Giải bài tập động lực học và ổn định công trình

Bài tập động lực học và ổn định công trình
Bài 1: Cho hệ như hình vẽ, bỏ qua trọng lượng thanh.

E 2.1011N / m2 ;I 3,156.104 m4 ;m 683kg, x 0 0, 013, v 0 1, 413m / s
a 2, 38m;k xo 4, 6

EI
Nm
;c 9318
3
s
a

1. Viết phương trình dao động của khối lượng?
Ta có chuyển vị tại vị trí đặt khối lượng d lx

Trong đó: d là chuyển vị của dầm tại vị trí đặt khối lượng
d M1M1


7,19
1 1
2
1 1
2
.2, 38.2, 38. .2, 38
.2, 38.4, 76. .2, 38
3, 33EI 2

EI 2
3

3
EI

lx là chuyển vị của lò xo tại vị trí đặt khối lượng
lx



1, 5
2, 25
.1, 5
k xo
k xo

7,19 2, 25
7,19
2, 25.2, 383



2,184.107
11
4
11
4
EI
k xo
2.10 .3,156.10
4, 6.2.10 .3,156.10

k

1
4579189


Hệ số tắt dần tới hạn ccr 2 km 2 4579189.638 108102
Tham số tắt dần



c
9318

0, 0862 1 Hệ dao động quanh vị trí cân bằng
ccr 108102

và biên độ giảm
NORTH SAINT - AMITABHA

1


Bài tập động lực học và ổn định công trình
Tần số dao động riêng khi chưa xét đến lực cản
k

m

4579189
84, 72 rad / s
638

Tần số dao động riêng khi xét đến lực cản
D 1 2 84, 72 1 0, 0862 84, 4 rad / s
2

Vậy phương trình dao động tại khối lượng là
x(t) Aet cos D t
2
2
..x v 2

0,
0862.84,
72.0,
013

1,
413
2
0, 028
0
0
0, 013
Với A x

84, 4

2

2
0

D

..x v
0, 0862.84, 72.0, 013 1, 413
o
0
0
tan1
tan1
53 57'

D .x 0


84, 4.0, 013
Thay số vào ta có x(t) 0, 028e7,3t cos 84, 4t 0, 9416
2. Vẽ đồ thị dao động của khối lượng và thời gian 0; 8T với T là chu kì riêng
của hệ?
Ta có chu kỳ riêng của hệ TD

x(t)

2
2

0, 074
D 84, 4

th dao ng ca chuyển vị v thi gian

0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005

t(s)

0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
-0.025
0.000

0.020

0.040

0.060


Bài tập động lực học và ổn định công trình
Cái đồ thị này bạn muốn in một trang cuối cùng để ghép vào bài thì hãy in tờ
cuối cùng trong file này nha.
3. Từ đồ thị xác định chuyển vị lớn nhất và xác định tải trọng tĩnh tương đương
Ptđ = kxmax và mômen lớn nhất tại gối B?
Từ đồ thị ta thấy xmax = 0,00803m. Vậy tải trọng tĩnh tương đương
Ptđ = 4579189.0,00803 = 26770,9N = 36,77kN
Mômen lớn nhất tại gối B. MB = 2,38Ptđ = 87,5kNm
Bài 2: Cho hệ như hình vẽ, bỏ qua trọng lượng thanh. EI = Const.

E 2.1011N / m2 ;I 2, 531.104 m4 ;m 750kg,P 24 sin 36t ;a 2, 3m;k xo 3, 5

EI
a3

1. Tính tần số dao động riêng của hệ?



k
m

Ta có chuyển vị tại vị trí đặt khối lượng d lx

NORTH SAINT - AMITABHA

3


Bài tập động lực học và ổn định công trình
d M1 M1
lx

39, 468
1 1
2
1
2
.2, 3.1,15. .1,15.2 .7, 659.3, 8295. .3, 8295

EI 2
3
2
3
EI

0, 5
0, 25
.0, 5
k xo
k xo

39, 468 0, 25
39, 468
0, 25.2, 33
d lx

8.107
11
4
11
4
EI
k xo
2.10 .2, 531.10
3, 5.2.10 .2, 531.10
k

1
1254925


Thay vào ta có

1254925
40, 9 rad / s
750

2. Tính mômen lớn nhất tại ngàm A và nội lực lớn nhất trong liên kết đàn hồi
gối B?
Ta có hệ số động K đ

1
1

4, 44
2

362
1 2 1

40, 92

Vậy mômen lớn nhất tại ngàm A là

MA 3, 8295.mg K đ .3, 8295P0
3, 8295.750.9, 81.103 4, 44.3, 8295.24 436, 247kNm
Nội lực lớn nhất trong liên kết đàn hồi gối B là

R

mg
2

750.9, 81.10
P
Kđ . 0
2
2

3

4, 44.

24
56, 96kN
2

3. Điều chỉnh độ cứng của liên kết đàn hồi để mômen lớn nhất tại ngàm A
giảm 10%?


Bài tập động lực học và ổn định công trình
M'A 436, 247.0, 9 392, 6223 3, 8295.mg K'đ .3, 8295P0
3, 8295.750.9, 81.103 K'đ .3, 8295.24 K'đ 0,1516
Mặt khác K'đ

'


1
1
k'

0,1516 '2 170, 564
k ' 127922, 7
2
2
750

36
1 2

1 2
'
'

1
39, 468
0, 25
7, 817.106

k 'xo 35525
k'
2.1011.2, 531.104
k 'xo

k 'xo
35525

.100% 0, 24%
k xo 14561518, 9

Vậy khi độ cứng lò xo giảm 0,24% thì mômen lớn nhất tại ngàm A giảm 10%.
4. Để giảm mômen lớn nhất tại ngàm người ta đặt thêm cản nhớt vào vị trí liên
kết đàn hồi. Tính độ cản nhớt c để mômen lớn nhất tại ngàm (ở ý 2) giảm 10%
(không thay đổi độ cứng liên kết ban đầu)?

M'A 436, 247.90% 392, 6223kNm 3, 8295.mg K'đ .3, 8295P0
3, 8295.750.9, 81.103 K'đ .3, 8295.24 K'đ 0,1516
Mặt khác K'đ

0,1516

1
1

0,1516 ' 13, 06
2

362
1 2
1 2
'
'
1

2

1 2
2

2

1 2 2 43, 51 mà

2

Thay số vào ta có 0, 648

2

24

1, 84
' 13, 06

c
c

c 12694, 32
2m ' 2.750.13, 06

Bài 3: Cho hệ gồm dầm AB và thanh CD có khối lượng tập trung ở đầu cột
chịu tải trọng xung tức thời nửa hình sin. Bỏ qua khối lượng các thanh.

NORTH SAINT - AMITABHA

5


Bài tập động lực học và ổn định công trình

E 2.1011N / m2 ;I 1, 258.104 m4 ;m 580kg,P0 19kN;a 1, 9 m
EF 3 2

EI
; 0, 001
a2

1. Tính tần số dao động riêng của hệ?

k
m

Ta vẽ biểu đồ mômen đơn vị do lực đơn vị đặt tại khối lượng

4
4
.1, 9 2
3, 33 1

1 1
2
2
2
.1, 9.1, 9. .1, 9 2
M1M1 N1N1 .1, 9.1, 9. .1, 9


EI 2
3
EI 2
3
EF
28,19
EI
EI
2.1011.1, 258.104

k


39, 23 rad / s
EI
28,19
28,19m
28,19.580
2. Tính độ lớn của xung lực, từ đó tính mômen lớn nhất trong dầm cột tại D,
thành phần phản lực thẳng đứng lớn nhất tại gối A và lực căng lớn nhất trong
thanh CD?
Ta có T

t
2
2
0, 001

0, 05 1
0, 02

39, 23
T
0, 05

Vậy ta có độ lớn xung lực


Bài tập động lực học và ổn định công trình
Pxl k.xmax

P
1
k. 0
k 1 T / 2t

1

2



19.103
1 0, 05 / 2.0, 001

2

0, 03kN

Mômen lớn nhất trong dầm cột tại D là

Mmax 1, 9.mg 1, 9Pxl 1, 9.580.9, 81.103 1, 9.0, 03 10, 87kNm
Phản lực thẳng đứng lớn nhất tại gối A là

R A mg Pxl 580.9, 81.103 0, 03 5, 72kN
Lực căng lớn nhất trong thanh CD là

NCD

4 mg

2



4Pxl
2



4.580.9, 81.103
2



4.0, 03
2

16,18kN

Bài 4: Cho các kết cấu có khối lượng tập trung như hình vẽ.
Sơ đồ 1 : Giả sử đánh dấu phương chuyển vị như trong hình

Ta xác định ma trận độ cứng thống qua ma trận độ mềm



1
E 11 12 K E

21 22
Vẽ các biểu đồ mômen đơn vị

NORTH SAINT - AMITABHA

7


Bài tập động lực học và ổn định công trình
Tính toán các hệ số

1 1
2 100a3

11 M1M1
.a.a. .a
3, 33EI 2
3 999EI
25a3
1 1

12 21 M1M2
.a.a.1, 5a
111EI
3, 33EI 2

199a3
1 1
2
1 1
2



22 M2 M2
.a.a. .a.2
.a.1, 5a. .1, 5a 1, 5a.a.1, 5a
3, 33EI 2
111EI
EI 2
3
3

Vậy ta có E 11

21

100 25


12 a 999 111
EI

K 3

22 EI 25 199
a


111 111
3

140, 531 17, 655


17, 655

7,
847



Xác định các tần số dao động riêng

3, 33m m 0 4, 33m 0


Ta có ma trận khối lượng M

0

0
m
m

Ta xác định các tần số dao động riêng thông qua phương trình đặc trưng

det K 2M 0
Đặt x

a3
m2
EI

Vậy ta có det K 2M

m2 140, 531 4, 33x 17, 655
0
x
17, 655
7, 847 x

biến đổi ta có phương trình bậc hai đối với x:

x 5, 2053
4, 33x 2 174, 50851x 791, 047732 0 1
x 35, 0969
2
x1 5, 2053 1 2, 2815
Tương ứng với

EI
ma3

x 2 35, 0969 2 5, 9243

EI
ma3

Xác định véc tơ riêng
Tương ứng với tần số dao động riêng 1 2, 2815

EI
và cho 11 1
ma3


Bài tập động lực học và ổn định công trình
140, 531 4, 33x1 17, 655 1

0 21 6, 68



17,
655
7,
847

x
1 21

Tương ứng với tần số dao động riêng 2 1, 6859
140, 531 4, 33x 2


17, 655


EI
và cho 12 1
ma3

17, 655 1
0 22 0, 65
7, 847 x 2 22

1
1

Vậy ta có véc tơ riêng 1 2
6, 68 0, 65



Vẽ các dạng dao động riêng

2. Viết phương trình dao động của khối lượng với điều kiện ban đầu khối
lượng m1 chuyển vị thẳng xuống dưới 0,02a, khối lượng m2 chuyển vị sang
ngang 0,01a?
Từ giả thiết ta có tại thời điểm ban đầu t = 0 ta có các điều kiện sau:
0, 01a

0
; v(0)
x(0)
0, 02a
0




NORTH SAINT - AMITABHA

9


Bài tập động lực học và ổn định công trình
1
1
; 2

Các dạng dao động riêng 1
6, 68
0, 65




0
Ta có do v(0) nên q i (0) 0
0

4, 33m 0 0, 01a





1
6,
68

0
0, 02a 0,1769ma
m
1TMx(0)



q1(0)

3, 6.103 a
T





4, 33m 0
1
m1 1M1

48, 9524m
1 6, 68



0
m 6, 68

4, 33m 0 0, 01a
1 0, 65


T

0
0, 02a 0, 0303ma
m
2Mx(0)



q2 (0)

6, 4.103 a
T

4,
33m
0
1
m2 2M2
4, 7525m
1 0, 65



0
m 0, 65

Vậy ta có

1
1
q1(0)cos 1t
q (0)cos 2 t
x(t)
6, 68
0, 65 2






3, 6.103 a
EI 6, 4.103 a

EI





cos 2, 2815
t
cos 5, 9243
t
0, 024a

ma3 4,16.103 a
ma3



3. Khối lượng tập trung m1 chịu lực cưỡng bức điều hoà P(t) P0 sin rt
với r 0, 32

EI
vẽ biểu đồ mômen uốn động?
ma3

* .Z .Z 0
12 2
1P
Ta có hệ phương trình 11 1
*
.Z .Z 0

22 2
2P
21 1

Vẽ biểu đồ mômen do lực Z1 = 1, Z2 = 1 và lực P0 gây ra trên kết cấu


Bài tập động lực học và ổn định công trình

Xác định các hệ số và số hạng tự do của hệ chính tắc
*
11
11

1
100a3


999EI
m1r 2

1

EI
4, 33m.0, 32


ma3

1

199a3
22


111EI
m2r 2
*
22

2



2,155a3
25a3
; 12 21
EI
111EI

7, 973a3

2
EI


EI

m.0, 32

ma3
1

100P0a3
199P0a3
1P 11P0
; 2P 22P0
999EI
111EI

Z1 0, 07P0
Thay số vào giải hệ ra ta có

Z 2 0, 23P0
Theo nguyên tắc cộng tác dụng ta có biểu đồ mômen uốn động

Mđ M1 Z1 M2 Z 2 MP0

NORTH SAINT - AMITABHA

11


Bài tập động lực học và ổn định công trình

Sơ đồ 2

Cái này trong đề thi sẽ cho phương nào là phương chuyển vị số 1, phương
nào phương chuyển vị số 2. ở đây mình coi phương ngang là phương chuyển
vị số 1

1. Xác định ma trận độ cứng, các tần số dao động riêng, véc tơ riêng, vẽ các
dạng dao động?
Ta xác định ma trận độ cứng thống qua ma trận độ mềm



1
E 11 12 K E


21 22
Vẽ các biểu đồ mômen đơn vị

Tính toán các hệ số


Bài tập động lực học và ổn định công trình
1 1
2
1 1
2 1, 2101a3



11 M1M1
.3, 33a.a. .a
.a.a. .a
EI 2
3 3, 33EI 2
3

EI
1 1
2 1,11a3

12 21 M1M2
.3, 33a.a. .a
EI 2
3
EI
1 1
2
1
2 1, 4433a3

22 M2 M2
.3, 33a.a. .a .a.a. .a
EI 2
3
2
3
EI

11 12 a3 1, 2101 1,11




K EI3
Vậy ta có E

a
21 22 EI 1,11 1, 4433

2, 8056 2,1577


2,1577 2, 3523



Xác định các tần số dao động riêng

3, 33m m 0 4, 33m 0


Ta có ma trận khối lượng M

0

0
m
m



Ta xác định các tần số dao động riêng thông qua phương trình đặc trưng

det K 2M 0

a3
m2
Đặt x
EI
m2 2, 8056 4, 33x 2,1577
0
Vậy ta có det K M
x
2,1577
2, 3523 x
2

biến đổi ta có phương trình bậc hai đối với x:

x 0,1579
4, 33x 2 12, 9911x 1, 9439 0 1
x 2, 8423
2
x1 0,1579 1 0, 3974

EI
ma3

x 2 2, 8423 2 1, 6859

EI
ma3

Tương ứng với

Xác định véc tơ riêng
Tương ứng với tần số dao động riêng 1 0, 3974

EI
và cho 11 1
ma3

2, 8056 4, 33x1
2,1577 1

0 21 0, 98



2,1577
2,
3523

x
1 21


Tương ứng với tần số dao động riêng 2 1, 6859
NORTH SAINT - AMITABHA

EI
và cho 12 1
ma3

13

Bài tập động lực học và ổn định công trình
2, 8056 4, 33x 2


2,1577


2,1577 1
0 22 4, 4
2, 3523 x 2 22

1
1

Vậy ta có véc tơ riêng 1 2
0, 98 4, 4



Vẽ các dạng dao động riêng

2. Viết phương trình dao động của khối lượng với điều kiện ban đầu khối
lượng m1 chuyển vị thẳng xuống dưới 0,02a, khối lượng m2 chuyển vị sang
ngang 0,01a?


Bài tập động lực học và ổn định công trình
Từ giả thiết ta có tại thời điểm ban đầu t = 0 ta có các điều kiện sau:

0, 01a
0
; v(0)
x(0)
0, 02a
0



1
1
; 2

Các dạng dao động riêng 1
0, 98
4, 4




0
Ta có do v(0) nên q i (0) 0
0


4, 33m 0 0, 01a
1 0, 98

0
0, 02a 0, 0629ma
m
Mx(0)



q1(0)

0, 012a
T





4, 33m 0
1
m1 1M1
5, 2904m
1 0, 98



0
0, 98
m

4, 33m 0 0, 01a





1

4,
4

0
0, 02a 0, 0447ma
m
2T Mx(0)



q2 (0)

1, 9.103 a
T
4, 33m 0 1
2 2M2
m
23, 69m
1 4, 4

0
m 4, 4

T
1

Vậy ta có

1
1
q1(0)cos 1t
q (0)cos 2 t
x(t)
0, 98
4, 4 2





1, 9.103 a


0, 012a
cos 1, 6859 EI t
cos 0, 3974 EI 3 t



0, 0176a

ma 8, 36.103 a
ma3




3. Khối lượng tập trung m1 chịu lực cưỡng bức điều hoà P(t) P0 sin rt
với r 0, 32

EI
vẽ biểu đồ mômen uốn động?
ma3

* .Z .Z 0
12 2
1P
Ta có hệ phương trình 11 1
*
.Z .Z 0
22 2
2P
21 1

Vẽ biểu đồ mômen do lực Z1 = 1, Z2 = 1 và lực P0 gây ra trên kết cấu

NORTH SAINT - AMITABHA

15

Bài tập động lực học và ổn định công trình

Xác định các hệ số và số hạng tự do của hệ chính tắc

1
1, 2101a3
11


EI
m1r 2
*
11

*22 22

1, 0452a3
1,11a3

; 12 21
2
EI
EI


EI

4, 33m.0, 32

ma3

1
1, 4433a3


EI
m2r 2

1

1

EI
m.0, 32


ma3

2



8, 3223a3
EI

1, 2101P0a3
1,11P0a3
1P 11P0
; 2P 21P0

EI
EI

Z1 1, 512P0
Thay số vào giải hệ ra ta có

Z 2 0, 335P0
Theo nguyên tắc cộng tác dụng ta có biểu đồ mômen uốn động

Mđ M1 Z1 M2 Z 2 MP0

Bài 5: Cho dầm có mặt cắt không đổi chịu tải trọng tập trung di động đều P =
6kN, với vận tốc v.


Bài tập động lực học và ổn định công trình

Biết dầm làm bằng bê tông có E = 34GPa, dầm chữ nhật h = 45cm, b = 24cm,
khối lượng riêng dầm 2400kg/m3, chiều dài dầm L = 2,2
Trang 318 Dynamics of structures - Chopra Để tham khảo cách 2.
Cách khác: Hướng dẫn cách xác định với dạng dao động thứ nhất
Giả sử hàm chuyển vị xấp xỉ có dạng u x sin

x
L

Ta xác định các thông số cần thiết
Gia tốc u" x

2

x
sin
L
L2
L

m sin2 xdx mL
Khối lượng tổng quát m

L
2
0
L
2
x
4EI

Độ cứng tổng quát k EI 2 sin2 dx 3
L
2L
L
0
2

Tần số dao động

k
2
2

m
L

EI
m

Viết biểu thức độ võng tổng quát
Xác định lực tổng quát
Một tải trọng P di dộng với vận tốc v cần thời gian t

L
để di động hết chiều
v

dài L. Tại thời điểm t bất kỳ, lực P di động được khoảng cách x như hình vẽ
sau

Hàm tải trọng có thể mô tả bằng hàm toán học sau

NORTH SAINT - AMITABHA

17


Bài tập động lực học và ổn định công trình
P x vt
P x, t 0
0

0 t td
t td

Xác định được biểu thức lực tổng quát

L

L
x

P

x

vt
sin
dx
0 t td

P
x,
t
u
x
dx

0




t
P

L

0
0


0

t td
0


t

vt


0 t td
P
sin

0

t

t
P0 sin

0
d

td


L



t td
t td
0
0

Biểu thức lực tổng quát là tải xung nửa hình sin được mô tả bằng đồ thị sau

Phương trình mô tả chuyển động

P
t
ku
mu

Với t d

P
2P0
L
2
; Tn
; z st 0 0
v
n
mLn2
k

Thay các thông số vào ta có

2P
vt v


1
0

sin


sin

t

n

mL 2 v / L 2
L
nL

n

u t

2P 2v / nL cos nL / 2v


0
sin n t L / 2v

2
2

mL
n v / L



Biểu thức tổng quát u x, t u t u x u t sin

x
L

t L / v

(1)

t L / v

(2)


Bài tập động lực học và ổn định công trình
L
Xét vị trí giữa nhịp x = L/2 ta có u , t u t Thay số vào ta có kết quả.
2
Kết quả ra giống như cách 1 đã trình bày.
1. Tính 3 tần số dao động đầu tiên, vẽ dạng dao động?
Ta có các điều kiện biên của dầm
X (x0) 0
Tại đầu dầm x = 0 ta có
M(x0 ) 0

X (xL ) 0
Tại cuối dầm x = L ta có
M(xL ) 0


Thay điều kiện biên vào phương trình chuyển vị và nội lực ta có


0
Q

BkL 3 0 DkL 0

K
K EJ


Q0
M(xL ) 0EJKDkL
BkL 0
K

X(xL )

1

Điều kiện để cho hệ tồn tại dao động 0 và Q0 phải khác không. Do đó, định
thức các hệ số tương ứng của phương trình (1)

1
B
K kL

D



EJKDkL

1
2

D
K EJ kL 0 1 B 1 D2 0
kL
K K 2 kL
1
BkL
K
3

2

Thay các thông số Bkx và Dkx vào phương trình (2) ta có phương trình tần số
sau: ShkL.sinkL 0
Do k luôn khác không, nên kL cũng luôn khác không, do đó ShkL 0 vậy ta
có sinkL 0 kL i Ki =

i
Với i = 1, 2, 3....
L

i
Vậy tần số dao động riêng i
L

2

NORTH SAINT - AMITABHA

EJ
m

19


Bài tập động lực học và ổn định công trình
34.10 91, 8225.103
33, 22 rad / s
1898, 9

Với i = 1 ta có 1

9, 87 EJ
9, 87

2
m 7, 326 2
L

Với i = 2 ta có 2

39, 48 EJ
132, 88 rad / s
L2
m

Với i = 3 ta có 3

88, 826 EJ
298, 88 rad / s
m

L2

0, 24.0, 45 3
Với J=
1, 8225.103 m4 ;m V 2400.7, 326.0, 45.0, 24 1898, 9kg
12

Vẽ các dạng dao động

2. Viết biểu thức độ võng tại mặt cắt L/4 và L/2 nhịp tính toán với hai số hạng
đầu. Vẽ các độ võng này theo thời gian từ 0 đến thời điểm T1 = L/v- Lực P di
động đến cuối nhịp, khảo sát với vận tốc v =10m/s, 25m/s, 100m/s?
Ta có phương trình chuyển vị của dầm

vt
x
2P
1
v

u(x, t)
sin

sin (1) t sin
2
2


mL (1)
L

L
L
v / L
(1)
Chuyển vị tại mặt cắt giữa dầm x = L/2

vt
L
2P
1
v

sin
u( , t)

sin

t
(1)
2
2

2
mL (1)
L
(1)L
v / L
Chuyển vị tại mặt cắt giữa dầm x = L/4

vt

L
2P
1
v
sin

u( , t)

sin

t
(1)
2
2


4
mL (1)
L

L
v / L
(1)


Bài tập động lực học và ổn định công trình
u(mm)

150

V=10m/s
V=25m/s

100

V=100m/s
Series3

50
0
-50
-100
-150
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t (s)

Biểu đồ quan hệ giữa độ võng u(L/2,t) và thời gian

u(mm)
V=10m/s

150

V=25m/s

100

V=100m/s

50
0

t (s)

-50
-100
-150
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Biểu đồ quan hệ giữa độ võng u(L/4,t) và thời gian
Bài 6: Tìm lực tới hạn cho kết cấu như hình vẽ bằng phương pháp RayleighRitz.
x
x
Sơ đồ 1: Giả sử hàm chuyển vị xấp xỉ y a1 sin a2 sin
2a
4a

NORTH SAINT - AMITABHA

21


Bài tập động lực học và ổn định công trình
Ta có các đạo hàm của y

x a2
x
x 2a2
x
a1
2a1




y'
cos
cos ; y ''

sin
sin
2a 4a
4a
2a 16a2
4a
2a
4a2
Ta có
a

a

a

2
2
1
1
EI
V EI y '' dx 3, 33EI y '' dx
2 0
2 0
2 0
a

3, 33EI

2 0

2a
x 2a2

1


x dx
sin
sin
4a2
2a 16a2
4a
2

2a
x 2a2

1


x dx 2,165EI 0, 5a 0, 073a
sin
sin
1
2
4a2
4a
2a 16a2
a
2

a

a

a

2
2
3, 33P
P
3, 33P
T
y ' dx y ' dx

2
2 0
2 0
0

a1
x a2
x

cos
cos dx
2a 4a
4a
2a

2

a1
x a2
x

cos
cos dx 2,165P a1 0, 707a2
2a 4a
4a
2a


2,165EI
Phương trình ổn định
0, 5a1 0, 073a2 2,165P a1 0, 707a2
a
EI 0, 5a1 0, 073a2
Pth
a a1 0, 707a2
2

a

P

2 0

x
x
Sơ đồ 2: Giả sử hàm chuyển vị xấp xỉ y a1 1 cos a2 1 cos
4a
8a







Ta có các đạo hàm của y

x
x 2a2
x
a1 x a2
2a1



y'
sin
sin ; y ''
c
os
c
os

2
2




4a 8a
8a
4a 64a
8a
4a
16a
Ta có


Bài tập động lực học và ổn định công trình
a

a

a

2
2
1
1
EI
V EI y '' dx 3, 33EI y '' dx
2 0
2 0

2 0

2a
x 2a2

1


x dx
c
os
c
os
16a2
4a 64a2
8a
2

a
x 2a2

3, 33EI 2a1

x dx 2,165EI 0,18a 0, 045a

c
o
s
c
os

1
2
8a
4a 64a2
2 0 16a2
a
2

a

a

a

2
2
3, 33P
P
3, 33P
T
y ' dx y ' dx

2
2 0
2 0
0

a1 x a2
x

sin
sin dx
4a 8a
8a
4a


2

a1 x a2
x

sin
sin dx 2,165P 0, 707a1 0, 383a2
4a 8a
8a
4a


2,165EI
Phương trình ổn định
0,18a1 0, 045a2 2,165P 0, 707a1 0, 383a2
a
EI 0,18a1 0, 045a2
Pth
a 0, 707a1 0, 383a2
a

P

2 0

2

Bài 7: Tìm lực tới hạn cho kết cấu như hình vẽ
Sơ đồ 1

Ta xem thanh AC như thanh một đầu ngàm 1 đầu tự do, một đầu ngàm đàn
hồi. Sơ đồ tính được thể hiện như hình sau:

NORTH SAINT - AMITABHA

23


Bài tập động lực học và ổn định công trình

Hệ số đàn hồi của ngàm đàn hồi chính là góc xoay tại A của dầm AB, do
mômen đơn vị đặt tại A gây ra.
Ta xác định như sơ đồ sau:

Tổng mômen tại gối A ta có RB.a + RD.2a + 1 = 0 (1)
Từ sơ đồ biến dạng ta có quan hệ

B
R
R
a

D 2B D 2 B RB 2RD (2)
D 2a
C
2
Thay số ta có RB

Ta xác định được

1 1
.
5a 5a
C

1
2
;RD
5a
5a



2 2
.
5a 5a
C



Tra bảng theo sơ đồ số 1 ta có phương trình ổn định

1
0, 06a

2
5a C
EI


Bài tập động lực học và ổn định công trình
tan

a
16, 667
EI

Tiến hành thử dần ta tìm ra được kết quả th 1, 482
Do đó lực tới hạn Pth th

2

2 EI
EI
2, 2EI

1
,
482
. 2 2

2
a
a
a

Sơ đồ 2

Ta có sơ đồ tính thể hiện như hình vẽ

Ta xem thanh AB như thanh có một đầu ngàm tại A và một đầu có liên kết
đàn hồi theo phương ngang tại B. Vì thanh BD có độ cứng vô cùng nên khi
thanh mất ổn định thì chuyển vị ngang tại B và D là như nhau. Do đó, hệ số
đàn hồi k của liên kết đàn hồi tại B, chính là chuyển vị ngang tại đầu tự do D
của thanh CD do lực đơn vị đặt tại D gây ra xác định theo sơ đồ sau:

NORTH SAINT - AMITABHA

25