ABD là tam giác đều.
Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của
HB ta có DH ⊥ AB và DH = a 3 ; OK // DH và
OK =

1
a 3
DH =
2
2 ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)
S

Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK và
AB ⊥ OI nên suy ra OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
1

1
1
a
=
+
⇒ SO =
2
2
2
2
⇒ OI OK SO

I

D
O
C

a 3

A

H

B

K

2
Diện tích đáy S ABCD = 4S ∆ABO = 2.OA.OB = 2 3a ;

đường cao của hình chóp là

SO =

a
2.

Thể tích khối chóp S.ABCD:
VS . ABC D =

1
S ABC D .SO =
3

3a 3
3

14


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

• Trường hợp 5 :
+Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
+Hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùng một góc.
Nhận xét : Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc hình chóp có các cạnh bên tạo với
mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Ví dụ 13:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a .Đỉnh S cách đều

các đỉnh A,B,C,D của mặt đáy và SB =

. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì S và O cùng cách đều các điểm A,B,C,D nên
SO vuông góc (ABCD) do đó SO là đường cao
hình chóp S.ABCD
Ta có BD =

AB 2 + AD 2 = a 5

Do SB = SD =BD =

nên tam giác SBD là

tam giác đều có SO là đường cao (do SO vuông
góc (ABCD))

SO =

Suy ra

S

A
B

D

O

C

BD 3 a 15
=
2
2

S ABCD = AB. AD = 2a 2
VS . ABCD

•

1
1 a 15 2 a 3 15
= SO.S ABCD = .
.2a =
3
3 2
3

Trường hợp 6 : Hình chóp có đỉnh S cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy .

Nhận xét : Hình chóp có đỉnh cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy thì chân đường cao là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 đỉnh đó .
15


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Ví dụ 14:
=600; SB = 2a . Đỉnh S

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,

cách đều các đỉnh A,B,C của mặt đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài giải
Lời giải

Vẽ hình( Vẽ hình bình hành ABCD , vẽ O
là giao điểm hai đường chéo AC và BD ,
lấy điểm H thuộc BO thỏa

BH =

2
BO
3

từ Hvẽ HS vuông góc (ABCD))
Tam giác ABC là tam giác đều ( do AB = BC
và

= 60o )

S

Gọi H là tâm tam giác đều ABC
Vì S và H cùng cách đều các điểm A,B,C nên

SH vuông góc (ABC) do đó SH là đường cao
hình chóp S.ABCD
Ta có
2
a 3
a 33
BH = BO =
; SH = SB 2 − BH 2 =
3
3
9

S ABCD = 2S∆ ABC
VS . ABCD

A
H
B

D
O

C

a2 3
=
2

1
1 a 33 a 2 3 a3 11

= SH .S ABCD = .
.
=
3
3 9
2
18

Ví dụ 15:
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, A’C’ = a, độ dài cạnh bên bằng
b. Đỉnh D cách đều 3 đỉnh A’,D’,C’.
a) Tính thể tích khối tứ diện DA’C’D’, tính thể tích V của khối hộp đã cho.
b) Gọi V1 là thể tích của khối đa diện BCDA’C’. Tính

V1
V

16


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Bài giải
a)
Tam giác A’D’C’ là tam giác đều ( do
A’D’=D’C’ = A’C’)
Gọi I là tâm tam giác đều A’D’C’
Vì D và I cùng cách đều các điểm A’,D’ ,C’
nên DI vuông góc (A’D’C’) do đó DI là
đường cao tứ diện DA’C’D’ và khối hộp đã

cho
S A'D 'C ' =

a2 3
4 .

DI = DD' 2 − D ' I 2 = b 2 −

VDA'D 'C ' =

D

A

C

B

b

A'

a

D'
I
a

B'

a

M

C'

a2
3

1
1 a2 3 2 a2
DI .S A'D 'C ' = .
b −
3
3 4
3

a 2 3b 2 − a 2
=
12
V = 6V DA'D 'C ' =

a 2 3b 2 − a 2
2
.

1
VBA'B 'C ' = V .
6
b)

1
1
2
V1 = V − VBA'B 'C ' − VDA'C 'D ' = V − V − V = V
6
6
3
⇒

V1 2
=
V 3

• Trường hợp 7 :
Hình chóp có từ ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc
Nhận xét : Hình chóp có ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao là
tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
17


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Ví dụ 16 :
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a,BC = 6a , CA = 7a . Các mặt bên (SAC),
0
(SBC), (SCA) tạo với mặt đáy một góc 60

Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .

Bài giải

- Kẻ SH ⊥ ( A B C ) , HE ⊥ AB, HF ⊥ BC và HJ ⊥ A C .
Theo định lí ba đường vuông góc ta có
SE ⊥ AB, SF ⊥ BC , SJ ⊥ BC

S

Từ đó suy ra
Do đó các tam giác vuông SHE,SFH,SJH bằng nhau
Từ đó suy ra HE = HF =HJ nên H chính là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC.
-Ta có HE = HF = HJ = r với r là bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác ABC.
Nửa chu vi tam giác ABC bằng p = 9a.
Theo công thức Hê-rông, diện tích S của tam giác ABC
2
2
bằng : S = 9.4.3.2.a = 6 6a

Áp dụng công thức

S = p.r ⇒ r =

J

A

C
E

F

B

H

S 2a 6
=
p
3

Tam giác SEH vuông tại H nên ta có
2 6a
SH =r. tan 600 =
. 3 =2 2a
3

Vậy

1
V
= SH .S ABC = 8 3a 3
S.ABC 3

18


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

• Trường hợp 8 :
Hình chóp có hai mặt bên liên tiếp tạo với mặt đáy cùng một góc .
Nhận xét : Hình chóp có hai mặt bên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao thuộc

đường phân giác của góc ϕ với ϕ là góc của đa giác đáy có đỉnh là đỉnh chung của mặt đáy với
hai mặt bên nêu ở trên.
Ví dụ 17:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, I là trung điểm BC . Các
mặt bên (SAC), (SAB) tạo với mặt đáy cùng một góc.Chứng minh rằng chân đường cao
xuất phát từ đỉnh S của hình chóp S.ABC thuộc AI.
Bài giải
- Kẻ SH ⊥ ( ABC ), HE ⊥ AB, HF ⊥ AC .

S

Theo định lí ba đường vuông góc ta có
SE ⊥ AB, SF ⊥ AC

Từ đó suy ra
Do đó các tam giác vuông SHE,SFH bằng nhau
Từ đó suy ra HE = HF nên suy ra H thuộc đường phân
giác của góc
Vì ABC là tam giác cân tại A, I là trung điểm BC nên
đường trung tuyến AI cũng là đường phân giác của góc

A

F

C

E

I

B
H

nên H thuộc AI.

19


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Ví dụ 18;
Cho khối hộp ABCDA’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng
600 . Tính thể tích của khối hộp đó theo

và ba góc ở đỉnh A đều bằng

.

Bài giải
A’

• Xác định hình chiếu vuông góc của đỉnh
A’ trên mặt phẳng (ABCD ).
Kẻ SH ⊥ ( ABCD), HE ⊥ AB, HF ⊥ AD .
Theo định lí ba đường vuông góc ta có
A ' E ⊥ AB, A ' F ⊥ AD .

A

F

D

E

)

Từ đó suy ra HE = HF nên suy ra H thuộc

C’

B’

H

Hai tam giác vuông A’AE,A’AF bằng nhau ( do
AA’ chung ,

D’

B

C

đường phân giác của góc
Vì ABCD là hình thoi nên H thuộc AC.
• Tính thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’
600 , AA’ = a nên là nữa

+

tam giác đều cạnh a do đó ta có

Tam giác HAE vuông tại E có góc HAE bằng
a 3
300 nên HE = AE.tan 300= 6

Tam giác A’EH vuông tại H , theo định lý
A' H =

Pitago ta có

a 6
3

+ ABCD là hình thoi nên

20


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ
∧

S ABCD = AB. AD.sin BAD =

+

a2 3
2

a3 2
VABCDA ' B 'C ' D ' = A ' H .S ABCD =
2

( dvtt )
.

PHẦN II: BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 :
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60o.
Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Bài 2 :
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và cạnh đáy bằng
60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Bài 3 :
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên tạo với mặt đáy một góc
45o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Mặt bên (SCD ) tạo với mặt
đáy một góc 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 5: ( Đề thi đại học khối D -2006 )
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính
thể tích khối chóp A.BCNM.
Bài 6:
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥(ABC) và SA = BC. Biết AB = a , AC = 2a ,

, tính

thể tích khối chóp S.ABC theo a .
Bài 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt bên (SAB) là tam giác
0
cân tại S và vuông đáy (ABCD) , góc giữa SC và đáy bằng 60 . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a .

21


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Bài 8 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mp (SAB) và mp (SAC )
a2 57
cùng vuông góc với đáy (ABC) và biết diện tích tam giác SBC bằng 8 .
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC .
b. Tính d (A,(SBC))
Bài 9 :
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc đáy (ABCD) , mặt
bên (SCD) hợp với đáy (ABCD) một góc 600.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 10 :
Cho tứ diện A.BCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác cân tại D , ABC) ⊥ (BCD) ,
AD = a và hợp với (BCD) một góc 60o .Tính thể tích tứ diện A.BCD.
Bài 11 :
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy (ABCD ) .Góc
giữa SC và đáy bằng 60ο và M là trung điểm của SB.Tính thể tích của khối chóp M.ABCD.
Bài 12 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB =BC = a
,AD = 2a . SA vuông góc (ABCD ) , góc giữa SC và mặt đáy bằng

.

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
Bài 13 :
Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 4 cm và diện tích tam giác A’BC bằng
8 cm2. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 14 :
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt phẳng
0
( A’BC) hợp với mặt đáy ( ABC) một góc 60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a .
Bài 15
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a .Đỉnh A’ cách đều 3 đỉnh
0
A,B,C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy 1 góc 60 .
1/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .
2/ Chứng minh BCC’B’ là hình chữ nhật
3/ Tính diện tích xung quanh khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .
Bài 16
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , BC = 2a ,
AA’ = 3a .Mặt phẳng (P ) qua A và vuông góc CA’ cắt CC’ và BB’ tại M và N.
1/ Tính thể tích khối chóp C.A’AB.
2/ Chứng minh AN vuông góc A’B.
3/ Tính thể tích khối chóp A’AMN.
4/ Tính diện tích tam giác AMN.
Bài 17 ( đề thi đại học khối D-2008)
22


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông , AB = BC = a , AA’ =

a 2.

M trung điểm BC.

1/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .

2 / Tính

d ( AM , B ' C )

.

Bài 18 ( đề thi đại học khối B-2009)
0
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, góc BAC bằng 60 , BB’
0
= a .Cạnh bên BB’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 .Hình chiếu vuông góc của B’ trên (ABC)
là trọng tâm tam giác ABC.
1/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .
2/ Tính thể tích khối tứ diện A’ABC .
Bài 19 ( đề thi đại học khối A-2008)

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 3 , AA’
= 2a.Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC.
1. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC .
2. Tính cosin góc giữa 2 đường AA’ và B’C’.

IV . KẾT QUẢ :
V . BÀI HỌC KINH NGHIỆM :
VI . KẾT LUẬN

Tôi mong rằng với chuyên đề này các em học sinh sẽ có kinh nghiệm để giải bài toán tính thể
tích khối chóp hay tính thể tích khối lăng trụ trong các kì thi tốt nghiệp, cao đẳng .
Cách suy nghĩ và cách trình bày bài giải của tôi trong chuyên đề nêu trên chưa hẳn là tối ưu
nên tôi mong nhận được sự góp ý chân tình của quý thầy cô và các đồng nghiệp .

Chân trọng kính chào .

Biên Hòa, Ngày 16/12/2011.
23


Thể tích khối chóp – Thể tích khối lăng trụ

Kí tên

Voòng Vĩnh Sun

24