skkn các PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.
2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN.
4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN
PHẦN 2:

TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ.
PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
A. Phương pháp:
Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân
thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm
hoặc chỉ bằng các phép biển đổi đơn giản đã biết, sau đó áp dụng định nghĩa.
B. Ví dụ:
1
dx
I = ò 2x
e - ex
0
VD1: Tính tích phân
.
Giải :

1

Biến đổi I về dạng
1

=

1

ò( e
0

x

-

dx
I=ò x x
=
e (e + 1)
0

1

[(e x + 1) - e x ]dx
ò0 ex (ex + 1)

1
)dx
e + 1

x

1

=

1
ex + 1 - e x
ò0 ( ex - ex + 1 )dx
1

=

ò (e- x - 1 +
0

ex
)dx
ex + 1

- x
x
1
= (- e - x + ln e + 1 ) 0 =

VD2: Tính caùc tích phaân sau:

1

TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH
4

2

x 2 − 2x
I=∫
dx;
3
x
1
a/

b/

x
4

J = ∫ (3x − e )dx.
0

Giải:
2

2

2
1 2 


I = ∫  − 2 ÷dx =  ln | x | + ÷ = (ln 2 + 1) − (ln1 + 2) = ln 2 − 1.
x 1
x 

1 x
a/ Ta có:
4

x
3 2

J =  x − 4e 4 ÷ = (24 − 4e) − (0 − 4) = 28 − 4e.
2
0
b/ Ta có:

1

VD3: Tính tích phân:

x5
I = ∫ 2 dx.
0 x +1

Giải:
5
3
2
2

Từ x = x (x + 1) − x(x + 1) + x.
1

1

Ta được:

x 
1
1

1 4 1 2 1

2
I = ∫  x3 − x + 2
÷dx =  x − x + ln(x + 1)] = ln 2 − .
2
2
4
x +1
4
0 2
0

π/ 2

VD4: Tính

∫
0

sin x
dx.
cos x + sin x

Giải:

sin x
 cos x − sin x  (A + B)cos x + (A − B)sin x
= A + B
÷=
cos x + sin x
 cos x + sin x 
Ta có: cos x + sin x
A + B = 0
1
⇔ A=B=− .

A −B =1
2
Đồng nhất đẳng thức, ta được: 

2


TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Vaäy:

π/ 2

∫
0

π/ 2
sin x
1
 1 cos x − sin x 
 1

dx = ∫  − −
dx
=
−
x
−
ln(cos x + sin x)


cos x + sin x
2(cos x + sin x 
2
 2

0  2

π/ 2
0

π
=− .
4

C.Bài tập:
Tính:
π
4

1)

tg 2 x − 2
∫ 2
π sin x
4

π
3

dx

2)

π
3

∫

3)

π
6

∫

( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx

0

4

tg2x dx

4)

∫

| x-2 | dx

0

3π
4
4

5)

∫
2

∫

3

x − 6 x + 9 dx
2

6)

∫

−4

| x2-4 | dx

7)

π
4

cos 2 x + 1 dx

II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
b

1) DẠNG 1: Tính

I = ∫ f ( x)dx
a

với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b]

A. Phương pháp:
+) Đặt

t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x) dx (t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục trên tập xđ của t)

x=b
t = u (b )
⇒
t = u (a )
+)Đổi cận : x = a
+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
b

u (b )

a

u(a)

I = ∫ f [ u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt

CHÚ Ý:

(tiếp tục tính tích phân mới)

1
, ln x)
+, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( x

thì đặt t = lnx.
+, Khi f(x) có chứa

n

u(x) thì thường đặt t = u(x).

+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.

3


TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý.
B. Ví dụ:
e2

I=
VD1

Tính tích phân

e

Giải
Đặt

dx

ò x ln x

.

dx
x

t = ln x Þ dt =

x = e Þ t = 1, x = e2 Þ t = 2
2

Þ I=

ò
1

dt
= ln t
t

2
1

= ln 2
.

Vậy I = ln 2 .

p
4

cos x
dx
cos x) 3

ò (sin x +

I=
VD2: Tính tích phân

0

.

Hướng dẫn:
p
4

I=

cos x
dx =
cos x)3

ò (sin x +
0

ĐS:

I=

p
4

1

ò (t an x + 1)
0

.
3

dx
cos2 x

. Đặt t = t an x + 1

3
8.

VD3:Tính tích phân:
3
dx
I=ò
(1 + x) 2x + 3
1
2

.

Hướng dẫn:
Đặt t = 2x + 3
ĐS:

I = ln

3
2.
1

I=
VD4. Tính tích phân

ò
0

3- x
dx
1+ x

.

Hướng dẫn:

4


TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

3

3- x
t 2 dt
Þ L 8ò 2
1+ x
(t + 1)2
1

t =
Đặt

ĐS:

p
3

I=

3+ 2

; đặt t = t an u L

.

Chú ý:
1

I=
Phân tích

3- x
dx
1+ x

ò
0

VD5:: Tính tích phân :

I=

, rồi đặt t =
7

1 + x sẽ tính nhanh hơn.

x3dx

∫

3

0

1 + x2

Giải:

3t 2 dt
3t dt = 2xdx ⇒ dx =
.
3 2
3
2
2x
Đặt t = x + 1 ⇒ t = x + 1, khi đó:
2

x= 0 ⇒ t = 1

x= 7 ⇒ t = 2

Đổi cận:

x3dx
Ta có:

3

1 + x2
2

x3 .3t 2dt
= 3t(t 3 − 1)dt = 3(t 4 − t)dt.
2xt

=

2

 t5 t2 
141
I = 3∫ (t − t)dt = 3  − ÷ =
.
5
2
10


1
1
Khi đó:
4

C.Bài tập:
Tính các tích phân sau:
π
2

1)

3
2
∫ cos x sin xdx
0

π
2

5)

∫ sin 2x(1 + sin
0

2

π
2

;

2)

5
∫ cos xdx
0

π
4

x)3dx
;

6)

1

∫ cos
0

4

x

π
4

;

3)

sin 4x
∫0 1 + cos2 xdx
e

dx
;

7)

∫
1

1

;

1 + ln x
dx
x
;

∫x

3

1 − x 2 dx

4) 0

π
4

8)

.
1

∫ cos xdx
0

.

5

TRẦN THỊ NHUNG

e

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

1

1 + ln x
dx
x
1
9)
;
2

∫

3

∫
0

10)

∫ x (1 − x ) dx
5

11)

x

2

0

dx
;

12).

tg 4 x
dx
cos 2x
π
2

cos x + sin x
∫0 3 + sin 2 x dx
13)
;

π
4

1 + sin 2 x

π
2

∫

20)

0

2

cos x + 4 sin x
2

17)

ln(tgx)
dx
∫
π sin 2 x
4

dx
−x
15) ln 3 e + 2e − 3 .
ln 5

dx

2

∫

;

x

π
4

;

18)

8
∫ (1 − tg x)dx

0

;

19)

dx
.

sin 2 x + sin x
1 + 3 cos x
x

0

sin 2 x

π
3

sin 2 x
dx
∫
2
0 ( 2 + sin x )
16)
;
sin x − cos x

∫

14)

π
2

∫

;

0

cos x

∫ 6 − 5sin x + sin

3 6

π
4

π
2

π
6

∫
23) 1 1 + x − 1

π
2

π
2

sin 2 x cos x
dx
∫
21) 0 1 + cos x
;

dx
;

1 + 3 ln x ln x

dx
∫
x
24) 1
;
e

dx
;

22)

∫ (e

sin x

+ cos x) cos xdx

0

;

π
4

1 − 2 sin 2 x
dx
∫
1
+

sin
2
x
0
25)
.

2) DẠNG 2:
b

A. Phương pháp:

I = ∫ f ( x)dx
a

với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b]

Cách thực hiện:
'
+) Đặt x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ (t )dt ( trong đó φ (t ) là hàm số được lựa chọn thích hợp: ảnh của

φ (t ) nằm trong tập xác định của f và φ ' (t ) liên tục.)
x=b
t=β
⇒
t =α
+) Đổi cận : x = a
+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

6

TRN TH NHUNG

TRNG CHUYấN LNG TH VINH

b



a



I = f ( x)dx = f [ (t )] ' (t )dt

(tip tc tớnh tớch phõn mi)

Chỳ ý:
* Nu f(x) cú cha:
ộ- pp ự
ờ ; ỳ
(a
x
)
x
=
a
.
sin

t
ẻ
ở2 2 ỳ
ỷ, hoc x = a . cos t vi t ẻ [ 0; p] .
+,
thỡ t
vi t ờ
2

2 n

- pp ữ
ổ
ử
tẻ ỗ
;
ỗ
ố 2 2ữ
ứ, hoc x = a . cot t vi t ẻ ( 0; p) .

2
2 n
+, (a + x ) thỡ t x = a . t an t vi

+,

( x2 - a 2 )

n

thỡ t

x=

a
a
x=
sin t hoc
cos t .

+,

a+ x a- x
;
a - x a + x thỡ t x = a cos 2t

+,

(x - a)(b - x) thỡ t x=a+(b-a)sin2t

B. Vớ d
1
2

I=
VD1 :Tớnh tớch phõn

ũ
0

Gii

1
dx
1 - x2
.

p pự
x = sin t, t ẻ ộ
- ;
ị dx = cos t dt
ờ
ở 2 2ỳ
ỷ
t
x = 0 ị t = 0, x =
p
6

ị I=

cos t
dt =
1 - sin 2 t

ũ
0

p
6

=

1
p
ị t =
2
6

ũ dt = t

p
6
0

=

0

Vy

I=

p
6

cos t

ũ cos t

dt

0

p
p
- 0=
6
6

.

p
6.

2

I=
VD2: Tớnh tớch phõn

ũ
0

4 - x 2 dx
.

7


TRN TH NHUNG

TRNG CHUYấN LNG TH VINH

Hng dn:
t x = 2 sin t
S: I = p .
1

I=
VD3:Tớnh tớch phõn

dx
x2

ũ1 +
0

.

Hng dn:
ổ p pử
x = t an t, t ẻ ỗ
- ; ữ
ị dx = (t an 2 x + 1)dt
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ

2 2
t
x = 0 ị t = 0, x = 1 ị t =
p
4

ị I=

t an t + 1
dt =
t an 2 t

ũ1 +
0

2

Vy
3- 1

I=
VD4:Tớnh tớch phõn

ũ

dx
x + 2x + 2

I=

p
4

p
4
p

ũ dt = 4
0

.

p
4.

2

0

.

Hng dn:
3- 1

I=

ũ
0

dx

=
2
x + 2x + 2

3- 1

dx

ũ 1 + (x + 1)

2

0

.

t x + 1 = t an t
p
I=
12 .
S:

VD5: Tớnh tớch phaõn :

I=

0

2
2

x2
1 x

2

dx.

Giaỷi:

8


TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt

x2 dx
1 − x2

Lại có:

=

x= 0 ⇒ t = 0

2
π


x= 2 ⇒ t = 4
với

.Đổi cận:

sin 2 t.cos tdt

sin 2 t.cos tdt sin 2 t cos tdt 1
=
=
= (1 − cos2t)dt.
cos t
cos t
2
1 − sin2 t
π/ 4

Khi đó:

1 π/ 4
1 1

I = ∫ (1 − cos2t)dt =  t − sin 2t ÷
2 0
2 2
0

VD6: Tính tích phân :

I=

2/ 3

∫
2

=

π 1
− .
8 4

dx
x x2 − 1

Giải:

Đặt

1
cos t
, khi đó : dx = − 2 dt
sin t
sin t

x=

π


x=
1
⇒
t
=

2

2
π
x=
⇒t=
3
3


Đổi cận:

1
cos tdt π / 2
π
π/ 2
sin 2 t
= ∫ dt = t π / 3 =
∫
1
6
π/ 3
π/ 3
1

sin t
−1
sin 2 t
Khi đó:
π/ 2

−

0

VD7: Tính tích phân :

I=∫
a

a+x
dx, (a > 0)
a−x

Giải:

9


TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

Đặt x = a.cos2t, khi đó: dx = −2a.sin 2tdt.

π

x= -a ⇒ t = 2

x=0 ⇒ t = π

4

Đổi cận:

a+x
a + a.cos2t
dx =
(−2a.sin 2tdt) = cot t (−2a.sin 2tdt)
a−x
a − a.cos2t

Lại có:

= −4a.cos2 t.dt = −2a(1 + cos2t)dt.
π/ 2

π/ 2

Do đó:

 1

 π
I = −2a ∫ (1 + cos2t)dt = −2a  t − sin 2t ÷ = a  1 − ÷

 2
 π/ 4
 4
π/ 4

.

VD8: Tính tích phân :

I=

π/ 3

cosdx
π / 6 sin x − 5sin x + 6

∫

2

Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx

π
1

x= 6 ⇒ t = 2

x= π ⇒ t = 3
 3

2

Đổi cận:

cosdx
dt
dt
= 2
=
Ta có: sin x − 5sin x + 6 t − 5t + 6 (t − 2)(t − 3)
2

B 
[(A + B)t − 2A − 3B]dt
 A
=
+
÷dt =
(t − 2)(t − 3)
 t −3 t −2
A + B = 0
A = 1
⇔

−2A − 3B = 1
 B = −1
Từ đó: 

10

TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

cos xdx
1 
 1
=
−
÷dt.
Suy ra: sin x − 5sin x + 6  t − 3 t − 2 
2

I=
Khi ñoù:

3/2

∫

1/ 2

1 
t −3
 1
−

÷dt = ln
t −2

 t −3 t −2

3/2

= ln
1/ 2

3(6 − 3)
5(4 − 3)

C.Bài tập:
Tính các tích phân sau:

1)

x
∫0 x4 + x2 + 1 dx
2
3

∫x

5)

2

π
2

9)

x2 − 1

0

1

∫

0

1
∫0 1 + cos x + sin x dx

2)

3

dx

cos x
dx
7 + cos 2 x

∫

13)

1

dx
1 + 1 + 3x

2
2

π
2

1

6)

9 + 3x
dx
x2

3)

1

1− x

0

1

2

∫

∫

7))

∫
0

1

10)

1+ x4
∫0 1 + x 6 dx

x2

4)

(1 + x )

5

∫
0

∫x

2

∫

dx
8)

cos x
1 + cos x
2

dx

4 − x 2 dx

1

2

1− x

π

11)

2

2

dx

2

3

1
x x2 −1

dx

dx
12) −1 x + 2x + 2
0

∫

2

x x −1
dx
14) 1 x − 5
.
2

∫

III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
A. Phương pháp:
* Kiến thức:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:
dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.
* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:
d(a.x + b)

d(a.x + b) = a.dx Û dx =
(a ¹ 0)
a
+,
.

+,

+,

d(ae x + b) = ae x .dx Û dx =

d(sin x) = cos x.dx Û dx =

d(ae x + b)
a.e x
.

d(sinx)
d(cos x)
d(cos x) = - sin x.dx Û dx =
cos x ;
- sin x .

11


TRẦN THỊ NHUNG

+,

d(ln x) =

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

dx
1 d(a.x + b)
1
=
= ln(a.x + b)
a.x + b
a a.x + b
a
.

dx
.
x

x.dx

d( x 2 + a 2 ) =

x2 + a 2 .

+,

B.Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
p
4

1

1)

dx
ò 2007.x + 2008
0

e

ò sin x. cos xdx;
2

;

2)

p
4

3)

0

e x .dx
ò 4 - 3e2x
1

ò cot x.dx

;

4)

p
6

.

C. Bài tập Tính các tích phân sau:
1

1)

∫
0

1

2 x2

∫(

1 + x3 ;

2) 0

x2
)
2 − x3

1

dx;

3)

2 + ln x
∫1 x
6)
dx ;

dx
∫e x 1 + ln x
7)
;

0

x
∫ xe dx

1 + x 3 dx ;

8)

sin x
∫0 cos3 x

π

3

dx ;

9)

1

2

4) 0

π
3

e2

e

∫

1

2 x2

∫ sin x e
0

2 −x
∫x e

;

5) −1

3

dx .

1
cos x

dx ;

10)

ò 2e
0

IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
A. Phương pháp:
Công thức tích phân từng phần:
b

b

∫ u ( x ).v ' ( x )dx = [ u ( x ).v ( x )] a − ∫ v( x).u ' ( x) dx
b

a

b

a

b

∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu

Hay:

a

b

a

Cách thực hiện:

+) Đặt

u = u ( x)
du = u ' ( x) dx
⇒
dv = v' ( x)dx
v = v( x)
b

+) Thay vào công thức tích phân từng từng phần :

b

∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu

a

b

a

Chú ý:

12

dx
+ 3

x

.


TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

+)Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân
du = u / (x)dx không quá phức tạp.
b

ò vdu

+)Hơn nữa, tích phân

a

phải tính được.

+)Đặc biệt:
b

b

b

ò P(x) sin axdx, ò P(x) cos axdx, ò e

i/ Nếu gặp

a

a

ax

.P(x)dx

a

với P(x) là đa thức thì đặt

u = P(x) .
b

ii/ Nếu gặp

ò P(x) ln xdx

thì đặt u = ln x .

a

b

iii/ Nếu gặp

b

òe

ax

òe

. sin axdx
,

a

ax

. cos axdx
thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt

a

u = ea x .
B. Ví dụ:
1

I=
VD1:Tính tích phân

ò xe dx
x

0

Giải

ìï du = dx
ìïï u = x
í dv = e x dx Þ ïí
ï
ïï v = e x
î
Đặt îï
(chọn C = 0 )

1

Þ

.

1

ò xe dx = xe
x

x 1
0

-

0

ò e dx = (x x

0

1)e x

1
0

=1
.

e

I=
VD2Tính tích phân

ò x ln xdx
1

.

Giải
dx
ìï
ïï du =
ìï u = ln x
x
ïí
Þ ïí
2
ïï dv = xdx
ïï
x
î
ïï v =
î
2
Đặt

13

TRN TH NHUNG

TRNG CHUYấN LNG TH VINH

e

e

e

x2
1
e2 + 1
ị ũ x ln xdx =
ln x - ũ xdx =
2
2 1
4
1
1

.

p
2

I=
VD3Tớnh tớch phõn

ũe

x

sin xdx
.

0

Gii
ỡ du = cos xdx
ùỡù u = sin x
ùớù
ị
ớ
ù dv = e x dx
ùù v = e x
ợ
t ùợ
p
2

ũ ex sin xdx = ex sin x

ị I=

p
2
0

p

2

-

0

p

ũ e x cos xdx = e 2 - J
0

.

ỡù du = - sin xdx
ùỡù u = cos x
ù
ị
ớ dv = e x dx
ớ
ù
ùù v = e x
ợ
t ùợ
p
2

ũe

ị J =

x

cos xdx = e x cos x

p
2
0

0

p
2

ị I = e - (- 1 + I) ị I =

p
2

+

ũe

x

sin xdx = - 1 + I

0

p
2

e + 1
2 .

2

VD4:Tớnh tớch phaõn:

ln(1 + x)
dx.
x2
1

I=

Giaỷi:

1

du =
dx
u = ln(1 + x)



1
+
x

dx
dv = x 2
v = 1

x
ẹaởt:
2

2
2
1
1
1
1
1
I = ln(x + 1) +
dx = ln3 + ln 2 + +
ữdx
x
x(x
+
1)
2
x
1
+
x


1

1
1
Khi ủoự:

14


TRN TH NHUNG

TRNG CHUYấN LNG TH VINH
2

1
3
= ln3 + ln 2 + (ln | x | ln(x + 1)) = ln3 + 3ln 2.
2
2
1

1

0 (x

VD5:Tớnh tớch phaõn:

2

+ x)e2x dx

Giaỷi:

1

0 (x

2

+ x)e2x dx

I=

. ẹaởt

1 2x 2
e (x + x)
2

1

I1 =

=

2x

0 (2x + 1)e

I1 =

u = x 2 + x

2x
dv = e dx

1



0

dx

1 2x
e (2x + 1)
2



1 1
(2x + 1)e2x dx = e2 I1
2 0

, ẹaởt
1
0

u = 2x + 1

2x
dv = e dx

1

e2x dx =
0

1
1
3e2 1 (e2 1) = e2
2
2
.

(

)

VD6:Tớnh tớch phaõn:

0

du = ( 2x + 1) dx


1 2x
v = e

2

1x

5

du = 2x + 1dx


1 2x
v = 2 e



1
1
(3e2 1) e2x
2
2

Vaọy I =

e2

1
0

1 2 e2
e =
2
2

3

.e x dx

Giaỷi:
0

x
I = 1



5

3

.e x dx

x=0

. ẹaởt t = x3 dt = 3x2dx ,
t = 0 , x = 1 t = 1

15


TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

0

⇒ I=

°

Đặt

⇒ I1 =

t

 1

1

1

1

t

∫1 (−t).e  − 3  dt = − 3 ∫0 t.e dt = − 3 I1
u = t

t
dv = e dt

et .t

1
0

1

− ∫ et dt = e − et
0

VD7:Tính tích phân:

Với I1 =

t

∫0 t e dt

.

du = dt

t
 v = e

⇒

I=

1

.

π/ 2

∫ (x

2

1

=1

0

. Vậy I =

1
1
− I1 = −
3
3

+ 1)sin xdx.

0

Giải:

 u = (x2 + 1)
du = 2xdx

⇒ 

v = − cos x
Đặt:  dv = sin xdx
π/ 2

2

Khi đó:

I = − (x + 1)cos x 0 + 2

J=
Xét tích phân

π/ 2

∫

π/ 2

∫

x cos xdx = 1 + 2

0

π/2

∫

x cos xdx

0

(1)

x cos xdx.

0

u = x
du = dx
⇒

dv = cos xdx v = sin x
Đặt: 
J = xsin x

π/ 2
0

−

Khi đó:

π/ 2

∫

sin xdx =

0

π
π
π/ 2
+ cos x 0 = − 1
2
2

(2)

π 
I = 1 + 2  − 1÷ = π − 1.
2 
Thay (2) vào (1) ta được:

VD8:Tính tích phân:

1

∫0 xe

x

dx

16

TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

Giải:

1

∫0 xe
°

x

dx

. Đặt t = x

⇒ t2 = x ⇒ 2tdt = dx

x=1 ⇒ t=1 , x=0 ⇒ t=0

⇒ I=

⇒ I1 =

Đặt

⇒ I2 =

Đặt

⇒ I3 =

1 2 t
t e 2tdt
0

∫

1

et .t3

0

1 3 t
t e dt
0

= 2∫

1

0

1
01

1

0

⇒

. Với I2 =

1

0

⇒

du = 3t 2dt

t
 v = e

⇒

1 t 2

∫0 e .t

dt

.

du = 2tdt

t

 v = e

− 2∫ et t dt = e − 2I3

u = t

t
dv = e dt

et .t

. Đặt

− 3∫ et .t 2dt = e − 3I2

u = t 2

t
dv = e dt

et .t 2

= 2I1

u = t3

t
dv = e dt

. với I3 =

1 t

∫0 e

t dt

.

du = dt

t
 v = e

1

− ∫ et dt = e − et
0

1

= e − (e − 1) = 1

0

Vậy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e

π

VD 9:Tính tích phân:

I = ∫ e2x sin 2 xdx.
0

Giải:
π

1 π 2x
I = ∫ e sin xdx = ∫ e (1 − cos2x)dx
20
0
Biến đổi I về dạng:
2x

2

(1)

17


TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH
π

•

Xét tích phân:

π

1
e2 π 1
I1 = ∫ e dx = e2x =
−
2
2
2
0
0
2x

(2)

π

•

Xét tích phân:

I 2 = ∫ e2x cos2xdx
0

du = −2sin 2xdx
 u = cos2x

⇒ 

1 2x

2x
dv = e dx
v = 2 e
Đặt:
π

Khi đó:

π
1 2x
e2 π 1 π 2x
2x
I 2 = e cos2x + ∫ e sin 2xdx =
− + e sin 2xdx
2
2 2 ∫0
0
0

(3)

π

•

Xét tích phân:

I 2, 1 = ∫ e2x sin 2xdx
0

du = 2 cos2xdx
 u = sin 2x

⇒ 

1 2x
2x
v
=
e
dv = e dx

2
Đặt:
π

Khi đó:

π
1 2x
I 2, 1 = e sin − ∫ e2x cos2xdx = −I 2 .
2
0
0 44 2 4 4
1
3
I2

Thay (4) vào (3), ta được:

I2 =

e2 π 1
e2π 1
− − I 2 ⇔ I2 =
− .
2 2
4 4

(4)

(5)

1 e2 π 1 e2 π 1
1
I= [
− −(
− )] = (e2 π − 1).
2 2 2
4 4
8
Thay (2), (5) vào (1), ta được:

⇒ I1 =

et .t

1
0

1

− ∫ et dt = e − et
0

1
0

=1

. Vậy I = 2

C. Bài tập
Tính tích phân

18


TRẦN THỊ NHUNG

π
3

1)

5)

∫ (x + 1) e
2

2x

2
∫ x sin x cos xdx

2) 0

dx

9))

e

3)

2

ln(1 + x)
dx
2
x
4) 1

2
∫ x(2 cos x − 1)dx

∫

0

π
2

∫ (x ln x) dx
2

6) 1

0

1

π
4

π

x + sin x
∫0 cos2 x dx

1

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

7))

e

∫ cos x.ln(1 + cos x)dx
0

ln x

∫ ( x + 1)
8)

1
e

2

dx

1

∫ xtg xdx
2

10)

0

2x
∫ ( x − 2)e dx

0

IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
A Phương pháp:
a

-Dạng 1:Nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :

- Dạng 2:Nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :

∫ f(x)dx = 0

−a

a

a

−a

0

∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx

.

- Dạng 3:Nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì
α
α
f (x)
+
dx
=
∫−α a x + 1 ∫0 f ( x )dx vôùi α ∈ R vaø a > 0
- Dạng 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì

b
b
a+ b
x.f(x)dx
=
.
ò
ò f(x).dx
2
a
a
B. Ví dụ

VD1: Tính tích phân
I=

1/ 2

∫

−1/ 2

cos x.ln(

1− x
)dx
1+ x

Giải: nhận xét hs

f(x) = cos x.ln(

1− x
)
1 + x thỏa:

* Liên tục trên [-1/2;1/2]
* f(x) +f(-x) =......= 0
Theo tc 1 ta được I=0
VD2 :Tính tích phân

19


TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
p
2

ò cos x. ln(x +

x 2 + 1)dx

- p
2

I=
VD3

Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) =

2 - 2. cos 2x .

3p
2

I=

ò f(x).dx

- 3p
2

Tính tích phân
VD4:
Tính tích phân

p
2

p

a)

I = ò x. sin x. cos2 x.dx
0

b)J = ò (

;

0

1
- t an 2 (sin x)).dx
cos (cos x)
2

.

VD5:
Tính các tích phân
2p

a)

I = ò ln(sin x +

1 + sin 2 x )dx;

0

2008 p

J=
b)

ò sin

2007

x.dx

0

VD6:
Tính các tích phân sau:
1
x4
∫−1 2 x + 1 dx
a)

.

1

b)

∫

−1

π

1− x2
dx
1 + 2x

c)

sin 2 x
∫ 3x + 1 dx
−π

PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. Dạng bậc lẻ với hàm sin.
Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
sin 2 x = 1 - cos2 x = 1 - t 2 .
2n + 1
= (sin 2 x) n . sin x = (1 - t 2 ) n . sin x
Chú ý: (sin x)
p
2

I=
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân

ò cos
0

2

x sin 3 xdx
.

20

TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Giải
t
=
cos
x
Þ dt = - sin xdx
Đặt
p
x = 0 Þ t = 1, x = Þ t = 0
2
p
2

Þ I=

0

ò cos x(1 - cos x) sin xdx = 2

2

0

1

ò t (1 - t )dt =
2

2

1

Vậy

I=

1

æt 3
t5 ö
2
2
4
÷
ç
(t
t
)dt
=
÷
ç
ò0
÷ = 15
è3
5ø

0

.

2
15 .

2. Dạng bậc lẻ với hàm cos.
Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
cos2 x = sin 2 x = 1 - t 2 .
2n + 1
= (cos2 x)n .cosx = (1 - t 2 ) n .cosx
Chú ý: (cos x)
p
2

I=
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân

ò cos

5

xdx
.

0

Giải

Đặt t = sin x Þ dt = cos xdx
p
x = 0 Þ t = 0, x = Þ t = 1
2
p
2

p
2

1

1

æ 2t 3
t5 ö
8
Þ I = ò cos xdx = ò (1 - sin x) cos xdx = ò (1 - t ) dt = ç
t+ ÷
=
÷
ç
÷
è
3
5 ø0
15
0
0
0

5

2

2

2 2

Vậy

I=

.

8
15 .

3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.
Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc
1 + cos 2x
1 - cos 2x
1
cos2 x =
; sin 2 x =
; sin x. cos x = sin 2x
2
2
2
Chú ý:
p

2

I=
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân

ò cos
0

4

x sin 2 xdx
.

Giải

21


TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

p
2

I=

ò cos

p

2

4

x sin 2 xdx =

0

p
2

p
2

1
1
1
cos2 x sin 2 2xdx =
(1 - cos 4x)dx + ò cos 2x sin 2 2xdx
ò
4ò
16
4 0
0
0

p
2

p

2

p

1
1
2
æx
1
sin 3 2x ö
p
2
÷
=
(1
cos
4x)dx
+
sin
2xd(sin
2x)
ç
=
sin
4x
+
=
÷
ò
ò

ç
÷
16 0
8 0
è16 64
24 ø
32 .
0

Vậy
Nhận xét:

p
2

I=
Ví dụ 4. Tính tích phân

ò cos x +
0

I=

dx
sin x + 1

p
32 .

.

Giải
x
1
x
2dt
t = t g Þ dt =
t g2 + 1 dx Þ dx = 2
2
2
2
t + 1
Đặt

(

)

x = 0 Þ t = 0, x =
1

Þ I=

ò10

1
2

t
2t

+
2
1+ t
1 + t2

2dt
1 + t2 =
+ 1
.

p
Þ t =1
2
1

dt

ò t + 1 = ln

t+ 1

1
0

= ln 2
.

0

Vậy I = ln 2 .

4. Dạng liên kết

p

I=
Ví dụ 1. Tính tích phân

xdx

ò sin x + 1
0

.

Giải
Đặt x = p - t Þ dx = - dt
x = 0 Þ t = p, x = pÞ t = 0
0

(p - t)dt
Þ I =- ò
=
sin(p - t) + 1
p
p

p

p

ò ( sin t + 1 0

t
dt
sin t + 1

)

p

dt
p
dt
= pò
- IÞ I= ò
sin t + 1
2 0 sin t + 1
0

22


TRẦN THỊ NHUNG

p

p
= ò
2 0

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

(

sin

t p
p
p
d p
dt
p
p
t p
2
4
= ò
= ò
= tg 4 0 cos2 t - p
2 0 cos2 t - p
2
2 4
2 4
2 4

(

dt
t
t

+ cos
2
2

)

2

(

)

)

(

)

(

)

p

=p

0

.

Vậy I = p .

Tổng quát:

p

p

p
ò0 xf(sin x)dx = 2 ò0 f(sin x)dx

.

p
2

I=
Ví dụ 2. Tính tích phân

sin 2007 x
ò0 sin 2007 x + cos2007 x dx

.

Giải
p
x = - t Þ dx = - dt
2
Đặt
x=0Þ t =

sin 2007

0

Þ I =-

ò sin
p
2

2007

p
2

I+ J =
Mặt khác

(

)

(

(2). Từ (1) và (2) suy ra

n

sin x
ò0 sin n x + cosn x dx =

p
6

Ví dụ 3. Tính tích phân
p
6

I - 3J =
+,

)

p

ò dx = 2
p
2

( p2 - t )

dx
p
p
=
- t + cos2007
- t
2
2

0

Tổng quát:

p
p
, x= Þ t =0
2
2

(1).

p
4.

cos n x
p
ò0 sin n x + cosn x dx = 4 , n Î Z+

sin x
I=ò
dx
sin x + 3 cos x
0

sin 2 x - 3 cos2 x
ò0 sin x + 3 cos x dx =

cos2007 t
ò0 sin 2007 t + cos2007 t dx = J

p
2

.

p
6

2

p
6

I=

p
2

và

cos2 x
J =ò
dx
sin x + 3 cos x
0

.

Giải

ò (sin x -

3 cos x)dx

0

23


TRẦN THỊ NHUNG

TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

= ( - cos x p
6

I+ J =
+,

ò sin x +

3 cos x

dx =

1
dx
ò
2 0 sin x + p
3

Đặt

(

t =x+

x=0Þ t =

Þ I+ J =

p
6
0

= 1-

3

(1).

p
6

dx

0

3 sin x )

)

p
Þ dt = dx
3

p
p
p
, x= Þ t =
3
6
2

p
2

p
2

p
2

p
2

3

3

3

3

d(cos t)
1
dt
1 sin t dt
1
1
1
1
= ò
= ò
= ò
d(cos t)
2
2
ò
2 p sin t
2 p sin t
2 p cos t - 1
4 p cos t - 1 cos t + 1

1
cos t - 1
= ln
4
cos t + 1

p
2
p
3

=

(

1
ln 3
4

)

(2).

3
1- 3
ïìï
ìï I - 3J = 1 - 3
ïï I = 16 ln 3 +
ïï
4
Þ í
Û í
ïï I + J = 1 ln 3
ïï
1
1- 3

ln 3 ïî
ïï J =
4
î
16
4 .
Từ (1) và (2)

Vậy

I=
1

I=
Ví dụ 4. Tính tích phân

ò
0

3
1- 3
1
1- 3
ln 3 +
, J =
ln 3 16
4
16
4 .

ln(1 + x)
dx
1 + x2

.

Giải
2
Đặt x = t gt Þ dx = (1 + t g t)dt
p
x = 0 Þ t = 0, x = 1 Þ t =
4
p
4

Þ I=

ò
0

ln(1 + t gt)
( 1 + t g2 t ) dt =
1 + t g2 t

Đặt

t =

p
4

ò ln(1 +
0

t gt)dt
.

p
- u Þ dt = - du
4

24


TRN TH NHUNG

TRNG CHUYấN LNG TH VINH

t =0ị u =

p
p
, t = ị u =0
4
4

p
4

0

ũ ln(1 +

ị I=

t gt)dt = -

=

ổ

ũ ln ỗỗố1 +
0

p
4

=

1 - t gu ử
ữdu =
ữ
1 + t gu ứ

0

ổ 2
ử
ữdu
ữ

t gu ứ

0

t gu ) du =

p
ln 2 - I
4

.

p
ln 2
8
.

cos x
dx
x
+ 1

ũ 2007

-

Vớ d 5. Tớnh tớch phõn

I=

( p4 - u ) ựỳỷdu

ũ ln ốỗỗ1 +

0

Vy

I=

p
4

p
4

ũ ln 2du - ũ ln ( 1 +

p
4

tg

p
4

0

p
4

ộ

ũ ln ờở1 +

p
4

.

Gii
x
=
t ị dx = - dt
t
p
p
p
p
x =ị t = , x = ị t =4
4
4
4
-

p
4

cos(- t)
ị I =- ũ

dt =
- t
+ 1
p 2007
4
p
4

=

(1 + 2007 ) - 1
cos t dt =
1 + 2007 t
p

ũ
-

t

4
p
4

=

ũ cos t dt -

Tng quỏt:

p
4

p
4

Iị I=

p
4

2007 t cos t
ũp 1 + 2007 t dt

-

4

p
4

ũ( 1 -

p
4

1
cos t dt =
2 ũp
-

4

1
cos t dt
2007 t + 1

)

p
4

ũ cos t dt =
0

2
2
.

; ] thỡ
Vi a > 0 , a > 0 , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [ - aa

25