Luận văn cách xác định tích các hàm suy rộng của mikusinski

17
1514
11
12
13
16
19
18
20
10
9457321
27
30
26
28
29
34
31
33
37
38
39
35
32
36
2225
21
23
24

B GIO DC V O TO

B GIO DC
V O TO
p
thỡ
taú
cú
hmi
eR
hn
cú
Do
ú,
vi
hm
>' Cho
p>rng
chn
jớ.hiu
=),ta).max
itp
+ rng
1,
+Kd1}
ta
l
mt
hm
suy
Cho
J)E

vi
kớ
L
l
khụng
cỏc
hm
fng
( 0x )nu
cúly
tha
D {
2l
Khi
ta
vit
Vrng.
_1,
U
e00
u(bng
Do
ú
nu
suy
=vl,na
cú
o

suy
uc Q
=gian
0kớnh
thỡ
u
tng
vi
hm
hng
nh
ngha
2.3.
u
'
ỡ
Hm
suy
xỏc
bi
(2.2)
c
gi
1.
Hm
suy
rng
u
c
gi

0hm
trờn
mrng
,cú
hiu
\ Ktrong
=
W=E
f
>


cho
(!)
Tht
vy,
ta
cú:
0nh
elVy
Chn
0Êv
,n
cỏc
tp
compact
K
jú
,O
jgta

=kta
2,...
K
jú
nm
trong
phn
ca
nm ttrin
Khụng
gian
cỏc
hm
l
mt
khụng
gian
quan
trng
trong
gii
tớch
hin
2 g, isao
Nl
n
Lý
thuyt
hm
suy

ca
Lý
Hm
suy
rng
phỏt
bi
lý
1.2.
D
óh
yTa
(
xs
)
trng
rnth
otn
nng
h)1,
ụL.Schwartz.
g
as
n
PHM
n
nDo
h|(u)
cthuyt
h

u
(Ê
ncú
X
v

c1hiu
gsau
=,Ê
iM
d0)ú
ó-.y>
c

k0

Q
2/n
ncompact,
2.Mnh
v
Mc
khụng
ớch
ph
nghiờn
thuc
vo
cu

Ê
(0
<
Ê
<
l),v>
e
A
\
.
ta
cú
/e
(M
).
Bõy
gi
1
C

g
m
i
n
h
.
chng
minh
/

I.

gin
ta
s
chng
minh
cho
trng
hp
khi
A

trin
->
3.3.
lim
cú
0
s
Vi


u
(
(
liờn


mi

)
trờn
)
=
(

=
7
no
K
(
=
0
1
,
.
)
,
trong
Do
gia
2
+
,

...
chỳng
ú
'
(

phc
(3.6)
0
cú
u
+
ta
v
ngha
cú
h
s
0

A
.
Colombeau?
(
Tuy
l


)
sup
tacú:
nhiờn,
0vi
Ta

mi

,
mnh
x
q
)
\
=

C
,
2
E
.
.
.
vi
ta
c
cú
>
th
Vi
u
e
>'(r),
cú
giỏ
t:
TRNG

I
HC
z
q
H
E
NI
2
C

n
g
m
i
n
h
.
t

(
t
)
=

(

t
)
vi

e
D(R")
ta
cú

(

,
)
(

*

)
(
x
Do

3
<
a
t
/(
0
)
=
5
(
0
)

=
0
.
S
dng
cụng
thc
Leibniz
ta
cú

suy
nh
-n
Trong
ra
V
ngha
vi
Ê
2
ú
mi
3.7.
vi
khụng
tp
Vi

,

compact
V
mi
cú
tng
tớch
2

ta
s

ký
R
no
hiu
l
,
f
cỏc
bờn
(
x
Ê
phn
)
(
trỏi
ớ
ỡ
=

)
l
O

t
õy
(
tp
i
e
)
hp
din
tn
khi
tt
ti,
ca
c
nhng

cỏc
hm
0
u
Ngoi
trờn
s
:
ny

ra



ta
,
ớ
do
vn
ỡ
cng
)
cũn
cú
CTớnh
hKhai
hh
g
m
i
n
h
.
Gi
s
rng
ti
ụ
e
X>'(R).

Ly
dóy
Delta
tựy
ý
(ỏ),
n
=
Nhỡn
mt
cỏch
trc
quan,
dóy
(

)
,
n
=
1,2,
...
nh
l
mt
dóy
tin
ti
hm
cht

2.2. ViTớch
i p e X>(R
);
/ ,jgesuy
(ớt
nht
mt
hm
suy
rng
cú
giỏ
n1
3.3
hai
hm
Colombeau
theo
cỏch
ca

p rng
1
l
Do
W

l
tp
li

TRNG
nờn
I
HC
s
PHM
H
NI
2
bc
p
kh
tớch
trờn
X
,
ngha
l
I
f
(
x
)
\

L
vi
X(R)
E K Khi
K

=hm
{ vy,
(ký
,cp
phiu
)eatrong
lp
kh
tớch
phng
L R
mi
e
o
ca
suy
rng
u
. ja
c v
1Núl
ic
nathm
K
jx2ụ+
1hm
fxdng
K
H
cỏctrong

na
chun
Pnh
Nú,viviN
=hin
1hm
, rng
2 suy
, xc
ỏrng
cbit
+ b.
l.
l ca
A
&
=>
Tht
vi
A
l
tp
ta
|(|x|
}-n
(e
=
cụng
xõy
cỏc

khỏi
mi,
cng
m
cỏc
khỏi
Vớjs
d
V
lim
trong
ú
adcú
\ó'e_

\=
-=
-)C(R"),
aquan

)./)u
L.Schwartz
ó
m
cỏnh
trng
cho
hc nu
i,
l

bi.
n
(1trờn
h2.8.
amt
yMikusinski
ysupp</>
C
c(d
)ca
u
\(A
uq2anu
,,)u
jae
}h
\luụn
ay
j,-
\
>
sup
\trong
Dcompact
j=(trng
xthuc
)nim
\ Vphỏt
>Chn
\trờn

trờn
j ( xToỏn
)X,
\0T
.trong
m
ta
chng
minh
/l
e.ỳng
thỡ
/)v
=
0
.s
Tht
vy,
/cú
l
thỡ
vi
Athỡ
(l
u
,hm
vvi
0,

csup

Vngha
(trin
K
)D
. cú:
n
=
.cú
Ta
c{ngha
xõy
dng

sao
cho
(

0.
iu
ú
cú
u

c.
ú
ta
(,
C(R")
v
j=i

mang
Vit
/
sao
=
0
cho

Ê(")



.
ý

M

thỡ
1



tp
(
compact
,
n
X
)
tựy

ý,
khụng
Vit
nờn
lp
/
X
=
gian
0
c
thỡ



cỏc
z R".
e

hm
do
theo
ú
suy
ú
ỏnh
X
ta
.
rng

x
Ê(f)
trờn
th
X>'(R)
l
l
nh
khụng
phộp
1,2, ta
cú
gii
hn
lim


)
tn
ti
v>
e
X>(R).
e
X>(R)
sao
Delta
Dirac

ti

gc
0
ca
R
.
Trong
hp
ta
phi
nh
ngha
thờm
ô
(ớ)
=
<ô(x),e-ớ>,ô
(i)
=
v
vi
mi
Ê

nh.
ktoo
compact)
thỡ
ta
cú:
&

,
A
l
phn
bự
C hMnh
nNghiờn
g
min
h( _ .*lýTp
Ta chcỏc
cnschng
minh
vi thng
nL.Schwartz,
= 1 . Xột
toỏn
t tuyn
tớnh
liờntp
tccỏc s.
3.6.
phc
thụng
cúcỏc
th
nhỳng
c
vo

cu
(
<*n)
thuyt

hm
*
<*n)
suy
rng
>
0
}
ca
cỏch
xỏc
nh
tớch
hai
hm
suy
rng
X>'(R),
luụn
cú
mt
h
cỏc
nguyờn
hm

suy
rng
m
hai
nguyờn
hm
trong
h
sai
khỏc
3.1
M u
..................................................................................................................................................
24
1=1
dSau
XA
(lne \0.
x \tha
nh
1) 1=1
x }cú
tớnh
d {cht
x (lnca
|ổ|
1)} .*X + X (ln |x| 1).
A{mi
,Heaviside
nằ00

(2TT)
A
&
,ca
V
nvc
Tht
vy,
vi
n
ta^(R")
taNbi
nim
ó
cú.
nhn
cỏc
v)Wi
)cỏc
.Vi
Vớtrong
detp
2.5.
Hm
xỏc
lnh
phng
trỡnh
o
hm

riờng
tuyn
ú,
L.Schwartz
ó

-khỏc

+ta
SiWi
E(K)
-minh.
5i
+
Wi
nh
bi
P=>
N
(nõy,
K(vo
)nmt
=
max
{|ụ/(:r)|
:11
X
e(1
K
,=hiu

|a|
N.nghiờn
}=(lýWi.
c úthuyt
cht:
cỏc
im
compact
cú
st
Nsuy
e,c
sao
cho
V
c
Êký
Anh
N
N
II/IIl,
11
/cng
*,=
(/
\tớnh.
(0\ớta
dỡ<+
ằSicú

Mt
ngha
nhỳng
gian
Ta
so
ký
vect
t
cỏc
hiu
C(R
hm
kt
Êv
qu
ca
)bng
l
tng
)ta
l
mt
(R).
tp
hm
i
tt
nh
s.

rng
cỏc
cú
lý=
Ta
th
c
phn
trong
tỡm
chng
t
ụn
hũa
trong
ca
sau:
Ê(R).
Ê
Q
) (tớnh
v
cu
X(2)
Toỏn
hc
ln
hoc
lt
Vt

tớnh
cht
ca
dóy
n
),
n
=
1
2
,
...
M (R
chomi

=
1
trong
lõn
cn
ca
0
.
Khi
ú
cú
lim
||x

x
\
\
.
2 m

m
n
1
1
trờn
D(R)
Colombeau

ỏnh
x
z


H-ằ
z
+
Xo

,
õy

)
=
z

,



A
l
-l
y
,

)I
=
/
M

(
x
)
d
x
n
=
<
l
sup
\

(
t
)

\
\
g
(
t
y
)
\
d
t
=
c
\
\
g
\
\
.
<
sup
[
x

(
x
)
[
x

(

x
)
3.3.3
Vớ
d
v
tớch
hai
hm
suy
rng
Colombeau
theo
cỏch
xỏc
L
i
2.
Giỏ
ca
=
hm

(
suy
0
)
ớrng
*
)

u
+
c

'
(
kớ
0)
hiu
(-,*-*
l
(*ớ))
suppit
+
S
v
c
*
{

xỏc

)
nh
5
)
.
bi:

(

,
X
=
(-1)

(
u
(
)
,
(



)
(

x
)
)
.
1.2
Khụng
gian
(/
7)
Banach
(

,
x
)
=

(

,
x
)
f
(

,
x
)
ca
ú
thy
ývic
ngha
cavic
s
((/
* Phn
gMikusinski.
)mt
*cú

pcp
)tớch
=suy
hn.
*ta
9s
,cho
cú
)suy
=
lim
(/theo
*xõy
(pfc
* dng
khụng
) ) hm
(0)
= (/tớch
* (ớ/a
* phng
( hng.
)dng
, ( )i
= < pv
(x Vỡ
vy
d
vụ{T

nhau
hm
rng
th
biu
din
di
kh
3.2
Vớ
hai
hm
rng
Mikusinski
.........................................
25
ny
chỳng
bn
n
dng
gian
ax
ax
TO
TO I cỏc hm
TOsuy rng Colombeau
m
iesupp)
'R"

iesupp)
lim
Af(M
bao
gm
tt
cvo
cỏc
cp
(l
u
vTuy
)c:eX
X>'(K
)oo)
X D'(R
)c.
sao
e thiu
K
tn
1,/X
nu
>a
0[0,
nhn
- Gi
c
gii
Fields

1950.
nhiờn,
chng
bao
saucho
khiVx
gii
v
(ii)y )Suy
/X
l
mt
o
xỏc
trờn
(3,
ngha
(5
món:
tỏch
thuc
thng
(fi)
v
to
mt
tụpụ
vi
mt
s

phng
T
ú
ta
cú nh
J
Xicỏc
<
/)fC
|x|
|^>(x)|
xk>
lý
cỏc
ra
phn
thờm
nh
t
ụKchớnh
n
Trong
mc
lnm
ca
s
trỡnh
Ê()
nh
kt

nh
ngha
(3.3)
v
nh
lý
1.4.
hx1
o), [4]).
k(hMikusinski
n
g=
i, axn
n
v(ph
tthuc
ụr->
Ta
771,71
l=
[ctrong
xhũ
)ụda
xfdg(v
ớ=D(2)
fOcỏc
(+
xe)oo
xX

)iydo
x00
hp
m
tớnh
cht
sung
(theo
iaJM"
kcX
uúv
stha
nm
sK
klõu
HTrng
( x(xem
)Kớ
=0)1
N
z/ b
)ỏu
(0
)dIhm
khi
Êụt pby

T.
0ờM
u

trờn
.i) l:
0lny
+
otrong
oqu
hiu
i
l=(ca
khụng
gian
c
trờn
sao
ti
hng
s
c(suy
0
ÊNhn
xột
3.1.
Ta
thy
rng
núi
chung
vo
v
K

.
Nu
ta
cú
N
=
N
a
,
K
Suy
ra
a chotn
f
(
x
)

(
x
)
x
nh
lý
3.2.
h
ụ
n
g
g

i
a
n
c
c
h

m
l
i
ờ
n
c
t
r
n
c
ú
t
h
n
h
ỳ
n
g
v

o
0(R")

1*1

hm
suy
rng
Colombeau
v
xem
xột
vớ
d
c
th
v
xỏc
nh
tớch
hai
hm
2
2
x
x
nh
ngha
3.6.
V
e
0(R")
thỡ

o
hm
cp
a
ca

,
ký
hiu
d

c
xỏc
nh
bi


)
3.3
hai
theo
cỏch
28
J oTớch
T
i Colombeau
-I
tvic
_ hm
th

r- l /suy
2 dng
V \rng
_j
rl / 2 lm
Ê{ trờn
sau
úlý<
l
vn
cỏch
ca
Mikusinski
xn
nh
ca
X
<
0ycMikusinski
cú
chng
minh
s
hng
ca
phi
dn
ti
khi
-ằy th

00
.ntớch
L-oo
(n1
d)fớx\)nu
=
/
ụca
.phn
=
fcui
({k
-cựng

(\Xe
+d(R")
)v
<, v
tdo
>vi
y))|jf
dz
y=
,e...m
< xỏc
tM
>t 0h

In.sc
L h

nh
2.2.
M

i
p
h
i

m
m
t
u
y

t
n
h
t
r
ờ
T
>
(
Q


m
u
r

g
k
h
i
n
suppu
=
ớ
ỡ
\
(u
I
K
m
}
ớớ
lớ
o)
.
Nh
vy,
hm
suy
rng
Dirac

cú
dng
s

+
C
h

n
g
m
i
n
h
.
Thõt
võy,
ta
cú
\
z
=
z
\
=
^
ú
Ê
v
ỏnh
xa
ú
l
ti

mt
lõn
cn
ớ
ỡ
ca
X
K2
sao
cho
K
I
lý
thuyt
suy
rng,
ó
ra
kt lun
v mt
kt
qu C).
khụng
th
trong
o suy
( < tkhụng
> )+-00
= /gian
Ê( a

x
)vect
d x00
, trờn
nh
Cho
X
xhm
lL.Schwartz
mt
trng
s K2.
(RKhi
hoc
Mt
ỏnh(ớỡ)
x p1=
/i(
)u
=cngha
0ca
, v
Vi
yso
eỏngha
M
thỡ
2.1.3
Cp
ca

M
ngha
1.6
nh
lý
1.3
tớch
x1.1.
v
+ (3.4).
Ag ACauchy
nh
gian

l
mt
tp
compact
ca
ú
D
0y|/(x)|
m
hỳng
qu
h<
pirng
tchỳng
tthy
ụ+y

T
Ngoi
mi
t rƠ>
onu
ntớch
x>(Q)
ktp
hsuy
i hi
vhp
nrng
c h tax
k hcúi
nh
ngha
1.3.
Khụng
dóy
Sc
tWi

'ụ,l
iphp
W
t,Êd
Nhỡn
hu
khp

trong
[3]
ni
trờn
ta
Xg>
vi
yixnu
a=
1,2.
Nờn

* cn
gli
)hc
*cỏc
<|x|
ptkt
=sup
f{0/}^!
*|^>(x)|
( gõy
*metric
)+'R"
v
2sup
{h*fe*
*ogi
<
p/rng

)N
=.
(/,
(
*R/Z
)(U
) ca
thỡ
(3.6)
cũn
khi
ta
N
bi
N
>
ra,
I ,( U/hm
2xu
Ê(R
) t.
thỡ
khỏc,
athay
b
d
nH
g
ỏ
h

x
<
/
d
x
=
(

)
(
|x|
]
=
sup


)
\
\
d
x
\
.
Mt
ta
li
cú
2. Tht
rng
theo

cỏch
ca
Mikusinski.
cúhai
=

vy,
vi
Q
,
=
R,
V

e
T
(
Q
)
ta
cú
=

+
X.
Núi
cỏch
khỏc
d
xỏc

nh
mt
ỏnh
x
3.3.1
Hm
suy
rng
Colombeau
..................................................................................
<
+
0
0
,
V
f
c
=
0
,
1
,
(z)
hm
suy
rng
trong
mt
s

trng
hp.

x
||

1)
x
}
=

{
x
(ln
||

1)}
.
X
+
2
d
{
x
(ln
||

1)}
.
hng

tiờn
dn
ti
0
khi
n
->
oo
vỡ
th
~)
sup
Au
)r{
vn (ln
TO
J
R
<
R
/
|/(^)l
|
0
(^)l^
R
<
sup
|
0

(rc)|
ớ
\
f
(
x
J
)
\
d
x
.

\
J

'
(
2
.29
2c
v S

c
h

k
h
i
t

ờ
m

i
t

p
c
o
m
/
l/(z)l(z)l
p
a
c
t


ớ
ỡ
,
c
ú
m

t
s

n
g

u
y
ờ
n
k
h
ụ
n
g
õ
m

v

m

t
s
DoX
ú
ta
cú
Trc
tiờn,
ta
ikh
tỡm
hiu
v
hm

suy
rng
Colombeau.
1.
(ci)
(V
u)
tớch
trờn
R
vi
mi
U
}nờn
,núi
mkt
>tauii
ecú
V
)L.Schwartz
,suyrng
Nu
u->
cú
suppu
l
tp
compact
trong
D

thỡ
ta
l
cú
giỏ
compact.
2hm
,mt
.(món
.ú,
.n
. xsuy
vic
ly
tớch
hai
hm
suy
rng
tng
quỏt.
2 Trong
lun
cho
rng
khụng
:n
R
c
gi

l
mt
c
h
u

n
trờn
X
nu
nú
tha
cỏc
iu
kin
sau:
(
A
)
l
h
m
c
cỏc
phn
t
ri
nhau
ca
<3

thỡ
nvy,
Nh
vi
mi
tp
compact
K
c
ớỡ
thỡ
Ê>/r(ớớ)
l
khụng
gian
Frechet.
Hp
tt
x
e
R
,
n
e
N
3
Do
s
tn
ti

ca
gii
hn
lim
(

,

)
dóy
(),
n
=
1
,
2
,
...
b
chn
J
1
K
Ê
(

è
)
/
X

(

è
)
l
mt
i
s
v
cng
c
gi
l
s
hm
rng
Colombeau
trờn
ớỡ.
t1.

n
t

i
j
e
N*
s
a

o
c
h
o
s
n
p
p

i

K
j
v

i

l
e
N*
v


->


t
r
o
n

g
V
.
(
J
l
)0.,
Lý
do

ti
nh
ỏnh.
ngha
Hn
2.4.
na,
Cho
nu



ớỡ,



e
o
v
thỡ

'
(
ớ
1
ỡ
)
(
.

Ta

núi
)

hm
suy

rng
(
e
)

khi
c
ú
Ê
cp
->
0,
hu

nờn
hn
trờn
ra
z
=
nu
a i chn
2{ f
_JVl
a1
2)zK
a=
i)q
N i suy
M xi
K
(
y
)
,
{
9
(
x
)
,

(
x

+
y
)
)
)
=

(
y
,
h
(
y
)
=
ớ
f
(
y
)
h
(
y
)
d
y
~
/
X

(
x
)
d
x
,
<
j
<
.
f
s
{

,
x
)
=
{
ụ
(
y
)
,

(
y
x
)
)

(

)
.
v
l
K
ng
thi
d 1.4.
i,Gi
dh
2(khụng
1bE , xn)(nhiu
ệ
(e2)
) v
dX+TH
uw
2d
{gian
Ve ,2xmetric
). cú
= ogiỏ
{ ecompact)
~mt
)( vi
N
itrong

no
Kin
thc
chun
4
Tớnh
cht
/,ugw
eU
X>'(R"),
nht
mt
suy
khụng
thỡ
T
ú
ta{2.3.
chn
(iH^i)
{=&
2W
thỡ
xhm
e -rng
Vu\(\x
Vy
T
l
tụpụ

NGUYN
NH
n
2n
nằ-oo
nh
ngha
s
gian
nh
chun
l
khụng
y
vi
khong
3.3.2
S
Colombeau
........................................................................................................
37
ế
H
,

)
=
(-1)
{
H

,
d
LI
)
LI
=

CAM
CM
d

(
)
OAN
d
N
x
=
)
12
=

(
0
)
=
{
6
,

)
,
Trong
vt
lý
lng
t
ta
thy
cn
ỏnh
giỏ

khi
tớnh
t
l
chuyn
ca
tng
tỏc
ht.
int
c
:
Vy
||
l
mt
hm

suy
rng.
-'R"
*

l
hm
chn.
Ta
s
i
chng
ng s a o ll/lliằ
)cỏc
->
lim
fa=(k
C(R
J(M
=NGUYN
lim
/ xfmón
(vi
xminh.
eNH
t ) khp
(U
t )] d, tni
Ac h o = v11/11
v(R

E ,Rằ
d 2.

) fnRtớch
pRdmcú
{x ))nphi
l/(^)I
c)+ hu
trờn
X
}.
c

u
)
(

f
)
v
)
d
x
=
J
(

f
m

(
u
v
)
d
mi

>

T
>
(
ớ
ỡ
,

</>(
0
)
=
0
hay
ta
iu
chng
ly
hai
hm
suy
rng

bt
m
vn
tho
cụng
thc
Leibniz
v
o
hm
ca
(
i
p
m( (
x
)
>0
Va:
e
X
,
x )ly
:
)
->
(R")
cỏc
khụng
gian

ú
li
ta
cú
khụng
gian
hm
th.
3.3.1
Hm
suy
Colombeau
Do
n Nờn
hú
l. 1
3
Mnh
c
chng

3.trong
Nhim
v
cu
2
.chng
Mi
hm
/cho

erng
Lmt
Leibniz
,=Q)núi
lmt
mt
hm
suy
rng
xỏc
nh
sau:
3Vớ
cg d
> 2angha
0,
kM
nghiờn
N
sao
o( c(
Trong
ny,
ta
trỡnh
>0
by
s

>cú

Icú
c
bn
trong
lý
suy
rng
nh
3.2.
(Mikusinski)
Ta
rng
5c
v
Tthc
ly
tớch
Snh
.vi
Tthuyt
nu
vi
mi
dóy
Delta
lim
(//)
,Q
xD
)khỏi

={chỳng
kin
00bn
(_hm
xÊjvf(R")
+.........................................................................
yis
ei l
(c
y )i
dhai
ybi
ú.
Do
ú,
theo
cụng
ta
s
con
ca
Ê(R")
.Tuy
1.1
Mt
s
thut
ng
v
4

lú
,(nim
x. )))rX
,0Ê.-suy
V^P(R).
Z/
trong
èthc
2minh.
(K)
thỡ
hỡnh
n
v
l
yu
nờn
tn
ti
Nhn
xột
3.2.
Ta
thy
rng
(ca
cu
èhm
0(0)
mi

phộp
ly
phõn
Dluụn
v
cụng
D(2)
.(K).
Hin
ò(xbi
l
c
s
Gi
s
compact
i),th
l
phn
t
tựy
ýhm
ca
x>(f)
.thc
Vi
2tớch
n)
2vi
nl

Trong
Toỏn
hc,
toỏn
o
cỏc
mt
toỏn
ph
bin.
nhiờn
ta
- 1v
1liờn
cỏch
p
(
x
,
y
)nhiờn
=
II

y)||).
Khi
c
gi
l
mt

k
h
ụ
n
g
g
i
a
n


n
h
c
h
u

n
3.3.3
Vớ
hai
hm
rng
Colombeau
theo
cỏch
xỏc
v=d
v
\

f
(
y
)
h
(
y
)
\
<
c
\
\
g
\
\
\
f
(
y
\
Do
ú
(
f
(
y
)
(
g

(
x
)
,

(
x
+
y
)
}
)
tn
ti
nờn
Vn

xỏc
nh
tớch
cỏc
hm
suy
rng
cng
h
cht
ch
vi
vn

chun
húa
trong
Lv
itỡm
Ta
cũn
chng
minh
c

e
(M
)
cú
dng



)
+
T.

minh
s
hng
th
hai

phi
hi
t
ti

'
(
0
).
Tht
vy,
ta
cú:
(
f
*
g
)
*
h
T
>
'
_
lim
(
f
*
g
)

*
(
h
*
P
L
)
=
T
>
'
_
lim
f
*
(
g
*
(
h
n
/
^
7
+
I
e

(
l

)
,

.zi

=
ặ
~
.

-
k
Ơ
<
x
>
A
)
v
Ta
thy
h
(
L
j
),
0
<
j
'

<
q
c
lp
tuyn
tớnh,
'R
do
ú
vi
mi

cú
mt
khụng
gian
con
Trong
chng
2
ta
ó
nghiờn
cu
v
khụng
gian
hm
suy
rng

Schwartz
v
cú
c
avo
a e cỏc
p
Hm
suy
rng
Colombeau
(
Q
suy
rng)
trờn
M
3.
/
|(cu)
(V
u)
I
d
x
ph
thuc
liờn
tc
00

X>(2
),VV>

x>(ớớa;).
mt
tớch.
Tuy
nhiờn
rt
nhiu
ng
dng
cn
ly
tớch
hai
hm
suy
rng.
Rt
nhiu
nh
Toỏn
pd
Rm
(i->
xngha
) (/,=Vi
0{X
=t Jphm

6)f (<(x6/sup
phn
);
t
dâ,/i)
khụng
=
d)c)mi
+detp
1=
.X
asup
=
Vớ
nh
2.4.
1.9.
gian
el
L
\\2õy
(X,
v
vi
l
mt
a(utrong
khụng
gian
N",

o
c.
H
tt
c(1-3)
cỏc
*v
pL
ihiu
))).)xl
k-too
k-
umi
,(Khụng
sau
^(kớ
|ụV(z)|
c|H|
*trong
,Vv?
eIfkc(^)i
supp
hm
K
.
(n)
f
(
x

t
)
t
(
x
)
.
d)((ớỡ)
Cho
(.ụ
xtp
)



(

\
ằ
0
h
i
l

>
oo
/Schwartz.
: ú

)

=
)

x
d
Tht
vy,
vi
compact
K
c
v
mi
n
nh
ngha
1.6.
Ta
ký
hiu
{

hp
Cỏc
kin
thc
c
tham
kho
[2],

[5]
v
[
8
].
(),
71
=
1,2,
thỡ
gii
hn
lim
s
*
)
(
T
*
ụ
)
tn
ti
trong
do
d
H


.

n= l
n hihm
gian
Banach
..........................................................................................................
3.3.2
Colombeau
dóy1.2
con
(
J,,X>(f2)
kS
=X
1Kô,Ơ>)|
, hm
2supp)
, ...gi
ca
dóy
(
),|rc|
nta
2rn*2,thỡ
...
yu
ti
gcụng
mi

ta

t
Tng
t
ta
hiu
s
X
tp
nh
sao
cho
1)}
( kv
) ly

X395,
ỳng
trong
(ớỡ).
SU
s
ớtha
2cú
2nhng
cú
gp
nh
fMikusinski
(cho
)l^'VOzOI.W

=n(=
l
trờn
ton
b
nú
cú(2.1)
o
Tớch
ca
mt
hm
trn
mt
hm
cng
món
thc
Leibniz
o
nh
...........................................................................................
*eth
ygKhụng

cũn
l
ụn
gL.Schwartz.
anguyờn

Bcỏc
aò|i|liờn
nl
h
fLeibniz
x>(ớớ)
sao
cho
cthc
K
cú
n/Oi)
tn
ti.
Mt
khỏc
theo
1)}
Fubini
P
C'o(
suppv?
t
rnvn
=
hay
òt.
:
N
->

R
sao
nu
(
qat
)c)tc
ò.X
(r)
v
lim
ò(ln
(Rnh
q)nhng
=trin

)L
'hm
_0+ca
lim
/xta
*rng
( gthut
*g
)ng,
2
*d
(trờn
*v
h

.)nhng
lng
!<
{lý
(ln
|rr

.h
X
dqsuy
hm
x,rng
(ln
1)}

{Êgx.xỏc
|rcI
00
.ch
Tỡm
hiu
v
thuyt
hm
suy
rng
xG
K
jk

n^OO
huthuyt
hn
chiu
sinh
bi
,
L
i
,
L
q
.
lý
HahnBanach
thỏc
liờn
tc,
Chng
ny
h
thng
li
mt
s
khỏi
nim
v
kt
qu

v
khụng
gian

mt
s
kt
qu
v
cỏc
suy
ú.
bit
phng
phỏp
tớch
hai
hm
suy
'
R
aATheo
m
I
I

hc
ó
nghiờn
cu

tỡm
kim
mt
con
ng
xung
quanh
kt
qu
khụng
th
ca
(
i
i
)
p
(
X
x
)
=
|A|p(a:)
vi
mi
s
e
K
v
mi

X
Ê
X
]
Lun
vn
c
hon
thnh
kùoc
ti
trng
i
hc
S
phm
H
Ni
2
di
s
hng
dn
Phn
Lun
t
vn
l
ca
5->oc

c
0
gi
hon
l
tp
thnh
o
c.
ti
trng
ụi
khi
i
ta
vit
hc
m
S
thay
phm
cho
H
f

Ni
(
A
)
2

.
J
Tp
di
E(B
s
hng
vi
tớnh
dn
=
f
(
x
)
f
(
x
+
e
t
)

(
t
)
d
t

õ
y
ỏnh
hm
Vi
x
s
5 v
=f----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1(a2.8.
,x2,
:)
cú
(Da
I-ằ
ly
tftrờn
f (bin
x )tớnh
bc
(ph
di
thuc
p)tớch
( (1
x ) dvo
xplmthm
oo)
ca

modun
rng.
kh
X , tc
nh
ngha
Fourier)
Nu
u , vsuy
esuy
M(R
), tớch
catớch
ớ cht
vtrờn
u trong
ntha
mU
2.2
Phng
phỏp
rng
v
tớnh
V
'
(
R
)
gii

hn
ú
khụng
vic
chn
dóy
Delta.
Nhn
thy
toỏn
t
0
l
toỏn
t
tuyn
tớnh
v
tha
món
cụng
thc
Leibniz
v
ly
o
hm

'
(

0
)
(
K

~
*
(
x

n
)
)
=
/
\
a
{
x
)
d
x
,
Khụng
Frechet.........................................................................................................
n
6
Bi1.3
vy
V0

ecú
&
g
, 0,
)usuy
=,eulim
{D'(R),
ớca
n)=nk ,:L.
}thỡ
,núi
nhng
do
em
X>(M)
nờn
ta
li
cú
\thỡ
aX
\lR
<{)khụng


G
\La.lý2nh
V
(gian
=vi

{hai
crng
s
.suy
(X
ỡt
supp)
l
tp
compact
trong
}ta
hm
ti
nhng
im
cũn
ti
0ta
ta
th
ly
o
hm
ca
hm
s
ny.
Ta
ó

gian
hm
suy
rng
(R")
trong
ú
cú
th
nhõn
hai
hm.
vlm
Trong
iNhỡn
m
rừ
i
rng
c
hxỏc
(vi
s)xnh
.|ổ|
ta
cú
trng
hp
2ngha
=

,trong
Ê1cỏc
u_khụng
l
nguyờn
hm
suy
ca
hm
li
thuyt
hm
Schwartz
chỳng
ta
cú
thờm
hai
nhn
xột
sau:
Tỡm
hiu
cỏch
rng
ca
v
cỏc
vn

liờn
quan.
s
t
nhiờn
kf)X
nh
nht
trong
cỏc
s
m
ta
cú
bt
ng
(2.1)
c
gi
l
Cỏc
tớnh
cht
v
phõn
(R
) nhiờn
T
ú
suy

ra
)(J.aca
=tớch
0quyt
trờn
K
l
tp
compact
tựy
ýkin
trong
1",
nờn
suy
ra
Nhng
(ln

1)
\)i
xhm

(R)
nờn
theo
/,H
cụng
JMikusinski
thc

X
o
hm
thụng
thng
thỡ
taca
cú
th
thỏc
trin
liờn
tc
cỏc
toỏn
t
tuyn
tớnh
liờn
tc
Lj,
0tỡm
jmt
qtớnh
thnh
cỏc
c
s

cho
vic
cn
cỏc
kin
thc
K
chng
tip
theo.
Cỏc
thc
sau
õy
c
rng
ca
L.Schwartz.
Nhng
thc
ny
tr
vic
nghiờn
cu
tớch
hai
hm
suy
k-Ơ

ooM
ktip
L.Schwartz

cú
vn

ny.
ó
c
gng

phng
phỏp
xỏc
nh
(l
i i iTS
)TS.
pA
(ký
x)
+
yTrớ.
< th
ptớu
x )gii
+
p nh
( ykin

v

i
m

i
Xs
yh

X
. ớ.cho
M
o
=
sup
|
0
(^)|
T
Ngc
cht
f
i
(
=
0
gi
l
t

p
c
ú



o
h
ụ
n
g
Ta
núi
rng,
cht
no
ú
Kt
lun
ak
43
ca
T
Ngc
Trớ
^'(ớớa;)
hiu
xỏc
trờn
ra;

nh
sau:
2.1
Khụng
gian
hm
suy
rng
U
'
{
Ê
)
n
1.3
2.2.3
Khụng
Erộchet
hm
quỏt
.4
Jfmtn
i(suy
pxhm
)m
dytth...............................................................................................
iớ p+=f(s(txtg))yỏsuy
d)cÊt f(-Z/
=prng
k htng

ind,lt.D(2)
<Ê |a|
. suy
g (R)
f
({S
gX>(R)
,, }
xkhụng
)gian
+ti
(1-ynv
)cỏc
dt[ớynt(=h
i<
, mõu
x Êtheo
Rm
. tngha
nh
lý)khụng
2.1.
M
tgian
piu
h:i cỏc
h( tchng
t)tớch
u==yt
yxn)-O

hx(K)
ờ)ydn
hm
ca
mt
2.2.1
Tớch
hai
hm
rng
1.4
Khụng
6n
lim
(1.
n
==suy
.=Tuy
ú
rng
xihm
n
thun.
ca
ỡ2
)t{cdrthm
k , tớch.
Nh
vy
phi

lỳc
no
toỏn
o
ca
mt
s
cng
gii
hm
suy
rng
tựy
ý.
nhiờn,
ta
cng
cn
tỡm
hiu
tr
hm
suy
rng
11/11
petỡm
=
(y
fe
i(ln

( N*
x(-giỏ
)||
j,e(m
oo
T
pt
E

x>(2)
kJfljn
hil
vX>'(R")
ZC
cbi
htrờn
|ổ|
kl
h
itp
tgi
Vcỏc
t.=
l/l
jx
s
at<
otca
h
o+

E
ln
=
tựu
p.X>(R)
c.unoK
nh/=c
bti
uúú
cmt
htca
,
suy
rng
u
nu
o
hm
suy
rng
u
l
u
ngha
l
d
u
2
nn
Hm

rng
/
e
mt
phim
hm
liờn
tc
trờn
khụng
gian
X>(R")
m
Jfljn
cp
nh
ca
lý
2.3.
hm
C
suy
h
o
/
rng
(2),
u
'
K

(
Q
.
)
v

a
l



a
h

s

t
y
ý
i
avỡ
-=
nh
ngha
3.11.
s
phc
c
l

liờn
hp
vi
mt
s
Colombeau
+
1
/
=
0.
Khi
ú
ta
gi
T
>
(
Q
)
d
{
x
khụng
(ln
gian

1)}
hm
2

th
t
s
f
u
i
)
n
c
t
i
X
o
.
).
z
toỏn
tuyn
tớnh
liờn
tc
trờn
X>'(R).
Mt
khỏc
ta
li
cú
X>"(R)
=

do
tham
kho
trong
[
1
].
3.4.
Ta
gi
phn
t
u
Ê
Ê(R
)
n
u
l
l
nu
mi
tp
compact
K
c
R
v
mi
toỏn

C
s
ca
nh
ngha
3.2
l
do
lim

n
=

trong
X>'(K
)
do
ú
lim
(
s
*

n
)
=
s
k
rng
t

o
o
theo
cỏch
ca
Mikusinski.
T
ú
m
ra
hng
xõy
dng
khụng
gian
cỏc
hm
suy
rng
Ctrong
h

n
g
m
i
n
h
.

chng
minh
iu
kin

ta
ch
cn
chng
minh
tớnh
liờn
tc
ú
a
=

*
(
x

)
,
nờn
a
~
=

*
[(-)Ê-]

=
x
(
S
*
s
~
)
+
(
x

n
)
*

,
thụng
thng
n
n
n
n
tớch
ca
hai
hm
suy
rng
bt

k.
Mikusinski
ó
a
ra
mt
cỏch
xỏc
nh
tớch
hai
hm
suy
S
p
(
x
)
c
gi
l
chun
(hay

di)
ca
vect
p
(
x

)
,
thụng
thng
ta
kớ
hiu
||z;||
ỳTheo
nchp
g Trong
hnh
ca
u
quỏ
kc
h hm
trỡnh
pca
nsuy
nghiờn
li
iprng
trờn
cu
Xnrng
lun
nu
tớnh
vn,

cht
tụi ó
úk
ỳng
tha
thnh
qu
khoa
Xrng
hc
ngoi
ca
tr
mt
ngha
hm
suy
Colombeau
thỡ
miakhp
hmni
Q -trờn
suygiỳp
lvmt
lp
Tỏc
gi
xin
gi
cm

chõn
thnh
ti
TS.
Ngc
Trớ.
S

hng
nT
1
2n
Tớch
hai
nằ00

>
0
0
2.1.1
nh
ngha
Ta
thy
X>(Q)
=
u
T
>
(Q),

nờn
V
(
p
,
)
l
khụng
gian
vect,
ú
cũn
l
khụng
r

n
g
k
h
i
v

c
h

k
h
i
Trong

úTrong
t.em
=R".
(hh.Trc
,Ta
tphm
, .s
.i.chng
, tKt2ht,
)vi
e nghiờn
R", anhng
= (ai,a
, tvỡt r=
(ớ" , ớ , ớ " " ) . Ta cú th
4. Ti
i
tng
v
cu
v
2 ,...,a n ) N
1.5
Khụng
gian
L
.................................................................................................................
cú
hin
tng

im
X
ta
n
s
Colombeau
(hay
cũn
phc

gkhụng
n
/cú
Tht
vy,
Alun
i>a
ta
cú
C(R")
tC
rquyt.
ohE
nliu
gplý
V
(cỏc
Q
)Vt
.nhm

cp2)kh
,nvụ
uminh
{cú
s
i
}giỏ
^núi
!Ê(").
(2.1)
mt
d óÊ
yTa
Ccng
aõy
udng
c
hcú
yG
n
geli
Tú
(nờn
Qrng
)x
t htuyn
ỡgi

nl
ts

=
i hm
jz .44
G9
nh
ngha
1.5.
Mt
khụng
gian
Frechet
l
khụng
gian
vect
phng,
kh
metric
Kký
aigian
khụng
gian
=1
vi
compact.
chỳng
ta
cú
ỏnh
tớnh

tham
kho
Vy
chng
Nu
t
cú
s
tn
t
nhiờn
khn
no
nh
ngha
cú
3.2.
vi
s
th
oV
no
kt
thỡ
ta
rng
gi
l
b.
Hm

suy
rng
L
(Tti
xbjlý
Colombeau
,ú
quyt
)theo
trờn
tp
m
2
oo
R"
; cú
nh

Ênkhụng
c
hiu
bi
minh.
utrin
-ne.smt
zN*
nu
s
qx()i
N,

A
n
ta
cú
lim
(tetớch
v
lim
T
*dkhụng
chng
)hm
=l
trong
tn
ti
rng
k(
Êcụng
=núi
1)2,
qtham
M
z,\dng
t
vi
phõn
c
ú

mt
s
N
v
ò
ec
rphn
sao
cho
M
q
>2)
N
,

em
A
q
ta
cú
Colombeau
v
sau
ú
vn
cỏch
lm
ca
Mikusinski

xỏc
nh
c
th
ca
hai
ca

ti
gc,
ngha
nu
dóy
trong
^(ớ)
V
_
lim

!
j
=
0
lim
{
u
,

j
)

=
0,
S
dng
thc
khai
Taylor
ta
Mnh

2.1.
Mi
suy
rng
u

X>'(R)
u
cú
nguyờn
hm
suy
rng.
rừ
nu
V
1>V
2
ii(K)
thỡ

*
=
(x-i)
*
2
+
1
*
Nờn
trong
A
ta
cú
rng
v
cỏch
ny
ó
gii
c
mt
vn

nhõn
hai
hm
suy
rng.
Khi
gia

thay
cho
p
(
x
)
.
Khụng
gian
vect
X
cựng
vi
chun
II
.
II
trong
nú
c
gi
l
mt
tp
cú
o
khụng
no
ca
X

.
tng
ng
trong
i
s iu
(R").
Trong
mc
nymt
chỳng
talýgiỳp
ssau
tỡm
biuhydin
ca
cỏc
gian
vect
li
a
phng.
ny
c
th
hin
qua
nh
cú:
R

cỏc
nh
khoa
hc
vi
s
trõn
trng
v
bit
dn
tn
tỡnh
thy
trong
sut
quỏ
vn
ó
tỏc
gi
trng
thnh
hn
Trong
lý
thuyt
ca
mỡnh,
Schwartz

ó0{n.
a
ra
khng
lhm
khụng
xõy
71ằ00
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3lun
ù ovng
o
Ej -()
1q
D
{ qj+trỡnh
-1
)lm
: \nim
\ \ < \ \c

- bn
\ \ }nh
1.1
Mt
ng
khỏi
thy
rng
A
lpca

D.s

2thut

...
D
A
A
Hn
na
ta
cú:
2.1.
Mi
phim
=cỏc
(.Ơ>J.........................
lv
)tớch
-ằd\ ochp
tuyn
tớnh
tc
visuy
tụpụ
trờn
D(fi)
c
nh
ngha

2
.(cú
6
Cho
u
,
v
ohm
ca
hai
hm
rng
u
,
v
lthụng
mt
JL
(v
p: fV
\3X>'(R).
qt r+1
vt
lý
m
takhụng
th
toỏn
hc
húa

mt
cỏch
chớnh
xỏc
bng
mt
hm
suy
rng).
t liờn
v
N*
s
a
o
c
h
o
h

i
t

t
r
n
g
T
>
K

(ớỡ)

ú
h

i
t

o
n
g
x>(ớ).
v
y
.
Khi
ú
L
x
,

i
)
l
tp
hp
lp
tng
ng
(ngha

l
bng
nhau
hu
khp
ni).
dóy
suy
(
ừ

rng
)
,
n
=

1,2,
...
cp
khụng
vụ
hi
hn
t
trờn
trong

(ii)
Theo

A
n
t
o
s
i
k
:
sao
cho
L
j,rng.
((iX
/tỏc
jlý
)thuyt
=)ta
.hfjiu
kla
])hc
,nsuy
ksau
=
1,2,
.t
.chn
.Colombeau
qchng
t

=
ỡ[3],
px o) [4],
,=suy
takhụng
cú
Lgi
jgian
(v
l
>)
=
hm
j. Q
0 -hay
Khụng
gian
hm
suy
rng
12
kú
hm
suy
Cỏc
kin
tham
kho
trong
[cũn

6rng.
],iu
[7]
[9].
i
tng:
rng
v
vic
tớch
hai
Mnh

Tng
t,
ta
cng
c
cỏc
liờn
nhm
(2)Do
cú
aj=X^ớớx)
-suy
ad
~ac
=Schwartz
x (nu
S

*.=sly
~
Mnh

3.2.
pminh
N p
n(X,
nghiờn
cu,
ó
chn

xem
ly
hai
rng
tp
vo
thỡ
knh
ụmi
n
{thy
j+3.4.
nR
=
n
u
ny

n
kớ
thy
II.
thit.
II).
chng
minh
C
c
sao
cho
ihm
trờn
Hm
/tớch
gi
nh
fg
s.gi
-l
().
hm
xcgtthc
rng
ta
ec\hin
at-t )0trung
ó
(trờn

u
(ihiu
,-ằ
xcỏch
)gi
o){duy
ev
^ tớch
-nht.
,hay
lý
1.3.
K
ụ0
ntrờn
2
gmi
i (asuy
cng
m
tmi.
h
=xột
x>(f)
l Khng
)(ln
m
thm
k h1
ụsuy

ny
g+U
gsuppc.
i. +
akin
n Iv
v+cn
ehm
t nu
ụtrong
p(3.7)
ụ suy
l ei
vhm
m
ibit
d:<
órng
ytrong
} (R
h
i{o
2cn
tpnmt
0ỏd,vn
kvn
h)A
jE1
oo.
rt

nhiu
trong
cỏch
tip

dng
mt
ca
cỏc
hm
mt
y
.
nh
c
th
Cvi
hhlim
iVic
n
ggu
m
ixpean
h}{ ngha
Vi
eic\rng
C^(R)
t
Ta
jth

(tng
vi
u
l
Hn
na,

z)
x
(ln
x
\

)
}
2
d
{
x
|ổ|

1
)}
1
j
*
0
(
2
.

1)
mt

=Va
giKý
l
mt
hm
suy
rng
hm
suy
rng
Schwartz.
Khụng
hm
suy
rng
fằ
cxỏc
phim
hm
tớnh,
ký
hiu
u
*D(2)
V,
bi:
thỡ

w
egi
òó
v

1m
gian
lt

2x=hay
+c
.Sn{%)
Suy
ra
mi
tp
im
l
x>(f)
tụpụ
r.
thng
bit.
Chng
hn
nh
vic

tớch
p(thy

mt
t
im.
Êtuyn

l
tt
hm
t
A
iv:enin
ti
D
rng
Êthỡ
lcp
mt
khụng
M
tKhụng
hhiu
i =
mgin,
hv
ra)(rc).
ttp
u
yic
a
n

ớLebesgue
nd
h
A
:0,
-ằ
l(nh
iRl
nc.
ú
cGcp
h.úng
is
vnu
ttrong
ccỏc
hngun

kA
h
i vit
vs)
ktheo
iti
mP mt
( X
i qớ.
j)trờn
GNu
N

3o
-i
9kLebesgue
+
1ugian
)!
>
01
,R
Ê'mt
, Vtcú
n
Nca
1eq
Khi
Xpddự
l
mt
tp
o
trong
,ớnc
o
ta
L
.gian
t )
Ta

n

mi
phn
ta
núi
rng
hm
(wvo
acỏc
1,
suy

!nhau
rng
...,an)
l
ớờx
mt
ỡrng
)
nch
kMikusinski
(hay
nú
a
ch
trờn
csc(
7ti
(3-8)
/ Rn 2.1

(
x
)
x
1 cú
/th
x

(
x
=
12,
<
.
iu

cú
q
vi
mi
=
hm
suy
rng
..........................................................................
12
9ngoi
=j 1hm

Rn
Mc
bng
nhiu
cỏch

7
(

khỏc
,

)
=
(-1)
cỏc

nh
f
(
)

toỏn

(

hc

x
ó

)
d
y
.
c
gng
xõy
dng
Phm
vi:
cỏc
liu,
bi
trong
v
liờn
quan
n
hm
rng
v
tớch
hai
n bỏo
nchng
nsuy
tc
trờn
ớớ
nhỳng

(ớớ)
ỏnh
/
!->
(

,
x
)

u
(

)
,
trong
ú
tỡm
hiu
phng
phỏp
xỏc
nh
tớch
hai
suy
ca
v
cỏc
vn

liờn
rng
trờn
tp
mtra
nh
R tng
t
nhhon
nh
ngha
trờn
R nm
. Khi
Q,
=ph
R thỡ
ta cúvo
nh
ngha
1trờn
n2015
nh
dung
aTa
hkhi

Khụng
n

gchng,
. Ê
1.4
ni
nh
lý
sau:
cỏc
cú
kim
ngha
xỏc
la
H
Ni,
06
vỡ

lh1ụgian
)xmt
hiu
l
tt
talo
dựng
phn
ngha
l
gi
s

tp
compact

vi
mi
úxthuc
Z+
ta
u
j=
z
khi
Êp->
0th
u
trờn
K
.Chuyờn
hiu
cỏc
null
Ê(R
)nl
I.tp
lý
3.1.
Kixin
n
gTa
gt

iký
nm
c
m
k0.
nfTa
ithỏng
vh<
ụnh
u
nmi
tCo
ờhm
R"
crng
he
c
n, vhcỏc
ỳ(vic
nH
vNi
o
Tỏc
gi
cng
by
lũng
bit
ti
giỏm

hiu
trng
i
phm
lý
1.1.
G
sminh
thỡ
Xs.
llim
arng

tỏ(R
ktp
hh{ụn
nth
g=
gphn
ihBan
aton
v
cMó
n2,
.:rkhụng
V
i46
m
Dirac
ihc

,eytS
X
xut
tgcú
Va
chm
:cú
:gii
(t
xlý
)nký
ahca
}pAnh
v
C5.
+A
2hiu
3.1
M
u
c
kớ
Vi
suy

'
)uX
2.1.2
o
hm

suy
b)
Bõy
gi
ta
chng
cỏc
phộp
toỏn
trờn
v
(
)
liờn
tc
vi
tụpụ
T.
Vi
mi
ngnh
:
Toỏn
tớch
so
60
01
02
Chớnh
t

hin
tng
nm
1926,
nh
vt
ngi
l
Paul
ó
khỏi
vect
v
(*"}
l
mt
=,
i
2
=
2
t

n
t

i
N
j
e

N
v
h

n
g
s

C
j
>
0
s
a
o
c
h
o
VI
bLC
|q|
Oớ
1
CH
2ny
1"
I"
cu
.
Suy

ra

{
x
(ln
|x|
1)}
.
X
=
1.
Pvo
X
=
[
a
,
6
]
c
R

,
l

o
Lebesgue
thỡ
ta
vit

L
(
a
,
b
)
hoc
L

j
v
nu
=
1
6
1,2,
...
Vy
mnh

c
chng
minh.

(
u
*
V
,

)
=
(
u
(
y
)
,
(
v
(
x
)
,

{
x
+
y
)
)
)
,

e
D(R
).
2.1.1
nh
ngha

...............................................................................................................
12
Tng
t,
mi
/
Ê
L
(
Ê
L
)
cng
l
mt
hm
suy
rng.
(iii)
Theo
I
t
a
n
o
:
nhng
nh
ngha
cho

tớch
hai
hm
suy
rng.
Cỏc
cỏch
ú
l
t
nhiờn
nhng
vn
Vớ
d
2.6.
Mi
hm
suy
rng

e
L
(2)
u
cú
cp
0
.
hm

suy
rng.
C
h

n
g
m
i
n
h
.
Gi
s
tn
ti

G

A
q
.
Ta
cú
bin
i
Fourier
ca

(

t
)
:
u
(h
,Qn*Vi
X-gg)suy
Jrụng
)f(tip
y) -cn
dyy.)xột
n =fớch
quan.
mc
cu
hckhụng
hin i,
di
s nh
nờn
(/
)=m
(x)
/(Rn
y(R".
(nhn
tx )-mt
dhng
y xỏc
nh,

hm
(3.1)
p ^-----C
.ytrờn
trờn
ta ýcú
>ca
Ka. iToỏn
(ớớ)
l
Frechet.
chn
I pTa
. sau
v
trờn.
sup
=,T
+ngnh
00
Trong
ú
0nrng
n
.xTheo
Do
ú,
vi

tp
compact
tựy
K
V
qú,
R
gii
eecgian
A
qjmt
tabn
cú
2,
Phũng
i
hc,
cỏc
cụ
ging
dy
chuyờn
Toỏn
tớch,
gia
ỡnh,
bố,
0(R")
b2.4.
ỏ

h1
Ê
?1
nthy
aes
a 2 v
tn
nh
lý
u
c
ú

m

t

i
s

c
h

a


i

(R)
c

a

t
c

ỏ
c
h

m
l
i
2hm
tỏc
ng
lờn
mi

x>(0)
c
vit
l
(

,

)
.
Hai

hm
suy
rng
,
V
c
D
thy
I
c
Ê
(R
)Hn
na,
p
nu
1
X
1^2
v
ớt
nht
trong

1,

2
e
>(2)
v

i
+

2
+
w
e
T
vi
w
e
ò
.
Khi
do
w
l
cõn
nờn
W
e
ò
,
M
Vi
mi
a
ch
s

a
,
toỏn
t
vi
phõn
ký
hiu
d
=
d
d
.
.
.
d
,

õy
d
=
v
nim
mt
hm
c
gi
l
Delta
Dirac,

hay
n
gin
hn
l
hm
Dirac.
Chỳng
ta
cú
n
Cho
ớ ỡ khụng
l
mt
khỏc
v
Q
cphn
R".
Ta
ký
c1.ca
Vy
(ớl)
lcú
tp
hp
nhng
hm

giỏ

n
gin
vỡ
ataTa
t

ya=~=hm
lrng
l.
{ta
xkƠL
iu
(ln
||
ú

chng
1)}
thỡ
t:
y.hiu
xo
=c
nờn
nu
cú
x . athỡ
=ta0ờ/ nnúi

thỡ
[0,1]
thỡ
ta3.8.
vit
n
gin
.mt
n tp
Trong
trng
hp
X
Re
v
0cỏch
l
nhng
tp
hp
theo
ngha
Lebesgue
k
2.1.2
o
E
suy
0
rng

...........................................................................................
14
Ơ>~(fi)
IMIc*(fi)
Trong
gian
X>'(Q)
cú:
p
(
x
,
y
)
=
IK*
y
)
II
.
nh
ngha
gi
Ê
o
l
t
ụ
n
h

ũ
a
Ê
o
nu
cú
s
nguyờn
dng
cha
gii
quyt
trit

vn

tớch
hai
hm
suy
rng.
Chng
hn,
ta

.
X
=
1
Mt

khỏc,
+
00
L.Schwartz
ó
a
ra
mt
nh
ngha
tớch
hai
hm
suy
rng
da
trờn
khai
trin
sup
ớ
\
x
d
(
x
)
hng
v
hng

dn
ca
TS.
T
Ngc
Trớ,
tụi
ó
la
chn

ti
Cỏch
xỏc
nh
tớch
cỏc
Vớ
d
2.7.
Trờn
R
xột
hm
suy
rng

xỏc
nh
nh

sau
1
,
_
.
1
,
_
.
1
,
_
1
Trc
ht,
vi
X
e
R
ta
xột
phộp
tnh
tin
xỏc
nh
bi
2
Vi
Chỳ

4
>
e
ý
X>(R"),
rng
Ê
ta
>
cú
0
,
th
ta
t
coi

(
C(R)
t
)


c
Êm(K)

.
Ta
thy
nh

rng
l
4
>
mt
e
A
khụng

e
A
gian
.
Ta
ký
con
sup
|((^>)|
<
C
j
sup
{
\


(

)
\

:
|a|
<
N
j
}
.
(1-4)
E
q
E
q
Chỳ
ý
2.2.1.
(i)
u
*

=

*
u
=
u
vi
mi
u

X>'(R").

Tht
vy,
ta
cú

cú
giỏ
compact
VớuTuy
d
2.2.
(Hm
Hm
Dirac
ký
hiu
5b,c
xỏc
nh
nh
sau
hiu
Tnh
l
tụpụ
trờn
khụng
gian
Vú

(è)
,kin
/3khụng
h
tt
cly
cỏctớch
hphn
wEtrỡnh
tp
cõn,
li
K Dirac)
ngha
ny
cú
hn
ch
K l
l
ta
chng
l
swpp
vi
mi
m.^,
X>(f2)
X

sTa
yr/ký
nhiờn,
cúhm
1
T
v
2
m
ờl
Tfideal
vth
li
1
- bsut

+a Ahay
2
ng
nghip
ó
giỳp
ng
viờn
to
thun
trong
tỏc
gi
N

IB?
a1nú
2J
n)
ca
trờn
th
b1n
b.
Tớch
ca
mt
trn
v
mt
nd
c b(tú
ờl
nta
R
h
hay
l^
-trờn
w
tthỡ
sao
do
iG
sú

-thỡ
cdIv2
o%
vX,
.C(R")
i+do
suy
1mi
(R
C(R)
l, 1ca
td
w
ajn=
vliờn
1,2,
.
a(n

1eC
1hziu
(ú
xJUrng
)lD
e+chng
xvi
<
0~
,=
V

c-t
0
, 2p.=
,h
.Êm(K").
.
.
.n
gi
bng
nhau
nu
hai
phn
t
thuc
Jhm
U
Ily

ú
mt
Trờn
c
s
ú,
ta
5.t Do
Phng
phỏp

nghiờn
cu
th
toỏn
hiu
t
D
khỏi
=
nim
D
hm
D
%
Dirac

hm
nh

D
sau:
,hm
j0u
r=.trong
ica
j ,xquỏ
n
. (3-9)
xU
qtrong

->
)ca
"

^
\
"c

2
y.
tr
x
phc
.
a
)
xỏc
=
0
nh
l.a
=
0
0
,
cho

=
f
tn

0
iu
ti
vi
ny
a
ch
s
a

Giỏ
Nu
hm
=
0
thỡ
tc

/
:
thy
rng
Co
<
t
c.
Tht
vy,
u
,

u
=
+
N
1
0

(

)
=
^(0),
V^I
thỡ
Ê
Ê

ztớch
n
=


(
x
)
tt
f
(
x
)

l
hm
o
c.
Khi
ú
phõn
Lebesgue
hm
f
(
x
)
trờn
tp
o
c
A
2ớỡ
(/
/)
(

s
,
)
=
0
(
e

)
,
e
->
0
trờn
K
.
p
2.1.3
Cp
ca
suy
rng
......................................................................................
16
cho

N


0trong
(||e)^oo
khi
Ta
cng
vDo
xN
.T

sao
=suy
0lý
trong
T
>
QCÊ(fi),
T
Q
)Ê
cú:
Fourier.
Tuy
nhiờn,
cỏch
nh
cúv
hn
th
ly
tớch
hay
{ỏp

s(,dng
xv)ny
h
fu
ytt
e~

(x)+
-)-l
x=)thc
d(ta
yT
nh
1.6.
C
ỏktin
c'Mikusinski
hbin
ụ) .nta
gNu
gcú
i supp<Ê>
atanngha
L(
-)jR
i=X
cnú
n
cEnghip
hch
o(y>
bkhụng
i-ằ
||/||
P
n
h Trong

ký
t<5
rt
opnhiu
Êvn
M
nk
h.\ \
hm
rng
ca
cho
lun
vn
s00.
ca
mỡnh.
lun
"
bú
tn
ti
i
p
e(kA

,
> s
sao
cho

|(u,
(
}
\
>
L
kg
(
/
7

hiu
l
phộp
tnh

!-)
.
)

t
)
(ớ)
Ta
cng
Ê(R")
tuyn
bN
J
R

x
x
E
v
ca
B
Cho
hthnh
ecn
Vtvn
("))
)=ntrn
ln/nmt hm suy
ch
s
am
,a:
ờ
vi mi
x a
=
6kh\.2.
K
i\
Cho
ú2.1.
,ycpú{</>n}
l ỏn
=tl2
m

e tlun
ru
icỏc
r'T
nQtny.
X
.2
n rng. Khi ú,
tp
hon
00
(z
")
(x
(
*
*
")
^
2

( -0hc
pcú
n:
nv
dóy
hm
hi
t
n

o
Dirac,
mt
h
{/}
theo
quy
tc
cú
c k
{xõy
n v
2?(R)
->
>(R
)
G
i
s
x
t
y
n
ớ
h
d
:

-ằ

t
o
ỏ
n
t

i
ph
õ
n
l
i
ờ
n
t

c
x
2
2
2


____
nh
th
ngha

dng
2.7.
i
Cho
s
/

thng

^),
Ê
u
(
Ê
R
T
)
>
/
T.
'
(
ớ
ỡ
)
tựy
ý.
Tớch
ca
hm

/
v
hm
suy
rng
u
ký

:
V
(
R
)
c
v

{

,

>
)
=

(
0
)
mi
at
(ai,ô

, }k...,a
)fg\]/(:z)
) ,(THC
t=
)ú
2d0tftjhtc
N
l
*chỳng
X
{ta
d=jT
(cú
fhiu
(|rc|)
{nn
u
,gN
-iMda,V
j/3((=
)c=
=lớ(/
{fhl
ui,y
d.. jMt
S)theo
=khỏc
{ r.
u=Th
, -cta

dHC
(ó
)D'(fi)
+thỡ
(ờd:/3
j..........................
ff)<(.xa
)cú
->
cVi
l
tp
hp
ký
supp/
,
c
xỏc
bi
supp/
lj=tn
{f0ex,tai
Nu
Mt
vy
hai
.cỏc
0eụn
ta
cú

bit
(|ổ|)
nờn
t
khỏc,

(gC.


=trong

)c(|ổ|)
.9nh
T
suy
raTON
khụng
ỗQ
N
z)=ngha
ờ2Cễ0}sao
nh
lý
1.5.
ru
oS
n) ,2
h=t
ụ=
n

ỏVN
m
c
kớ
hiu
l
LUN
2.1.4
hi
t
trong
khụng
hm
suy
rng
17
Vy
phộp
cng
phn
J0v
0.=
l
tp
hp
tt
c
phn
t
hũa

ca
bi
õy
ta
s
m
rng
kt
qu
(3.9)
nh
b

sau.
bca
ny
l
hm
gii
tớch
trờn
T
ú
suy

(gian
0q)cng
1
v
hp

(n0.
0)=
|a|
>
l,V
{thc

,v
ra
>
=
{Êv,
liờn
),
cỏc
Nguyn
G
(a
n
Tng
vi
nh
ngha
ú,
Mikusinski
a
ra
mt
g.)cỏch

hfhm
Nh
acỏch
ny,
tụi
s
túm
tt
nhng
kin
c
bn
v
thuyt
hm
suy
ca
cựng
M
=
)\hiu
<*
*)KV
)
iu
ny
tha
món
nh
ngha

3.4
ng
vi
trng
0,Cỏc
, rng
N
=
0,
òL.Schwartz
(ethỡ
ql",
) fth
=(.
qlechng
+,h1.X
Ta
S
dng
cỏc
kin
thc,
phng
phỏp
cụng
c
ca
gii
tớch

tip
cn
vn
Sau
õy
ta
i
xột
mt
s
vớ
d
tớch
hai
hm
suy
rng
theo
Mikusinski.
n thớch
alý
l tp
hp
cỏc
hm
cú
dng
tớnh,
nhng
khụng

phi
mt
i
s
con.
Tht
vy,
vi
g

(R")
)
=
d

=
(

,
x
.
=
(
x
.

=
Ê
1 w l
X>(f2)

sao
cho
T
>
K
n

T
K
vi
mi
tp
compact
c
.

.
Gi
T
tt


N
toỏn
t
tuyn
tớnh
c
ký
d

u
xỏc
nh
bi
2
f)vy
( xc
)(nu
=,*
<
pA
((2
xi'-00
)(=
ta

TrtTht
oh
nl
g a
úm
f
(un
xcxỏc
)nụ2e=
f ()ttớch
xhụ-----)=,2nh
V
uta
esau:

l^
,X
X
e0cú
R".
kthnh
k\x
^J
W
(^7^)
X
oo
(
x
=
0
)=(v(ay1t.).d,-T
c
lp
bi
chp,
tn
ti
,
ly
=
v
u
i
,

ỡ

)
e
X>(Êớo)
sao
cho
w(0)
=
T
p
(
Q
)
=
1
vChn
th

n
g
c
L
e
i
b
n
z
d
(

a
b
)

d
(
a
.
b
+
b
t
h

t
h
ỡ
t
a
c
ú

(||)
/
X
,

{
(
y

),
x
)
,

(
x
+
y
)))
=
(
u

(
y
)
)
=
(
u
,

)
.
do

X^K),
n
=

1
,
,
...
v
J

)
d
x
ú
ta
cú:
00

^
R
(

n

)
(
t
)
=
X
)
hiu
u

nh

n
P
j
<
0i
j
,
j
=
1
,
,
n
.
Nu
/3
<
a
ta
vit:
( d
chng
õy
K
suy
ra
5vAbng
tp

0(Hm
compact
.tớnh
ta
khụng
hiu
xõy
Vl
l
et
Cn
^)
i
c
Kdng
J=
(){xj
)rng
dÊ
ftrong
x)khụng
,nh
({th
xhfthng
)dvjhoc
/ Mjftớnh
xgi
)n,dhp
){/............................
U

,I-ằ
fl ny
(hm
{ R",
( dkhụng
jrng
ftz)Jt
(ký
=dớchun
U
/(ờ)lxncon
1.2.
Dóy
X
c
l
X
osupp/
i hai
X
'õkphộp
WkWc^n)
nh
3.5.
suy
Colombeau)
s
(fkh
R
,hi

ký
hiu
cho

eh
qn=pghthỡ
lim
n:thun

=l
hay
u
CoP
ộl
pngha
lmt
qu
yTa
ikhụng
nhMõu
(nx
z)d+mt
asuy
y
i
nx)x)tvn
n
trỡnh
+ihm
ờ(Ê

n
ttp
/)i
cumt
t)s
rcht
D(2)
v0(R")
i: tớch
m
(hoc
18
2.2
Phng
phỏp
tớch
hai
v
ahoc
cng
rng
gian
ca
Ênh
mt
.cp
quy
tminh
rhờmt
nkt

lc
n
ụcu
gtrong
inp
a~
n)Mgcú
B
ctheo,
hgian
vi
l
hm
th
Tht
ụng.
vy,
ta
Tip
xrng
. quan,
X>(R")
v
cỏch
liờn
tc
xỏc
mi
v
hm

nh
nh
cng
iu
tng
t
vi
vect
(uubng
lun
,bit
do
ú
/d2by
.
a
Thu
thp
nghiờn
cỏc
ti
liu
liờn
bỏo
mi
v
vn

tớch
/nờn

(ngha
xcú
+
esuy
tx>'(f2)
)Vớ
rng.
(thy
te->0
dX>(Q)
tgca
v
(gian
asuy
encú
,do
)-
=
/ERn,xỏc
gc
()nờn
xcon
+s
el
tphỏp
)cỏc
,mt
(S
t-bi
)c

dn ndng
t
,ờvi
nhng
nhỡn
chung
Vi
t2.1.1.
v
v

v
)tớch
ta
R n fô
c
cỏc

(
)
=
1,
e
M".
Mt
khỏc,
Ê
A
q
,

q
=
1
,
n


X>(K")
v
vi
Chỳ
ý
l
khụng
vi
cỏc
phộp
toỏn
xõy
dng
trờn

nh
nh
khỏc
hai
hm
suy
rng
phng

s
dóy
Delta
v
cho
tin
thỏng
06
nm
2015
Mt
vớ =d
khỏc
vnờn
hm
Heaviside
( xfH
)xR
.xNi,
H
=cúnh.
H
Vt
n ={ uvy,
,t2(pvỡR)
,do
^(rc)
eVớ
vi
mi

hm
suy
rng
th,rng
) (3.2)
=G
nTa

xta
Gớlo
(),
suppVjfc
Êau

,ev
õy
jTa
1Ê(R)
trờn
suppc,

õy
mt
cn
im
0y.ta
Gi
s
e ,1M

thỡ
=Cú
0 }hcha
=H
/lsuy
(lõn
+
tbit
),ca
(theo
tX>'(K),
)rng
dmón.
t .ton
3.2
hm
rng
Mikusinski
a(u
An=l
X
K
tha
nhn
cỏc
b
s
trong
ú
cụng

n1"
ga23'(R)
id
nm
.v
Trc
ht,
thy
xỏc
/mt
n
)suy
=
/*Ơ>
=

(trờn
P
n(ớ',
-tHC
).
Sau
ta
s
xột
mt
s
tớnh
ca

quan
(.fhm
dhai
utp
,*
:thc
)
-tt
)Colombeau.
W
(h
,)trờn.
dc
)tha
,d
V
(2.2)
nu
LUN
THC
S
Q
c
gi
l
i
s
suy
rng
Mi

phn
t
gi
l
cC
h).ớ
skhỏc
2.2.1
.rng
lim
(h
(*tớch
cỏc
(sau
cht
)/i,J(Leibniz

=cht,
V(0)
\t
ÊA
VX
(ú
RG
)Tht
nc
Tớch
hai
rng
fVN

(ỏnh
x).........................................................................................
+
Êucỏc
tc
gyphn
()x=
+-TON
Êtng
t ()(xn
()
))
d,)t
n )l )hm
vi

.m
Ký
hiu
U
(
J
l
hp
c

,
)
e thuc
l

ớỡ
sao
cho

Mt
18
A
A
A
hm
ca
Mikusinski
v
cỏc
tớnh
vớ
ng.
T
cho
thy
s
phỏt
Rằ
hm
suy
rng.
lý
c
chng
minh.

00
n
nh
ngha
3.9.
Ta
ký
hiu
Xo
l
tp
hp
tt
c
cỏc
phn
t

G
Ê

tha
món
tớnh
cht:
Ơ
00
\
\

x
/
/2
2
tp
hp
cú
dng

+
w
vi

e
>(2)
v
w
e
/3
.
mi
m
=
1,2,
3
c
>
0
sao
cho

sau:
3p
(2.5)
qua
gii
B
<
r,
coitrờn
ta
c cú
^)
c), C(R)
0(R
Tip
cng
, uMt
) khỏc
uta
eR),
+AV00
Q
. ( i p y = >'(R)
v cú
(v
u
J= Rằ
=^ {c^
(, j )li
,y).)cú

evằ
C(c)
^ (theo
u
) A)H3.1.
Khi
ú
u.m th
etớch
X>'(R)
ú( (c
H
=Cho
T
ú
ta
cú:
o, 'Nh
=i
(.nvy,
t)2hn.
pnờn
)taH
kh
R.
=( ta
1a ,a)cú
v
n\ {
a

v
_
lim
=
,
,

)
\
>
*


/()

Vfc
= x(R
)( H-ằ


) Mt
+

)
( f)
Q . , ) = dkh
(
C(R
=
e

).
khỏc,
f
(
x
)
,

Ê
2TT
CV
h

n
g
m
i
n
h
.
Tht
vy,
ta
cú:
(

,
u
(

,
X
).
)TS.
)v>
dgTa
xMikusinski
nn mi
Colombeau.

phõn
bit
vi
hm
rng
thụng
ta21
lim
||x

Xoll
={b
.ca
du
i(Nu
fngha
i rng
ffTrong
c(fỡ)
th

ỡ,
n
xvic
Z
(xdn
:tn

!->
fhm
c(suy
x,suy
n
I=
uiColombeau.
yvi
}Trớ
tc
ớ\n=h=thng
lZ
i ờign
t N cA
tur -ớ'.
ờzs
n
2.2.2
cht
ehm
msuy
)yu

.................................................................................................................
ú,

cú
compact
tp
(esuy
x
)l
dQrng.
(supp
xecTớnh
)ýR",
oo
thỡ
ta
núi
f0)1
kh
tớch
trờn
A
.uT
luụn
quy
hai
hm
Vớ
3.1.

theo
cỏch
inh
Ngi
hng
hc:
Ngc
B

1.1.
Cho
0C;
0)/]h2.
.=tin
Khi
ú
ti
cỏc
compact
{
K
ừrng
^ỏcho
)ca
102M
(G
<
giỏ
x0Z
e(nờn

Ê>(R
)., Z
3=0
Mnh

3.7.
Nu
usuy
Z
_trờn
-*
,Vg
00
sao
cho
u\ng
i\nht
Zt1.
Nu
trin
ca
vn
v
xõy
dng
i
s
rng
z (ngha
z tp

z
hi
n
hm
eV
húa
hai
{<Ê>}
v
{<Ê}
l
hm
rminh
cúvmt
s
N
ecụng:
N,
>
N
,)Ido
'(/.*l.sup
ixkhoa
/3
Êngha
A
qngha
ta
cú
)jthỡ

=dóy
0{jta
(cn
ecú
ò)=+ớ
(.XV,
icompact
~=
)T
2 nh
Ê TO
Ta
chng
T
Ê>(2)
v
l
mt
c
s
lõn
ca
-00
.t
Phộp
Vi
mi

,
chng

T
>
'
(
ớ
ỡ
)
ta
u
+
v
nh
sau:
{

)
=
2-dóy
hay
lim
in')
.
(


n
)

'
tớch

trờn
R,
ny
l
vụ
lý.
Vy
t

M(M).
cú
th
c
coi
l
tp
con
ca
(R").
{iu
Ssuy
*ò
U
,l
( (mt
>
)bt
=*tụpụ
{
S

(
y
)
,
{
u
(
x
)
,

+
y
)
}
}
=
{
u
(
x
)
,

(
x
)
)
=
u

,

71ằ00
1


)
(^)
d
,
Tớch
hai
hm
rng
k
2
1
nh
ngha
3.1.
Mt
dóy
(<5
),
n
=
1
,
2
,

...
cỏc
phn
t
ca
D(R
)
c
gi
l
mt
Suy
ra
1Do
1 ,
H
'=gnú,
=/ n
2
H
.u
Hx nu
')ta=
3chỳng
H( y. )Hớbng
' = 3nhau
H .iH
trong
X>'(R).
chỳng

cú
.<5
=
(
d
u
,
i
p
)
=
(
u
,
i
p
)
u
,
i
p
(

p
p
(
t
)
d
t

d
y
\
=
{
u
,
i
p
)
.
khi
E
-ằ
0
.
6.Nờn
úng
gúp
mi
fDo
,
g
o
c
trờn
X
l
b

n
h
a
hu
khp
ni
trờn
X
,
ngha
l
1,2,3,
...
tha
món
K
j
c
intXj+i,
u
K
j
=
Q
.
Chng
minh:
t

~

(
x
)
=
(-x),
n
=
1
,
2
,
...
ta
cú:
gi
cỏc
hm
suy
rng
Colombeau
l
hm
Q
suy
rng.
V
(

)
.

2.2.3
S
khụng
tn
ti
tớch
cỏc
hm
suy
rng
tng
quỏt
theo
Ta
bit
ccho
(R").
Vy
/(M)
e C(R")
taG
cú
Ta ca
nhn
thy
etrỏi
Vgii
(Al
Lhn,
) thỡ

nờn
f rng
Ê zhn.
x>(ớớ).
ús
v
phi
ca
(2.5)
hon
ton
xỏc
nh
ú
V
(kớ
Qhm
)cựng
,chng
gi
thit.
vy,
iu
gi
s
sai
hay
ta
cú
iu

phi
chng
th
thỡzfcỏch

l
rng
cú
cp
vụ
chn


0theo
saoc
cho

v
Ê(cvi
thỡ
0c
sao
{,)
G
w(ớ2),

quyt.
vminh.
mt
<

Ê
-,tn
-suy

=
,gQ
vi
zò
C
C
u]
h(Nh
.>C(R")
nu
cú
chỳng
1.-d
mt
din
dóy
ca
gian
cỏc
ndz x
X
=sao
|x|
xTht
(|x|)
|x|biu

+hc
xoo
.rng
denu
(|x|).
Vi
ngha
nh
trờn
thỡ
trong
Toỏn
Vt
ó
gii
V
Ta
cú
th
ti
^
5VDo
theo
cỏch
nh
ngha

trờn.
Khi
ú,

hiu
Vi
trong
moi
w
Gnh
5hm
0'T
cho

Khi
G
-2vy,
Wtõ
.=II011
t
mi
=
77
\l
w 3l
Tht
vy,
*)'tai
,/luminh
V
2e >|x|)
Êckhụng
v
)vn

Ê)+
ch
cn
chng
tn
ti
wdo
Êchng
sao
\ .)Tmi
Jntheo

oo
Jvi
',-------------,
Trong
ú
u
(vi
)) Vỡ
kh
vi
hn
jVi
Xhm

c
nh.
cúkhụng
M

supp^
-x{V
compact
R
Do
ú
.=
l
mt
suy
(gi
hm
suy
rng
Dirac
( hcng
,chỳng

)gta
V,

,


G
>tn
u5cú
ỡ|(iớ,
ú

+
V
ev
T
>D(2).
'minh
(lýQ
)Do
.Ta
-nu


2.fta(vụ
Xth
2
C

nú
m
n
h
.
v
(
ớ
ỡ
nờn
^)|
,

e
ú
Vy
nờn
u/+
*cs\ px{iK
=
=
u
vi
r
k pe X>'(K").
p< C.
r
1)
Delta
tha
món:
1
1
"
f
X

j
^
\
00

pKhai
(ụta
snl
)gó
dnh
-trờn
)nh
_j-sca
(0^,
pdcct<ú.hai
rt .hv
(3.10)
a vi
2X>'(R")
2 (|ô|
)vsuy
phn
chỳng
nh
mt
trn
/t e)cú
^)
mt
rng
u
nh
lý
hngha
gsthụng

imi
a=n(3.1)
cngha
c(=
hl
tớch
m
u/
ytX>'(R).
r(ca
n~*~
gxỏc
nm
hxỏc
ỳ hm
n+gJ
ca
o phn
0(K")
f)~V
e
tsup
))ú
dcú
(trong
a lý
m=
th
c
nh

lý
thng..............................................................................................
v
do
/ thỡ
s
cỏch
nh
t
hm
rng.
ngha
ton
nh
22
do trong
<
ú

H
]suy
'n2.vy,
?'(R).
=trờn,
T
2l3.3.
ú
.ZtH
suy
'cỏch

ra
0Z
vi
>Ê}
H
phn
'ỏvn
t
trong
(dahon

,,x
u+Xhm
(Nguyn
mt
lõn
cn
U
X
sao
Ta
cú
th
chng
minh
rng
Jo
l
mt
ideal

Do
ú,
ta
cú
th
mt
i
XZ
MDeltaATa
\c
Nu
,ỏp
xsuy
ert
u
R"
,H
v
urng
vi
eõy,
/C;
eliu
(R")
I=
,Ta
Zlun
2hm
ta

G
cú

sup
v
uDirac
(,
(3.2),
Z
ixthuc
u
)thỡ
h
Z
2nờn
u
+
utrong
a nh
bkhỏc
Z
\(=ngha
+
200
v
supp
cdng
{Zw
E
R

:l
|x|
vi
lim
E
=l f,uhdựng
0ký
2Mt
Z
E,
zÊ
a=K
Z
l compact
Z
hm
rng.
cỏch
tng
t
vic
cỏc
dóy
nNh
lrng
vic
dựng
li
{</>e}

thy
rng

mt
suy
rng
0(R)
Th
khi
v
ch
khi

=
u
+
1
sau
cú
nhiu
nh
ngha
hm
theo
cỏc
cỏch
tng
ng
nhau,
nhng

Ê>0
Vỡ
k
trong
ny
ta
hiu
l
mt
tp
ca
Q
.
v
K
j
l
sup
/(:z)

<
trong
Nu
hm
suy
u
cú
o
hm
suy

rng
d
=
0
su
Lun
vn
l
ti
liờn
quan
n
vn
tớch
hai
hm
suy
khụng
gian
cỏc
cho
+

V
\
n
1
^
2
cú,

do
)

V
(
i

1
,
2
)
tn
ti

i
Ê
V
Q
)
v
W

Ê,
minh
rng
Ê(R")
l
mt
i
s

vi
Q
cỏc
1
(
phộp
Q
\
I
toỏn
>
3
theo
1
;
im.
hay
hm
Delta
Dirac).
.
Phộp
nhõn
vi
phn
t
vụ
hng:
Vi
mi

e
v
'
(

)
v
mi
s

ta
nh
ngha
X
u
(nờn
^n)
6
) , hp
= l
(, t ( ) = e( ~ ) Li(R).Tht
ú
( li
)ngha
= ra
1Khụng
, (X
*
* 6

nPP0
(71ằ00
- *;J/,-Rằ
)Sg- n>
1.5
suy
(ii)Ttp
nh
tớch
chp
trờn
cng
vi
v
cõn
tagian
cú
(lim

ca
^ hai w vy,
vi
x
Q( hoc
x
Xmun
Q , khi
n
> oo.
n = X

^jKôj
P
j
e
Bõy
gi
chỳng
ta
nh
ngha
tớch

aVb

n
g
ỏ
n
h
x

2 ci\,ó
tng
ng
trong
(K").
iu
mõu
Mnh

ligian
cõu
hi
ú.
2nm
Cui
vo
khong
hm
suy
cho
{ngha
,.Êjiớ
compact
) }tựy
(nú,
)nhng
.1980,
nờn

rng
(khụng
tr
)=
{cho
xV hai
eny
:lm
((R")
suy

,)
\T
{U
,{
) Vy
Igỡ
\a
d(thun?
)
\
<(z)}
\ =tp
\ m
\ N sau
s
thng
nh
sau
nhng
71ằ00
NG
+hp
rng
a . õy
U
-hp
Zd
xZcompact
.
xcú

:cdin
f\tớch
xrng
0.
f2.2.2
tp
cựng
xnh
)rng
=
1bi
(ny
xQ
|x|)
=X
dJ.F.Colombeau
|x|
+
x\ca
.s
d)
(|x|).
Tớnh
cht
R mrng
c
nh
ngha
Vi
l(\cho

tp
ý.phi
vi
mi
ch
a.
thỡ
rừ
hm
Dirac
khụng
l
hm
thụng
thng
tarng
iu
ny
ú
u(thớch
(R")
l
phn
t
i
cho
Ta
cng
núi
=

trong
tớch
hai
hm
suy
rng
ca
Mikusinski
ta
cú
th
lybit.
tớch
ca
hm
mt
trong
cỏc
tp
trong
K
j<2) núi
trong
b
trờn.
m
kh
hm
suy
Schwartz

v
vn

xỏc
nh
hai
hm
suy
theo
Mikusinski.
Uú
3j trong
sao
Cỏch
xỏc
nh
tớch
hai
hm
suy
theo
Mikusinski
24
nh
sau:
{
X
u
,

)
=
X
(

,

)
,

e
(
Q
.
Khi
úm
X
u
ekó
kp
k j \ nờn
E
>
0
chn
hp.
Ta
cú
D

j
(
=
0
nu
k

j
v
=
=k
n
B

3.2.
Cho
=
r,
ta
cú
+V
2.1.4
S
hi
t
trong
khụng
gian
hm
suy

rng
V
'
{

)
vi
Ta
ký
hiu
c
(
ớ
ỡ
)
l
tp
hp
cỏc
hm
kh
vi
liờn
tc
n
cp
.
Vi
/,
g

e
C
(
J
l
)
thỡ
nh
ngha
3.3.
Ta
núi
phn
tu
e
Ê(R)
l
mt
phn
t

ụ
n
h
ũ
a

(
moderate)
nu

vi
((
*
)

ừ
n

)
Vớ
d
Hm
( Uriờng
, t p ) =trờn
( U ,Ri ÊlTO
rng khụng th( U
, p ) nh ngha
mi
\ suy
a2.3.
rng
ctoltựy
< ý,vnúi
e2.7cho
+2 hm
c W.
>
I ,) +
hm
rừ

dựng
nh
ngha
1.7.
Cho
(
x
,
(
0
,
ò
)
l
mt
khụng
gian
o
c,
ngha
l
X
l
mt
tp
v
rng
esinh
uSchwartz
{ vn

Tuy
)u}trong
l
theo
tp
con
cỏch
ca
khỏc
Q
v
cỏc
>phn
dựng
0

nh
n2hm
thỡ
hyperfunctions
0cho
0\-xmnh
Bõy
hay
gi
cỏc
tacú
m
m
rng

rng
nh
ca
2
E)
Mnh

3.5.
Cho
.Êi
Gi
/ztal
t
biu
din
theo
lý
Nu
G3.10.
;
Z
\J/ ,'cú
z(R")
Grng
xvi
v
uvi
thỡ
u
hR

(/%0

zv
)fi(
ớ/>(.)d.
=
(3.11)
z nhiờn
z =h
zra
Mt
khỏc
A
ta
dxphi
(nu
|ổ|)
2Êcỏch
|ổ|.
Suy
(,=X
||)
2/=
dcú
\nh
T
ú
dn
.c

l
phi
m
khỏi
nim
cú
lp
hm
mi
luụn
th
ly
rng.
khụng
lỳc
no
thc
hin

V
(cỏc
->
<=!
k n
1 s
1 nú
nh
ngha
Ta
hiu

s
thng
ÊW
mi
phn
t
ta
l
mt
x
Êjcng
i<>, +Ê
gian
,{V
1,2
a2.9.
an
0 0Vi
nV
d
1.
t:
eký
thỡ
ta
cú
xIphm
khụng
)
=

6id})nhng
xc.
khụng
)xti
=)e=Ta
(N
xgian
lý
)hiu
0. ca
=úng
,sau
V
Vgi
c
P(R)
nờn
nh
ngha
1.8.
Cho
,
&
,
)
l
mt
o
c.
Kớ

L
(x,/i),
(hoc
L
)
l
(Vớ
u
,

j
)
=
j
\
.
Nhng
\
x

j
thỡ

j
(
0
nờn
sup
è
D

j
(
x
)
I
<
Tớnh
cht
2.1.
Nu
u
e(D'(R)
eX>(R")thỡta
cú:
(3.3)
Vy
d
u

'
(
Q
)
.
d
f
(

e
,

){


<(con
Ê)sao
<0
1,
B

1.2.
c
(ớl)
l
mt
khụng
gian
Frechet
v
l
ca
(ớớ)
vi

e
X>(R")
tựy
ý

õy
Ê

e
c
,

>
0
sao
cho
supp)

{
:
||
<

theo
nh
Paley-Wiener).
o
hm
ca
mt
tớch
theo
cụng
thc
Leibniz
Kmi
tp

compact
K
c
R"
v
mi
phộp
ly
vi
phõn
tn
e
N*
cho
e
A
N
m
Vy
=
(
,
S
*
S
~

)
V>eD(M).
Vi

mi
tp
a
a=mt
ta1,2
nh
ngha
Cho
*th
Ufc=0

(l
T
J.F.Colombeau
),0s
lnu
, . .nhng
. .da
Ta núi
rng
dóy
hi t).
nh
ngha
2.2.
Cho
kxõy
Vdng
'mi
Q=>

.trờn
)'((ch
suy
rng
vỡ2.5.
fcompact
i
cú
khụng
s,v
hm
th
/n+cú
ecỏch
X>(R
03.1
l
mt


s
trong
X,
ngha
l
h
tp
con
ca
X

sao
cho:
d
u
,
y
)
+

(
U
,
p
)
Beurling,
Romieu.
Cỏch
ca
vo
cỏch
tip
cn
ban
u
ngha
hm
suy
rng
Colombeau
M

bng
dựng
u{)

thay
cho
1
X
ớ.
v
/ l
phn
t
biu
din
/ ó
theo
nh
lýnhng
Th
thỡmi
t 1,2.
a cnh
úDo
/ hm
+ x =Dirac.
Vic
chng
minh
c

suy
ra
x+cho
\t
:sÊ
nh
V
((R
R )bit
ngha.
ucỏc
n c
nc
o
hm
bao
hm
hm
T
([I)
==
0tp
gi
ta
xột
hm
k ./ Bõy
Suy
ra
G

Êcỏc

(R
),K
do
ú
1sao
).
Colombeau
(hay
s
phc
suy
rng.
Chn
compact
cnhng
2
sao
cho
ly
,gv(tớch
i e3.2.
Tx.>
K
T > K/ +nxWtrong
mú trong
trong
(M")
I-ằ

+y,) d x=
0gian
X>'(R).
cxkhụng
e*ta
~nhõn
<
jgm
,phn
ta
chn
E
j/ta
cho
hm
kh
pca
tớch
trờn
X
vi
Mnh

3.1.
Trong
X>'(R)
khụng
th
theo
nh

ngha
d
mi
K
c, ktrong
2
.
hl
()=
yliờn
)
=
J
xu) thỡ
(
+
,ta cú
acho
a ( 3.2.
chỳng
cú
phộp
vi
t
vụ
hng
tc
trong
V
(

J
l
)
theo
tụpụ
T.
iu trin
ny
c
v
bit,
cho
)
l
^
vit
=
X
tt

R
sao
/
(
p
|Ê|
(
s
d
||

s
.
->
oo
t
(3.5)

)
-ằ
0.
iu
Trong
[7]
ta
ó
bit
rng

+
oo
\
n

trong
x>'(f
2
)
khi

-ằ

oo
nu
sup
/
f ta
( x s+ xột
Êpt )mt
d u) (cỏch
t ) d t=nh
<
sup
\
f
(
x
+

y
)
\
/
\
d

(
t
)
d
t
\

Sau
õy
chỳng
ngha
tớch
hai
hm
suy
rng
da
trờn
khai
(
*
(z)

u
(
y
)
,
p
(
x
y
)
}
,
X

M"
H
2015
1NI,
id- t1ó
caToỏn
L.Schwartz
vic
xõy
dng
TxI>thỡ
'( tv
gii
quyt
c
rng.
vn u
ly (tớch
1.1)
Ngoi
ra,
nuxut
/ e v
(R")
v
cúthuyt
/ + X {=
suy
ra

(

,
x
)
=

(
x
)00etrit
X.suy
T
ú
p
)
)
{
u
,
p
)
.

\
\
,
)
=
I

\
x
\

(
x
)
d
x
H
NI,
2015
hc
ó
hin
cỏc
lý
v
SU
cỏc
hm

mi

gi
l
"Hm
tiờn

I-/R"

J
T >T
K kt
2( ) \ -ỏnh x u z 1 Co =
caxmnh
I-ằz<,
sao cho
\trờn
{ u , ta
jX>'(R).
) \cú=th
>nh
Px,ngha
\) =X
mt
2.
Vi
u khụng
=qu
^ thỡ
^~
=
1= trong
X,
|rc|
(ln |ổ|)
qle
eVy
s ;ukhụng
pgp

Rfl
ntụpụ
, (
xeR
chng
t thun
gian
th
vG( R.
)j \y1)l
gian
v
ny
mõu
fXcỏc
(( x )) hm
=XlX,(ln
V x.X
chng
t vect
rng
A
=hn
0(R),na cũn l khụng

X vi
Fourier.

T

{
x
)

{
x
)
=
X
ie[0;l]
haiphi
hmk
suy rng bt k.
(9ằ)(ớSi)
( (Ê-"),
lim
(, ) =
= trờn
,k
(3.4)
(3.6)
=1) , e v ' { n ) .
v
(
p
*
u
)
(

X
)
l
mt
hm
kh
vi
vụ
hn
R".
nờn
tn
ti


>
0
,
i
=
1
,
2
sao
cho
u z \ - z . Tuy nhiờn, ỏnh x ú khụng phi l phộp chiu. Tht vy,
9 = 1ly u C; u = +
n

Mc lc

k

00

00

M
U
Chng 12 Kin
Khụng
gian
hm suy rng
Chng
thc
Chng
3
Cỏch
xỏc
nh
tớch hai
Schwartz
chun
bi rng theo Mikusinski
hm
suy
-

+

-

00

J

00

A

00

L

\a\






x

CCH XC NH TCH CC HM SUY
CCH XC NH TCH CC HM SUY
RNG CA MIKUSINSKI
RNG CA MIKUSINSKI
0

1

2

0

00

TO

00

=

n

n

=

ixt

n

d

p

00

n

c

Z ớ

Z2

1

1





3

v



i

2

1

1

2

2

z

Xo v ( ) = |rc| ( x ) d x thỡ ( Ê ) = J"R || - ( - ) d x = ( ) ,

z


4441
40
42
43
r
Cvới
hVới
ứ77
ntrường
gem
h).. Theo
Vì
pthức
e ,4i(R),
không
giả sử
( 0i;n1
(3.15)
tap có

hợp
к đã
= công
2có
r, ingoài
ra nếu
Ỷ mất
thìtính
ta cótổng
J k pquát
= 0.taDùng
bổrằng
đề 3.2 với к =
x
[c;d].
Dùng
phép nhúng và thay
thế t = y chúng ta có
r 1 / 2 lấy tích phân
r 1 / 2 ta có
2supp<^(:r)
r, p = r cvà
thay
đổiquy
thứtắctự

x +
((£

những biểu diễn của hàm suy rộng a :~ r _ 1 , / 2 trong đại số Colombeau :
-JI /ĩ2 r(*„*)
y - v \ { y ^_£)„„
r = Ị=
t r i p ^ ( t ) J s r i p 2^r r \ s ) d s d t W
2 A (-1)^ (0)

Tài liêu tham
khảo
(C2rKỀT
- 1)M) ^ LUẬN
*

(3.17)

2

= Ý.(Pỉế,ít2r-Vrì(t)9fr-i-lìm
i=0 K ' c

Trong đó

=

(2^1ĩĩĩí^/ r 1 'V' l (^)ií

í (x + Et)~1/2ip{r)(t)dt.
r
=
(—1

)
r!
J
t r t)p ( r J
\ t) X
Ị /
i pE
{s)dsdt
[A]Tài
liệu
Tiếng
Luận văn
trình
bày Việt
tổng quan một số rvấn đề về tích hai
hàm suy rộng, trong đó tìm hiểu
I ị ị — J i p ^ r (\ 2
t )r Ị —
< p1
( )!!
\ s ) £Ịr (y_
t —
l j ) l ^ 2 { b j — s ) 1 ^ 2 ( j j k d i j d s d t . (3.18)
. , ________. a; ỵ e
.
y - z
l

AE

v
"của Mikusinski. Đồng thời, luận văn đưa
kỹ[1]
hơnNguyễn
về phương
tính
tích~hai
Xuânpháp
Liêm
(1997),
T ôhàm
p ô r suy
đ ạ irộng
c(3ư
- 13)ơ n g , rđ ộ đ o v à t í c>h p h â n , NXB
ip(s
) phép
t ( t )lấy
d t dtích
s iphân.
=0 °
Với Ả: = 0 , 1 , 2 , 2r và chúng ta đã thay đối thứ
tự của
ra ví dụ
minh
họa cho phương pháp này. Ngoài ra luận văn còn xem xét ví dụ cụ thể để cho
Giáo
dục.
Đặt
L Jtự,

—dùng
s = (quy
t —tắc
s ) vphép
ta có:
Tương
nhúng và thay thế s = -—— chúng ta có những

— (— i) r\ J

J

£

= ( rtích
!) Jcủa
Ф)hai hàm suy rộng Colombeau
ds .
( 3-2 sử
1)
thấy một cách tường minh
thông qua phương pháp
[2] Đặng Anh Tuấní (í(2005),
L
ý
t
h
u
y
s

u
y
r
ộ
n
g
v
à
k
h
ô
n
g
g
i
a
n
1//2
lế t 2 h kà m
— cư) (cư — s) ^ u i d u >
2
dụng
cho qua
giới hạn
Mikusinski.
' s cách
biểu diễn
của hàm
suy •như
rông

x Z r làm
~ 1 ^của
trong
đại số Colombeau : ~ ~
S o b o ỉ e v, Đại học Quốc gia Hà Nội.
_1,/2
= í độ
г >có
(1 —
V luận
) 1 ,/ 2 [sì;
(1 — vtránh
) t ] k dkhỏi
v ■'оnhững thiếu sót. Tác giả
Do thời gian và trình
hạn
nên
văn+ không
2

x

:

m

2

{v
xtiếng

) = ( ir Anh
[B] Tài liệu

‘ ' những
- (2^1)!!Ỉ£
/_1 góp
- ' của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn
Hơn
mongnữa,
nhận được
= ýỀkiến
щ -( 2đóng
TT
r - 1í)!!
(

9 )

l 9 ( s ) ( l p'-(k-p)'-J

1 / V

r 1ơn! on / ■ - Colombeau
*/£
thiện
Tác giả xin(1997),
cảm
pchân
=0 thành
[3] hơn.

B.Damyanov
"Results
Ị7 /
(-* 2
n

0

product
of
es) _ 1/ V r ) (sH

s.

distributions,"
(3.14)

' c
(
2r
—
1)!!
Commentationes M
£• a t h e m a t i c a e U n i v e r s i t a t i s C a r o l i n a e ,
J

vol. 38,

= ( ЗЛ 9 )
p=0

pp. 627634.
y - ệ ( xno.
) £4, X>(R)
ta có:
; +r

1/2

(¥ >£, a :) •

X-

1/2

(3.22)

(¥>e , z), v>(®)

[4] Biljana Jolevska-Tuneska and Tatjana Atanasova-Pacemska (2013), "Further Results
(r !) 2
Do đó
r 1/2
r 1/2
í Product
xvậy,
+
E,x)x_
Và J 2r
■ Như

I )( .i p—
0 với( iкp e , x ) ' ệ (Ix—
onr —
Colombeau
of
Distributions,"
n) tdexr n a0,1,
t i o2nr a—
l 1J và
ournal of
J
00—
((2r — 1)!!)27T
M a t h e m a t i cJI
s a on2(rd2 r+) !Mr a+/ t h e m1c az t i c a1l\ p S
d c i e n c e s , volume 2013, Article(3 ID
"= 2 yn’- 2 ’
ẳ1 ) ° 2 »+” ■
' 23)
* = E pị(kl
(r)
ì
p
(
x
)
/
<£>
(í)
918905, />. —

((2 r - l )!!) 2 e 2 r — d e
J
x/e
Cuối cùng ta có:

7

p
P(p{r)

B

w
-XỊS

[5] G.Grubb (2008),

{p+ị’k~p+ị) Ị tk
s/
r)

D i s tr r- 1 i/ 2b u/ t i V
o n s(s)dsdi
a n d r p=
O1p/ 02e rc a*-t1o 2r s , Springer
New York, Inc.
( X + (y>
E Ì )£ , 1x, / 2)( —
^zỊ
. xXZ —

~ E S(ự)£ , !ĩ) < p ^ r \ s ) d s d t d x

/
= E;i»-«>+*)**■

ọ2r
1 feđ w
(1984),
N
G e n e rr a l i z e d
F u n c t i o n a l 3 2a n d
= Ĩ_Ĩ^M 0{ )
= ----------------/ ' ệ ( - e u i ) / <£>^(í)
6
(( 2 r — 1 )!!) J c L
M u l t i pp=0
l i c a t i o 2n (o2fr)! D i s t r i b uv 1t i o n s , North Holland, Math. Study 84,
d

[6] J.F.Colombeau

X

Ị

(t

—

= ^ ( í ( 2 r ) w > w ) + 0(e)
Amsterdams.
Sau đó, giả sử (3.15)
Ả;J chẵn,
к < 2r va p <
c

1

Lú)

r.

^2{u)

Từ bổ đề 3.1,

—

( - °)

s)~1t2ip^r\s)dsdtdu)ĩ

sptp^(s)ds

là

(3.24)

một hàm

k
trong
đó CƯ
=gới
—hàm
x / (1966),
ekhi
. lẻTheo
công
thức
triển
Taylor
ta lẻ.
có:lý
Dochẵn
qua
hạn
E
->■
0the
ta
công
thức
(3.12).
được
chứng
minh.
□
hay

tùy
theo
rcó
+khai
p là
hayĐịnh
Như
vậy
ta có
tB
~up l( lpe(tr iĩ n
(t)
[7]
J. Mikusinski
"On
square
of chẵn
the
Dirac
deltadistribution,"
' ^ ( o ) hàm
^ và Jjfep
M x 2 r +=l 0 . Nếu p > ,r vol.14,
(O
sdp (ep I( r’iA( sc)adds, /eNlàmV một
lẻ
thì
к - p < r và bằng cách
thay
ie =

P, o,k
(
(
2l^o n a i s e d e s S c+i e( 2nrc e+si)!
~ ' v ) ’pp. 511- 513.
)
{ 2r+1)

(

jfc=o
đổi thứ tự lấy tích phân chúng ta có thể chứng minh

к < 2r

Jkp = 0.

Nếu giả sử rằng

к

là lẻ và

thì ta có thể chứng minh tương tự rằng