pp toa do chung minh dt qua diem co dinh

1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH
===================================================================

PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A không phải tam giác cân, trên cạnh AB và AC lần lượt
lấy các ñiểm M và N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng ñường trung trực của MN luôn qua
một ñiểm cố ñịnh.
y

Với các bài toán chứng minh ñường thẳng ñi qua
ñiểm cố ñịnh, nếu làm theo phương pháp tổng hợp
thì trước hết phải dự ñoán ñược ñiểm cố ñịnh, sau ñó
chứng minh ñường thẳng luôn ñi qua ñiểm ñó.
Với bài toán này, chúng ta có thể gắn tọa ñộ và
làm theo phương pháp tìm ñiểm cố ñịnh của họ
ñường thẳng.

C(0;c)

N

Vấn ñề gắn trục tọa ñộ vào ñiểm nào ñể việc tính
toán không phức tạp, tạo ra ít tham số nhất có thể.

A

M

B(b;0) x

Nhận thấy tại ñiểm A có AB và AC vuông góc, vì

vậy ta chọn gốc tọa ñộ là ñiểm A với hai trục trùng
với AB và AC.
Chọn trục Axy sao cho tia Ax trùng tia AB, tia Ay trùng tia AC. Khi ñó ta có: A(0;0); B(b;0);
C(0;c). Gọi tọa ñộ ñiểm M(m;0) trong ñó 0 ≤ m ≤ b, ta ñi tìm tọa ñộ ñiểm N theo m
Gọi N(0;yN) (0 ≤ yN ≤ c), suy ra: CN2 = BM2 ⇔ yN = c + m – b
 m c+m−b
Suy ra trung ñiểm của MN là P  ;
 , MN = ( −m; c + m − b )
2
2

m
c+ m−b


Vậy phương trình ñường trung trực của MN là: −m  x −  + ( c + m − b )  y −
=0
2
2



m2 ( c + m − b )
− mx + ( c + m − b ) y +
−
=0
2
2
2

Hay

b 2 + c 2 − 2mb − 2bc + 2cm
⇔ − mx + ( c + m − b ) y −
=0
2

Trần Mạnh Sang – Lê Hồng Phong – Nam ðịnh


2. PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH
===================================================================

⇔ m(−x + y + b − c) + (c − b)

(b − c )
y−
2

2

=0

b−c c−b
;
Vậy ñiểm cố ñịnh là I 

2 
 2
Nhận thấy hoành ñộ và tung ñộ của I ñối nhau, vì vậy I thuộc ñường phân giác thứ hai, ñồng thời

IB = IC, vậy I là giao ñiểm của ñường phân giác thứ hai và trung trực của BC
Nếu làm theo phương pháp tổng hợp, ta phải dự ñoán ñược ñiểm cố ñịnh, sau ñó chứng minh
ñường thẳng luôn qua ñiểm ñó. Với một số bài, việc dự ñoán ñiểm cố ñịnh là không ñơn giản, vì
vậy phương pháp tọa ñộ tỏ ra hiệu quả và ñơn giản.

Ví dụ 2 (Ba lan - 1992): Trong mặt phẳng, cho trước ñiểm A, B. Xét ñiểm C thay ñổi trên một
nửa mặt phẳng bờ AB. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ACED và BCFG. Chứng
minh rằng DG luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh khi C thay ñổi.
Giải
Chọn hệ trục tọa ñộ với cơ sở là
hai ñiểm cố ñịnh A và B. Do vai
trò A, B như nhau, ta chọn A làm
gốc tọa ñộ.

y

F

G

E

Chọn hệ trục Axy, tia Ax trùng
tia AB, tia Ay nằm phía chứa
ñiểm C

C

D

Suy ra: A(0;0); B(b;0); C(x0;y0)
(y0 > 0)

A

B

Các ñiểm còn lại do 3 ñiểm trên
sinh ra, vì vậy ta sẽ tính ñược tọa ñộ của ñiểm D và ñiểm G theo tọa ñộ của A, B, C
Có D(-y0;x0); G(b + y0; b - x0)
Vậy phương trình ñường thẳng DG là:

x + y0
y − x0
=
b + 2 y0 b − 2 x0

Trần Mạnh Sang – Lê Hồng Phong – Nam ðịnh

x


3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH
===================================================================

⇔ ( b − 2 x ) x0 + ( b − 2 y ) y0 + b ( x − y ) = 0

b b
Suy ra ñiểm cố ñịnh mà DG ñi qua là I  ;  .
2 2

Nhận thấy ñiểm I là ñiểm nhìn AB dưới một tam giác vuông cân ñỉnh C.

Trần Mạnh Sang – Lê Hồng Phong – Nam ðịnh


4. PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH
===================================================================

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho ñường tròn ñường kính AB, ñường thẳng (d) vuông góc với AB tại ñiểm C cố ñịnh.
H là ñiểm thay ñổi trên (d). AH và BH cắt ñường tròn tại D và E. Chứng minh rằng DE luôn ñi
qua một ñiểm cố ñịnh.
Bài 2: Cho góc Axy vuông ñiểm A. ðiểm B cố ñịnh thuộc Ax, C thay ñổi thuộc Ay. ðường tròn
nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với Ay và BC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng ñường thẳng
DE luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Xét ñiểm D trên cạnh AB và ñiểm E trên cạnh BC sao cho
hình chiếu của DE trên BC có ñộ dài bằng nửa BC. Chứng minh rằng ñường thẳng vuông góc
với DE tại E luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn (O). M là một ñiểm thay ñổi trên BC không chứa
A. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên MB và MC.
a) Chứng minh rằng KH luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh khi M thay ñổi.
b) Gọi P, Q là ñiểm ñối xứng của M qua AB, AC. Chứng minh rằng PQ luôn ñi qua một ñiểm
cố ñịnh.

Bài 5: Cho ñường tròn (O) và ñiểm I cố ñịnh nằm trong ñường tròn. Hai dây cung AB và CD
thay ñổi qua nhưng luôn vuông góc nhau tại I. Gọi M, N là trung ñiểm của AC và BD. Chứng
minh rằng MN luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh.
Bài 6: Cho ñường tròn tâm O ñường kính AB. T là một ñiểm cố ñịnh trên ñoạn OB và một
ñường thẳng (d) qua T vuông góc với AB. M là một ñiểm di chuyển trên (O) sao cho MA < MB.
MA và MB lần lượt cắt ñường thẳng (d) tại P và Q. BP cắt (O) tại N. Chứng minh MN luôn ñi

qua một ñiểm cố ñịnh.

Trần Mạnh Sang – Lê Hồng Phong – Nam ðịnh