Tính lp bị chặn của toán tử giả vi phân trên xuyến (LV01761)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ THANH NGA

TÍNH Lp BỊ CHẶN
CỦA TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN TRÊN XUYẾN

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ
Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Người hướng dẫn: TS. Bùi Kiên Cường

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo, TS. Bùi Kiên Cường. Sự giúp đỡ và hướng
dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã
giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong việc tiếp cận một vấn đề
mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối
với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên nghành Toán Giải tích đã giúp
đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu.
Nhân dịp này tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh
Vĩnh Phúc, Ban Giám hiệu và đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Viết

Xuân - Vĩnh Phúc, người thân, bạn bè đã ủng hộ, động viên và tạo mọi
điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học thạc sĩ và hoàn thành
luận văn này .
Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2015
Tác giả

Vũ Thị Thanh Nga


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường. Luận văn không trùng lặp với
những đề tài khác.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2015
Tác giả

Vũ Thị Thanh Nga


i

Mục lục
Mở đầu .............................................................................. 1
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị ......................

4

1.1. Một số không gian hàm ............................................................... 4
1.1.1. Không gian các hàm thử D và không gian đối ngẫu D’...... 4
1.1.2. Không gian Schwartz và không gian các hàm suy rộng tăng
chậm ....................................................................................

5

1.1.3. Không gian Lp , 1 ≤ p < ∞ và không gian L∞ .................... 6
1.1.3. Không gian BM O .............................................................. 9
1.2. Phép biến đổi Fourier ............................................................... 14
1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 ........................ 14
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schawrtz.............. 15
1.2.3. Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 ........................ 16
1.3. Không gian Sobolev H s,2 (Rn ) .................................................... 17
1.4. Một số không gian hàm xác định trên Zn .................................. 18
1.5. Một số không gian hàm trên xuyến............................................ 20
1.6. Biến đổi Fourier trên lớp hàm tuần hoàn................................... 22
1.6.1. Biến đổi Fourier trên lớp hàm tuần hoàn........................... 22
1.6.2. Không gian Sobolev H s (Tn ).............................................. 24
1.7. Toán tử giả vi phân trong Rn ................................................... 26
1.7.1. Biểu trưng của toán tử giả vi phân ................................... 26
1.7.2. Một số tính chất của toán tử giả vi phân trong không gian
Sobolev H s,2 (Rn ) ................................................................ 33


ii

1.7.3. Tính bị chặn của toán tử giả vi phân trong không gian Lp 34
Chương 2. Tính Lp bị chặn của toán tử giả vi phân trên xuyến 35

2.1. Toán tử giả vi phân trên xuyến ................................................ 35
2.1.1. Biểu trưng......................................................................... 35
2.1.2. Toán tử giả vi phân trên xuyến......................................... 40
2.1. Tính Lp bị chặn của toán tử giả vi phân trên xuyến................. 44
Kết luận ......................................................................................... 57
Tài liệu tham khảo ...................................................................... 58


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán tử giả vi phân hay toán tử tích phân kì dị là một trong những
công cụ để giải bài toán elliptic trong lý thuyết phương trình đạo hàm
riêng. Lí thuyết toán tử giả vi phân được hình thành từ nửa sau thế kỉ 20
qua các nghiên cứu của Calderón-Zymund, K.Nirenbeg, L. H¨
ormander,
M.E. Taylor,...Nó có ứng dụng rất rộng rãi ở đa ngành: vật lí, toán học,
công nghệ, ... Chính vì tính hấp dẫn của nó mà nhiều nhà toán học đã
nghiên cứu dưới nhiều góc độ khác nhau. Nhà toán học Julio Delgado
đã xét toán tử giả vi phân tuần hoàn trong khuôn khổ của giải tích vi
phân trên xuyến mà được phát triển ở gần đây trong công trình của M.
Ruzhansky, V. Turunen và G. Vainikko.
Một trong những thú vị nhất của toán tử giả vi phân là nghiên cứu tính
m
liên tục của toán tử giả vi phân lớp H¨ormander Sρ,δ
trong những không

gian hàm có ý nghĩa cho Vật lý, công nghệ. Trong bài báo của mình
(xem [7]), Charles Fefferman đã thiết lập tính Lp bị chặn cho các toán

m
tử giả vi phân có biểu trưng thuộc lớp Sρ,δ
(Rn × Rn ) nhờ nội suy thực và

phức từ tính chất Lp bị chặn. Tiếp theo đó, tính chất Lp bị chặn của các
toán tử với biểu trưng không thuần nhất. Tính chất Lp bị chặn của các
toán tử giả vi phân trong xuyến cũng đã được khảo sát trước đây trong
các công trình của S.Molahajloo và M.W.Wong (xem [10]) khi khảo sát
toán tử giả vi phân trên S 1 . Năm 2013, nhà toán học Julio Delgado (xem
[16]) đã thiết lập tính Lp - bị chặn cho các lớp toán tử giả vi phân có
m
biểu trưng thuộc Sρ,δ
(Tn × Zn ).


2

Nhằm hệ thống hóa sự phát triển của các nghiên cứu trên và được sự
hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên
cứu: ”Tính Lp bị chặn của toán tử giả vi phân trên xuyến” để thực hiện
luận văn tốt nghiệp thạc sĩ.
2. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu về tổng quan hàm, biến đổi Fourier, toán tử giả vi phân.
• Nghiên cứu tính bị chặn trong Lp của toán tử giả vi phân trên
xuyến.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về tính chất bị chặn trong Lp của toán tử giả
vi phân trên xuyến.
4. Đối tượng nghiên cứu
• Nghiên cứu các không gian hàm thử, hàm suy rộng.

• Nghiên cứu phép biến đổi Fourier trên các không gian hàm.
• Nghiên cứu về toán tử giả vi phân trên xuyến.
• Nghiên cứu tính bị chặn của toán tử giả vi phân trên xuyến.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề
tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và lý thuyết
tối ưu.
6. Đóng góp của đề tài


3

Luận văn là tài liệu tổng quan về tính bị chặn trong Lp của toán tử
giả vi phân trên xuyến.


4

Chương 1
Một số khái niệm
và kết quả chuẩn bị
1.1.

Một số không gian hàm

1.1.1.

Không gian các hàm thử D và không gian đối ngẫu D’

Định nghĩa 1.1. Không gian các hàm thử hay hàm kiểm tra, ký hiệu

D(Ω) là không gian véc tơ các hàm C0∞ (Ω) cùng với tô pô được trang bị
∞
bởi sự hội tụ: dãy (ϕj )∞
j=1 hội tụ tới ϕ0 trong C0 (Ω) nếu:

i) Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho ϕj = 0 với mọi j = 0, 1, 2, ...
trong Ω\K.
ii) Đối với đa chỉ số α tùy ý, dãy Dα ϕj hội tụ đều đến Dα ϕ0 trong
K khi j → ∞.
Ở đây Dα là đạo hàm cấp |α|, còn α ∈ Nn là đa chỉ số và Dα =
D1α1 D2α2 ...Dnαn , Dk =

1 ∂
i ∂xk .

Định nghĩa 1.2. Một hàm suy rộng trên Ω là một phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên D(Ω). Không gian tất cả các hàm suy rộng trên Ω
được kí hiệu là D (Ω).
Khi Λ ∈ D (Ω), ta kí hiệu giá trị của hàm Λ tại ϕ ∈ C0∞ (Ω) là Λ(ϕ)
hoặc (Λ, ϕ).


5

Chú ý 1.1.
1. Không gian D (Ω) tự nó đã cung cấp một tô pô yếu trên nó tức là tô
pô đó được xác định bởi hệ các nửa chuẩn Pϕ trên D (Ω).
Pϕ : u → | u, ϕ | .
2. Không gian D (Ω) là một không gian lồi địa phương tách được đối với
tôpô yếu * nghĩa là với mỗi u ∈ D (Ω), u = 0, tồn tại ϕ ∈ D(Ω) sao cho

u, ϕ = 0.
3. Không gian D (Ω) là một không gian đầy đủ.
f (x)ϕ(x)dx = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω)

Bổ đề 1.1. Nếu f ∈ L1,loc (Ω) sao cho
Ω

thì f = 0.
1.1.2.

Không gian Schwartz và không gian các hàm suy rộng
tăng chậm

Định nghĩa 1.3. Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh, còn gọi
là không gian Schwartz, ký hiệu S = S(Rn ), là không gian véc tơ tất cả
các hàm khả vi vô hạn ϕ xác định trên Rn thỏa mãn sup xα (Dβ ϕ(x)) <
n

Rn

∞ với mọi đa chỉ số ϕ, β ∈ N cùng với tôpô xác định bởi:
Dãy ϕj ∈ S được gọi là hội tụ về 0 khi j → ∞ nếu với mọi đa chỉ số
α, β ∈ Nn dãy (xα Dβ ϕj (x)) hội tụ đều về 0 trong Rn khi j → ∞.
Với tôpô này, không gian S là một không gian đầy đủ.
Định lý 1.1. Không gian Schwartz S trù mật trong không gian Lp (Rn ), 1 ≤
p < ∞.
Không gian S không trù mật trong không gian L∞ (Rn ).


6

Định nghĩa 1.4. Không gian S (Rn ) là không gian véc tơ gồm tất cả
các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(Rn ). Mỗi phần tử của S (Rn )
được gọi là một hàm suy rộng tăng chậm.
Chú ý 1.2. Tôpô trên S (Rn ) là tôpô yếu∗ và S (Rn ) cũng là một không
gian đầy đủ.
Bổ đề 1.2. D(Rn ) = C0∞ (Rn ) là một không gian trù mật của không gian
S(Rn ).
Định lý 1.2. Ánh xạ J : Λ → Λ từ không gian S (Rn ) vào không gian
D (Rn ) được định nghĩa như sau
Λ , ϕ = Λ(ϕ), ϕ ∈ D(Rn )
là đơn ánh và do đó S (Rn ) ⊂ D (Rn ) .
Bổ đề 1.3. Với 1 ≤ p < ∞ và f ∈ Lp (Rn ). Ánh xạ ϕ →

f ϕdx với
Rn

ϕ ∈ S(Rn ) xác định một hàm suy rộng. Theo Bổ đề 1.1, với mỗi p ta có
một đơn ánh liên tục từ Lp (Rn ) vào S (Rn ), do đó Lp (Rn ) ⊂ S (Rn ). Ta
gọi mỗi hàm thuộc Lp (Rn ) là hàm suy rộng chính quy.
Mệnh đề 1.1 (Mối quan hệ giữa các không gian hàm).
D(Rn ) ⊂ S(Rn )
S (Rn ) ⊂ D (Rn )
1.1.3.

Không gian Lp , 1 ≤ p < ∞ và không gian L∞

Định nghĩa 1.5. Giả sử Ω là tập mở trong Rn và p là một số thực thỏa
mãn 1 ≤ p < ∞. Kí hiệu Lp (Ω) là tập hợp tất cả các hàm f xác định và

7

đo được theo độ đo Lebesgue trên Ω với |f |p khả tích trên Ω , có nghĩa
là:
|f (x)|p dx < ∞.
Ω

Với phép cộng hai hàm số thông thường và phép nhân hàm số với một
số, Lp (Ω) làm thành không gian tuyến tính thực (hoặc phức). Chuẩn
của hàm f thuộc Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, được xác định bởi:

 p1
|f (x)|p dx .

||f | |p = 
Ω

Với chuẩn này Lp (Ω) làm thành một không gian định chuẩn và được gọi
là không gian Lp (Ω).
Định nghĩa 1.6. Một hàm f đo được trên Ω được gọi là bị chặn cốt
yếu trên Ω nếu tồn tại một hằng số k > 0 sao cho
|f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên Ω.

(1.1)

Hằng số k nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là cận trên cốt yếu của f
trên Ω và được ký hiệu là esssup |f (x)|.
x∈Ω
∞

Ký hiệu L (Ω) là không gian véc tơ các hàm f bị chặn cốt yếu trên Ω.
Chuẩn của hàm f thuộc L∞ (Ω) được xác định bởi:
f

∞

= esssup |f (x)| = inf {k : |f (x)| ≤ k h.k.n x ∈ Ω} .
x∈Ω

Định lý 1.3 (Định lí Fischer - Riesz). Giả sử Ω là một tập mở trong
Rn . Với mỗi p ∈ [1; ∞], Lp (Ω) là một không gian Banach.
Định lý 1.4. L2 (Rn ) là một không gian Hillbert với tích vô hướng
(u, v) =

u(x)v(v)dx
Rn


8

và chuẩn tương ứng
 21



|u(x)|2 dx .

||u| | = 
Rn

Định lý 1.5. Tập hợp C0∞ (Rn ) các hàm khả vi vô hạn giá compact trong
Rn trù mật trong Lp (Rn ), 1 ≤ p < ∞.
Định lý 1.6 (Định lí Tonelli). Giả sử Ω1 ⊂ Rn , Ω2 ⊂ Rm là những
tập mở và F : Ω1 × Ω2 → R là hàm đo được. Giả thiết rằng: F :
Ω1 × Ω2 → R với hầu khắp nơi x ∈ Ω1 và

|F (x, y)| dy < ∞ thế

dx
Ω1

Ω2

1

thì F ∈ L (Ω1 × Ω2 ).
Định lý 1.7 (Định lí Fubini). Giả sử Ω1 ⊂ Rn , Ω2 ⊂ Rm là những tập
mở và F ∈ L1 (Ω1 × Ω2 ), thế thì với hầu khắp x ∈ Ω1 , F (x, .) ∈ L1 (Ω2 )
và
|F (., y)| dy ∈ L1 (Ω1 )
Ω2

hay cũng vậy với hầu khắp y ∈ Ω2 , F (., y) ∈ L1 (Ω1 ) và
|F (x, .)| dx ∈ L1 (Ω2 )
Ω1

Hơn nữa chúng ta có:
dx
Ω1

F (x, y)dy =
Ω2

dy
Ω2

F (x, y)dx =
Ω1

F (x, y)dxdy.

Ω1 ×Ω2

Định lý 1.8 (Bất đẳng thức Minkowski). Giả sử hàm số f (x, y), x, y ∈
Rn xác định và đo được trên Rn × Rn sao cho với mỗi y ∈ Rn , f (., y) ∈


9

Lp (Rn ), 1 ≤ p < ∞. Khi đó:
 p1

p



p



f (x, y)dy dx ≤ 


Rn R n

 p1

f (x, y)dx dy  .

Rn R n

Định lý 1.9 (Bất đẳng thức H¨older). Giả sử Ω ⊂ Rn là tập mở và các
hàm f, g ∈ L2 (Ω). Khi đó hàm f g ∈ L1 (Ω) và


 21 

|f (x)g(x)| dx ≤ 

|f (x)|2 dx 

Ω

1.1.4.

 21
|g(x)|2 dx .
Ω

Ω

Không gian BM O

Ký hiệu Q là hình lập phương có các cạnh song song với các trục tọa
độ.
Định nghĩa 1.7. Cho f là hàm khả tích địa phương xác định trên Rn ,
n ≥ 1. Ký hiệu fQ# là dao động trung bình của f trong hình lập phương
Q
fQ# =

1
|Q|

|f (x) − fQ |dx,
Q

trong đó
fQ =

1
|Q|

f (x)dx.
Q

Hàm toán tử # : f → f # được định nghĩa như sau:
#
f # (x) = sup fQ(x;r)
,

(1.2)

r>0

trong đó Q(x; r) là một hình lập phương có tâm tại x và có đường kính
(Q) = r.


10

Định nghĩa 1.8. Hàm f được gọi là hàm có dao động trung bình bị
chặn nếu f # ∈ L∞ (Rn ). Không gian tất cả các hàm f có dao động trung
bình bị chặn được ký hiệu là BM O(Rn ) hay BM O. Chuẩn của hàm
f ∈ BM O, ký hiệu là f ∗ , xác định bởi f

∗

= f#

L∞ .

Khi đó, BM O(Rn ) là một không gian Banach. Hơn nữa,
f

∗

= 0 nếu f ≡ hằng số.

Do đó, mỗi phần tử trong BM O thật ra là một lớp tương đương. Chính

xác hơn,
f = g trong BM O ⇔ f − g = hằng số.
Ngoài ra, ta có thể thay fQ , giá trị trung bình của f trên Q, bằng bất kỳ
hằng số nào. Chính xác hơn, ta có thể chứng minh rằng f ∈ BM O(Rn )
khi và chỉ khi với bất kỳ hình lập phương Q ⊂ Rn , tồn tại một hằng số
CQ (phụ thuộc Q) sao cho
sup
Q

1
|Q|

|f (x) − CQ (x)|dx < ∞.
Q

Nhận xét 1.1.
1. Ký hiệu
f
Khi đó các chuẩn f

∗∗

∗

= sup inf
Q

C

và f

∗∗

1
|Q|

|f (x) − C|dx.
Q

là tương đương.

2. Dễ thấy L∞ ⊂ BM O, nhưng BM O ⊂ L∞ . Một phản ví dụ nổi tiếng
là log |x| ∈ BM O(Rn )\L∞ (Rn ). Một hiện tượng thú vị khác đó là, nói
chung ta không thể địa phương hóa một hàm BM O. Một phản ví dụ là
hàm χ[0,∞) log |x| ∈
/ BM O(R) mặc dù log |x| ∈ BM O(R).


11

3. Ta có
“f ∈ BM O(Rn ) ⇔

|f (x) − fQ |dx < ∞”
Q

kéo theo
|f (x) − fQ |p dx < ∞, với 1 ≤ p < ∞”.

“f ∈ BM O(Rn ) ⇔

Q

Ngoài ra, ta có thể đưa ra giả thiết yếu hơn về

Q |f (x)

− fQ |dx < ∞

để mô tả đặc điểm của BM O(Rn ). Ký hiệu
µQ (α) = |{x ∈ Q : |f (x) − fQ | > α}|,

(1.3)

trong đó |A| là độ đo Lebesgue của tập A. Khi đó ta có
Mệnh đề 1.2. Nếu tồn tại hai hằng số B, β sao cho, với mọi hình lập
phương Q,
µQ (α) ≤ B · |Q| · e−βα

(1.4)

thì f ∈ BM O(Rn ).
Thật ra, tính chất (1.4) đặc trưng tính chất của BM O. Nhưng ta có
thể phát biểu dạng tổng quát hơn. Cho Φ : R+ → R+ là hàm liên tục
đơn điệu tăng thỏa mãn Φ(R+ ) = R+ và
Φ(α + β) ≤ CΦ (Φ(α) + Φ(β) + 1),

với mọi α, β ∈ R+ ,

với CΦ ≥ 1 là hằng số chỉ phụ thuộc Φ. Ký hiệu
BM OΦ (Rn ) =

=

n
f ∈ LΦ
loc (R ) : f

∗,Φ

= Φ−1 sup inf

Q CQ ∈C

Φ(|f (x) − CQ |)dx
Q

<∞ .


12

Nếu Φ(x) = xp thì ta viết BM Op (Rn ), thay cho BM OΦ . Khi đó BM Op (Rn )
là lớp tất cả các hàm đo được sao cho
f

p
∗,p

= sup
Q

1
|Q|

|f (x) − fQ |p dx < ∞,
Q

với BM O1 = BM O.
Định lý 1.10 (Bất đẳng thức John-Nirenberg). Với mọi f ∈ BM OΦ ,
với mọi Q ⊂ Rn , và α > 0, tồn tại hằng số B chỉ phụ thuộc số chiều n
và hằng số bf sao cho
1
α
µQ (α) ≤ B · exp −
|Q|
bf

(1.5)

trong đó µQ (α) được xác định bởi (1.3).
Hệ quả 1.1. Giả sử f là một hàm đo được sao cho với mọi hình lập
phương Q tồn tại một hằng số CQ để
sup
Q

1
|{x ∈ Q : |f (x) − CQ |}| = ψ(α) → 0,
Q

khi α → ∞.

Khi đó f ∈ BM O(Rn ).
Một trong các ứng dụng của bất đẳng thức John-Nirenberg là để chứng
minh rằng mọi BM Op (Rn ) là tương đương khi 1 ≤ p < ∞. Thật vậy,
Giả sử rằng f ∈ BM Op (Rn ). Vì Φ(x) = xp , ta có
Φ(α + β) ≤ Cp (Φ(α) + Φ(β)).
Ngoài ra, ta có thể chọn hằng số B như trong (1.4) bằng e. Do đó, hằng
số bf sẽ là
(Cp 2n e f

p
∗,p

+ Cp f

p p1
∗,p )

= Cp f

∗,p .


13

Do đó, ta có thể viết (1.5) như sau:
1
α
|{x ∈ Q : |f (x) − cQ | > α}| ≤ e · exp −
|Q|
Cp f

.
∗,p

Từ đó suy ra
f

∗

= sup
Q

1
|Q|

|f (x) − cQ |dx
Q

∞

≤e·

exp −
0

α
Cp f

dα ≤ C˜p · f

∗,p .

∗,p

Tương tự, ta có
f

∗,p

1
p

1
= sup
|Q|
Q

|f (x) − cQ |dx
Q

∞

≤ Cp

α

α
p−1 − Cp f

e

1
p
∗

dα

0

≤ C˜p · f ∗ .
Bây giờ ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.2. Cho 1 ≤ p < ∞, khi đó BM Op (Rn ) = BM O(Rn ). Chính
xác hơn,
Cp−1 f

∗,p

≤ f

∗

≤ Cp f

∗,p .

Bây giờ chúng ta phát biểu định lý cực đại của hàm toán tử # dựa
theo C. Fefferman và E.M. Stein. Định lý này cho phép nội suy giữa
không gian Lp và không gian BM O.
Định lý 1.11 (Hàm toán tử #). Cho 1 < p < ∞. Với mọi f ∈ Lp (Rn )
tồn tại một hằng số Cp , độc lập với f , chỉ phụ thuộc n và p, sao cho

Cp−1 f

Lp

≤ f#

Lp (Rn )

≤ Cp f

Lp

(1.6)


14

và do đó
f ∈ Lp (Rn ) ⇔ f # ∈ Lp (Rn ).

(1.7)

Định lý 1.12. Nếu f ∈ BM O ∩ L1 thì f ∈ Lp , 1 ≤ p ≤ ∞. Ngoài ra,
f

Lp

≤ Cp · f

1

p

L1

· f

1
p

∗

.

Định lý 1.13 (Định lý nội suy giữa Lp và BM O). Cho 1 < p < ∞ và
T là một toán tử tuyến tính, liên tục từ Lp vào chính nó và từ L∞ vào
BM O, tức là
T : Lp (Rn ) → Lp (Rn ) và T : L∞ (Rn ) → BM O(Rn )
liên tục. Khi đó T : Lq (Rn ) → Lq (Rn ) liên tục với mọi p < q < ∞.

1.2.

Phép biến đổi Fourier

1.2.1.

Phép biến đổi Fourier trong không gian L1

Định nghĩa 1.9. Nếu f ∈ L1 (Rn ) thì phép biến đổi Fourier của f được
định nghĩa bởi
F f (ξ) = f (ξ) = (2π)

−n
2

e−ixξ f (x)dx, ξ ∈ Rn
Rn

trong đó xξ = x1 ξ1 + x2 ξ2 + ... + xn ξn .
Định nghĩa 1.10. Nếu các hàm u, ϕ ∈ L1 (Rn ) thì tích chập của u và ϕ
kí hiệu là u ∗ ϕ, được định nghĩa bởi
(u ∗ ϕ)(x) =

u(y)ϕ(x − y)dy.
Rn


15

Định lý 1.14 (Phép biến đổi Fourier của tích chập). Nếu các hàm
u, ϕ ∈ L1 (Rn ) thì
n

(u ∗ ϕ)(ξ) = (2π) 2 u(ξ)ϕ(ξ).
Định lý 1.15. Cho u, ϕ ∈ L1 (Rn ), khi đó phép biến đổi Fourier của f
có các tính chất sau:
1. f ∈ L∞ (Rn ) và f

L∞ (Rn )

≤ f

L1 (Rn )

.

2.f liên tục trên Rn .
3. f (ξ) → 0 khi ξ → ∞.
4. Nếu fj → f trong L1 (Rn ) khi j → ∞ thì fj hội tụ đều đến f trong
Rn khi j → ∞.
Mệnh đề 1.3. Nếu f ∈ C0∞ (Rn ) và Dα f ∈ L1 (Rn ) thì Dα f = (ξ)α f (ξ).
Mệnh đề 1.4. Nếu f, g ∈ L1 (Rn ) thì

f (x)g(x)dx =
Rn

1.2.2.

f (x)g(x)dx.
Rn

Phép biến đổi Fourier trong không gian Schawrtz

Định nghĩa 1.11. Biến đổi Fourier của hàm f ∈ S(Rn ) là hàm số, ký
hiệu F f hoặc fˆ, được định nghĩa bởi:
F f (ξ) = (2π)

−n
2

e−ixξ f (x)dx, ξ ∈ Rn

Rn

Định nghĩa 1.12. Biến đổi Fourier ngược của hàm f ∈ S(Rn ) là hàm
số, ký hiệu F −1 f , được định nghĩa bởi:
F −1 f (x) = (2π)

−n
2

eixξ f (ξ)dξ, x ∈ Rn
Rn


16

Mệnh đề 1.5. Cho f ∈ S(Rn ) khi đó ta có:
1. f ∈ S(Rn ).
2. Dα f = (ξ)α f (ξ) với mọi đa chỉ số α.
3. xα f = (−Dξ )α f (ξ) với mọi đa chỉ số α.
4. Ánh xạ f → f là ánh xạ liên tục trên S(Rn ).
Mệnh đề 1.6. Cho f, g ∈ S(Rn ) khi đó ta có:
f (x)g(x)dx =

1.

f (x)g(x)dx
Rn

Rn

n

2. (f ∗ g)(ξ) = (2π) 2 f (ξ).g(ξ)
n

3. (f.g)(ξ) = (2π) 2 f (ξ) ∗ g(ξ)

Định lý 1.16. Phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu từ S(Rn ) lên
S(Rn ) . Hơn nữa, với mỗi f ∈ S(Rn ), ta có:
n

eixξ f (ξ)dξ.

f (x) = (2π) 2

Rn

Định lý 1.17. Đối với mỗi u, v ∈ S ta có đẳng thức:
u(x)v(x)dx =
Rn

u(ξ)v(ξ)dξ
Rn

Nhận xét 1.2. Từ Định lí 1.17, chọn u = v ta nhận được:
|u(x)|2 dx =
Rn

|u(ξ)|2 gξ
Rn

với mọi u ∈ S đẳng thức này có tên là đẳng thức Parseval.
1.2.3.

Phép biến đổi Fourier trong không gian L2

Định nghĩa 1.13. Giả sử f ∈ L2 (Rn ). Do S(Rn ) trù mật trong L2 (Rn )
n
nên tồn tại dãy {fj }∞
j=1 ⊂ S(R ) sao cho fj − f

L2 (Rn )

→ 0 khi j → ∞.


17
2
n
Từ đó dãy {fj }∞
j=1 là dãy Cauchy trong L (R ). Từ đây và do đẳng thức
∞

Parseval suy ra dãy fj

cũng là dãy Cauchy trong L2 (Rn ).

j=1

Do L2 (Rn ) là đầy, nên dãy

∞

fj

hội tụ đến một hàm nào đó mà ta
j=1

ký hiệu là f và gọi đó là phép biến đổi Fourier của hàm f ∈ L2 (Rn ).
Định lý 1.18. Nếu f ∈ L2 (Rn ) thì f ∈ L2 (Rn ) và ta có:
f

L2 (Rn )

= f

L2 (Rn )

.

Định lý 1.19. Nếu u, φ ∈ L2 (Rn ) thì
n

(u ∗ φ)(ξ) = (2π) 2 u(ξ)φ(ξ).
Mệnh đề 1.7 (Công thức tổng Poisson). Giả sử f ∈ L2 (Rn ) thỏa mãn
các điều kiện:
f (x + 2πk) hội tụ khắp nơi về hàm liên tục nào đó.

1. Chuỗi
k∈Zn

f (k)eikx hội tụ khắp nơi, thế thì với mọi α, β > 0

2. Chuỗi Fourier
k∈Zn

mà αβ = 2π, đẳng thức sau đây là đúng:
αn
f (βk) =
(2π)n
n

k∈Z

f (αk)
k∈Zn

Đẳng thức này được gọi là công thức tổng Poisson.

1.3.

Không gian Sobolev H s,2(Rn)

Định nghĩa 1.14. Với s ∈ R, không gian Sobolev H s,2 (Rn ) là tập hợp
tất cả các hàm rộng tăng chậm u trên Rn sao cho
σ−s u ∈ L2 (Rn )


18
2

trong đó σs (ξ) = 1 + |ξ|
.

s,2

−s
2

, ξ ∈ Rn , u là biến đổi Fourier của u. Chuẩn

trong không gian H s,2 (Rn ) được xác định bởi
 12


u

s,2

s

1 + |ξ|2

=

|u(ξ)|2 dξ 

Rn

Đặc biệt khi s = 0 thì H 0,2 (Rn ) = L2 (Rn ).

Mệnh đề 1.8. Nếu s1 , s2 ∈ Rn mà s1 < s2 thì
H s2 ,2 (Rn ) ⊂ H s1 ,2 (Rn )
và
u

s1 ,2

≤ u

s2 ,2 .

Mệnh đề 1.9. Tập hợp C0∞ (Rn ) trù mật khắp nơi trong không gian
H 0,2 (Rn ).
Mệnh đề 1.10. H 0,2 (Rn ) là một không gian Hilbert với chuẩn tương ứng
.

s,2 .

Định lý 1.20. (Bổ đề Sobolev) Nếu u ∈ H 0,2 (Rn ) với s > k + 21 , k ∈
Z, k

1.4.

0, thì u bằng với một hàm v ∈ C k (Rn ) hầu khắp nơi.

Một số không gian hàm xác định trên Zn

Định nghĩa 1.15 (Không gian Schwartz S(Zn )). Ta ký hiệu S(Zn ) là
không gian các hàm giảm nhanh ϕ : Zn → C. Tức là ϕ ∈ S(Zn ) khi và
chỉ khi với mọi 0 < M < ∞, tồn tại hằng số Cϕ,M sao cho

|ϕ(ξ)| ≤ Cϕ,M ξ

−M

, ∀ξ ∈ Zn ,


19

cùng với tô pô xác định bởi họ nửa chuẩn pk (ϕ) = sup ξ k |ϕ(ξ)| với mọi
k ∈ N.
Ký hiệu S (Zn ) là không gian đối ngẫu của S(Zn ). Nó bao gồm tất cả
các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(Zn ) có dạng
ϕ → u, ϕ :=

u(ξ)ϕ(ξ),
ξ∈Zn

ở đó hàm u : Zn → C tăng trưởng kiểu đa thức ở vô tận, tức là tồn tại
một hằng số M < ∞ và Cu,M sao cho
|u(ξ)| ≤ Cu,M ξ

M

với mọi ξ ∈ Zn .
Định nghĩa 1.16 (Không gian Lp (Zn )). Cho 1 ≤ p ≤ ∞, chúng ta xác
định các không gian hàm sau:
(i) Lp (Zn ) = {f : Zn → C :

|f (n)|p < ∞} với chuẩn

n∈Zn

f

Lp (Zn )

p

|f (n)|

=

1
p

.

n∈Zn

(ii)L∞ (Zn ) = {f : Zn → C : sup{|f (n)|, n ∈ Zn } < ∞} với chuẩn
f

L∞ (Zn )

= sup{|f (n)|, n ∈ Zn }.

Định nghĩa 1.17. Ký hiệu ej ∈ Nn , (ej )j = 1 và (ej )i = 0 nếu i = j.
Giả sử σ : Zn → C. Ta gọi là sai phân riêng theo biến thứ j của σ, ký
hiệu bởi ∆ξj , xác định bởi
∆ξj σ(ξ) = σ(ξ + ej ) − σ(ξ).

1

n

Ký hiệu ∆αξ = ∆αξ1 ...∆αξn với α ∈ Nn .


20

Bổ đề 1.4. Với mỗi đa chỉ số α ∈ Nn , ta có
α
ξ

σ (ξ) =

(−1)|α−β| Cαβ σ (ξ + β)

(1.8)

(−1)|β| Cαβ σ (ξ − β) .

(1.9)

β≤α

và
α
ξ σ (ξ)

=

β<α

Bằng phép quy nạp, ta có thể chứng minh được công thức Leibnitz
cho sai phân:
Bổ đề 1.5 (Công thức sai phân Leibnitz). Cho φ, ψ : Zn → C. Khi đó
Cαβ ∆βξ φ (ξ) ∆α−β
ψ(ξ + β).
ξ

∆αξ (φψ) (ξ) =

(1.10)

β≤α

Công thức tổng từng phần tương tự như công thức tích phân từng
phần:
Bổ đề 1.6.
φ (ξ) ∆αξ ψ (ξ) = (−1)|α|
ξ∈Zn

∆ξ

α t

φ (ξ) ψ (ξ),

(1.11)

ξ∈Zn

miễn là chuỗi ở cả hai vế hội tụ tuyệt đối.

1.5.

Một số không gian hàm trên xuyến

Định nghĩa 1.18 (Hàm tuần hoàn). Một hàm f : Rn → C tuần hoàn
chu kỳ 2π nếu f (x + k) = f (x) với mọi x ∈ Rn và k ∈ 2πZn . Chúng
ta đồng nhất hàm như vậy với hàm xác định trên Tn = Rn /2πZn =
{x + 2πZn : x ∈ Rn }.