Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ MAI LAN

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, tháng 6 năm 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ MAI LAN

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát. Em xin được gửi lời
cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS.TSKH Vũ
Ngọc Phát. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành
của mình tới toàn bộ các thầy, cô giáo trong khoa đã tham gia giảng dạy
và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập cao học chuyên ngành
Toán giải tích tại trường.
Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình em
học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Mai Lan


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát .
Tôi xin cam đoan rằng kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Mai Lan

Mục lục
Kí hiệu toán học

1

Mở đầu

2

1

2

CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm . . .
1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm
1.1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ . . . .
1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . .
1.2.1 Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ .
1.3 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.

.
.
.
.
.
.

4
4
4
5
6
7
8
8
11

. 14
. 21
. 22

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN
TÍNH CÓ TRỄ
23
2.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ
ôtônôm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính có
trễ không ôtônôm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42


1

Kí hiệu toán học
• R+ : Tập các số thực không âm.
• Rn : Không gian vectơ n-chiều với kí hiệu tích vô hướng là ., . và
chuẩn vectơ là . .
• Rn×r :Không gian các ma trận (n × r)-chiều.
• AT : Ma trận chuyển vị của ma trận A.
• I : Ma trận đơn vị.
• λ(A): Tập tất cả các giá trị riêng của A.
• λmax (A) = max {Reλ : λ ∈ λ (A)}
•

A =

λmax (AT A): Chuẩn phổ của ma trận A.

• η(A) = 12 λmax (A + AT ): Độ đo của ma trận A.
• C ([a, b] , Rn ):Tập các hàm liên tục trên [a; b]và nhận giá trị trên Rn .
• A > 0: Ma trận A xác định dương nếu Ax, x > 0, ∀x = 0.
• A ≥ 0: Ma trận A xác định không âm nếu Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn .

2

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết
định tính phương trình vi phân. Trải qua hơn một thế kỷ phát triển, ngày
nay lý thuyết ổn định vẫn được quan tâm nghiên cứu phát triển mạnh mẽ
và thu được nhiều kết quả, ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực toán học
ứng dụng. Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ hai mươi, bằng sự ra đời
của lý thuyết hệ thống, tính ổn định ngày càng được quan tâm nghiên cứu
và ứng dụng vào các mô hình điều khiển kỹ thuật.
Có nhiều phương pháp nghiên cứu lý thuyết ổn định như: phương pháp
thứ nhất Lyapunov – phương pháp số mũ đặc trưng; phương pháp hàm
Lyapunov, phương pháp so sánh, vv... Tuy nhiên phương pháp hàm Lyapunov ( phương pháp thứ hai) được cho là phương pháp hữu hiệu nhất để
nghiên cứu bài toán ổn định hệ động lực. Trong thực tế, nhiều mô hình
mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ. Độ trễ thời gian là một trong
những nguyên nhân trực tiếp ảnh hưởng đến tính ổn định và dáng điệu
nghiệm xuất của hệ thống.
Song song với sự phát triển của lý thuyết ổn định các hệ phương trình
vi phân thường, người ta nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân
có trễ. Bài toán ổn định phương trình vi phân có trễ đã nhận được quan
tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả thú vị bởi các nhà toán học,
điều khiển học trong và ngoài nước, đặc biệt bởi nhóm nghiên cứu của GS
Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học Hà Nội. Bài toán ổn định hệ phương trình
vi phân có trễ là bài toán khó và vẫn còn là hướng nghiên cứu quan trọng
đang được quan tâm nghiên cứu. Vì vậy tôi đã chọn đề tài cho luận văn
thạc sĩ của mình là “ Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có
trễ.”
2. Cấu trúc của khóa luận

Luận văn này gồm 2 chương


3

Chương 1: Cơ sở toán học
Chương 2: Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ
3. Mục đích nghiên cứu
Trình bày cơ sở bài toán ổn định Lyapunov, một số kết quả chọn lọc
của tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đọc hiểu các tài liệu về lý thuyết ổn định Lyapunov, bài toán ổn định
tiệm cận, ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính; trình bày những
kiến thức này dưới dạng một luận văn khoa học. Vận dụng để giải một số
bài toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, lý thuyết ổn định.
6. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp và kỹ thuật toán học của phương trình vi phân, đại
số tuyến tính, giải tích thực hiện đại, phương pháp hàm Lyapunov.
7. Đóng góp của đề tài nghiên cứu
Hệ thống các kiến thức cơ sở của lý thuyết ổn định hệ phương trình
vi phân tuyến tính, hệ có trễ và các kết quả chọn lọc mới về bài toán ổn
định mũ, ổn định tiệm cận Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính
có trễ.


4

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC
Trong chương này luận văn trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ
phương trình vi phân, nghiệm của phương trình vi phân, tính ổn định của
hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân tuyến tính
có trễ, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ
phương trình vi phân tuyến tính, một số bổ đề bổ trợ được sử dụng trong
chương 2. Nội dung được trình bày trong [1], [2], [3].

1.1
1.1.1

Hệ phương trình vi phân
Hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân có dạng:

x(t)
˙
= f (t, x(t)),

t ≥ t0 ,
(1.1)

x(t0 ) = x0 ,

t0 ≥ 0,

trong đó x(t) ∈ Rn , f : R+ × Rn → Rn , với mỗi t ≥ t0 .
Hàm khả vi liên tục x(t) thỏa mãn hệ phương trình (1.1) được gọi là
nghiệm của hệ phương trình vi phân đó và được kí hiệu là x(t, x0 ).

Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.1) là
t

x(t, x0 ) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

Các định lý sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ
phương trình vi phân (1.1).


5

Định lý 1.1. (Định lý Picard-Lindeloff)
Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm f(t,x(t)):R+ ×
Rn → Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x:

∃K > 0 : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ K x1 − x2 , ∀t ≥ 0.
Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ
(1.1) luôn có nghiệm duy nhất trên khoảng [t0 − d, t0 + d] . Vậy qua mỗi
điểm (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn có một và chỉ một đường cong tích phân đi qua.
Trường hợp đối với hệ tuyến tính:

t ∈ R+ ,

x˙ = A(t)x(t) + g(t),
x (t0 ) = x0 ,

A(t), g(t) là các hàm liên tục trên R+ thì hệ luôn có nghiệm duy nhất trên

R+ .
1.1.2

Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm

Định nghĩa 1.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có dạng:

x(t)
˙
= A x(t) + g(t),

t ∈ R+ ,
(1.2)

x(t0 ) = x0 ,

t0 ≥ 0,

trong đó A là n × n− ma trận hằng số, g : R+ → Rn là hàm liên tục.
Nghiệm của hệ phương trình (1.2) được biểu diễn bởi công thức Cauchy:

x(t, x0 ) = eA(t−t0 ) x0 +

t A(t−s)
g(s)ds,
to e

t ≥ 0.

Ví dụ 1.1. Hệ phương trình :

x˙ 1 = −2x1 − x2 ,
x˙ 2 = 3x1 − 2x2 ,
là một hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm với:

−2
A=
3

−1
−2

,

g(t) = 0, ∀t ≥ t0 .


6

1.1.3

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm

Định nghĩa 1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có
dạng:

x˙ (t) = A (t) x (t) + g (t) ,

t ∈ R+ ,
(1.3)

t0 ≥ 0,

x (t0 ) = x0 ,

trong đó A (t) là n × n-ma trận các hàm số liên tục trên R+ , g : R+ → Rn
là hàm liên tục.
Hệ phương trình (1.3) cũng có duy nhất một nghiệm xác định trên R+
và nghiệm này được biểu diễn thông qua ma trận nghiệm cơ bản φ (t, s)
của hệ thuần nhất :

x˙ (t) = A (t) x (t) ,

t ≥ 0,

và được cho bởi công thức tích phân :

x (t) = φ (t, t0 ) x0 +

t
t0

φ (t, s)g (s) ds,

t ≥ 0,

trong đó φ (t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất và thỏa mãn
:



 d φ (t, s) = A (t) φ (t, s) , t ≥ s,
t
dt
và φ (t, t0 ) = e to A(s)ds .


φ (s, s) = I , ∀s ≥ 0,
Ví dụ 1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm :

1

x
˙
=
x1 + 2x2 + sin t,

1

3t
t ∈ R+ .


 x˙ = − 3 x − 3x + cos t,
1
2
2
2t
Ma trận



A=


1
3t
3
−
2t

2
−3



,


sin t
g(t) =

.
cos t


7

Ví dụ 1.3. Xét hệ phương trình vi phân :

x˙ 1 = u,
x˙ 2 = 2tx1 .

Ta có:

0

0

2t

0

1

A(t) =

,

B(t) =

.
0

Khi đó ta tìm được ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của hệ là

1
φ(t, s) =

0

2

t −s
1.1.4

2

.
1

Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ

Hệ phương trình vi phân có trễ mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian
t, trạng thái của hệ thống x (t) ở hiện tại và quá khứ, vận tốc thay đổi
của trạng thái x (t) có liên quan và bị ảnh hưởng từ quá khứ.
Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ h, (0 < h < +∞).Với
x (t) là một hàm có trễ liên tục trên R+ nhận giá trị trên Rn .
Kí hiệu C = C ([−h, 0] , Rn ) là không gian các hàm liên tục từ [−h, 0]
vào Rn với chuẩn được xác định bởi :
φ = sup φ (t)
−h≤t≤0

Với t ≥ 0, xt ∈ C . Đặt xt (s) = x (t + s) , ∀s ∈ [−h, 0] là quỹ đạo của
x (t) với chuẩn

xt = sup

∀s ∈ [−h, 0] , 0 ≤ h ≤ +∞.

x (t + s) ,

s∈[−h,0]

Phương trình vi phân tuyến tính có trễ tổng quát có dạng :

x(t)
˙
= f (t, xt ),
x(t) = φ(t),

t ≥ 0,

t ∈ [−h, 0] ,

trong đó f : R+ × C → Rn , hàm φ(t) liên tục là hàm trễ cho trước.
Trong luận văn này, chúng tôi xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
có trễ dạng:

x˙ (t) = A (t) x (t) + B (t) x (t − h) ,
x (t) = φ (t) ,

t ∈ [−h, 0] ,

t ≥ 0,


8

trong đó A(t), B(t) là n × n− ma trận hàm liên tục trên R+ , hàm φ(t)
liên tục trên [−h, 0].
Theo [3] hệ phương trình tuyến tính có trễ trên luôn có nghiệm duy
nhất trên [0, ∞).

1.2

Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân

1.2.1

Bài toán ổn định

Trước tiên ta xét hệ phương trình vi phân thường không có trễ dạng:

x˙ (t) = f (t, x (t)) ,

t ≥ 0,
(1.4)

x (t0 ) = x0 ,

t0 ≥ 0,

trong đó f : R+ × Rn → Rn , với mỗi t ≥ 0, x (t) ∈ Rn .
Định nghĩa 1.3. Nghiệm x (t) của hệ (1.4) được gọi là ổn định nếu với
mọi số ε > 0, t0 ≥ 0, tồn tại số δ > 0(phụ thuộc vào ε, t0 )sao cho với bất
kỳ nghiệm y (t) , y (t0 ) = y0 của hệ (1.4) thỏa mãn y0 − x0 < δ thì sẽ
nghiệm đúng bất đẳng thức:

y (t) − x (t) < ε, ∀t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.4. Nghiệm x (t) của hệ (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận
nếu nó thỏa mãn:
(i) Nghiệm x (t) ổn định.

(ii) Tồn tại δ > 0 sao cho y0 − x0 < δ thì lim y(t) − x (t) = 0.
t→∞

Việc xét tính ổn định của nghiệm x (t) của hệ (1.4) hoàn toàn có thể
đưa về việc xét tính ổn định của nghiệm x(t) ≡ 0, với y (t) là một nghiệm
bất kỳ của hệ thực hiện phép biến đổi z = y − x. Hệ (1.4) có dạng:

z˙ = f (t, z + x) − f (t, x) .
Đặt F (t, z) = f (t, z+x)−f (t, x) ta có được hệ z˙ = F (t, z) với F (t, 0) = 0.
Do đó ta chỉ cần xét hệ (1.4) có nghiệm 0 tức f (t, 0) = 0, t ∈ R+ và xét
tính ổn định của nghiệm tầm thường x ≡ 0. Vậy ta có thể định nghĩa về
tính ổn định của hệ (1.4) như sau:


9

Định nghĩa 1.5. Nghiệm 0 của hệ (1.4) được gọi là ổn định nếu với bất
kỳ ε > 0, t0 ∈ R+ sẽ tồn tại số δ > 0 (phụ thuộc vào ε, t0 ) sao cho bất
kỳ nghiệm x(t) : x(t0 ) = x0 thỏa mãn x0 < δ thì x(t) < ε, với mọi
t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.6. Nghiệm 0 của hệ (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu
hệ là ổn định và có một số δ > 0 sao cho nếu x0 < δ thì lim x(t) = 0.
t→∞

Định nghĩa 1.7. Nghiệm 0 của hệ (1.4) được gọi là ổn định mũ nếu tồn
tại các số N > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.4) với x(t0 ) = x0
thỏa mãn:
x(t) ≤ N e−δ(t−t0 ) x0 , ∀t ≥ t0 .
là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó
tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ.

Khi đó N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, δ là gọi là số mũ ổn định,
(N, δ) là chỉ số ổn định Lyapunov.
Trong luận văn này, để ngắn gọn ta nói hệ là ổn định nếu nghiệm 0 của
hệ là ổn định.
Ví dụ 1.4. Xét phương trình vi phân sau trong R

x˙ = ax, t ≥ 0.

(1.5)

Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức x(t) = x0 ea(t−t0 ) , t ≥ 0.
Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a<0. Nếu a = 0 thì hệ là ổn
định. Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều( hoặc ổn định tiệm cận đều) vì số
δ > 0 chọn được sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0 .
Ví dụ 1.5. Xét phương trình vi phân

x(t)
˙
= a(t)x, t ≥ 0.

(1.6)

trong đó a(t) : R+ → R là hàm liên tục, nghiệm x(t), với điều kiện ban
đầu x(t0 ) = x0 cho bởi công thức:
t

a(τ )dτ

x(t) = et0

x0 .


10

t

a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞.

+Hệ (1.6) là ổn định nếu
t0

+ Hệ (1.6) là ổn định đều nếu số µ(t0 ) là hằng số không phụ thuộc vào t0 .
t

+ Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu lim

t→∞ t
0

a(τ )dτ = −∞.

Nhà toán học người Nga Lyapunov đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính ổn
định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm:

x˙ (t) = Ax (t) , t ≥ 0,
(1.7)

x (t0 ) = x0 ,

trong đó A là ma trận hằng số chiều n × n. Nghiệm của hệ (1.7) cho bởi
công thức:

x(t) = eA(t−t0 ) x0 ,

t ≥ t0 ≥ 0.

Ta có định lý ổn định Lyapunov đưa ra lần đầu tiên như sau:
Định lý 1.2. Hệ (1.7) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả
các trị riêng của A là âm, tức là Re λ < 0 với ∀λ ∈ λ(A).
Chú ý: Ma trận A có tính chất trên gọi là ma trận ổn định.

x˙1 = −x1 ,
Ví dụ 1.6. Xét tính ổn định hệ

−1

x˙2 = −2x2 .

0

.
0 −2
Vậy giá trị riêng của A là λ = −1, −2. Hệ là ổn định mũ.
Ta thấy A =

Định lý trên đây là tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.7), gọi là
tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov. Tuy nhiện việc tìm giá trị riêng của
A sẽ gặp khó khăn nếu A là ma trận hàm số hoặc đối với hệ phi tuyến.
Chính vì thế, để khắc phục khó khăn này, phương pháp hàm Lyapunov sẽ

xác định tính ổn định của hệ được dễ dàng và thuận lợi hơn.


11

1.2.2

Phương pháp hàm Lyapunov

Phương pháp này dưạ vào sự tồn tại của một lớp hàm trơn đặc biệt gọi
là hàm Lyapunov, mà tính ổn định của hệ được thử trực tiếp qua dấu của
đạo hàm theo hàm vế phải của hệ đã cho. Trước tiên ta xét hệ phương
trình vi phân ôtônôm (1.4), tức là vế phải của (1.4) không phụ thuộc vào
t.
Xét hàm V (x) : Rn → R, V(x) gọi là xác định dương nếu V (x) >
0, x = 0, V (0) = 0. Khi đó ta có định nghĩa về hàm Lyapunov đối với
hệ:
x˙ (t) = f (t, x(t)) , t ≥ 0,
(1.8)
x (0) = x0 ,
trong đó f : R+ × Rn → Rn là hàm vectơ cho trước, x(t) ∈ Rn là vectơ
trạng thái của hệ với giả thiết f (0) = 0, t ∈ R+ .
Định nghĩa 1.8. Hàm V (x) : Rn → R, được gọi là hàm Lyapunov của
hệ (1.8) nếu:
(i) V (t, x) là hàm khả vi liên tục trên D.
(ii) V (t, x) là hàm xác định dương.

∂V (x)
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn .
∂x

Hàm V (t, x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu (iii) thay bởi:
(iii) Df V (x) =

∃c > 0 : Df V (x) ≤ −c x < 0,

x ∈ D\{0}.

Định lý sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa tính ổn định của hệ phương
trình (1.8) và sự tồn tại hàm Lyapunov của hệ phương trình đó.
Định lý 1.3. Xét hệ phương trình vi phân (1.8)
1)Nếu hệ (1.8) tồn tại hàm Lyapunov thì nó ổn định.
2)Nếu hệ (1.8) tồn tại hàm Lyapunov chặt thì nó ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.7. Xét hệ phương trình vi phân :

x˙ 1 = −5x1 x2 2 ,
x˙ 2 = 5x2 x1 2 .


12

Khi đó ta chọn được hàm V (x) = x1 2 + x2 2 , từ đó có được:

Df V (x) = 2x1 x˙ 1 + 2x2 x˙ 2 = 2x1 (−5x1 x2 2 ) + 2x2 5x2 x1 2 = 0,
do đó hệ là ổn định nhưng không ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.8. Xét hệ phương trình vi phân :

x˙ 1 = −(x1 − x2 )(6 + 3x1 2 + 3x2 2 ),
x˙ 2 = −(x1 + x2 )(4 + 2x1 2 + 2x2 2 ).
Khi đó ta chọn hàm V (x) = 2x1 2 + 3x2 2 từ đó ta có được:

Df V (x) = 4x1 x˙ 1 + 6x2 x˙ 2 = −4x1 (x1 − x2 )(6 + 3x1 2 + 3x2 2 )−
−6x2 (x1 + x2 )(4 + 2x1 2 + 2x2 2 )

.

= −12(x1 2 + x2 2 ) x1 2 + x2 2 + 2 .
Do đó Df V (x) < 0. Vậy hệ ổn định tiệm cận.
Bây giờ ta xét hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân không
ôtônôm:
x(t)
˙
= f (t, x (t)), t ≥ 0,
(1.9)
x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,
trong đó f : R+ × Rn → Rn và f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ .
Trước tiên ta sẽ định nghĩa cho lớp hàm K như sau:
Gọi K là lớp các hàm liên tục tăng chặt a(.) : R+ → R+ ,

a(0) = 0.

Định nghĩa 1.9. Hàm V (t, x) : R+ × D → R, D là lân cận mở tùy ý của
0, gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.9) nếu:
(i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a x , ∀(t, x) ∈ R+ × D.
∂V
∂V
+
f (t, x) ≤ 0, ∀ (t, x) ∈ R+ × D.
(ii) Df V (t, x) =
∂t

∂x
Trường hợp V (t, x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm điều kiện:


13

(iii) Tồn tại b(.) ∈ K sao cho:

V (t, x) ≤ b ( x ) ,

∀ (t, x) ∈ R+ × D.

(iv )Tồn tại c(.) ∈ K sao cho:

Df V (t, x) ≤ −c( x ),

(t, x) ∈ R+ × D\ {0} ,

thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt.
Định lý 1.4. Hàm khả vi liên tục V (t, x) : R+ × Rn → R là hàm Lyapunov
cho hệ (1.4) nếu:
(i) V (t, 0) = 0,

t ∈ R+ .

(ii) ∃a ∈ K :

V (t, x) ≥ a x , ∀(t, x) ∈ R+ × D.
∂V
∂V

(iii) Df V (t, x) =
+
f (t, x) ≤ 0, ∀ (t, x) ∈ R+ × D.
∂t
∂x

Thì khi đó hệ (1.4) là ổn định.
Định lý 1.5. Nếu hệ phi tuyến không ôtônôm (1.9) có hàm Lyapunov thì
hệ là ổn định. Nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận
đều.
Ví dụ 1.9. Xét hệ phương trình vi phân:

1

 x˙ 1 = −x1 + x1 sin2 (t),
4


x˙ 2 = −4x2 + x2 sin2 (t).
Khi đó ta chọn hàm V (t, x) = 4x1 2 +x2 2 thỏa mãn các điều kiện (i),(ii) và

Df V (t, x) = 8x1 x˙ 1 + 2x2 x˙ 2
1
= 8x1 (−x1 + x1 sin2 (t)) + 2x2 (−4x2 + x2 sin2 (t))
4
= −8(x1 2 + x2 2 ) + 2sin2 (t)(x1 2 + x2 2 ).
Do đó Df V (t, x) < −6( x 2 ). Vậy hệ ổn định tiệm cận.
Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ về tính ổn định mũ của hệ (1.9).

14

Định lý 1.6. Giả sử hệ (1.9) tồn tại hàm V (t, x) : R+ × Rn → R, thỏa
mãn:
(i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1 x

2

≤ V (t, x) ≤ λ2 x 2 , ∀ (t, x) ∈ R+ × Rn .

(ii) ∃α ≥ 0 : V˙ f (t, x (t)) ≤ −2αV (t, x (t)), với mọi nghiệm x (t) thì hệ
λ2
là ổn định mũ với α, N =
là các chỉ số ổn định Lyapunov.
λ1

1.2.3

Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân tuyến tính

Xét hệ tuyến tính ôtônôm:

x˙ (t) = A x (t) ,

t ≥ 0,
(1.10)

x(t0 ) = x0 ,

t0 ≥ 0.

với A là ma trận hằng số (n × n) chiều. Nghiệm của hệ (1.10) xuất phát
từ trạng thái ban đầu x(t0 ) cho bởi công thức:

x(t) = eA(t−t0 ) x0 ,

t ≥ t0 ≥ 0.

Dựa vào định lý ổn định Lyapunov được nêu trong định lý (1.2), ta có thể
xét một hệ tuyến tính ôtônôm có ổn định hay không chỉ cần tìm nghiệm
phương trình đa thức đặc trưng hay giá trị riêng của ma trận A của hệ.
Bên cạnh đó, tính ổn định mũ của hệ (1.10) có thể xét thông qua sự tồn tại
nghiệm của phương trình Lyapunov (LE) A X + XA = −Y , trong đó X,Y
là các ma trận (n × n) chiều gọi là cặp nghiệm của (LE). Xét hệ (1.10),
ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trị riêng của A
là âm. Theo định lý (1.2), điều này tương đương hệ (1.10) là ổn định mũ.
Định lý 1.7. Hệ (1.10) là ổn định mũ khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận
Y đối xứng xác định dương , phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối
xứng, xác định dương.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X đối xứng
xác định dương. Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (1.10) ta xét hàm số

V (t, x(t)) = Xx(t), x(t) , ∀t ≥ 0.


15

Ta có

d

V (t, x(t)) = X x,
˙ x + Xx, x˙
dt
= (XA + A X) x, x .
= − Y x, x .

Do đó

t

V (t, x(t)) − V (t0 , x0 ) = −

Y x(s), x(s) ds.
t0

Vì X là xác định dương nên V (t, x(t)) ≥ 0,

∀t ≥ t0 và do đó

t

Y x(s), x(s) ds ≤ V (t0 , x0 ) = Xx0 , x0 .
t0

Mặt khác, vì Y là xác định dương nên tồn tại α > 0 sao cho:

Y x, x ≥ α x 2 , ∀x ∈ Rn .
Do đó

t

x (s) 2 ds ≤

t0

Xx0 , x0
.
α

Cho t → +∞ ta được
∞

x (s) 2 ds < ∞.

t0

Ta sẽ chứng minh rằng Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A). Thật vậy giả sử có một số
λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0. Lấy x0 ∈ Rn là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
λ0 này thì nghiệm của hệ (1.10) sẽ cho bởi x1 (t) = eλ0 t x0 và do đó
∞
t0

x1 (t) 2 dt =

∞

e2Reλ0 t x0 2 dt = + ∞,

t0

vì Reλ ≥ 0, suy ra điều mâu thuẫn. Vậy Reλ < 0, ∀λ0 ∈ λ(A).
Điều kiện đủ:Giả sử A là ma trận ổn định, tức là Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A).
Với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận
sau đây:


16

˙
Z(t)
= A Z(t) + Z(t)A,

t ≥ t0 ,

(∗)

Z(t0 ) = Y.
Nhận thấy rằng hệ (*) có một nghiệm riêng là

Z(t) = eA t Y eAt .
Đặt

t

X(t) =

Z(s)ds.
t0

Vì A là ma trận ổn định nên dễ kiểm tra được rằng

∞

Z(s)ds < ∞,

X=
t0

là xác định và do Y là đối xứng nên X cũng là đối xứng. Mặt khác, lấy
tích phân hai vế phương trình (*) từ t đến t0 ta có

Z(t) − Y = A X(t) + X(t)A, ∀t ≥ t0 .
Cho t → +∞ thì Z(t) → 0 và vì A là ma trận ổn định, nên ta được

−Y = A X + XA,
hay là, các ma trận đối xứng X và Y thỏa mãn (LE). Ta chỉ còn chứng
minh X là ma trận xác định dương. Thật vậy, ta có
∞

Y eAt x, eAt x dt.

Xx, x =
t0

Do Y là xác định dương và eAt không suy biến nên Xx, x
x = 0.
Định lý được chứng minh.

> 0 nếu

Bổ đề Gronwall

Cho u, α là các hàm liên tục nhận giá trị thực xác định trên [a, b] , β
là hàm khả tích và nhận giá trị không âm trên [a, b] và
t

u(t) ≤ α(t) +

β (s) u (s) ds, a ≤ t ≤ b,
a


17

thì
t

u(t) ≤ α (t) +

t

β (τ ) dτ ds, a ≤ t ≤ b.

β (s) α (s) exp
a

a

Và nếu α là hàm không giảm thì
t

u (t) ≤ α (t) exp

a ≤ t ≤ b.

β (s) ds ,
a

Định lý 1.8. Xét hệ phương trình vi phân

x˙ = Ax + f (t, x),
x(t0 ) = x0 .
f (t, x) ≤ L x khi đó sẽ

trong đó A là ma trận ổn định, f (t, 0) = 0,
tồn tại L > 0 để hệ ổn định mũ.
Chứng minh. Nghiệm của hệ cho bởi:
t
A(t−t0 )

x(t) = x0 e

eA(t−s) f (s, x(s)) ds.

+
t0

A là ma trận ổn định nên hệ x˙ = Ax là ổn định mũ do đó tồn tại số
k > 0, δ > 0 sao cho

eAt ≤ ke−δt , ∀t ≥ t0 .
Vì vậy

x(t) ≤ ke−δ(t−t0 ) x0 +

t
t0

ke−δ(s−t0 ) f (s, x(s)) ds,

x(t) ≤ ke−δ(t−t0 ) x0 +

t
t0

kLe−δ(s−t0 ) x (s) ds.

Theo bổ đề Gronwall ta có

x(t) ≤ k x0 e−δ(t−t0 ) e

t
t0

kLds

x (t) ≤ k x0 e(kL−δ)(t−t0 ) ,
Do đó khi kL − δ < 0 hay L <

,
∀t ≥ t0 .

δ
thì hệ là ổn định mũ(Đpcm).
k


18

Ví dụ 1.10. Xét hệ phương trình vi phân :
x˙ 1 = −4x1 + 3x2 + mx1 sin t,

x˙ 2 = x1 − 2x2 + mx2 sin t.
Ta có

−4

3

1

−2

A=

mx1 sin t
,

f (t, x) =

,
mx2 sin t

A là ma trận ổn định vì các giá trị riêng λ = −1, −5 đều là số thực âm.
Theo chương 3 trong [2], và sử dụng định lý Sylvester chương 1 trong [2]
thì k = 3, δ = 1.
1
Mặt khác f (t, x) ≤ m x nên hệ sẽ ổn định với m < .
3
Xét hệ tuyến tính không ôtônôm

x(t)
˙
= A(t)x(t),

t ≥ t0 ≥ 0,
(1.11)

x(t0 ) = x0 .
Nghiệm của hệ cho bởi: x(t) = Φ(t, t0 )x0 trong đó Φ(t, s) là ma trận
nghiệm cơ bản của hệ, được xác định từ phương trình ma trận cơ bản sau:
˙ s) = A(t)φ(t, s), t ≥ s ≥ 0,
φ(t,

φ(s, s) = I.
Ta có thể xét tính ổn định của hệ (1.11) thông qua sự tồn tại nghiệm của
một phương trình vi phân ma trận Lyapunov(LDE)

P˙ (t) + A (t)P (t) + P (t)A(t) = −Q(t), t ≥ 0.
Trước tiên ta định nghĩa ma trận hàm xác định dương đều và giới nội
đều:
Ma trận hàm A(t) được gọi là xác định dương đều nếu tồn tại hằng số

c>0 không phụ thuộc vào t sao cho:

A(t)x, x ≥ c x 2 ,

∀t ≥ 0, x ∈ Rn .

Ma trận hàm A(t) được gọi là giới nội đều nếu tồn tại hằng số k>0
không phụ thuộc vào t sao cho:

A(t) ≤ k, ∀t ≥ 0.


19

Định lý 1.9. Xét hệ (1.11) với Q(t) là một ma trận đối xứng xác định
dương đều nào đó, nếu tồn tại một ma trận P(t) khả vi, đối xứng xác định
dương đều và giới nội đều thỏa mãn phương trình (LDE) thì hệ là ổn định
tiệm cận.
Chứng minh. Đặt V (t, x) = (P (t)x, x) ta chứng minh V(t,x) là hàm Lyapunov chặt.
Theo định nghĩa của hàm ma trận giới nội đều ta có:

P (t)x, x ≥ P (t)

x

2

≥ M x 2.

Hơn nữa

dV
= P˙ (t) x, x + P (t)x,
˙ x + P (t)x, x˙
dt
= P˙ (t)x, x + (A P (t) + P (t)A) x, x
=

P˙ (t) + A P (t) + P (t)A x, x = − Q(t)x, x .

Do Q(t)là đối xứng xác định dương đều nên tồn tại α > 0 sao cho

Q(t)x, x ≥ αx2 ,

t ≥ 0.

Suy ra

dV
≤ −αx2 .
dt
Do đó hệ là ổn định tiệm cận(Đpcm).
Định lý 1.10. Xét hệ phương trình vi phân

x˙ = A(t)x + f (t, x),
f (t, 0) = 0,

f (t, x) ≤ L x ,

Q là một ma trận đối xứng xác định dương nào đó, nếu tồn tại một ma

trận P(t) phụ thuộc vào t khả vi, đối xứng xác định dương đều và giới nội
đều thỏa mãn phương trình (LDE) thì hệ là ổn định tiệm cận với L>0 nào
đó.


20

Chứng minh. Đặt V (t, x) = P (t)x, x ta có

P (t)x, x ≤ P (t)
và

x

2

≤ M x 2,

dV
= P˙ (t)x, x + P (t)x,
˙ x + P (t)x, x˙
dt
= P˙ (t)x, x + (A P (t) + P (t)A) x, x + 2 P f, x
P˙ (t) + A P (t) + P (t)A x, x + 2 P f, x

=

= − Qx, x + 2 P f, x .
Do Q là ma trận đối xứng xác định dương nên tồn tại α > 0 sao cho

Qx, x ≥ α x 2 ,
và ta có

P f, x ≤ P L x 2 .
Nên

dV
≤ (2 P L − α) x 2 .
dt
α
Do L đủ bé nên ta có thể chọn L <
, suy ra hệ là ổn định tiệm
2 P
cận(Đpcm).
Định lý 1.11. Xét hệ phương trình vi phân:

x(t)
˙
= Ax(t) + c(t)x(t) + g(t, x), t ≥ t0 ≥ 0,
x(t0 ) = x0 .
Giả sử
(i) A là ma trận ổn định nên ∃k > 0, δ > 0 :

eAt ≤ ke−δt , ∀t ≤ 0.

(ii) c(t) là liên tục trên R+ và c(t) ≤ a, a > 0.
(iii) g(t, x) ≤ M x , ∀t ≥ 0, ∀x ∈ Rn .
(iv) a + M ≤

δ

.
k