BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Trong việc nghiên cứu các bài toán tối ưu nói chung, giải tích lồi giữ một vai
trò rất quan trọng. Nó được sử dụng làm cơ sở toán học trong việc xây dựng các
thuật toán.
Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối ưu được nghiên cứu
trọng vẹn cả về phương diện lý thuyết lẫn thực hành, Bài toán vận tải là một dạng
đặc biệt của QHTT. Do đó chương này nhằm giới thiệu một số khái niệm và kiến
thức cơ bản về giải tích lồi và QHTT.
1.1 Một số khái niệm về giải tích lồi
1.1.1 Không gian Euclude
Một vector n chiều trên trường số thực là một bộ được sắp thứ tự gồm n số
thực x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
). Các x
i
, i =1, ..., n gọi là các thành phần hay toạ độ của
vector. Ví dụ x=(4,5,10,20).
Hai vectơ x và y gọi là bằng nhau x=y, nếu x
i
=y
i
, ∀i =1, ..., n.
Xét hai phép toán trên các vector:
Phép cộng: x+y=(x
1
+y
1

, x
2
+y
2
, ..., x
n
+y
n
)
Phép nhân: αx=(αx
1
, αx
2
, ..., αx
n
), ∀α ∈ R
Khi đó tập hợp tất cả các vector n chiều trong đó xác định phép cộng các
vector, nhân một số thực với vector như trên tạo thành không gian tuyến tính n
chiều trên trường số thực R, ký hiệu R
n
.
mix
i
i
m
i
i
,1,00
)(
1

==⇔=
∑
=
αα
Các vector x
(i)
∈R
n
, i =1, ..., m được gọi là độc lập
tuyến tính nếu:
Nếu:
∑
=
=
m
i
i
i
xx
1
)(
α
với ít nhất một α
i
≠ 0 thì x gọi là tổ hợp tuyến tính của các
x
(i)
, i =1, ..., m. Hơn nữa nếu α
i
> 0, i =1, ..., m và

∑
=
=
m
i
i
1
1
α
thì x gọi là tổ hợp lồi
của các x
(i)
, i =1, ..., m.
Trong R
n
có n vector độc lập tuyến tính lập thành cơ sở của nó.
Giả sử e
(1)
, e
(2)
, ..., e
(n)
là một cơ sở của R
n
thì bất kỳ một vector x ∈ R
n
đều là
tổ hợp tuyến tính của các vector e
(1)
, e

(2)
, ..., e
(n)
. Ta gọi tích vô hướng của hai vector
x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
) và y=(y
1
, y
2
, ..., y
n
), ký hiệu, <x,y>, là một số bằng.
∑
=
=><
n
i
ii
yxyx
1
,
Tích vô hướng là một dạng song tuyến tính, đối xứng, không
âm, tức là:
1. <x,y> = <y, x>. ∀x,y ∈ R
n

2. <x
(1)
+ x
(2)
, y >=< x
(1)
, y >+< x
(2)
, y>. ∀x
(1)
, x
(2)
, y ∈ R
n
3. <λx,y> = λ<x,y>. ∀x,y ∈ R
n
4. <x,x> ≥ 0, ∀x∈ R
n
dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x= 0.
∑
=
=><=
n
i
i
xxxx
1
2
,
Độ dài của vector x=(x

1
, x
2
, ..., x
n
) là một số xác định
bởi.
( ) ( )
∑
=
−=>−−<=−=
n
i
ii
yxyxyxyxyx
1
2
,,
ρ
Khoảng cách giữa hai vector x
và y là một số xác định bởi:
Không gian vector trong đó có tích vô hướng và khoảng cách như trên gọi là
không gian Euclude.
1.1.2 Tập compact
Dãy {x
(k)
}⊂R
n
k=1, 2, ... được gọi là có giới hạn x
(0)

khi k → ∞ và viết
( )
0,lim
)0()(
=
∞→
xx
k
k
ρ
lim x
(k)
= x
(0)
, nếu
Hình cầu tâm a bán kính ρ là tập S={x∈R
n
:x-a≤ ρ }. Hình cầu này tạo
nên ρ- lân cận của điểm a, hay gọi là lân cận của a.
* Nếu tập A⊂R
n
chứa cùng với điểm x một lân cận của nó thì x gọi là điểm
trong của A. Nếu trong lân cận bất kỳ của x ∈ A có các điểm của A và các điểm
không thuộc A thì x gọi là điểm biên của tập hợp A.
* Một tập A⊂R
n
gọi là giới nội nếu nó được chứa trong một hình cầu tâm O
nào đó, tức là tồn tại số ρ đủ lớn sao cho với mọi x∈A,x≤ ρ. Một dãy {x
(k)
} hội

tụ thì bao giờ cũng giới nội.
* Một tập hợp G⊂R
n
được gọi là mở nếu với mọi x∈G đều tồn tại một hình
cầu tâm x nằm gọn trong G. Một tập F⊂R
n
được gọi là đóng nếu với mọi dãy hội
tụ{x
(k)
}⊂ F ta đều có:
Fx
k
k
∈
∞→
)(
lim

Một tập chứa mọi điểm biên của nó là tập đóng.
* Tập C được gọi là tập Compact nếu từ mọi dãy vô hạn {x
(k)
} thuộc C đều có
thể trích ra một dãy con {x
(ki)
} hội tụ tới phần tử thuộc C. Tập C là Compact khi và
chỉ khi C đóng và giới nội. Tập Compact M của tập đóng C cũng đóng trong C.
Tập con đóng M của tập Compact cũng Compact.
Hàm f(x) liên tục trên tập Compact C thì sẽ đạt cực trị trên tập ấy.
1.1.3 Tập lồi
Cho hai điểm a, b ∈R

n
. Ta gọi đường thẳng qua a, b là tập điểm có dạng
x∈R
n
: x = λa + (1-λ)b, λ ∈ R.
k → ∞
Đoạn thẳng nối hai điểm a, b là tập lồi các điểm có dạng
x∈R
n
:x = λx + (1-λ)y, 0 ≤ λ ≤ 1
* Một tập M⊂R
n
được gọi là một đa tạp affine nếu với hai điểm bất kỳ
x, y ∈M thì toàn bộ đường thẳng đi qua hai điểm đó cũng thuộc M.
Tức là λx + (1-λ)y ∈M : ∀x,y ∈M, ∀ λ∈R.
* Một siêu phẳng trong không gian R
n
là tập hợp tất cả các điểm
x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈R
n
thỏa mãn phương trình tuyến tính
a
1
x

1
+ a
2
x
2
+ ... + a
n
x
n
= α trong đó a
1
, a
2
, ..., a
n
, α ∈R
* Tập hợp các điểm x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈R
n
thoản mãn bất phương trình tuyến
tính a
1
x
1
+ a

2
x
2
+ ... + a
n
x
n
≤ α được gọi là nửa không gian đóng.
* Nửa không gian được cho bởi a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ... + a
n
x
n
< α được gọi là nửa
không gian mở.
* Tập X⊂R
n
được gọi là tập lồi nếu cùng với việc chứa hai điểm x, y nó chứa
cả đoạn thẳng chứa hai điểm ấy, tức là chứa tất cả các điểm có dạng:
λx + (1-λ)y, 0 ≤ λ ≤ 1
Ví dụ về các tập lồi: Không gian Euclide, các nửa không gian, mặt phẳng, nửa
mặt phẳng, hình chữ nhật, hình vuông, hình elip, hình hộp, hình cầu ...
* Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng được gọi

là tập lồi đa diện.
Mệnh đề: Giao của hai tập lồi là một tập lồi.
.
...
....................
...
...
2211
22222121
11212111







≤+++
≤+++
≤+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Hệ quả 1. Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là
tập lồi.
Hệ quả 2. Miền chứa nghiệm của một hệ bất phương trình tuyến tính dạng.
là một tập lồi (đa diện lồi). Một tập lồi đa diện giới nội gọi là một đa diện.

Giao của tất cả các tập lồi chứa tập X gọi là bao lồi của nó, ký hiệu [X]
1.1.4 Hàm lồi
* Một hàm số f(x) xác định trên tập lồi C ⊂ R
n
được gọi là hàm lồi trên C, nếu
với mọi x, y ∈C và 0 ≤ λ ≤ 1 ta có f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y).
* Hàm f(x) được gọi là hàm lồi chặt nếu với mọi x, y ∈C và 0 ≤ λ ≤ 1 ta có.
f(λx + (1-λ)y) < λf(x) + (1-λ)f(y).
* Hàm f(x) được gọi là hàm lõm (lõm chặt) nếu - f(x) là hàm lồi (lồi chặt)
* Hàm f(x) xác định trên C đạt cực tiểu tuyệt đối tại x* ∈C nếu
f(x
*
) ≤ f(x):∀ x∈C
* Hàm f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x*

∈ C nếu tồn tại lân cận mở U của x*
sao cho f(x*) ≤ f(x):∀ x∈C ∩U
Mệnh đề 1: Bất kỳ điểm cực tiểu địa phương nào của hàm lồi trên tập lồi cũng
là điểm cực tiểu tuyệt đối.
Hệ quả: Bất kỳ điểm cực đại địa phương nào của hàm lõm cũng là cực đại
tuyệt đối.
Mệnh đề 2: Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có điểm cực
biên bao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên.
1.2 Bài toán Quy hoạch tuyến tính
QHTT bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà toán học Nga nổi tiếng, Viện
sỹ L.V. Kantorovich trong một loạt các công trình về bài toán kế hoạch hoá sản
xuất, công bố năm 1938. Năm 1947 nhà toán học Mỹ G.B. Dantzig đã nghiên cứu
và đề xuất phương pháp đơn hình (Simplex method) để giải bài toán QHTT. Năm
1952 phương pháp đơn hình đã được chạy trên máy tính điện tử của Mỹ.
1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

 Bài toán tổng quát.
( )
1.1max
1
→
∑
=
j
n
j
j
xc
( ) ( )
( )
3.1,...,1,0
2.1...,,1,,,
1
njx
mibxa
j
i
n
j
jij
=≥
=≥=≤
∑
=
Để nhất quán lập
luận ta xét bài toán tìm cực đại, sau đó ta xét cách chuyển bài toán tìm cực tiểu

sang tìm cực đại. Bài toán tổng quát của QHTT có dạng:
Ký hiệu: A=(a
ij
)
mxn
là ma trận với các phần tử a
ij
(1.1) gọi là hàm mục tiêu, (1.2) là các rằng buộc.
Nếu gặp bài toán Min, tức là
( )
Dx
xcxf
j
n
j
j
∈
→=
∑
=
min
1
( )
Dx
xcxf
j
n
j
j
∈

→−=
∑
=
max
1
Thì giữ nguyên ràng buộc và đưa về bài toán Max bằng
cách
Nếu bài toán Max có phương án tối ưu là x* thì bài toán min cũng có phương
án là x* và f
min
=-

f
max
Thật vậy, vì x* là phương án tối ưu của bài toán Max nên ta có:
Dxxcxc
hayDxxcxcf
n
j
jj
n
j
jj
j
n
j
j
n
j
jj

∈∀≤
∈∀−≥−=
∑∑
∑∑
==
==
,
,
11
*
11
*
max
Chứng tỏ x* là phương án tối ưu của bài toán Min và
∑
=
−==
n
j
jj
fxcf
1
max
*
min
 Dạng chuẩn và dạng chính tắc.
Người ta thường xét bài toán quy hoạch tuyến tính dưới hai dạng sau:
-Dạng chuẩn:
njx
mibxa

xc
j
i
n
j
jij
n
j
jj
,...,1,0
,...,1,
max
1
1
=≥
=≤
→
∑
∑
=
=
-Dạng chính tắc:
njx
mibxa
xc
j
i
n
j
jij

j
n
j
j
,...,1,0
,...1,
max
1
1
=≥
==
→
∑
∑
=
=
 Đưa bài toán QHTT về dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc.
Bất kỳ QHTT nào cũng có thể đưa về một trong hai dạng chuẩn hoặc chính
tắc nhờ các phép biến đổi tuyến tính sau:
∑
=
≥
n
j
ijij
bxa
1
i) Một ràng buộc
ij
n

j
ij
bxa −≤−
∑
=1
.''
1
ij
n
j
ij
bxa ≤
∑
=
Có thể đưa về ràng buộc bằng cách nhân hai vế
với (-1) và viết lại
ii) Một ràng buộc đẳng thức
i
n
j
jij
bxa =
∑
=1
i
n
j
jiji
n
j

jij
bxabxa −≤−≤
∑∑
== 11
,
có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức:
0,0, ≥≥−=
−+−+
jjjjj
xxxxx víi
iii) Một biến x
j
không bị ràng buộc dấu có thể thay
thế bởi hiệu của hai biến không âm bằng cách đặt:
iv) Một ràng buộc bất đẳng thức
ij
n
j
ij
bxa ≤
∑
=1