Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ THANH HUYỀN

BÀI TOÁN
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ THANH HUYỀN

BÀI TOÁN
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội-2015


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện
luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu
sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp
đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.

Hà Nội, ngày 01 tháng 01 năm 2015
Học viên

Vũ Thị Thanh Huyền

ii


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 01 tháng 01 năm 2015
Học viên

Vũ Thị Thanh Huyền

iii


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Các không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Không gian vectơ L1 [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Tích phân trong L1 [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3. Không gian Lp [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.4. Không gian LN
1 [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2. Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô yếu* . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1. Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.2. Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.3. Hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.4. Bổ đề Mazur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.5. Tôpô yếu* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 2. Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục . . . . . .

20

2.1. Phát biểu bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2. Tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3. Định lý đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

41


Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

41


Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục (The theory of
continuous-time linear programming problem) đã nhận được sự quan
tâm từ lâu. Tyndall [16] đã nghiên cứu bài toán quy hoạch tuyến tính
với các ma trận hằng có nguồn gốc từ “bài toán cổ chai” (the ‘bottleneck
problem’) do Bellman [7] đưa ra. Levinson [9] đã khái quát các kết quả
của Tyndall bằng cách xét các ma trận phụ thuộc thời gian trong đó
các hàm số trong hàm mục tiêu và các ràng buộc được gỉa thiết là liên
tục trên một đoạn. Từ đó đến nay đã có nhiều tác giả nghiên cứu bài
toán quy hoạch tuyến tính liên tục, ví dụ như: Meidan và Perold [10],
Papageorgiou [11], Anderson và cộng sự [3]-[6], Fleischer và Sethuraman
[8], Pullan [12]-[13], Zalmai [18]-[19] .
Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn
tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng
của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: "Bài toán quy hoạch tuyến
tính liên tục".

1


Cực đại hàm:
T

F (z) =

a (t)z (t) dt
0

với điều kiện
t

B (t) z (t) ≤ c (t) +

K (t, s)z (s) ds, z (t) ≥ 0.
0

Với mỗi t ∈ [0, T ], B (t) là một ma trận cấp M × N , c (t) là vectơ M cột,
a (t) là vectơ N dòng, và ∀s ≤ t, K (t, s) là một ma trận cấp M × N .
K (t, s) bằng ma trận 0 nếu s > t. Các thành phần của B (·), K (·, ·), a (·)
và c (·) là các hàm đo được bị chặn. F là hàm tuyến tính trên LN
1 [0, T ],
không gian của bài toán gốc.
Cực tiểu hàm:
T

w (t)c (t) dt
0

với điều kiện
T

w (t) B (t) ≥ a (t) +

w (s) K (t, s)ds, w (t) ≥ 0.
t

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sâu hơn và toàn diện về bài toán quy hoạch tuyến tính
liên tục.

2


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục dựa trên những
tài liệu đã có. Phân tích bài toán và sau đó nghiên cứu các khía cạnh cơ
bản của bài toán như: Điều kiện tồn tại nghiệm, đối ngẫu, tính ổn định.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục: Sự tồn tại nghiệm, đối ngẫu,
hàm gía trị tối ưu.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm.

3


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích
hàm, tôpô, độ đo: Các không gian Lp , không gian đối ngẫu, tôpô yếu,
tôpô yếu*, hội tụ yếu và một số định lý, bổ đề quan trọng trong giải
tích. Những kiến thức này được sử dụng để trình bày các khái niệm và
các tính chất quan trọng bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục . Các
khái niệm này ta có thể tìm thấy trong [1] và [2].

1.1. Các không gian Lp
1.1.1. Không gian vectơ L1 [a, b]
Định nghĩa 1.1.1. (Hàm khả tích). Một hàm (đo được) f : [a, b] → R

được gọi là khả tích nếu
b

|f (x)|dx < ∞

(1.1)

a

Tập chứa tất cả các hàm khả tích trên [a, b] được ký hiệu là L1 [a, b] :
b
1

L [a, b] :=

f : [a, b] → R :

|f (x)|dx < ∞
a

4


Chúng tôi chỉ xét tích phân

b
a f (x)dx

dưới giả thiết f ∈ L1 [a, b]. Cho

hàm f liên tục từng phần, chúng tôi thử lại điều kiện (1.1) dùng tích
phân Riemann:
Ví dụ 1.1.1. (Điều kiện L1 [a, b]) Chúng tôi xét các hàm khác nhau
và kiểm tra mặc dù chúng thuộc L1 [a, b].
(i) Với hàm
f (x) =



2x, nếu x ∈ [0, 1]




2 − x, nếu x ∈ [1, 2]



 0, trong trường hợp còn lại

ta thấy rằng
b

1

|f (x)|dx =
a

2

|2x|dx +
0

=

|2 − x|dx
1

3
<∞
2

do đó f ∈ L1 [a, b].
(ii) Xét hàm

 1, nếu x ∈ [−1, 1]
f (x) =
 1 , nếu x ∈ R [−1, 1].
x
Đầu tiên ta chú ý rằng với mọi α > 1
α
1

1
dx =
|x|

α
1

1
dx = lnα → ∞ khi α → ∞,
x

đều này chỉ ra rằng
∞

|f (x)|dx = ∞.
1

Suy ra f ∈
/ L1 [a, b].

5


(iii) Xét hàm

1

 √ , nếu x ∈ [0, 4]
2 x
f (x) =

 0, trong trường hợp còn lại.
Khi đó
b

4

|f (x)|dx =
a

0

√
1
√ dx = [ x]40 = 2 < ∞,
2 x

do đó f ∈ L1 [a, b].
Chúng tôi định nghĩa quan hệ tương đương ∼ giữa các hàm trong
L1 [a, b] bởi
b

|f (x) − g(x)|dx = 0.

f ∼g⇔

(1.2)

a

Ta nói rằng hàm f, g ∈ L1 [a, b] là tương đương nếu f ∼ g trong trường
hợp (1.2). Trong trường hợp này f và g là đồng nhất hầu khắp nơi.
Bổ đề 1.1.1. (Các hàm tương đương) Giả sử Γ ∈ [a, b] là tập đếm
được, và cho f, g là hai hàm từ [a, b] vào R. Nếu
f (x) = g(x) với mọi x ∈ [a, b]\γ,
thì f ∼ g.
Ví dụ 1.1.2. (Các hàm tương đương) Ta minh họa các hàm đồng

nhất qua một vài ví dụ
(i) Cho
f (x) = x,

 x nếu x ∈ [a, b]\ {1, 2} ,
g(x) =
 0 nếu x ∈ {1, 2} .
6


Thì f (x) = g(x), trừ x ∈ {1, 2}. Do đó f ∼ g.
(ii) Các tập N, Z, Q là đếm được. Nói riêng, các hàm
f (x) = x,

 x nếu x ∈ R\Z,
h(x) =
 0 nếu x ∈ Z.
là tương đương, f ∼ h.
Với đồng nhất thức trong (1.2), tồn tại chỉ một phần tử f thỏa mãn
|f |1 = 0 và · · ·

1

được định nghĩa là chuẩn:

Định lý 1.1.1. (Chuẩn trong L1 [a, b]) Các hàm đồng nhất mà tương
đương theo nghĩa (1.2), biểu thức
b

|f |1 :=

|f (x)|dx

(1.3)

a

được định nghĩa là một chuẩn trên L1 [a, b].
Chứng minh. Rõ ràng

···

1

thỏa mãn điều kiện (ii) trong định nghĩa

chuẩn.
Với f, g ∈ L1 [a, b], bất đẳng thức tam giác chỉ ra rằng
b

f +g

1

|f (x) + g(x)|dx

=
a

b

≤

|f (x) + g(x)| dx
a
b

b

|f (x)|dx +

=
a

= f

|g(x)|dx
a

1

+ g 1,

7


điều kiện (iii) trong định nghĩa chuẩn cũng được thỏa mãn. Ta thấy
phương trình f

= 0 chỉ đúng cho các hàm trong lớp tương đương với

1

f = 0 . Hoàn thành chứng minh định lý.
1.1.2. Tích phân trong L1 [a, b]
Bổ đề 1.1.2. (Bổ đề Fatou) Cho fn : [a, b] → [0, ∞], n ∈ N là một
dãy các hàm khả tích. Khi đó hàm lim inf f khả tích và
n→∞

b

b

lim inf fn (x)dx ≤ lim inf
n→∞

a

fn (x)dx

n→∞

(1.4)

a

Ví dụ 1.1.3. (Bất đẳng thức ngặt trong Bổ đề Fatou) Với n ∈ N,
cho



1


 nx nếu x ∈ 0,
n
fn (x) =
1


.
/ 0,
 0 nếu x ∈
n

Chú ý rằng lim f (x) = 0 với mọi x ∈ [a, b]. Điều này chỉ ra rằng
n→∞

lim inf fn (x) = 0, x ∈ [a, b],
n→∞

vì vậy
b

lim inf fn (x)dx = 0.
a

n→∞

Mặt khác, với mọi n ∈ N,
b

a

1
fn (x)dx = .
2

(1.5)

Thật vậy, trong trường hợp này
b

b

lim inf fn (x)dx < lim
a

n→∞

n→∞

8

f (x) = 0.
a


Chúng tôi muốn tìm các điều kiện trên dãy các hàm {hk }∞
k=1 trên
[a, b] thỏa mãn
∞

b ∞

b

hk (x)dx =
a k=1

hk (x)dx.
k=1

(1.6)

a

Cho một dãy các hàm đơn điệu tăng của các hàm dương thỏa mãn các
điều kiện của Định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue sau:
Định lý 1.1.2. (Định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue) Giả sử rằng
fn : [a, b] → [a, b], n ∈ N là một dãy tăng của các hàm đo được, tức là
f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ ..., với mọi x ∈ [a, b].

(1.7)

Thì
b

lim

n→∞

b

fn (x)dx =
a

lim fn (x)dx.

a n→∞

Định lý 1.1.2 thường được dùng để đổi thứ tự lấy tổng và tích phân
của các hàm dương.
Ví dụ 1.1.4. Đổi thứ tự lấy tổng và tích phân Với mọi dãy các
hàm giá trị dương (đo được) hn , n ∈ N, Định lý 1.1.2 chỉ ra rằng
b ∞

∞

b

hk (x)dx =
a k=1

hk (x)dx.
k=1

a

Với hàm fn không cần điều kiện dương, ta cần mở rộng điều kiện để
(1.6) đúng. Các điều kiện này có thể thiết lập dựa trên Định lý hội tụ
trội Lebesgue

Định lý 1.1.3. Định lý hội tụ trội Lebesgue Cho trước f : [a, b] →
R. Giả sử rằng fn : [a, b] → R, n ∈ N là một dãy các hàm (đo được) thỏa
9


mãn
(i) fn (x) → f (x) theo điểm khi n → ∞,
(ii) Tồn tại hàm g khả tích, dương thỏa mãn
|fn (x)| ≤ g(x), ∀n ∈ N, ∀x ∈ [a, b],

(1.8)

Thì f khả tích và
b

lim

n→∞

b

fn (x)dx =
a

f (x)dx.
a

Trước khi chỉ ra ứng dụng của Định lý 1.1.3, ta phát biểu Định lý
thay thế, trong đó dãy các hàm fn được thay bằng họ các hàm fδ , biểu
diễn bởi tham số δ > 0.

Định lý 1.1.4. (Định lý hội tụ trội Lebesgue) Cho f : [a, b] → R.
Giả sử rằng với mỗi δ > 0, một hàm (đo được) fδ : [a, b] → R cho trước
và thỏa mãn
(i) fδ → f từng điểm khi δ → 0,
(ii) Tồn tại hàm g khả tích, dương thỏa mãn
|fδ (x)| ≤ g(x), ∀n ∈ N, ∀x ∈ [a, b],

(1.9)

Thì f khả tích và
b

lim

δ→∞

b

fδ (x)dx =
a

f (x)dx.
a

Bây giờ ta quay lại vấn đề làm thế nào để thử lại (1.6). Có một phương
pháp giải quyết điều này dựa trên Định lý 1.1.2 và 1.1.3.
Định lý 1.1.5. (Thay đổi thứ tự lấy tích phân và tổng) Giả sử
rằng hn , n ∈ N là một dãy các hàm (đo được) và
∞

b

|hk (x)|dx < ∞.
k=1

a

10

(1.10)


Thì
∞

b ∞

b

hk (x)dx =
a k=1

hk (x)dx.

(1.11)

a

k=1

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh kết quả này dựa trên Định lý 1.1.2 và
1.1.3 nhưng bỏ qua phần lý thuyết độ đo.
Đặt

∞

hk (x).

f (x) :=
k=1

Lấy hàm fn , n ∈ N định nghĩa bởi
n

hk (x), x ∈ [a, b].

f (x) :=
k=1

Thì
fn (x) → f (x) khi n → ∞,
và
n

|fn (x)| = |

n

hk (x) ≤
k=1

|hk (x)|
k=1

∞

|hk (x)|
k=1

Đặt
∞

|hk (x)|,

g(x) :=

(1.12)

k=1

Điều này cho thấy (1.9) thỏa mãn, g được định nghĩa là một hàm mà
tổng vô hạn trong (1.12) hội tụ với hầu khắp x ∈ R. Sử dụng kết quả
trong Ví dụ 1.1.4 và (1.10)
b ∞

b

b

|hk (x)|dx =

g(x)dx =
a

∞

a k=1

|hk (x)|dx,
k=1

11

a


g ∈ L1 [a, b]. Từ Định lý 1.1.3
b

lim

n→∞

fn (x)dx,
a

tức là
b ∞

b ∞

hk (x)dx

hk (x)dx = lim

n→∞

a k=1

a k=1
∞
b

= lim

n→∞
∞

hk (x)dx
k=1
b

=

a

hk (x)dx.
k=1

a

Hoàn thành chứng minh.
Ta áp dụng quy trình trong Định lý 1.1.5 vào trường hợp cụ thể
Ví dụ 1.1.5. (Đổi thứ tự lấy tích phân và tổng) Xét hàm
∞

f (x) =
k=1

(−1)k+1
χ[k,k+1] (x),
k2

ta thấy

k+1

 (−1)
nếu x ∈ [k, k + 1], k ∈ N,
k2
f (x) =

 0 nếu x ∈
/ [1, ∞].
Chú ý rằng
b ∞
a k=1

(−1)k+1
χ[k,k+1] (x) dx =

k2

b ∞
a k=1
∞
b

=
k=1
∞

a

k=1
∞

k

k=1

12

1
χ[k,k+1] (x)dx
k2

k+1

=
=

1
χ[k,k+1] (x) dx
k2

1
.
k2

1
k2
(1.13)


∞

k −α , α > 1 hội tụ, vì vậy ta kết luận rằng (1.13)

Chuối bất kỳ có dạng
k=1

là hữu hạn. Theo Định lý 1.1.5, ta kết luận rằng hàm f khả tích và
b

b

f (x)dx =

lim fn (x)dx

a n→∞
b

a

= lim

fn (x)dx

n→∞

a
b

n

= lim

n→∞

a k=1
n
b

= lim

n→∞
∞

=

k=1

k=1

a

(−1)k+1
χ[k,k+1] (x)dx
k2
(−1)k+1
χ[k,k+1] (x)dx
k2

(−1)k+1
.
k2

Chú ý rằng, trong trường hợp g ∈
/ L1 [a, b], quy trình trên không còn
đúng nữa.
Ví dụ 1.1.6. (Đổi thứ tự lấy tích phân và tổng) Với hàm fn định
nghĩa trong Ví dụ 1.1.3, ta có
f (x) := lim fn (x) = 0, ∀x ∈ [a, b].
n→∞

Do đó
b

f (x)dx = 0.
a

Kết hợp với (1.5), nó chỉ ra rằng
b

lim

n→∞

b

fn (x)dx =
a

f (x)dx.
a

Điều này không phủ định Định lý 1.1.2 và 1.1.3. Thật vậy, dãy fn không
tăng trong trường hợp (1.7) và không tồn tại hàm g khả tích trội như
trong (1.9).
13


Trong trường hợp này phải lấy tích phân hàm hai biến, là những tính
toán đơn giản để đổi thứ tự của phép lấy tích phân. Điều này có thể
thực hiện qua Định lý Fubini.
Định lý 1.1.6. (Định lý Fubini) Cho hàm f : [a, b] × [a, b] → R, giả
sử
b

b

|f (x, y)|dx dy < ∞.
a

a

Khi đó
b

b

b

b

|f (x, y)|dx dy =
a

a

|f (x, y)|dy dx.
a

a

1.1.3. Không gian Lp [a, b]
Ta định nghĩa không gian Banach Lp [a, b] với 1 < p < ∞. Với 1 <
p < ∞, Lp [a, b] là không gian các hàm f với |f p | là tích phân
b
p

L [a, b] :=

|f (x)|p dx < ∞ .

f : [a, b] → R :

(1.14)

a

Như trong trường hợp đặc biệt của L1 [a, b], ta có thể định nghĩa chuẩn
trên Lp [a, b]. Kí hiệu quan hệ tương đương giữa hai hàm trong Lp [a, b]
bởi
b

|f (x) − g(x)|p dx = 0.

f ∼g⇔
a

Đồng nhất các hàm tương đương tương tự như trong L1 [a, b], ta chỉ ra
kết quả quan trọng dưới đây
Định lý 1.1.7. (Chuẩn trong Lp [a, b]) Với mỗi p ∈ [1, ∞], biểu thức
1/p

b

f

p

p

|f (x)| dx

=

,

a

là chuẩn trên Lp [a, b] với Lp [a, b] là không gian Banach.
14

(1.15)


Kĩ thật này rất phức tạp đối với hàm trên Lp [a, b]: các hàm này có
thể không bị chặn và không cần có giá compact. Vì thế, quan trọng là
tất cả các hàm trong Lp [a, b] có thể xấp xỉ tùy ý bằng các hàm liên tục
có giá compact.
Định lý 1.1.8. Với mỗi p ∈ [1, ∞], không gian vectơ Cc [a, b] là không
gian con trù mật của Lp [a, b].
Kết luận của Định lý 1.1.8 nghĩa là nếu g ∈ Lp [a, b] với mỗi p ∈ [1, ∞],
tồn tại một dãy {gk }∞
k=1 các hàm liên tục với giá compact mà
1/p

b

p

||g − gk | |p =

|g(x) − gk (x)| dx

→ 0 khi k → ∞.

(1.16)

a

Chú ý rằng (1.16) không chỉ ra hàm giá trị gk (x) hội tụ tới g(x) với mọi
x ∈ [a, b].
Ta định nghĩa không gian Banach Lp [a, b] với mọi p ∈ [1, ∞]. Trong toán
giải tích ta cũng hay gặp không gian L∞ [a, b].
L∞ [a, b] := f : [a, b] → R : f bị chặn. .

(1.17)

Không gian vectơ là không gian Banach với chuẩn
||f | |∞ = sup |f (x)|.

(1.18)

x∈[a,b]

Chú ý rằng định nghĩa chính xác của không gian L∞ [a, b] và chuẩn liên
kết yêu cầu đổi "hàm bị chặn" thành "hàm bị chặn hầu khắp nơi" và
"cận trên đúng" thành "cận trên đúng tiêu chuẩn".

15


1.1.4. Không gian LN
1 [a, b]
Cho khoảng bất kỳ [a, b] ⊆ R và p ∈ [1, ∞) bất kỳ, ta xét không gian
vectơ
b

LN
1 [a, b]

:=

n

|f (x)|p dx < ∞ .

f : [a, b] → R :

(1.19)

a

Không gian vectơ LN
1 [a, b] là không gian Banach với chuẩn
1/p

b

f

Lp (a,b)

p

|f (x)| dx

=

(1.20)

a

Chuẩn được trong LN
1 [a, b] ký hiệu là · · ·

p.

1.2. Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô yếu*
1.2.1. Không gian đối ngẫu
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn trên trường
số thực. Ta gọi E ∗ = L(E, R) là không gian liên hợp (hay không gian
đối ngẫu) của E và gọi (E ∗ )∗ = E ∗∗ = L(E ∗ , R) là không gian liên hợp
thứ hai của E.
Bây giờ xét ánh xạ ϕ : E → E ∗∗ xác định bởi ϕ(x)(f ) = f (x) với mọi
x ∈ E, f ∈ E ∗ . Giả sử x, y ∈ E, α, β ∈ R ta có
ϕ(αx + βy)(f ) = f (α + βy) = αf (x) + βf (y)
= (αϕ(x))(f ) + (βϕ(y))(f )

với mọi f ∈ E ∗ , vậy ϕ là ánh xạ tuyến tính. Mặt khác
|ϕ(x)(f )| = |f (x)| ≤ f . x với mọi f ∈ E ∗
16


nên
ϕ(x) = sup |ϕ(x)(f )| ≤ x .
f =1

Với mọi x ∈ E, x = 0 tồn tại f ∈ E ∗ với f = 1 và f (x) = x .
Do đó
|ϕ(x)(f )| = |f (x)| = x ,
nghĩa là
ϕ(x) = x .
Ta có kết quả sau
Định lý 1.2.1. Ánh xạ chính tắc ϕ : E → E ∗ là tuyến tính và thỏa mãn
ϕ(x) = x với mọi x ∈ E. Do đó ϕ là phép nhúng đẳng cự E vào
E ∗∗ .
Định nghĩa 1.2.2. Không gian E được gọi là phản xạ nếu phép nhúng
chính tắc nói trên là toàn ánh nghĩa là đẳng cấu.
1.2.2. Tôpô yếu
Định nghĩa 1.2.3. Tôpô yếu nhất trên E để các ánh xạ f ∈ E ∗ liên tục
được gọi là tôpô yếu trên E.
Lấy điểm x ∈ E. Để ánh xạ f liên tục tại x cần và đủ là các tập dạng
U (f, x, ε) = {y ∈ E : |f (y) − f (x)| < ε}
là tập mở. Gọi σ là tôpô yếu trên E thì σ là tôpô sinh bởi họ các tập
nói trên, tức là tôpô gồm tất cả các hợp tùy ý của các giao hữu hạn
của các tập đã chỉ ra. Một cách cụ thể W ∈ σ nếu và chỉ nếu với
17

mọi x ∈ W tồn tại hữu hạn hàm f1 , f2 , ..., fn ∈ E ∗ và ε > 0 sao cho
U (f1 , f2 , ..., fn , x, ε) ⊂ W , ở đây
n

U (f1 , f2 , ..., fn , x, ε) =

(fi , x, ε)
i=1

=

y ∈ E : sup |fi |(y) − fi (x) < ε .
1≤i≤n

1.2.3. Hội tụ yếu
Định nghĩa 1.2.4. Dãy {xn } ∈ E được gọi là hội tụ yếu đến x ∈ E, kí
hiệu là xn

x, nếu mọi lân cận yếu U của X tồn tại n0 sao cho xn ∈ U
x, nếu mọi f1 , f2 , ..., fn ∈ E ∗ , ε > 0

với mọi n ≥ n0 . Nói cách khác xn

tồn tại số n0 sao cho xn ∈ U (f1 , f2 , ..., fn , x, ε) với mọi n ≥ n0 .
Sự hội tụ yếu có đặc trưng sau đây
Bổ đề 1.2.1. Dãy xn trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến
x ∈ E nếu và chỉ nếu f (xn ) → f (x) với mọi f ∈ E ∗ .
Từ bổ đề này ta thấy rằng nếu xn → x thì xn

x. Điều ngược lại

chỉ đúng trong trường hợp E hữu hạn chiều.
Nhờ phép nhúng ϕ : E → E ∗∗ , mỗi x ∈ X được đồng nhất với một phần
tử của E ∗∗ , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E ∗ .
1.2.4. Bổ đề Mazur
Bổ đề 1.2.2. Giả sử X là không gian định chuẩn và (xn ) là một dãy
trong X hội tụ yếu đến x. Lúc đó tồn tại một dãy yn hội tụ mạnh đến x
sao cho yn ∈ co {xk : k ∈ N} với mọi n ∈ N, trong đó co {xk : k ∈ N}
là bao lồi của {xk } .
18


Mệnh đề 1.2.1. Mọi tập lồi đóng trong X cũng đóng yếu.
1.2.5. Tôpô yếu*
Định nghĩa 1.2.5. Tôpô yếu nhất trên E ∗ để các phiếm hàm x ∈ E ≡
ϕ(E) ⊂ E ∗∗ liên tục được gọi là tôpô yếu* trên E ∗ .

19