Một số bài toán Dãy số nguyên

Trần Mạnh Sang

Số 04-2009

Dãy số
Trần Mạnh Sang1

Nếu (xn ) là một dãy có phương trình hồi quy: xn+2 = uxn+1 + vxn thì ta sẽ có phương trình
đặc trưng của dãy hồi quy :
x2 − ux − v = 0
với hai nghiệm a, b. Chú ý rằng xn = an và xn = bn thỏa mãn phương trình hồi quy vì a2 =
ua + v, b2 = ub + v.
u
Nếu a = b thì a = b = và xn = nan cũng thỏa mãn phương trình hồi quy.
2
Nếu a = b ta tìm được c1 , c2 ∈ R sao cho x1 = c1 a + c2 b, x2 = c1 a2 + c2 b2 . Khi đó ta có :xn =
c1 an + c2 bn hoàn toàn thỏa mãn phương trình hồi quy. Ta cũng có x1 , x2 xác định duy nhất bởi
c1 , c2 và dãy xn . Hơn nữa dãy thỏa mãn phương trình hồi quy là : xn = c1 an + c2 bn với c1 , c2 được
xác định ở trên.
Tương tự với a = b khi đó dãy thỏa mãn là :xn = c1 an + c2 nbn ở đó c1 , c2 được xác định qua
:x1 = c1 a + c2 b và x2 = c1 a2 + c2 b2 .
Ta có bổ đề sau:
√
Nếu d ∈ Z (thỏa mãn: nếu s ∈ Z : s2 |d thì d = 1 )và x ∈ Q dsao cho :x2 ∈ Z. Khi đó : x ∈ Z.
Chứng minh: √
√
Đặt x = p + q d với p, q ∈ Q. Khi đó x2 = p2 + dq 2 + 2pq d ∈ Z. Vì : x2 ∈ Z nên pq = 0.
Nếu p = 0 thì dq 2 ∈ Z và điều này có nghĩa là mẫu của q 2 chia hết d. Nhưng d là square-free nên
không thể xảy ra điều này trừ phi mẫu của q là 1, tức là q ∈ Z. Tương tự ta giả sử rằng q = 0 thì
p ∈ Z. Do đó x ∈ Z.
Bài tập:

1, (RMO2002)Giả sử dãy (an ) được định nghĩa như sau:a0 = a1 = 1 và an+1 = 14an − an−1 với
n ≥ 1. Chứng minh rằng 2an − 1là một perfect square.
Giải:
Ta có kết quả sau: Với n ∈ N định nghĩa cn như sau:
c0 = −1; c1 = 1 và cn = 4cn−1 − cn−2 , n ≥ 2. Khi đó
cn =

√
1+ 3
2

2+

√

n

3

với n ∈ N Bình phương 2 vế trên ta có :
√
√
c2n + 1
3
= 1−
7+4 3
2
2
Ta chỉ cần chứng minh :

+

√
1− 3
2

√

n

+

1+

3
2

2−

√

n

3

√
7−4 3

n

.

c2n + 1
= an điều này ta dễ dàng làm được bằng cách tìm an theo tính chất
2

đã nêu ở trên.
2, (Shortlist 1988)Cho dãy nguyên an định nghĩa như sau: a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 2an+1 + an , n ≥ 0.
Chứng minh rằng 2k |a − n <=> 2k |n Giải:
Sử dụng tính chất trên ta tìm được:
√
√
1
1
an = √ (1 + 2)n − √ (1 − 2)n
2 2
2 2
Khi đó ta có 2 cách:
Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp an lẻ khi n lẻ và xây dựng dãy bn với b0 = b1 = 2 và bn =
2bn−1 + bn−2 . Chứng minh bn chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 với mọi n bằng quy nạp.
Từ công thức tường minh của an và bn và a2n = an bn .
1 Email:


Trần Mạnh Sang

Số 04-2009

Cách 2: Chứng minh quy nạpa2n+1 = (an )2 + (an+1 )2 và a2n = 2an (an + an−1 ) .
3, (RMO1999)Chứng minh rằng với số nguyên dương n bất kỳ thì :

n
2k
C2n+1
22n−2k 3k
k=0

là tổng của 2 bình phương đúng.
Giải:
√
√
√
√
1
α2
β2
= 2+ 3 và
= 2− 3.
Đặt α = 1+ 3, β = 1− 3 và Tn = (α2n+1 +β 2n+1 ). Ta có : αβ = −2,
2
2
2
n
√
√
2k
Áp dụng khai triển đối với nhị thức (1 + 3)n và (1 − 3)n , ta tìm được: Tn =
C2n+1
3k là một
k=0

số nguyên với mọi n.
√
√
Áp dụng khai triển nhị thức với (2 + 3)2n+1 và (2 − 3)2n+1 , ta có :
α2 2n+1
β2
)
+ ( )2n+1
2
Sn = 2
4
(

α4n+2 + β 4n+2
22n+3
α4n+2 + 2(αβ)2n+1 + β 4n+2
1
=
+
22n+3
2
(α2n+1 + β 2n+1 )2
1
=
+
22n+3
2
1
Tn2
+ .

2n+1
2
2
.
Do vậy : 22n+1 Sn = Tn2 + 22n . Khi đó 22n |Tn2 nhưng Tn2 ..22n+1 và do vậy Tn ≡ 2n (mod22n+1 ). Hơn
nữa:
2
2
1
Tn − 2n
Tn2
Tn + 2n
+ =
Sn = 2n+1
+
2
2
2n+1
2n+1
=

Đây là điều phải chứng minh.
4,(BMO2002) Cho dãy a1 = 20, a2 = 30, an+1 = 3an −an−1 , n ≥ 2. Tìm tất cả n sao cho 1+5an an+1
là một bình phương đúng.
an−1 + an+1
5, Cho a0 = a1 = 5 và an =
98
an + 1
Chứng minh rằng :
là một bình phương đúng.

6
6, Cho a1 = 1 và với n ≥ 1 ta có :
an+1 = 2an +

3a2n − 3

Chứng minh rằng a3n+1 = an+1 (a2n+1 + 1).
7, Cho dãy :a0 = 1, a1 = 2 và an+1 = 4an + an−1 . Chứng minh rằng

a6n
không phải là lập phương
a2n

của một số hữu tỷ.
8,(MOSP2001) Cho a0 = 4, a1 = 22 và an+1 = 6an − an−1 . Chứng minh rằng có thể biểu diễn an
như sau:
y2 + 7
an = n
yn − xn
với xn , yn ∈ N 9,(Shortlist 1984) Cho c ∈ N∗ . Cho x1 = 1, x2 = c và xn+1 = 2xn − xn−1 + 2với
n ≥ 2. Chứng minh rằng với k bất kì thì tồn tại r sao cho xk xk+1 = xr 10, (VMO1998)Cho a, b ∈ Z.
Định nghĩa dãy (an ) như sau: a0 = a, a1 = b, a2 = 2b − a + 2 và an+3 = 3an+2 − 3an+1 + an . Tìm


Trần Mạnh Sang

Số 04-2009

a, b sao cho an là một bình phương đúng với n ≥ 1998 11, (Bulgaria 2000) Cho dãy (an ) sao cho
a1 = 43, a2 = 142, an+1 = 3an + an−1 . Chứng minh rằng (an , an+1 ) = 1. Chứng minh rằng với bất

kỳm ∈ N tồn tại vô hạn số n sao cho m|U CLN (an − 1, an+1 − 1).