Phổ của một số toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ HỒNG HOA

PHỔ CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Bùi Thị Hồng Hoa

PHỔ CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Tạ Ngọc Trí

Hà Nội - 2015


1

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc Trí, người
đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo cho tôi trong quá trình làm luận văn.
Thông qua luận văn này, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy cô
giáo trong tổ Giải tích- khoa Toán- trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
cùng gia đình, bạn bè và các thành viên trong lớp Toán giải tích Khóa
17 đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Bùi Thị Hồng Hoa


2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn
của TS. Tạ Ngọc Trí. Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu
trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Các
thông tin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ
rõ nguồn gốc. Luận văn chưa được công bố trên bất kỳ tạp chí, phương
tiện thông tin nào.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Bùi Thị Hồng Hoa

3

MỤC LỤC

Mở đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Toán tử đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Phổ của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Phổ của toán tử compact

25

2.1

Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2

Luân phiên Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3 Tính chất về phổ của một số lớp toán tử

37

3.1

Toán tử đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2

Toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.3

Định lý phổ cho toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . .

43

3.4

Ví dụ cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Kết luận

55

Tài liệu tham khảo

56


4

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Sự phát triển Giải tích hàm đã là công cụ quan trọng cho việc giải

một số các hiện tượng trong vật lý và là tiền đề để phát triển các nhánh
mới của Toán học. Một trong số đó là Lý thuyết phổ. Mặc dù rất nhiều
kết quả thuộc Lý thuyết phổ có nguồn gốc đã lâu (như các kết quả của
Riesz) song có lẽ Lý thuyết phổ (Spectral Theory) được xem như một
nhánh nghiên cứu "riêng", chẳng hạn là một thư mục riêng trong các
bài báo tiền ấn phẩm ở đường link chỉ
vài chục năm trở về đây.
Từ xây dựng ban đầu của Hilbert cùng với sự phát triển sau này của
khái niệm không gian Hilbert trừu tượng dẫn đến các vấn đề về phổ của
một toán tử chuẩn tắc trên không gian Hilbert, một vấn đề trong vật
lý, lý thuyết cơ học lượng tử. Có rất nhiều nhà khoa học đã bỏ công để
nghiên cứu phát triển và làm giàu thêm các kết quả trong Lý thuyết phổ,
ví dụ như có Von Newman. Các kết quả đó có thể kể ra ở đây bao gồm
việc nghiên cứu sang đại số Banach theo một cách trừu tượng, hay đại
diện Gelfand trong các trường hợp giao hoán, phân tích điều hòa không
gian giao hoán và khác biệt nữa trong các phân tích Fourier. . . (Xin tham
khảo thêm ở Wikipedia mục viết về Lý thuyết phổ ).
Mặc dù ứng dụng của Lý thuyết phổ được sử dụng một cách rộng
rãi trong Vật lý, song trong các chương trình đào tạo bậc cử nhân và cả
thạc sĩ Toán học chưa có nhiều và sâu các nội dung về lý thuyết này. Vì
vậy với mong muốn tìm hiểu về Lý thuyết phổ và giúp những ai quan
tâm có thể có thêm kiến thức cở sở Lý thuyết phổ, với sự giúp đỡ nhiệt
tình của thầy TS. Tạ Ngọc Trí, tôi đã mạnh dạn thực hiện đề tài “ Phổ


5

của một số toán tử ”. Tôi hy vọng rằng đề tài này sẽ giúp tôi hiểu
thêm hơn nữa các vấn đề cơ bản của Lý thuyết phổ, giúp tôi các thông
tin hữu ích về Tính chất phổ của một số lớp toán tử và phổ của một số

toán tử cụ thể. Đặc biệt chúng tôi mong muốn được tìm hiểu một cách
tiếp cận mà không tách ra một cách cụ thể trường hợp toán tử tuyến
tính bị chặn và không bị chặn. Chúng tôi cũng hy vọng từ đó luận văn
này cũng giúp những ai quan tâm hiểu thêm về một số các vấn đề cơ
bản trong Lý thuyết phổ, làm tiền đề cho việc học tập nghiên cứu tiếp
theo.
2. Mục đích nghiên cứu
+ Giới thiệu một cách tổng quan các vấn đề cơ bản nhất về lý thuyết
phổ cho những người muốn tìm hiểu về vấn đề này.
+ Một số vấn đề chung liên quan đến phổ của toán tử compact, toán
tử tự liên hợp và phổ của một số toán tử cụ thể.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nghiên cứu cách trình bày về phổ mà không tách riêng nghiên cứu
toán tử bị chặn và không bị chặn. Nghiên cứu các tính chất cơ bản về
phổ của toán tử compact, toán tử tự liên hợp và một số ví dụ cụ thể về
phổ của toán tử tự liên hợp.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Cách tiếp cận về phổ của toán tử tuyến tính;
Phổ của toán tử compact, toán tử tự liên hợp và một số ví dụ cụ thể về
toán tử và phổ của toán tử tự liên hợp.
+ Phạm vi nghiên cứu: Tài liệu, các bài báo liên quan đến phổ của
toán tử compact, toán tử tự liên hợp.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề.
+ Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, phổ của toán tử
compact, toán tử tự liên hợp.
6. Đóng góp mới

6

+ Một tài liệu trình bày một cách tổng quan các vấn đề cơ bản nhất
về lý thuyết phổ
7. Nội dung
Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Phổ của toán tử compact
Chương 3: Tính chất về phổ của một số lớp toán tử


7

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Mở đầu

Kí hiệu. X = {0} , Y = {0}, và Z = {0} là các không gian Banach trên
C với chuẩn · (hoặc · X ). Không gian
L (X, Y ) = T : X → Y : T

là tuyến tính và liên tục

được cho với chuẩn của toán tử T = sup x ≤1 T x , và ta viết tắt là
L(X) := L(X, Y ).
Cho D(A) là một không gian con tuyến tính của X và A : D(A) → Y
là tuyến tính. Khi đó A, hoặc (A, D(A)), được gọi là toán tử tuyến tính

đi từ X đến Y (và trên X nếu X = Y ) với miền xác định D(A). Ta kí
hiệu
N (A) = {x ∈ D (A) : Ax = 0} ,
R (A) = y ∈ Y : tồn tại x ∈ D (A) với y = Ax
là hạch và miền của A.

1.2

Toán tử đóng

Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một toán tử tuyến tính đi từ X đến Y.
Toán tử A được gọi là đóng nếu với mọi xn ∈ D(A), n ∈ N, sao cho
tồn tại x = lim xn trên X và y = lim Axn trên Y điều đó chỉ ra rằng
n→∞

x ∈ D(A) và Ax = y.

n→∞


8

Do đó, lim (Axn ) = A( lim xn ) nếu cả hai (xn ) và (Axn ) hội tụ.
n→∞

n→∞

Ví dụ 1.2.2. a) Cho X = C([0, 1]) và Af = f với
D(A) = {f ∈ C 1 ([0, 1]) : f (0) = 0}.
Cho fn ∈ D(A) và f, g ∈ X sao cho fn → f và Afn = fn → g trong X

khi n→∞. Tồn tại f ∈ C 1 ([0, 1]) sao cho f = g. Do 0 = fn (0) → f (0)
khi n→∞, ta được f ∈ D(A). Điều đó có nghĩa A là đóng trên X. Ta
thấy rằng A1 f = f với
D(A1 ) = f ∈ C 1 ([0, 1]) : f (0) = f (0) = 0
là đóng.
b) Cho X = C [(0, 1)] và Af = f với
D(A) = Cc1 ((0, 1]) = f ∈ C 1 ([0, 1]) : supp f ⊂ (0, 1] ,
ta coi supp f của f là bao đóng của {t ∈ [0, 1] : f (t) = 0} trong R.
Toán tử này không bị đóng. Thật vậy, xét các hàm fn ∈ D(A) cho
bởi

1


0≤t≤ ,
0,
n
2
fn (t) =
1
1


,
≤ t ≤ 1,
 t−
n
n
với mỗi n ∈ N. Do đó, fn → f và fn → f trong X khi n → ∞, ở đây
f (t) = t2 . Tuy nhiên, supp f = [0, 1] và f ∈

/ D(A).
c) Cho X = Lp (Rd ), 1 ≤ p ≤ ∞, và m : Rd → C là đo được. Định
nghĩa Af = mf với
D(A) = {f ∈ X : mf ∈ X} .
Đây là miền giá trị cực đại. Khi đó A là đóng. Thật vậy, cho fn → f và
Afn = mfn → g trong X khi n → ∞. Khi đó, nó là một dãy con sao
cho fnj (x) → f (x) và m(x)fnj (x) = g(x). x ∈ Rd , khi n → ∞. Do đó,
mf = g trên Lp Rd và ta được f ∈ D(A) và Af = g.


9

d) Cho X = L1 ([0, 1]) , Y = C, và Af = f (0) với D(A) = C ([0, 1]).
Khi đó A là không đóng. Thật vậy, xét các hàm fn ∈ D(A) cho bởi

1

1 − nt,
0≤t≤ ,
n
fn (t) =
1

 0,
≤ t ≤ 1,
n
với mọi n ∈ N. Khi đó fn
fn (0) = 1.

1

=

1
→ 0 khi n → ∞, nhưng Afn =
2n

Định nghĩa 1.2.3. Cho A là một toán tử tuyến tính đi từ X đến Y .
Đồ thị của A được cho bởi
gr(A) = {(x, Ax) ∈ X × Y : x ∈ D(A)} .
Đồ thị chuẩn của A được định nghĩa bởi x A = x X + Ax Y . Ta viết
[D(A)] nếu ta nhóm D(A) với · A .
Tất nhiên, · A là tương đương với · X nếu A ∈ L(X, Y ). Ta cho
X × Y với chuẩn (x, y) X×Y = x X + y Y .
Bổ đề 1.2.4. Cho một toán tử tuyến tính A đi từ X đến Y , ta có các
mệnh đề sau.
1. gr(A) ⊂ X × Y là một không gian con tuyến tính.
2. [D (A)] một không gian véctơ định chuẩn và A ∈ L ([D(A)] , Y ) .
3. A là đóng nếu và chỉ nếu gr(A) là đóng trong X × Y nếu và chỉ
nếu [D (A)] là một không gian Banach.
4. Cho A là đơn ánh và đặt D(A−1 ) := R(A). Khi đó, A là đóng đi
từ X đến Y nếu và chỉ nếu A−1 là đóng đi từ Y đến X.
Chứng minh. Mệnh đề 1) và 2) Ta có thể kiểm tra đơn giản.
3) Toán tử A là đóng nếu và chỉ nếu với mọi xn ∈ D(A), n ∈ N, và
(x, y) ∈ X × Y với (xn , Axn ) → (x, y) trong X × Y khi n → ∞, ta có
(x, y) ∈ grA. Tính chất này tương đương với tính đóng của gr(A). Từ
(x, Ax) X×Y = x X + Ax Y , một dãy con Cauchy hoặc một dãy con
hội tụ trong gr(A) tương ứng với một Cauchy hoặc một dãy con hội

10

tụ trong [D (A)], tương ứng. Do đó, [D (A)] là đầy đủ nếu và chỉ nếu
gr(A), · X×Y là đầy đủ nếu và chỉ nếu gr(A) ⊂ X × Y là đóng.
4)Mệnh đề 4)suy ra từ mệnh đề 3) do
gr(A−1 ) =

y, A−1 y : y ∈ R (A) = {(Ax, x) : x ∈ D (A)}

là đóng trong Y × X nếu và chỉ nếu gr(A) là đóng trong X × Y .
Định lý 1.2.5. (Định lý đồ thị đóng). Cho X và Y là các không gian
Banach và A là một toán tử đóng đi từ X đến Y . Khi đó A là bị chặn
(tức là, Ax ≤ c x với mỗi c ≥ 0 và với mọi x ∈ D (A)) nếu và chỉ
nếu D(A) là đóng trong X.
Nói riêng, một toán tử đóng với D(A) = X thuộc L(X, Y ).
Chứng minh. ” ⇐ ”: Cho D(A) là đóng trong X. Khi đó D(A) là một
không gian Banach cho · X và · A . Do x X ≤ x A với mọi x ∈
D (A), theo hệ quả của định lý ánh xạ mở (xem ví dụ. Định lý 3.17
trong [8]) chỉ ra rằng một số c > 0 sao cho Ax Y ≤ x A ≤ c x X với
mọi x ∈ D(A).
” ⇒ ”: Cho A là bị chặn và lấy xn ∈ D (A) hội tụ đến x ∈ X
với · X . Khi đó Axn − Axm Y ≤ c xn − xm X , và vậy dãy (Axn )n là
Cauchy trong Y . Sao cho tồn tại y := lim Axn trong Y . Tính đóng của
n→∞

A chỉ ra rằng x ∈ D(A); tức là D(A) là đóng trong X.
Mệnh đề 1.2.6. Cho A là đóng đi từ X đến Y , T ∈ L(X, Y ), và
S ∈ L(Z, X). Khi đó các toán tử sau là đóng.
1. B = A + T với D(B) = D(A),
2. C = AS với D (C) = {z ∈ Z : Sz ∈ D (A)} .

Chứng minh. a) Cho xn ∈ D (B) , n ∈ N, và x ∈ X, y ∈ Y sao cho
xn → x trong X và Bxn = Axn + T xn → y trong Y khi n → ∞. Do T
là bị chặn, tồn tại T x = lim T xn và vậy Axn → y − T x khi n → ∞.
n→∞

Do A là đóng, ta suy ra x ∈ D(A) = D(B) và Ax = y − T x , tức là
Bx = Ax + T x = y.


11

b) Cho zn ∈ D (C) , n ∈ N, và z ∈ Z, y ∈ Y sao cho zn → z trong Z
và ASzn → y trong Y khi n → ∞. Do S là bị chặn, xn := Szn hội tụ
đến Sz. Do Axn → y và A là đóng, ta được Sz ∈ D(A) và ASz = y, tức
là, z ∈ D(C) và Cz = y.
Ví dụ 1.2.7. a) Cho E = Cb R2 và Ak = ∂k với
D (Ak ) = {f ∈ E : tồn tại đạo hàm riêng ∂k f và thuộc vào E},
cho k = 1, 2. Đặt B = ∂1 + ∂2 ta có
D (B) := D (A1 )∩D (A2 ) = Cb1 R2 = f ∈ C 1 R2 : f, ∂1 f, ∂2 f ∈ E .
Ta có A1 và A2 là đóng.
Tuy nhiên, B không đóng: Lấy φn ∈ Cb1 (R) hội tụ đều đến một số
φ ∈ Cb (R) \C 1 (R) . Tập fn (x, y) = φn (x − y) và f (x, y) = φ (x − y)
với (x, y) ∈ R2 và n ∈ N. Ta có f ∈ E, fn ∈ D (B) , fn − f ∞ =
/
φn − φ ∞ → 0 và Bfn = φn − φn = 0 → 0 khi n → ∞, nhưng f ∈
D (B) .
b) Cho X = C [(0, 1)] , Af = f với D (A) = C 1 ([0, 1]) và m ∈
1
C ([0, 1]) sao cho m = 0 trên 0,
. Xác định T ∈ L(X) bởi T f = mf

2
với mọi f ∈ X. Khi đó toán tử T A với D(T A) = D(A) là không đóng.
1
Để thấy được điều này, lấy hàm fn ∈ D (A) sao cho fn = 1 trên , 1
2
1
và fn → f trong X với f ∈
/ C ([0, 1]) . Khi đó, T Afn = mfn = 0 hội tụ
về 0, nhưng f ∈
/ D (A) .

1.3

Phổ của toán tử

Định nghĩa 1.3.1. Cho A là một toán tử đóng trên X. Tập giải được
của A cho bởi
ρ (A) = {λ ∈ C; λI − A : D(A) → X

là song ánh},


12

và phổ của nó là
σ (A) = C\ρ (A) .
Ta tiếp tục xác định điểm phổ của A bởi
σp (A) = λ ∈ C : tồn tại υ ∈ D (A) \ {0} , với λυ = Aυ ⊂ σ (A) ,
ở đây ta gọi λ ∈ σp (A) là giá trị riêng của A và tương ứng υ là véctơ
riêng hoặc hàm riêng của A. Cho λ ∈ ρ (A) toán tử

R (λ, A) := (λI − A)−1 : X → X
và tập {R (λ, A) : λ ∈ ρ (A)} được gọi là giải thức.
Ví dụ 1.3.2. a) Cho X = Cd và T ∈ L(X). Khi đó σ (T ) chỉ gồm các
giá trị riêng λ1 , ..., λm của T , ở đây m ≤ d.
b) Cho X = C ([0, 1]), và Au = u với D (A) = C 1 ([0, 1]) . Khi đó
eλ ∈ D (A) và Aeλ = λeλ với mỗi λ ∈ C. Do đó, λ ∈ σp (A) vậy σ (A) =
σp (A) = C.
c) Cho X = C ([0, 1]), và Au = u với
D (A) = u ∈ C 1 ([0, 1]) : u (0) = 0 .
Lấy λ ∈ C và f ∈ X. Khi đó ta có u ∈ D(A) và (λI − A) u = f nếu và
chỉ nếu u ∈ C 1 ([0, 1]) , u (t) = λu (t) − f (t) , t ∈ [0, 1] , và u(0) = 0, điều
này tương dương với
t

eλ(t−s) f (s) ds,

u (t) = −
0

với mọi 0 ≤ t ≤ 1. Do đó, σ (A) = ∅ và giải thức được cho bởi
t

eλ(t−s) f (s) ds,

R (λ, A) f (t) = −
0

với mọi 0 ≤ t ≤ 1, f ∈ X, và λ ∈ C.
Cho U ⊂ C là mở. Lấy đạo hàm của một hàm f : U → Y tại λ ∈ U
được cho bởi

1
f (λ) = lim
(f (µ) − f (λ)) ∈ Y,
µ→λ µ − λ
nếu tồn tại giới hạn trong Y .


13

Định lý 1.3.3. Cho A là một toán tử đóng trên X và lấy λ ∈ ρ (A) .
Khi đó ta có các mệnh đề sau đây.
1. AR (λ, A) = λR (λ, A) − I, AR (λ, A) x = R (λ, A) Ax với mọi
x ∈ D (A) , và
1
(R (λ, A) − R (µ, A)) = R (λ, A) R (µ, A) = R (µ, A) R (λ, A)
µ−λ
nếu µ ∈ ρ (A) \ {λ} . Đồng nhất thức cuối được gọi là phương trình giải
thức.
2. Phổ σ(A) là đóng, B (λ, 1/ R(λ,A) ) ⊂ ρ (A) và
∞

(λ − µ)n R(λ, A)n+1 = Rµ ,

B (µ, A) =
n=0

nếu |λ − µ| < 1/ R(λ,A) . Các chuỗi hội tụ hoàn toàn trong L (X, [D (A)]),
đều trên B (λ, δ/ R(λ,A) ) với mỗi δ ∈ (0, 1). Mặt khác,
R (µ, A)

L(X,[D(A)])

≤

c (λ)
1−δ

với mọi µ ∈ B (λ, δ/ R(λ,A) ) và một hằng số c(λ) chỉ phụ thuộc vào λ.
3. Hàm ρ (A) → L (X, [D (A)]) , λ → R (λ, A, ), là đồng nhất thức
thường khác với
d
dλ

n

R (λ, A) = (−1)n n!R(λ, A)n+1

với mỗi n ∈ N.
4.
R (λ, A) ≥

1
.
d (λ, σ (A))

Chứng minh. 1) Theo mệnh đề 1)
x = (λI − A) R (λ, A) x = R (λ, A) (λI − A) x,
ở đây x ∈ X trong phương trình đầu và x ∈ D(A) trong phương trình
hai. Cho µ ∈ ρ (A) ta có
(λR (λ, A) − AR (λ, A)) R (µ, A) = R (µ, A) ,

14

R (λ, A) (µR (µ, A) − AR (µ, A)) = R (λ, A) .
Phương trình giải thức được biểu diễn bởi phép trừ và hoán vị λ và µ.
2) Cho |µ − λ| ≤ δ/ R(λ,A) với mỗi δ ∈ (0, 1) và x ∈ X với x ≤ 1.
Ta có
(λ − µ)n R(λ, A)n+1 x

A

≤

δn
R (λ, A)

n

AR (λ, A) R(λ, A)n x + R(λ, A)n+1 x

≤ δ n ( λR (λ, A) + 1 + R (λ, A) ) =: δ n c (λ) ,

ở đây ta áp dụng 1). Vậy các chuỗi trong 2) hội tụ hoàn toàn trong
L (X, [D (A)]) đều trên B (λ, δ/ R(λ,A) ) và chuẩn có thể được ước lượng
bởi c (λ) (1 − δ)−1 (Xem trong [8]). Cũng sử dụng (µI − A) R (λ, A) =
(µ − λ) R (λ, A) + I, ta được
∞

∞

n+1

(µI − A) Rµ = −

(λ − µ)

n+1

R(λ, A)

n=0

(λ − µ)n R(λ, A)n = I,

+
n=0

và đồng dạng Rµ (µI − A) x = x với mọi x ∈ D(A). Do đó, µ ∈ ρ (A) và
Rµ = R (µ, A) .
3) Từ λ → R (λ, A) ∈ L (X, [D (A)]) là bị chặn địa phương, do được
đánh giá trong 2) phương trình giải thức suy ra ánh xạ λ → R (λ, A) ∈
L (X, [D (A)]) là liên tục. Phương trình giải thức cũng chỉ ra mệnh đề
3) cho n = 1. Thừa nhận 3) có giá trị với mọi n ∈ N. Khi đó ta được
d
dλ

n+1

R (λ, A) =

d
(−1)n n!R(λ, A)n+1 .
dλ

Áp dụng công thức
n
n+1

R(µ, A)

n+1

− R(λ, A)

R(µ, A)n−j (R (µ, A) − R (λ, A))R(λ, A)j ,

=
j=0

liên tục của R (·, A) và cho n = 1, khi đó ta kết luận 3) xác định với
n + 1.
4) Mệnh đề 4) được suy ra từ 2).


15

Mệnh đề 1.3.4. Cho Ω ∈ Rd , m ∈ C (Ω) , X = Cb (Ω) , và Af = mf
với
D (A) = {f ∈ X : mf ∈ X} .
Khi đó A là đóng,

σ (A) = m (Ω),
1
f với mọi λ ∈ ρ (A) và f ∈ X.
λ−m
Cho một tập con đóng (compact) S ⊂ C một toán tử đóng (bị chặn)B
trên một không gian Banach với σ(B) = S.
và R (λ, A) f =

1
g thuộc
λ−m
Cb (Ω) và λf − mf = g vì vậy mf = λf − g ∈ Cb (Ω). Vậy f ∈ D(A)
và f là nghiệm duy nhất trong D(A) của phương trình λf − Af = g.
1
Nghĩa là λ ∈ ρ (A) và R (λ, A) g =
g.
λ−m
Trong trường hợp đó λ = m(z) với một số z ∈ Ω, ta được

Chứng minh. Lấy λ ∈
/ m (Ω) và g ∈ Cb (Ω) . Hàm f :=

((λI − A) f ) (z) = λf (z) − m (z) f (z) = 0
với mỗi f ∈ D(A). Kết quả, λI − A không là toàn ánh và vậy λ ∈ σ(A).
Ta kết luận σ (A) = m (Ω) có phổ là đóng.
Mệnh đề cuối được suy ra từ Ví dụ 1.3.2c) nếu S = ∅. Mặt khác, xét
Ω = S. Xác định A và X như trên. Khi đó, σ(A) = S và A là bị chặn
nếu S là compact (ở đây Cb (S) = C (S)).
Ví dụ 1.3.5. Cho X = C0 (R+ ) = {f ∈ C (R+ ) : limt→∞ f (t) = 0} với
chuẩn cận trên đúng và Af = f với

D (A) = C01 (R+ ) = f ∈ C 1 (R+ ) : f, f ∈ X .
Theo ví dụ 1.2.2 ta thấy rằng A là đóng. Cho λ ∈ C với Re λ > 0
và f ∈ X. Khi đó, ta có u ∈ D (A) và λu − Au = f nếu chỉ nếu
u ∈ X ∩ C 1 (R+ ) và u (t) = λu (t) − f (t) với mọi t ≥ 0. Phương trình
này được giải duy nhất bởi
∞

eλ(t−s) f (s) ds := (Rλ f ) (t) ,

u (t) =
t


16

cho t ≥ 0.
Ta cần chỉ ra Rλ f ∈ X. Lấy ε > 0. Khi đó tε ≥ 0 sao cho |f (s)| ≤ ε
với mọi s ≥ tε . Do đó
∞

|Rλ f (t)| ≤

∞

e

(Re λ)(t−s)

e− Re λr dr =

|f (s)| ds ≤ ε

t

t

ε
Re λ

với mọi t ≥ tε , ở đây ta thay r = s − t. Vậy Rλ f ∈ C0 (R+ ) và λ ∈ ρ (A)
với Rλ = R (λ, A) . Nếu Re λ < 0, thì eλ ∈ X và eλ = λeλ ∈ X. Do đó,
eλ là một hàm riêng với giá trị riêng λ và {λ ∈ C : Re λ < 0} ⊂ σ (A) .
Do σ (A) là đóng, ta suy ra
{λ ∈ C : Re λ ≤ 0} = σ (A) .
Định lý 1.3.6. Cho T ∈ L(X). Khi đó σ(T ) là một tập compact khác
rỗng. Bán kính phổ r (T ) := max {|λ| : λ ∈ σ (T )} được cho bởi
1
n

r (T ) = lim T n
n→∞

= inf T n

1
n

n∈N

≤ T ,

và cho λ ∈ C với |λ| > r (T ) ta có
∞

λ−n−1 T n := Rλ .

R (λ, T ) =
n=0

Chứng minh. 1) Từ T n+m ≤ T n T m với mọi n, m ∈ N, (theo Bổ
đề VI.1.4 trong [10]) chỉ ra rằng tồn tại
lim T n

1
n

n→∞

= inf T n
n∈N

1
n

:= r ≤ T .

Nếu |λ| > r, thì
lim sup λ−n T n

1

n

n→∞

=

1
lim T n
|λ| n→∞

1
n

=

r
< 1.
|λ|

Suy ra chuỗi Rλ hội tụ hoàn toàn trong L(X), và đều với λ trong tất cả
các tập con compact của C\B (0, r). Mặt khác,
∞

∞
−n

(λI − T ) Rλ =

λ−n−1 T n+1 = I,

n

λ T −
n=0

n=0


17

và tương tự Rλ (λI − T ) = I. Do đó, λ ∈ ρ(T ) và Rλ = R (λ, T ) . Do nó
là tính đóng, phổ σ (T ) ⊂ B (0, r) là compact. Lại có, tồn tại r(T ) là giá
trị cực đại của một tập con compact của R, và r(T ) ≤ r.
2) Lấy s > r(T ), Φ ∈ L(X)∗ , và m ∈ N. Ta xác định fΦ (λ) =
Φ (R (λ, T )) cho λ ∈ σ (T ) . Chú ý rằng fΦ : ρ (T ) → C là khả vi phức.
Ta có
1
λm Φ (R (λ, T ))dλ.
Cm (Φ) =
2πi |λ|=s
Do fΦ là giải tích, tích phân này không phụ thuộc vào s > r(T ) do là
tích phân phức. Vậy ta chọn một mômen s > r và sử dụng chuỗi hội tụ
đều của 1) suy ra
∞

Cm (Φ) =
n=0
∞

=

n=0

1
2πi
1
2πi

λm−n−1 dλΦ (T n )
|λ|=s
2π

seit

m−n−1

iseit dtΦ (T n ) = Φ (T m ) .

0

Áp dụng định lý Hahn-Banach, ta chọn một hàm Φm ∈ L(X)∗ với
Φm = 1 và Φm (T m ) = T m (xem ví dụ Định lý 4.9 trong [8]). Với
mọi s > r(T ), ta có
T

m

1
= Cm (Φm ) ≤
2π

2π

m

|seit |

Φm

R seit , T

|seit |dt

0

≤ sm s max R (λ, T ) := c(s)sm .
|λ|=s

1

1

Do đó, T m m ≤ sc(s) m và vậy r ≤ s. Tức là r(T ) = r.
Cuối cùng, ta giả sử σ (T ) = ∅. Khi đó hàm fΦ là nguyên với mỗi
Φ ∈ L(X)∗ . Mặt khác, theo 1) ta có
∞

|fΦ (λ)| ≤ Φ |λ|−1
n=0

n

T
2 Φ
,
n ≤
|λ|
|λ|

với mọi λ ∈ C với |λ| ≥ 2 T . Do đó, fΦ gọi là bị chặn và hằng số cho bởi
định lý Liouville từ giải tích phức. Khi đó ta cần chỉ ra Φ (R (λ, T )) = 0


18

với mọi λ ∈ C và Φ ∈ L (X ∗ ). Áp dụng định lý Hahn-Banach (xem ví
dụ của định lý 2.9 trong [8]), ta có R(λ, T ) = 0, điều này không xảy ra
khi R(λ, T ) là đơn ánh và X = {0}.
Ví dụ 1.3.7. a) Cho X = C ([0, 1]) và xác định toán tử Volterra V trên
X bởi
t
V f (t) =

f (s)ds
0

cho t ∈ [0, 1] và f ∈ X. Khi đó V ∈ L(X) và
t

s1

n

|V f (t)| ≤

sn−1

...
0

0

f
0

∞ dsn ...ds1

≤

1
f
n!

∞

1
với mọi n ∈ N, t ∈ [0, 1], và f ∈ X. Do đó, V n ≤ . Cho f = 1 ta có
n!
1
1
n

n
n
V ≥ V 1 ∞=
và vậy V = . Điều này cho bởi
n!
n!
r (V ) = lim

n→∞

1
n!

1
n

=0

và

σ (V ) = {0} .

Ta thấy σp (V ) = ∅ do V f = 0 tức là f = (V f ) = 0. Mặt khác,
V = 1 > r (V ) = 0.
b) Lấy chuyển đổi trái L cho bởi Lx = (xn+1 ) trên
X ∈ {c0 ,

p

: 1 ≤ p ≤ ∞}

có phổ
σ (L) = B (0, 1) .
Thật vậy, L ∈ L(X) có chuẩn là 1 (xem ví du 1.57 trong [8]), và vậy
σ (L) ⊂ B (0, 1). Mặt khác, L (1, 0, ...) = 0, và cho |λ| < 1 dãy υ =
(λn )n∈N thuộc X và thỏa mãn λυ = Lυ sao cho B (0, 1) ⊂ σp (L) ⊂
σ (L). Theo tính đóng của σ(L) ta có σ (L) = B (0, 1). Chú ý rằng
σp (L) = B (0, 1) nếu X = ∞ , nhưng σp (L) = B (0, 1) trong trường hợp
khác.


19

Định nghĩa 1.3.8. Cho A là một toán tử bị đóng trên X. Khi đó ta gọi
σap (A) = λ ∈ C : tồn tại xn ∈ D (A) với

xn = 1với mọi n ∈ N,

và λxn − Axn → 0 khi n → ∞
là phổ điểm xấp xỉ của A và
σr (A) = {λ ∈ C: (λI − A) D (A) là không trù mật trong X}
là phổ thặng dư của A.
Mệnh đề 1.3.9. Cho một toán tử đóng A trên X ta có các mệnh đề
sau:
1. σap (A) = σp (A) ∪ {λ ∈ C : (λI − A) D (A) là không đóng trong
X}.
2. σ (A) = σap (A) ∪ σr (A) .
3. ∂σ (A) ⊂ σap (A) .
(Chú ý rằng các hợp không cần rời nhau.)
Chứng minh. 1) Ta có λ ∈

/ σap (A) nếu và chỉ nếu c > 0 sao cho
(λI − A) x ≥ c x
với mọi x ∈ D(A). Kéo theo ước lượng dưới là λ ∈
/ σp (A). Mặt khác,
nếu yn = λxn − Axn → y trong X khi n → ∞ với mỗi xn ∈ D (A),
khi đó ta có (xn ) là Cauchy trong X, vì vậy xn hội tụ đến x ∈ X. Do
đó, Axn = λxn − yn → λx − y và tính đóng của A tại x ∈ D(A) và
λx − Ax = y.
Kết quả, nếu (λI − A)D(A) là đóng và λ ∈
/ σp (A), khi đó tồn tại
nghịch đảo (λI − A)−1 và đóng trên miền xác định (λI − A)D(A). Định
lý đồ thị đóng 1.2.5 chỉ ra tính bị chặn của (λI − A)−1 . Do đó,
x = (λI − A)−1 (λI − A) x ≤ C (λI − A) x
với mọi x ∈ D(A) và một hằng số C > 0. Tức là λ ∈
/ σap (A).
2) Mệnh đề 2) suy ra từ 1).


20

3) Cho λ ∈ ∂σ (A). Khi đó tồn tại λn ∈ ρ (A) với λn → λ khi n → ∞.
Theo định lý 1.3.3(4), R (λn , A) → ∞ khi n → ∞ và do đó ta có
yn ∈ X sao cho yn = 1 với mọi n ∈ N và an := R (λn , A) yn →
∞ khi n → ∞, ở đây ta có thể giả sử an > 0 với mọi n ∈ N. Tập
1
xn = R (λn , A) yn ∈ D (A). Khi đó ta có xn = 1 với mọi n ∈ N và
an
1
λxn − Axn = (λ − λn ) xn + yn → 0 khi n → ∞. Vậy λ ∈ σap (A).
an

Mệnh đề 1.3.10. Cho A là đóng trên X và λ ∈ ρ (A). Khi đó, ta có
các mệnh đề sau:
1
: µ ∈ σ (A) .
1. σ (R (λ, A)) \ {0} = (λ − σ (A))−1 =
λ−µ
2. σj (R (λ, A)) \ {0} = (λ − σj (A))−1 , j = p, ap, r.
3. Nếu x là một véctơ riêng cho giá trị riêng µ = 0 của R (λ, A), khi
1
đó y = µR (λ, A) x là một véctơ riêng cho giá trị riêng ν = λ − của
µ
1
A. Nếu y ∈ D(A) là một véctơ cho giá trị riêng ν = λ − của A với
µ
−1
µ ∈ C\ {0}, khi đó x = µ (λy − Ay) là một véctơ riêng cho giá trị
riêng µ của R (λ, A).
1
4. r (R (λ, A)) =
.
d (λ, σ (A))
5. Nếu A không bị chặn (tức là D (A) = X), khi đó 0 ∈ σ (R (λ, A)) .
Chứng minh. Lấy µ ∈ C\ {0} ta có
µI − R (λ, A) =

λ−

1
I − A µR (λ, A) .
µ

Từ µR (λ, A) : X → D (A) là song ánh, ta được mệnh đề 2) cho j = p,
mệnh đề 3) và miền xác định của đẳng thức của toán tử µI − R (λ, A)
1
và λ −
I − A. Do đó, mệnh đề 1) và 2) cho j = ap, r từ Mệnh đề
µ
1.3.9. Mệnh đề 4) là hệ quả của 1). Cuối cùng ,5) là đúng vì R(λ, A)−1 =
λI − A.
Ví dụ 1.3.11. a) Cho X = Lp (R) , 1 ≤ p ≤ ∞, và phép tịnh tiến
T (t) được cho bởi (T (t) f ) (s) = f (s + t) cho s ∈ R, f ∈ X, và


21

t ∈ R. Từ ví dụ 3.8 trong [8], ta có T (t) là phép đẳng cự trên X
với nghịch đảo (T (t))−1 = T (−t) với mỗi t ∈ R. Theo định lý 1.3.6
ta có σ (T (t)) ⊂ B (0, 1). Theo mệnh đề 1.3.10 ta có σ(T (t))−1 =
σ T (t)−1 = σ (T (−t)) ⊂ B (0, 1) vì vậy σ (T (t)) ⊂ ∂B (0, 1) với
mọi t ∈ R. Cố định t = 0. Với mỗi λ ∈ iR, hàm eλ ∈ iR thuộc
Cb (R) ⊂ L∞ (R) và
(T (t) eλ ) (s) = eλ(s+t) = eλt eλ (s)
với mọi s ∈ R. Do đó, σ (T (t)) = σp (T (t)) = ∂B (0, 1) cho p = ∞.
Nếu p ∈ [1, ∞), ta sử dụng eλ để dựng một hàm riêng xấp xỉ. Với
−1
−1
n ∈ N tập fn = n p 1[0,n] eλ . Khi đó ta có fn p = n p 1[0,n] p = 1 và
T (t) fn − eλt fn

−1

−1

p

= n p eλt 1[−t,n−t] − 1[0,n]

p

−1

= n p |2t| p → 0,

khi n → ∞. Kết quả là, σ (T (t)) = ∂B (0, 1) nếu t = 0.
b) Lấy X = C0 (R) và Au = u với
D (A) = C01 (R) := f ∈ C 1 (R) : f, f ∈ C0 (R) .
Theo ví dụ 1.3.5 ta thấy λ ∈ ρ (A) nếu Re λ = 0 và
∞

eλ(t−s) f (s) ds,

R (λ, A) f (t) =

nếu

Re λ > 0,

t
t

eλ(t−s) f (s) ds,

R (λ, A) f (t) = −

nếu

Re λ < 0,

−∞

1
n
và ϕn ∞ = 1, và tập un = ϕn eλ với mọi n ∈ N. Khi đó, ϕn ∞ = 1,
1
un ∈ D (A) và Aun = ϕn eλ + ϕn eλ = ϕn eλ + λun . Từ ϕn eλ ∞ ≤ , ta
n
được λ ∈ σap (R) và vậy σ (A) = iR.
với mọi t ∈ R và f ∈ X. Lấy Re λ = 0. Chọn ϕn ∈ Cc1 (R) với ϕn

∞

≤

Định nghĩa 1.3.12. Cho A là một toán tử tuyến tính từ X đến Y với
miền xác định trù mật. Ta định nghĩa liên hợp của nó A∗ đi từ Y ∗ đến
X ∗ được thiết lập bởi
D (A∗ ) = {y ∗ ∈ Y ∗ ; ∃z ∗ ∈ X ∗ ∀x ∈ D (A) : Ax, y ∗ = x, z ∗ } ,


22

A∗ y ∗ = z ∗ .
Ta thấy rằng
Ax, y ∗ = x, A∗ y ∗
với mọi x ∈ D(A) và y ∗ ∈ D (A∗ ).
Nhận xét 1.3.13. Cho A là tuyến tính đi từ X đến Y với D (A) = X.
a) Do D(A) là trù mật, có ít nhất một véctơ z ∗ = A∗ y ∗ theo định
nghĩa 1.2.12 vì vậy A∗ : D (A∗ ) → X ∗ là một ánh xạ. Rõ ràng A∗ là
tuyến tính. Nếu A ∈ L (X, Y ), khi đó theo định nghĩa 1.3.12 trùng với
định nghĩa của A∗ trong §4.4 của [8], ở đây D (A∗ ) = Y ∗ .
b) Toán tử A∗ là đóng đi từ Y ∗ đến X ∗ .
Chứng minh. Cho yn∗ ∈ D (A∗ ) , y ∗ ∈ Y ∗ , và z ∗ ∈ X ∗ sao cho yn∗ → y ∗
trong Y ∗ và zn∗ := A∗ yn∗ → z ∗ trong X ∗ khi n → ∞. Lấy x ∈ D(A). Khi
đó
x, z ∗ = lim x, zn∗ = lim Ax, yn∗ = Ax, y ∗ .
n→∞

n→∞

c) Nếu T ∈ L (X, Y ), khi đó tổng A + T với D(A + T ) = D(A) có
liên hợp (A + T )∗ = A∗ + T ∗ với D ((A + T )∗ ) = D (A∗ ).
Chứng minh. Lấy x ∈ D(A) và y ∗ ∈ Y ∗ . Ta được
(A + T ) x, y ∗ = Ax, y ∗ + x, T ∗ y ∗ .
Do đó, y ∗ ∈ D ((A + T )∗ ) nếu và chỉ nếu y ∗ ∈ D (A∗ ), và khi đó
(A + T )∗ y ∗ = A∗ y ∗ + T ∗ y ∗ .
Định lý 1.3.14. Cho A là một toán tử đóng trên X với miền xác định
trù mật. Khi đó ta có các mệnh đề sau.
1. σr (A) = σp (A∗ ) .
2. σ (A) = σ (A∗ ) và R(λ, A)∗ = R (λ, A∗ ) với mỗi λ ∈ ρ (A) .
Chứng minh. 1) Từ Hệ quả của định lý Hahn-Banach (xem ví dụ mệnh

đề 4.11 trong [8]), tập (λI − A) D (A) không trù mật trong X nếu và


23

chỉ nếu có một véctơ y ∗ ∈ X ∗ \ {0} sao cho λx − Ax, y ∗ = 0 với mỗi
x ∈ D(A). Điều này tương đương với đẳng thức Ax, y ∗ = x, λy ∗ với
mỗi x ∈ D(A), điều này có nghĩa là y ∗ ∈ D (A∗ ) \ {0} và A∗ y ∗ = λy ∗ tức
là λ ∈ σp (A∗ ).
2) Cho λ ∈ ρ (A). Lấy x ∈ D(A), x∗ ∈ X ∗ , và tập y ∗ = R(λ, A)∗ x∗ .
Khi đó ta có
(λI − A) x, y ∗ = R (λ, A) (λI − A) x, x∗ = x, x∗ .
Do đó, y ∗ ∈ D (A∗ ) và x∗ = (λI − A)∗ y ∗ = (λI − A∗ ) y ∗ , ta sử dụng
nhận xét 1.3.13. Điều này có nghĩa là λI − A∗ là toàn ánh. Mặt khác,
lấy x∗ ∈ D (A∗ ) và x ∈ X. Ta tính
x, R(λ, A)∗ (λI − A∗ ) x∗ = R (λ, A) x, (λI − A∗ ) x∗
= (λI − A) R (λ, A) x, x∗ = x, x∗ ,
theo định nghĩa 1.3.12 và R (λ, A) x thuộc D(A).
Do đó, R(λ, A)∗ (λI − A∗ ) x∗ = x∗ sao cho λI − A∗ cũng là đơn ánh.
Khi đó tồn tại R (λ, A∗ ) = R(λ, A)∗ .
Kết quả, cho λ ∈ ρ (A∗ ). Lấy x ∈ D(A). Với mỗi x∗ ∈ X ∗ , ta tính
được
(λI − A) x, R (λ, A∗ ) x∗ = x, (λI − A∗ ) R (λ, A∗ ) x∗ = x, x∗ .
Theo hệ quả của định lý Hahn-Banach (xem ví dụ Hệ quả 4.9 trong [8]),
ta có y ∗ ∈ X ∗ vì vậy y ∗ = 1 và x, y ∗ = x . Do đó,
x = (λI − A) x, R (λ, A∗ ) y ∗ ≤ R (λ, A∗ )

λx − Ax .

Suy ra λ ∈

/ σap (A) . Mặt khác, ta có λ ∈
/ σp (A∗ ) = σr (A) theo phần a),
và theo mệnh đề 1.3.9 chỉ ra λ ∈
/ σ (A) .
Ví dụ 1.3.15. Cho X = p , 1 ≤ p < ∞ hoặc X = c0 . Lấy Rx =
(0, x1 , x2 , ...) là phép tiến sang phải (the right shift) trên X. Khi đó
R∗ = L, phép lùi sang trái (the left shift) L trên 1 nếu X = c0 và khác
trên p . Do σ (L) = B (0, 1) theo ví dụ 1.3.7, Định lý 1.3.14 ta có
σ (R) = σ (L) = B (0, 1) .