Ứng dụng sai phân và phương trình sai phân để giải một số bài toán ở trường phổ thông (LV01742)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THÚY

ỨNG DỤNG SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:  TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2015
1 


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới 
sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn và truyền 
thụ những kinh nghiệm đồng thời cũng là người khơi nguồn cảm hứng cho tác 
giả trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên khích lệ tác giả 
vươn lên trong học tập và vượt qua khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày 
tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy 
 
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường  ĐHSP Hà Nội 2,
phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp 
chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. 
 

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường 
THPT Đông Anh­ Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập 
và hoàn thành tốt luận văn. 
 

 

 

 

 

 

 

 

Hà Nội, 15  tháng 6  năm 2015 

                                                 
                                                                  
 
 
 

Tác giả 
 
 

 
 

 
Nguyễn Thị Thúy

2 


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự 
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng. 
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà 
khoa học nghiên cứu và đồng nghiệp với sự trân trọng biết ơn. 
 
Hà Nội, 15 tháng 6  năm 2015 
                                                 
 
 

Tác giả 
 
 
 
 
Nguyễn Thị Thúy

3 

MỤC LỤC

Trang                 

Mở đầu……………………………………………………………………………………………….,..          5
Chương I: Sai phân, phương trình sai phân và hệ phương trình sai phân. 7
1.1. Dãy số ………………………………………………….....................................      .7 
       1.1.1. Dãy số hội tụ, dãy số phân kì……………………………………………….…..           7 
     1.2. Sai phân……………………………………………………..…………………         7 
      1.2.1. Định nghĩa sai phân…………………………………................................         7 
      1.2.2. Một số tính chất của sai phân ………………………………………….        . 8 
     1.3. Phương trình và hệ phương trình sai phân……………………………………..      11 
      1.3.1.  Phương trình sai phân tuyến tính………………………………………      11 
      1.3.2. Tuyến tính hóa………………………………………………....................        29 
      1.3.3. Phương trình sai phân với hệ số biến thiên…………………………..

32

      1.3.4. Hệ phương trình sai phân tuyến tính…………………………………..       35 
Chương II: Ứng dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông.

39

2.1. Bài toán tính tổng ………………………………………………………….      39 
2.2. Bài toán tìm số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số……………………       53 
2.3. Bài toán sai phân trong trong phương trình hàm…………………………….     71 
2.4. Bài toán sai phân trong tích phân truy hồi……………………….…………….        80 
Chương III: Ứng dụng của phương trình sai phân giải một số bài toán ở
phổ thông.
3.1. Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 …..……………..…      85 

3.2. Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2, cấp 3……….….       91 

Kết luận.………………………………………………………………………………   100 
Tài liệu tham khảo.…………………………………………………………….…   101 
 

4 


Mở đầu
 

1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây do sự phát triển mạnh mẽ của giải tích số nên 

việc  ứng  dụng  của  nó  trong  khoa  học  và  trong  thực  tiễn  ngày  càng  sâu  rộng. 
Phương  trình  sai  phân  là  một  lĩnh  vực  được  nhiều  nhà  khoa  học  quan  tâm, 
nghiên  cứu.  Các  kết  quả  nghiên  cứu  của  phương  trình  sai  phân  được  áp  dụng 
trong một  số  lĩnh vực như: toán học, kinh tế, kỹ thuật tín hiệu số, lý thuyết hệ 
động lực rời rạc, đặc biệt cả trong lĩnh vực toán phổ thông.  
Trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, tôi sẽ nghiên cứu một số ứng 
dụng của sai phân và phương trình sai phân trong việc giải một số bài toán ở phổ 
thông nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi 
của tôi được tốt hơn.  
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các vấn đề đó nên tôi đã chọn nghiên 
cứu đề tài:  
‘Ứng dụng sai phân và phương trình sai phân giải một số bài toán ở
trường phổ thông’
Do điều  kiện về thời gian và năng lực còn hạn chế nên có những vấn đề 
không thể được như mong muốn. 

2. Mục đích nghiên cứu
 

Nghiên cứu sai phân, phương trình sai phân. 

          Sưu  tầm  và  giải  một  số  bài toán  dùng  để  bồi  dưỡng  học  sinh  khá  giỏi  ở 
phổ thông được giải bằng sai phân và phương trình sai phân. 
 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải một số phương trình sai phân và hệ phương trình sai 

phân.   
 

4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

5 


Phương pháp sai phân, phương trình sai phân.  
Ứng dụng sai phân, phương trình sai phân giải một số bài toán phổ thông. 
Phạm vi nghiên cứu là những bài toán cho học sinh khá giỏi ở phổ thông. 
 

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kiến thức của giải tích, đại số tuyến tính. 
Vận  dụng  sai  phân  và  phương  trình  sai  phân  để  giải  các  bài  toán  cụ  thể 

trong toán phổ thông. 

6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo luận văn 
còn bao gồm 3 chương. 
CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân. 
CHƯƠNG II: Ứng dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông. 
Chương  III.  Ứng dụng của phương trình sai phân giải một  số  bài toán ở 
phổ thông. 
 

7. Đóng góp của luận văn
Luận văn đã trình bày được một số ứng dụng của sai phân và phương trình 

sai phân vào việc giải một số bài toán cho học sinh khá giỏi ở trường phổ thông. 
Hy vọng luận văn có thể phần nào giúp tác giả trong công việc bồi dưỡng học 
sinh giỏi tại trường THPT Đông Anh. 

6 


CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình
sai phân.
1.1 Dãy số
1.1.1. Dãy số hội tụ, dãy số phân kì
a) Dãy số 
Một hàm số  x  xác định trên tập các số tự nhiên   được gọi là dãy số. Đối với 
dãy số người ta thường viết  xn thay cho kiểu viết thông thường của hàm số  
x(n), n    

b) Một số dãy cơ bản 
Dãy số tự nhiên ký hiệu là    có dạng      0, 1, 2, ..., n, ...    

Dãy số tự nhiên khác không ký hiệu là  *  có dạng    *  1, 2, ..., n, ...    
Dãy số nguyên dương     có dạng       1, 2, ..., n, ...  
Dãy số   xn    được gọi là: 
 

Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho  xn  M  n  1, 2, ...  
Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho  xn  m  n  1, 2, ...  
Bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. 

c) Dãy số hội tụ, dãy phân kì.  
Ta nói rằng dãy số   xn   có giới hạn là  a  ( dãy số hội tụ )  nghĩa là: Với 
mọi số dương    nhỏ tùy ý  cho trước, tồn tại một số tự nhiên    sao cho với mọi 
n  N  thì  xn  a   .  Ta viết  lim xn  a  

 (  a  hữu hạn ) 

Dãy số không có giới hạn hay không hội tụ được gọi là dãy số phân kì.  
1.2. Sai phân
1.2.1. Định nghĩa sai phân.
Định nghĩa 1.
Giả sử f : R  R là một hàm số cho trước và h là một hằng số khác 0.

7 


Ta gọi hiệu:  0 f ( x)  f ( x) là sai phân cấp 0 của hàm số y  f ( x)
1 f ( x)  f ( x  h)  f ( x) là sai phân cấp 1 của hàm số y  f ( x)
 2 f ( x)  (1 f ( x))  f ( x  h)  f ( x)  f ( x  2h)  2 f ( x  h)  f ( x) là

sai phân cấp 2 của hàm số y  f ( x)

......
n

 n f ( x)     n 1 f ( x)    Cnk f ( x  hk ).(1) k 1 là sai phân cấp n
k 0

của hàm số y  f ( x)
Định nghĩa 2: Ta gọi hiệu xn  xn 1  xn là sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm
số x ( n)  xn với n  * hoặc n   hoặc n         
Định nghĩa 3: Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân cấp 1
của xn , và nói chung sai phân cấp k của hàm xn là sai phân của sai phân cấp
k  1 của hàm số đó.

Như vậy,  
Sai phân cấp 2 của hàm  xn  là:  2 xn  (xn )  xn 1  xn  
                                                

 xn      2 –  xn     1 –    xn     1 –  xn 
 xn  2 –  2 xn 1   xn

            

Sai phân cấp 3 của hàm  xn  là:  3 xn  ( 2 xn )   2 xn 1   2 xn  
                              

                                    

  xn    3 –  2 xn      2   xn     1 –   ( xn      2   2 xn   1   xn )
 xn    3­   3xn    2   3xn     1 –  xn

 

 Nói chung, sai phân cấp  k  của hàm  xn  là: 
k
k

k 1

k 1

k 1

              xn  ( xn )     xn 1   xn   (1)i .Cki .xn  k i ,  
i 0

1.2.2. Một số tính chất của sai phân
Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có biểu diễn qua các giá trị của hàm số
Chứng minh. Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức   a  . 

8 

a


Thật vậy với  k  1 , ta có  xn  xn 1  xn  C10 xn   1 – C11  xn .
Vậy công thức   a  đúng với  k  1  
Giả sử   a  đúng với  k , có nghĩa là 
 

k

                     

 k xn   (1)i .Cki .xn  k i ,    
i 0

Ta chứng minh   a   đúng với  k  1 , tức là 
k

k

 k     1 xn    k xn   1   k xn   (1)i Cki xn  1    k   –  i –  (1)i Cki xn     k   – i   
i 0

i 0

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số  i  là  i  1 , sau đó thay  i  bằng  i , ta được 
k

k |1

k 1
i

i 1

 (1) x

n  k   –  i

i 0

i 1
k
n   k     1  – i

   (1) .C x
i 1

  ­ (1)i .Cki 1 xn     k     1  – i .
i 1

 

Bởi vậy 
k



k     1

k 1
i

i
k

xn    (1) C xn  k     1  –  i     (1)iCki 1 xn   k     1  –  i .  
i 0

i 1

k

  (1)i (Cki  Cki 1 ) xn   k     1  –  i  +x n  k 1 +(­1) k 1  xn
i 1

k 1

   (1)i (Cki 1 ) xn   k     1  – i  +  xn   k     1  +  1

k     1

xn

  

i 1

k 1

  (1)iCki 1 xn   k     1  –  i  +x n k 1 +(­1) k 1  xn
i 1

k 1

  (1)iCki 1 xn   k     1  –  i  
i 0

Vậy   a   đúng với  k  1  

Theo luật quy nạp, ta có công thức   a   đúng với mọi giá trị  n  nguyên dương. 
Tính chất 2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Chứng minh: Ta phải chứng minh 
 k  axn   byn     a k xn   b k yn   (k    1,2,)   
k

Thật vậy,  theo   a   ta có     k  axn   byn   =  (1)i Cki  axn    k   –  i   byn   k   – i     
i 1

9 


k

  

k

=  (1)i Cki axn    k   –  i   (1)i Cki byn    k   –  i
i 1

i 1

k

k

 a  (1)i Cki xn    k   –  i  b (1)i Cki yn    k   – i  
i 1

k

i 1

k

 a xn   b yn

Tính chất 3. Sai phân của đa thức bậc  n  là đa thức bậc  n  1 ,  
                      tức là  degP  x   n  thì  deg P  x   n  1
Chứng minh
Giả sử  degP  x   n  ta có  P  x   an x n  an1 x n1  ......  a1 x  a0 (an  0)  
Khi đó  
P  x   P( x  h)  P ( x)
 an ( x  h) n  an1 ( x  h) n 1  ......  a1 ( x  h)  a0  (an x n  an 1 x n 1  ......  a1 x  a0 )
 an (( x  h) n  x n )  an 1 (( x  h) n 1  x n 1 )  ......  a1h
n

 an   Cnk x n k h k  x n   an 1 (( x  h) n 1  x n1 )  ......  a1h
 k 0

n

 an  Cnk x n k h k  an1 (( x  h) n 1  x n 1 )  ......  a1h
k 1

 
Vì  Ch1an h  0  nên  deg P  x   n  1
Tổng quát. Sai phân cấp  k  của đa thức bậc  m  là: 
1. Đa thức bậc  m  k , nếu  k  m  

2. Hằng số nếu  k  m  
3. Bằng  0  khi  k  m   
Tính chất 4. Với    n      ta luôn luôn  có : 
N

                                k xn   k 1 xN 1   k 1 x j .  
n j
N

Đặc biệt:                 xn  xN 1  x j   
n j

Chứng minh:
10 


N

N

  k xn   ( k 1xn )
n j

n j
N

  ( k 1 xn1   k 1 xn )
n j

  k 1 xN 1   k 1 x j

1.3 Phương trình và hệ phương trình sai phân 
1.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính
1.3.1.1. Định nghĩa
a) Định nghĩa 1
Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một biểu thức tuyến tính
giữa các giá trị của hàm xn tại các thời điểm khác nhau:
Lh xn  a0 xn  k  a1 xn  k 1  ....  ak xk  f n                                           (1.1) 

Trong đó
+ Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác động lên hàm xn , xác định trên lưới có
bước lưới h .
+ a0 , a1 ,....., ak (a0  0, ak  0) là các hằng số hoặc các hàm số của n , được
gọi là các hệ số của phương trình sai phân.
+ f n là một hàm số của n được gọi là vế phải.
+ xn là các giá trị cần tìm được gọi ẩn.
 

Phương trình (1.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc  k , vì để 

tính được tất cả các giá trị  xn , ta phải cho trước  k  giá trị liên tiếp của  xn  theo 
công thức truy hồi. 
b) Định nghĩa 2
 Nếu f n  0 thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất.

11 


 Nếu f n  0 thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không

thuần nhất.
 Nếu f n  0 và a0 , a1 ,....., ak (a0  0, ak  0) là các hằng số thì (1.1) trở
thành
Lh xn  a0 xn  k  a1 xn  k 1  ....  ak xn  0

(1.2)

Khi đó (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc  k  với 
các hệ số là hằng số. 
1.3.1.2. Nghiệm
a) Nghiệm tổng quát
Hàm số  xn  biến  n , thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân 
tuyến tính (1.1). 
Hàm số  x n  phụ thuộc vào tham số  k , thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm tổng 
quát của (1.2) nếu với mọi tập giá trị ban đầu  x0 , x1 , ..., xk 1  ta đều xác định được 
duy nhất các tham số  C0 , C1 , ...., Ck 1  nghiệm  xn  trở thành nghiệm riêng của (1.2) 
tức là thỏa mãn (1.2) và thỏa mãn  x 0  x0 , x 1  x1 , ......, x k 1  xk 1  
Định lí 1: Nghiệm tổng quát xn của (1.1) bằng tổng x n và xn* với xn* là một
nghiệm riêng bất kì của (1.1). 
Chứng minh.
Thật vậy giả sử  xn  và  xn*  là hai nghiệm của (1.1) tức là    Lh xn  f n , Lh xn*  f n   
Do  Lh  tuyến tính nên  Lh xn  Lh xn*  Lh ( xn  xn* )  0   
                                                        xn  xn*  thỏa mãn (1.2)  
 x n  xn  xn*
  
  
 xn  x n  xn* (dpcm)

Định lí 2: Nếu xn1 , xn 2 , ..., xnk là k nghiệm độc lập tuyến tính của 1.2  , tức là từ
hệ thức c1 xn1  c2 xn 2  ....  ck xnk  0  c1  c2  .....  ck  0 thì nghiệm tổng quát

12 


xn của (1.2) có dạng x n  c1 xn1  c2 xn 2  ....  ck xnk , trong đó c1 , c2 , ....., ck là các

hằng số tùy ý.
Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của  Lh  ta có 
k

k

i

i

Lh x n  Lh  ci xni   ci Lh xni 0 . ( Vì giả thiết  xn1 , xn 2 , ..., xnk  là nghiệm của  1.2   

Vậy  x n  c1 xn1  c2 xn 2  ....  ck xnk  là nghiệm của  1.2   
Giả sử  x0 , x1 ,..., xk 1  là các giá trị ban đầu tùy ý. Ta chứng minh rằng có thể xác 
định duy nhất các hằng số  c1 , c2 , ...., ck để  x 0  x0 , x 1  x1 , ......, x k 1  xk 1 . Điều đó 
có nghĩa là hệ  
c1 x01  c2 x02  ................  ck x0 k  x0
c x  c x  ................  c x  x
 1 11 2 12
k 1k
1
  

........................................................


c1 xk 1,1  c2 xk 1,2  ......  ck xk 1,k  xk 1

có nghiệm duy nhất các hằng số   c1 , c2 , ...., ck  với mọi  x0 , x1 , ...., xk 1 . Muốn vây 

định thức 

 

x01

x02 ................x0 k

x11

x12 .................x1k

...................................
xk 1,1 c2 xk 1,2 ..........xk 1,k

 0 . Điều này có được từ tính độc lập tuyến 

tính của các véctơ nghiệm  xn1 , xn 2 , ...., ck xnk
Bây giờ ta tìm nghiệm   x n  của  1.2  và nghiệm  xn*  của  1.1  
Vì phương trình thuần nhất  1.2   luôn có nghiêm  xn  0  nên để tìm nghiệm tổng 
quát ta tìm  xn  dưới dạng  xn  c n , c  0,   0 . 
Thay  xn  c n  vào  1.2   ước lượng cho  c n  ta được  
Lh   a0 k  a1 k 1  .....  a k  0                                        1.3  

Phương trình (1.3)  được gọi là phương trình đặc trưng của (1.2). Nghiệm  x n  của 

1.2   và nghiệm  x  của   1.1  phụ thuộc vào cấu trúc nghiệm của  1.3
*
n

13 


TH1: Nếu (1.3) có  k  nghiệm thực khác nhau là  1 , 2 , ...., k  thì nghiệm tổng 
n

quát  x n  của (1.2) có dạng  x n  c11n  c22n  .....  ck kn   ci in  trong đó 
i 1

ci ( i  1, ..., k )   là các hằng số tùy ý. 
Chứng minh:
k
Ta có  Lh x n   c i Lh in  0  vì  Lh in  in (a0 k  a1 k 1  .....  a k )  0 .  
i 1

Theo (2.3)Ta lại có  
1
1 ...... 1
1
2 ...... k
      
...... ..... ...... ....



 (   )  0   vì     , i 
i

j

i

j

j   

k  i  j 1

kk 1 kk 1 ...... kk 1
k

Theo định lí 2 ta được  x n  c11n  c22n  .....  ck kn   ci in  là nghiệm tổng quát 
i 1

của (1.2). 
TH2: Nếu (1.3) có nghiệm thực   j  bội  s  thì ngoài nghiệm   jn  ta lấy thêm các 
véctơ bổ sung  n jn , n 2 jn , ..., n s 1 jn  cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của 
s 1

(1.2) và do đó  nghiệm tổng quát  x n  của (1.2) có dạng  x n    ij ni  jn 
i 0

k
n
i


i

 

i  j 1

trong đó   i ,  ij   là các hằng số tùy ý. 
TH3: Nếu (1.3) có nghiệm phức  i  a  bi  r (cos  isin )  trong đó  
b
r  i  a 2  b 2 ,  acgumen , (tan   ) , thì (1.3) cũng có nghiệm liên hợp 
a
phức   j  a  bi  r (cos  isin ) . Khi đó ta có 
n

 jn  r n (cosn  i sin n ),  j  r n (cosn  i sin n )  là các nghiệm của (1.2).  
Ta lấy  
n
1
x1nj  ( jn   j )  r n cosn
2
  
n
1 n
2
n
xnj  ( j   j )  r sinn
2i
Làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2). Khi đó theo định lí 2 ta được  

k
x n   A  n  r n ( B cosn  C sinn )  trong đó  A , B , C là các hằng số tùy ý 
i

i

j

j

j

j

j

i  j 1

TH4: Nếu (1.3) có nghiệm bội phức   j  bội s thì nó cũng có nghiệm liên hợp 
phức   j  bội  s  . Trong trường hợp này ngoài nghiệm  
14 


 j1  r n cosn ,    j1  sin n  ta cần lấy thêm  2n  2  véctơ bổ sung 
 j 2  r n ncosn ,   j 3  r n n 2cosn , ...,  js  r n n s 1cosn ,
 j 2  r n n sin n ,  j 3  r n n 2 sin n , ...,  js r n n s 1 sin n

 

Khi đó theo định lí 2 ta có:  

k
x n   Ci in  r n [( A1  A2 n  ....  As n s 1 )cosn  ( B1  B2 n  ....  Bs n s 1 )sinn ]  
i  j 1

trong đó  Ci , A1 , A2 , ..., As , B1 , B2 , ..., Bs  là các hằng số tùy ý. 
b) Nghiệm riêng xn*
Để tìm nghiệm riêng  xn*  của phương trình tuyến tính không thuần nhất  
Lh xn  a0 xn  k  a1 xn  k 1  ....  ak xk  f n  

Ta có thể xét các trường hợp đặc biệt có thể tìm nghiệm riêng  xn*
TH1: f n là đa thức bậc  m  của  n ;  f n  Pm (n), m     
+ Nếu các nghiệm  1 , 2 , ...., k  là các nghiệm khác  1  của phương trình đặc 
trưng, thì 
  xn*  Qm (n), m  .
Qm (n) là đa thức cùng bậc  m  với  f n . 

+ Nếu các nghiệm    bội  s  thì  
xn*  n sQm (n), m    

TH2: f n  Pm (n). n , m  N , trong đó  Pm (n) là đa thức bậc  m  của  n  
+ Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng đều là các nghiệm thực khác     
thì  xn* có dạng
                                    xn*  Qm (n). n           ( Qm (n)  cùng bậc với  f n ) 
+ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm      bội  s  thì  
                                   xn*  n s  n .Qm (n).  ( Qm (n) là đa thức của  n  cùng bậc với  f n ) 
TH3: f n   cos nx   sin nx,( ,  ) là các hằng số. Trong trường hợp này 
nghiệm riêng có dạng 
  xn*  A cos nx  B sin nx.   
15 

TH4:  f n  f n1  f n 2  ...  f ns , trong trường hợp này nghiệm riêng  xni* ứng với 
từng hàm   f ni , i  1, 2..., s . Nghiệm riêng  xn* ứng với hàm  f n  là  
xn*  xn*1  xn* 2  .....  xns*

( do tính tuyến tính của phương trình sai phân) 

 

1.3.1.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một
a) Định nghĩa
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một có dạng
axn 1   bxn  f n ,  a     0,  b     0   hoặc xn 1   qxn   f n ,   q     0    

1.4 

+ Nếu a, b, q là các hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp
một với hệ số hằng số.
+ Nếu a, b, q phụ thuộc n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp một
với hệ số biến thiên.
+ f n là một hàm của n , gọi là vế phải.
+ xn là ẩn.
+ Nếu f n  0 , ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất;
+ Nếu f n  0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
b) Nghiệm
Nghiệm tổng quát của (1.4) có dạng 
                                            xn  x n  xn*  ,  
trong đó                               x n  C n      với     b ,   
a

còn  xn*  là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính không 
thuần nhất. 
c) Một số phương pháp tìm nghiệm riêng xn* của phương trình sai phân
tuyến tính cấp một không thuần nhất.
Phương pháp chọn ( phương pháp hệ số bất định)
16 


+ Nếu  f n  là đa thức bậc  m  của  n :  f n  Pm (n), m   : 
           1)    1 thì  xn*  tìm được dưới dạng đa thức cùng bậc  a, b, q .  
                            xn*  Qm (n) ,  Qm (n)  là đa thức bậc  m  của  n . 
           2)    1  thì  
                           xn*  nQm (n) ,  Qm (n)  là đa thức bậc  m  của  n . 
+ Nếu  f n   n (  0,   0)  thì tìm  xn*  dưới dạng 
  

  1)  xn*  c n ,  nếu       

 

  2)  xn*  cn n ,  nếu      

Mở rộng
Nếu  f n  Pm (n)  n (   0)  thì tìm  xn*  dưới dạng 
       1)  xn*  Qm (n)  n , nếu     , ( Qm (n)  là đa thức bậc  m  của  n . 
       2)  xn*  Qm (n)n n , nếu     , ( Qm (n)  là đa thức bậc  m  của  n . 
Nếu  f n   cos nx   sin nx, ( 2   2  0, x  k , k  Z ) . Tìm  xn*  dưới dạng   
xn*  A cos nx  B sin nx.   

Nếu  f n  f n1  f n 2  ...  f ns ,  trong trường hợp này nghiệm riêng  xnk* ứng với 

từng hàm   f nk , k  1, 2..., s . Nghiệm riêng  xnk ứng với hàm  f n  là  
xnk  xn*1  xn* 2  .....  xns*

( do tính tuyến tính của phương trình sai phân) 
Phương pháp biến thiên hằng số
Xét phương trình         axn 1   bxn   f n     
b
Phương trình thuần nhất  axn 1   bxn  0  có nghiệm  x n  C  n ,(   )    
a

Để tìm nghiệm riêng, ta xem  C  biến thiên theo  n , có nghĩa là  C  là một hàm của 
n  và tìm  xn  Cn n . Thay vào phương trình sai phân, ta được 

17 


aCn 1 n 1   bCn  n   f n    
 b 
 aCn 1 n     bCn  n   f n    
 a 
                                            
  
  b n Cn 1 –  Cn        b n Cn   f n  
  Cn  

fn
b n

                     

Lấy tổng hai vế theo  k  từ  0  đến  n  1 , ta được 
 

Cn   Co ­ 

1 n 1 f k
   
b k 0  k

1 n1 f 

Vậy                          xn*  CO   kk  . n  
b k 0  


1.3.1.4. Phương trình sai phương tuyến tính cấp hai
a) Định nghĩa. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng
axn  2   bxn 1   cxn   f n , a  0,  c  0

hay

xn  2     pxn 1   qxn   f n   ,

(1.5)

q  0,

+ f n là một hàm của n , gọi là vế phải.
+ xn là ẩn.
+ Nếu a,  b,  c,  p,  q là các hằng số thì (1.5) gọi là phương trình sai phân

tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số.
+ Nếu a,  b,  c,  p,  q là các hàm số của n , thì (1.5) gọi là phương trình sai
phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.
+ Nếu f n  0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai
tương ứng với (1.5)
axn  2   bxn 1   cxn   0

hay

xn  2     pxn 1   qxn

+ Nếu f n  0 thì (1.5) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
không thuần nhất.

18 

(1.6)


b) Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai.
    Tương tự như phương trình sai phân tuyến tính cấp  n , nghiệm tổng quát của 
(1.5) có dạng   xn  x n  xn* , trong đó  x n  là nghiệm của phương trình sai phân 
tuyến tính thuần nhất (2.6) và  xn*  là một nghiệm riêng tuỳ ý của (1.5). 
Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát x n của phương trình thuần nhất (1.6) 
           Đặt    xn   n    Thay vào (2) ta có : 
                                a 2  b  c  0                                                               (1.7) 
Từ đó ta  có các trường hợp sau: 
TH1: Nếu phương trình đặc trưng (1.7)  có 2 ngiệm thực khác nhau  1  2  thì 
x n  A1n  B2n    trong đó  A,  B  là hai hằng số tuỳ ý. 

TH2: Nếu (1.7) có nghiệm thực kép  1  2    thì 
x n  ( A  Bn) n   trong đó  A,  B  là các hằng số bất kỳ.  

TH3: Nếu (1.7) có nghiệm phức        x  iy  r (cos +sin )  thì 
x n  r n ( A cos n  B sin n )  

           (với   i 2 =  1, r    x 2  y 2 ,   arctg

y
 )   
x

Chứng minh:
TH1: Do

1

1

1 2

 2  1  0 ,  nên   1n  và  2n  là 2 nghiệm độc lập tuyến tính  

của (1.6)   nên   x n  A1n  B2n  
TH2:  1  2    là số thực, nên  un   n là một nghiệm của (1.6). Ta tìm 
nghiệm thứ hai của (1.6) là  vn  dưới dạng:  vn   yn  n . Thay  vn  vào (1.6), ta 
được 
 

                               a. yn  2 n  2  byn 1 n 1  cyn  n   0  

19 


                               yn  2 2  byn 1 

c
  0   
a

b





2


1
2

a
Theo công thức Viet:  
 
c
2
 .   
 1 2
a

Nên ta được  
                           

 
yn  2 2 –  2 yn 1 2   yn  2   0
 yn  2   yn   2 yn 1

  

 vậy  yn  là cấp số cộng tuỳ ý. Để đơn giản, ta lấy  yn  n (n  )  và được 
vn  nn  

   Vì  
 

vn
 n  cont   nên  un , vn  độc lập tuyến tính và 
un

 

x n  ( A  Bn) n     (với  A,  B  là các hằng số tuỳ ý) 

TH3: Nếu (1.7) có nghiệm phức     r (cos +sin )  thì   n   sẽ là nghiệm (1.6).  
  Ta có       n  r n (cos +sin  ) n   
Theo công thức Moivre ta được    n  r n (cosn +sin n ) .
Nếu   n  là nghiệm phức thì phần thực và phần ảo cũng là nghiệm, nên ta được 2  
nghiệm   un  cos , vn  sin  .  
v

Hai nghiệm này độc lập tuyến tính, vì   n  tgn  cosnt.       
un
   Do vậy nghiệm       u n  A cos n  B sin n                                
Ví dụ 1:  Giải phương trình sai phân   
 

 xn  2     8 xn 1   9 xn
  

 x0   2, x1     8

Lời giải: Ta có phương trình đặc trưng    2  8  9  0 có nghiệm 
1  1, 2  9   
n.
          Do đó                           x n   A    B    9    
          Từ giả thiết ta có  
20 


                  

 x0  2
 A    B     2
 

 


 A    9 B       8  
 x1  8

 A  1 
  
                  
 B    1  
Vậy phương trình có nghiệm  x n  1  (9)n  
Ví dụ 2: Giải phương trình sai phân 
 xn  2   8 xn 1 –  16 xn
 
  
x

 1,
 
x

 16.
 0
1

 
Lời giải:

 Ta có phương trình đặc trưng   2  8  16  0 có ngiệm kép    4                                    
Do đó                           x n   (A    Bn) 4n   
Với giả thiết ban đầu đễ dàng tìm được  A  1, B  3  
Vậy phương trình có nghiệm  x n  (1  3n).4n  
Ví dụ 3: Giải phương trình sai phân 
 xn  2   xn 1   xn



1   
x

1,
 
x

.
1
 0
2

 
Lời giải:  

Ta có phương trình đặc trưng     2    1  0 có nghiệm    
Với    

1 i 3
. 
2

1 i 3


n
n
  
 cos   isin     n  cos

  isin
2
3
3
3
3

 x n  Acos

n
n
  Bsin
                                                              
3
3

 x0   1    A,
A 1

  

           
Theo giả thiết ta có    

1 1
3
B

0
x


 


B
 
  

 1

2 2
2

Vậy phương trình có nghiệm  x n  = cos

n
 . 
3

21 


Bước 2: Tìm nghiệm riêng xn  tùy ý của phương trình (1.5) 
Phương pháp chọn (còn gọi là phương pháp hệ số bất định).
Xét các trường hợp sau: 
TH1:   f n  là đa thức bậc k của  n :  f n  Pk (n) . 
+ Nếu (1.7) không có nghiệm    1 , thì tìm 
xn   Qk  n   ( Trong đó  Qk  n   là đa thức bậc  k  của  n ) 

 

+ Nếu (1.7) có nghiệm đơn    1 , thì  xn  nQk (n)   
+ Nếu (1.7) có nghiệm kép    1 , thì  xn  n 2Qk (n)  
Ví dụ 1. Tìm nghiệm riêng  xn  của phương trình sai phân 
 

xn  2     4 xn 1   5 xn   12n     8   

Lời giải:  
Phương trình đặc trưng   2  4  5  0 có nghiệm    1  và    5 . 
 Do vậy   

xn   n    an     b  .   

Thay vào phương trình sai phân, ta được  

 n  2   a  n  2    b   4  n  1  a  n  1  b  – 5n  an+ b   2n   8  
Cho  n  1  ta có  b   5    a  b   4  2a – 3b  2  
Cho  n  0  ta có   2  2a  b   4  a  b   8  4a  3b  4  
2a – 3b  2
Giải hệ  
 ta đựơc  a  1,  b  0  
4
a

3
b

4


Vậy nghiệm riêng của phương trình là  xn  n 2  ’ 
Ví dụ 2. Giải phương trình sai phân. 
2 xn      2 – 5 xn     1  2 xn    n 2 – 2n  3
              
  
x

1,
 
x

3.
 o
1

Lời giải:  

22 


Phương trình đặc trưng  2 2  5  2  0 có các nghiệm    2  và   
Do vậy     x n  A2n   B

1
 
2

1
,    xn   an 2   bn     c .     

n
2

thay  xn  vào phương trình sai phân, ta được  
2
2
2  a  n     2  + b  n     2   c   5[a  n     1 b  n  1  c  +2  an 2  bn  c 

  

2

   n –  2n     3

Đồng nhất hệ thức ta được  a  1,  b  c  0  
Vậy                 xn   n 2  và  xn  x n  xn*  A.22   B

1
 n2  
n
2

1
Với   xo  1   A +B,  x1  3   2 A   B  1  A  1,  B  0   
2

Vậy   xn   22   n 2.   
TH2:   f n   pk (n)  n ,  trong đó  pk (n)  là đa thức bậc  k  của  n . 
+ Nếu phương trình đặc trưng (1.7) không có nghiệm       thì tìm  
 

 

xn   Qk  n   n    

+ Nếu (1.7) có nghiệm đơn      thì 
                                             xn   nQk  n   n   
+ Nếu (1.7) có nghiệm kép 
                                             xn  n 2Qk  n   n   
trong đó  Qk  n  là đa thức bậc  k  của  n . 
Ví dụ 1. Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân 
 

2nn      2  5 xn     1  2 xn   35n  +51 .3n.   

Lời giải:  
1
Phương trình đặc trưng     2 2   5   2    0    có nghiệm  1     2, 2       
2

đều khác    3 , nên    xn   an     b  3n.   
23 


Thay  xn  vào phương trình đặc trưng và nhóm các số hạng đồng dạng, ta được      
              35an  51a  35b  35n  51  a  1, b  0  
Vậy                                xn*   n3n.
TH3:   f n  Pm (n)cos n    Qm (n) sin n    
                       trong đó  Pm (n)  và  Qm (n)  là các đa thức bậc . 
Nếu     cos   isin ,  không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.7) thì 

tìm  xn  dưới dạng 

 

 

xn   Tk (n)cos  n     Rk (n) sin n   

     ( trong đó  Tk (n)  và  RK  n   là các đa thức bậc  k  của  n ) 
Nếu     cos  isin  là nghiệm của phương trình đặc trưng thì tìm  xn  dưới 
dạng 

 

                                       xn  nTk (n)cos n  nRk (n) sin n    
    ( trong đó  Tk (n)  và  Rk (n)  là các đa thức bậc  k  của  n ) 
Ví dụ 1.  Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân 
                               xn  2

 3n 1  2 xn   n – 2  cos

n
n
 3  n  1 sin .                                
2
2

Lời giải:  
Phương trình đặc trưng   2    3   2    0   có nghiệm    1  và    2 , nên 
xn   an  b  cos

n
n
  cn  d  sin .   
2
2

Thay vào phương trình đang xét và đồng nhất hệ số ta có:
                                   xn  n.cos

n
 . 
2

c) Phương pháp biến thiên hằng số
Xét phương trình sai phân     xn  2     pn xn 1   qn xn   f n   ,
Có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất là 

24 

                         (1.8) 


                                                    xn  2     pn xn 1   qn xn

                                  (1.9) 

Nếu  un , vn  là hai nghiệm độc lập của (1.9) thì ta tìm nghiệm riêng của (1.8) 
dưới dạng                                 xn*  An .un  Bn vn    
Trong đó  An  và  Bn là hai hàm số của  n . Thay vào (1.6) ta được 

An  2un 2  Bn  2vn  2  pn ( An 1un1  Bn1vn 1 )  qn ( Anun  Bn vn ) (*)   

Ta có 
An  2un 2  pn An 1un 1  qn Anun  un 2 ( An  2  An 1 )  un  2 An 1  pn An 1un 1  qn . Anun
 un  2 A  An 1 ( pnun 1  qnun )  pn An 1un 1  qn . Anun  
 un  2 An 1  qnun An

( vì  un  2  pnun 1  qnun  theo giả thiết  un  là nghiệm của (1.9) 
Theo công thức sai phân của tích 
anbn  bn 1an  an bn    

ta có  (un 1An )  un 2  2 An  un1An   
và  
un  2 An1  qnun An  un  2 (An 1  An )  un 2 An  qnun An
 un 2  2 An  un  2 An  qnun An
  (un 1An1 )  un 1An  un  2 An  qnun An

  

  (un 1An1 )  An (un 2  un 1 )  qnun An

tương tự đố với  vn  ta có  
Bn  2 vn 2  pn Bn 1vn 1  qn Bn vn   (vn 1Bn 1 )  vn1Bn  qn vn Bn  

Thay vào (*) ta có 
 (un 1An )  (vn1Bn )  (un 1An  vn 1Bn )  qnun An  qn vn Bn  f n   

hay   (un 1An )  vn 1Bn )  (un 1An  vn 1Bn )  qn (un An  vn Bn )  f n  
un 1An  vn 1Bn  0
Suy ra  

 là đủ  
qn (un An  vn Bn  f n

Giải hệ này theo  An , Bn  ta được   An 
25 

vn 1 f n
u f
, Bn  n 1 n  
qnWn
qnWn