Lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phân (LV01838)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ NHẬT GIANG

LÝ THUYẾT LIÊN PHÂN SỐ
VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI - 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè và Ban Giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán - Tin trường trung
học phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội đã luôn động viên, cổ
vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và hoàn
thành luận văn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Tác giả

Lê Nhật Giang


Lời cam đoan
Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn “Lý thuyết liên phân số và
áp dụng giải phương trình vi phân” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về
lý thuyết liên phân số, đặc biệt là những áp dụng quan trọng liên phân
số vào giải phương trình vi phân. Qua đó cũng giúp tác giả bước đầu
làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin cam đoan luận văn được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực
tìm tòi, nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của TS.
Nguyễn Văn Hào.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Tác giả

Lê Nhật Giang


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Lời dẫn khái niệm liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Khái niệm liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Một số tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

´
1.4.1. Định lý Sleszy´
nski-Pringsheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.2. Định lý Worpitzky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Chương 2. Áp dụng liên phân số trong việc giải phương trình
vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1. Tổng quan về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2. Áp dụng liên phân số giải một số phương trình vi phân . . . . .

35

2.2.1. Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . .

35

2.2.2. Giải phương trình vi phân Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

i


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài

Khái niệm liên phân số, có thể nói rằng có nguồn gốc lịch sử từ rất sớm.
Những người học và làm Toán đều biết đến thuật toán Euclide từ thời
toán học cổ đại Hy lạp. Tuy nhiên, không có bằng chứng nào để có thể
khẳng định rằng thời đó các nhà Toán học đã sự dụng nó để hình thành
khái niệm liên phân số như ngày nay. Có lẽ để nói đến nguồn gốc của
√
khái niệm này, chúng ta hãy bắt đầu từ việc biểu diễn xấp xỉ của 13
được cho bởi nhà Toán học Bombelli năm 1572 như sau
√

13 = 3 +

4

4
6+
6
Đây là trường hợp riêng của công thức
a2 + b = a +

.

b
b
2a +
2a + ...

.

Trường hợp riêng thứ hai của công thức này được cho bởi Cataldi năm

1613 dưới dạng (dấu + được ông thay bởi dấu & )
√

2

18 = 4 &

.

2

8 &

8 &

2
8

Ông viết gọn biểu thức trên dưới dạng như sau
4&2&2&2
.
1 8 8 8
1


Năm 1625, Schwenter và Huygens (trong một công trình được công bố
sau khi ông mất), đã xem xét sự xấp xỉ của những liên phân số hữu hạn
chính quy theo nghĩa biểu diễn những phân số lớn thành những phân số
nhỏ hơn. Ở đây, Schwenter đã đưa ra biểu diễn sau
177

=
233

1

.

1

1+

1

3+
6+

1
4+

1
2

Còn Huygens đã đưa ra biểu diễn (những dấu + dưới ta hiểu là phép
cộng được thực hiện ở mẫu của phân số đứng ngay trước nó )
1 1 1 1
77708431
= 29 +
....
2640858
2+ 2+ 1+ 4+

Người đầu tiên đưa ra sự khai triển liên phân số vô hạn là Brouncker.
Khoảng năm 1659, ông đã trình bày trước hội Toán học Hoàng gia
London biểu diễn sau
(2n − 1)2
2

∞
4
=1+ K
π
n=1

.

Tuy nhiên, ông không đưa ra phép chứng minh công thức này và có lẽ
π
ông nhận được nó từ công thức tích vô hạn của Wallis đối với . Bắt
2
đầu từ năm 1737, Euler là người đưa ra được sự trình bày một cách hệ
thống về liên phân số. Các công trình của ông đã làm sáng tỏ rằng lý
thuyết liên phân số được sử dụng trong cả lĩnh vực lý thuyết số và lý
thuyết giải tích.
Đến nay, lý thuyết liên phân số đã đem lại áp dụng trong nhiều lĩnh vực
của Toán học cũng như các vấn đề thực tiễn khác. Được sự định hướng
2


của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài: "Lý thuyết liên phân số và áp
dụng giải phương trình vi phân" để hoàn thành luận văn Thạc sĩ
chuyên ngành Toán giải tích. Luận văn được cấu trúc thành 02 chương

Chương 1. Được giành cho việc trình bày về lý thuyết liên phân số; các
khái niệm liên quan lý thuyết liên phân số; một số tiêu chuẩn hội tụ và
các ví dụ minh họa.
Chương 2. Trong chương này, chúng tôi trình bày về phương pháp sử
dụng liên phân số trong việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp
hai, phương trình Riccati.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về liên phân số và áp dụng của
nó trong việc giải một số phương trình vi phân.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phân
tuyến tính cấp hai và phương trình Riccati.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết liên phân số và cách áp dụng liên phân số giải phương trình
vi phân tuyến tính cấp hai và phương trình Riccati.

3


5. Phương pháp nghiên cứu
Đặt vấn đề, giải quyết vấn đề thông qua việc phân tích, tổng hợp các
tài liệu được thu thập, và xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn.

6. Đóng góp của đề tài
Hệ thống hóa lý thuyết liên phân số và giới thiệu cách áp dụng liên phân
số để giải một số phương trình vi phân xuất hiện trong các lĩnh vực kĩ
thuật, vật lý,...

4


Chương 1
Liên phân số
1.1. Lời dẫn khái niệm liên phân số
Để dẫn tới khái niệm liên phân số một cách tự nhiên, chúng tôi giới thiệu
một số khái niệm quen thuộc. Cho {tn } là dãy số phức. Khi đó, tổng vô
hạn

∞

tn = t1 + t2 + t3 + ... + tn + ...,

(1.1)

n=1

được gọi là một chuỗi số phức (sau này ta chỉ gọi là chuỗi số ). Tổng
hữu hạn

n

Tn =

tk ,
k=1

được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.1) hay còn được viết dưới dạng

truy hồi
Tn+1 = Tn + tn+1 ; n = 1, 2, ....
Sự hội tụ của chuỗi (1.1) được định nghĩa qua sự hội tụ của dãy tổng
riêng {Tn } đến số phức T . Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ đến tổng T và viết
là

∞

tn = T.
n=1

Tương tự như vậy, chúng ta cũng có khái niệm về tích vô hạn
∞

pn = p1 p2 ...pn ...,
n=1

5

(1.2)


trong đó tất cả các pn là các số phức khác 0. Tương ứng, ta cũng có các
khái niệm về tích riêng thứ n của tích vô hạn (1.2) như sau
n

pk ,

Pn =
k=1

hoặc viết dưới dạng truy hồi
Pn+1 = Pn .pn+1 .
Sự hội tụ của tích vô hạn (1.2) là sự hội tụ của dãy tích riêng {Pn } tới
số phức P = 0. Khi đó, ta cũng nói tích vô hạn (1.2) hội tụ đến P và
viết là

∞

pn = P .
n=1

Tiếp đến, như các khái niệm về tổng và tích vô hạn đã giới thiệu trên
đây, người ta đưa ra khái niệm liên phân số như sau. Cho {an } là dãy
các số phức khác 0 và dãy {fn } trong C = C ∪ {∞} được xác định bởi
f 1 = a1
a1
1 + a2
a1
f3 =
a2
1+
1 + a3
f2 =

...
a1
a2
a3

fn =
1+
1+

.

1+
...
+an
6


Người ta gọi một liên phân số xác định từ dãy {an } được kí hiệu và
xác định bởi
∞

K (an /1) =

n=1

a1
a2
1+
a3
1+
1+

.

(1.3)

...
Sự hội tụ của liên phân số (1.3) được hiểu theo nghĩa sự hội tụ của dãy
xấp xỉ riêng {fn }. Tuy nhiên, khác với nghĩa hội tụ của chuỗi hay tích
vô hạn, đối với liên phân số ta vẫn có thể nói về sự hội tụ đến ∞.
Ví dụ 1.1. Đối với liên phân số
6

∞

K (6/1) =

n=1

6

1+

6

1+

6

1+
1+

...
ta có dãy xấp xỉ được xác định như sau
f1 = 6; f2 =

6
6
= ; f3 =
1+6 7

6
1+

6
1+6

=

42
; ....
13

Bằng quy nạp, ta có thể xác định dãy xấp xỉ riêng được xác định bởi
công thức
(−3)n − 2n
fn = −6
.
(−3)n+1 − 2n+1
Như thế, liên phân số trên hội tụ về 2.

7


Tương tự, từ dãy số phức {bn } người ta xây dựng liên phân số sau

1

∞

K (1/bn ) =

n=1

.

1

b1 +

(1.4)

1

b2 +

1

b3 +

b4 +
...
Đến đây, từ hai dãy số phức {an } và {bn } với an = 0; với mọi n ta đưa
ra khái niệm liên phân số sau
a1

∞

K (an /bn ) =

n=1

.

a2

b1 +

(1.5)

a3

b2 +
b3 +

a4
b4 +
...

Các khái niệm được định nghĩa theo công thức (1.3) và (1.4) là những
trường hợp đặc biệt của (1.5). Trường hợp đặc biệt hơn cả là khi trong
công thức (1.4) tất cả các giá trị {bn } là các số tự nhiên thì ta gọi nó là
liên phân số chính quy (trong lý thuyết số nó là một khái niệm xuất
phát từ thuật toán Euclide).
Tổng quát hóa cả ba trường hợp về chuỗi số, tích vô hạn và liên phân số
ta có thể xây dựng khái niệm chung như sau: Cho dãy {φn} các ánh xạ

từ C vào C ta xây dựng một dãy ánh xạ mới {φn} được xác định bởi
Φ1 = φ1 ;
Φn = Φn−1 ◦ φn = φ1 ◦ φ2 ◦ φ3 ◦ ... ◦ φn .
Trong cả ba trường hợp, nếu tồn tại số phức c để dãy {Φn (c)} hội tụ thì
ta nhận được khái niệm các khái niệm thông thường như đã biết. Chỉ
8


có một sự khác biệt là có tính đến sự hội tụ đến 0 hoặc ∞ hay không
mà thôi. Vấn đề này ta có thể chỉ ra như sau
Trong trường hợp chuỗi, chúng ta có
φk (w) = w + tk ,
và các tổng riêng nhận được là
Φn (0) = φ1 ◦ φ2 ◦ φ3 ◦ ... ◦ φn (0) = t1 + t2 + ... + tn ,
nghĩa là, ở đây c = 0.
Trong trường hợp tích vô hạn chúng ta có
φk (w) = w.pk ,
và tích riêng nhận được là
Φn (1) = φ1 ◦ φ2 ◦ φ3 ◦ ... ◦ φn (1) = p1 .p2 ...pn ,
nghĩa là, ở đây c = 1.
Đối với liên phân số (1.5) chúng ta có
φk (w) =

ak
,
bk + w

và các xấp xỉ riêng thứ n là
a1

Φn (0) =

a2

b1 +

a3

b2 +
b3 +

...
+
nghĩa là, ở đây c = 0.
9

an
bn


1.2. Khái niệm liên phân số
Khái niệm liên phân số dưới đây được đưa ra bởi hai nhà Toán học
Henrici và Pfluger (có thể xem [2, p.474]).
Định nghĩa 1.1. Liên phân số là một cặp sắp thứ tự
(({an }, {bn }) , {fn}) ;
∞
trong đó {an }∞
1 , {bn }0 là các dãy số phức cho trước với an = 0 và {fn }

là một dãy số phức mở rộng được xác định bởi

fn = Sn (0); n = 0, 1, 2, ...

(1.6)

S0 (w) = s0 (w), Sn (w) = Sn−1 (sn (w)); n = 1, 2, ....

(1.7)

trong đó

s0 (w) = b0 + w, sn (w) =

an
; n = 1, 2, ....
bn + w

(1.8)

Thuật toán liên phân số là một hàm K ánh xạ cặp ({an }, {bn }) thành
dãy {fn } được xác định bởi các công thức (1.6),(1.7) và (1.8). Các số an
và bn được gọi tương ứng là các tử số, mẫu số thứ n của liên phân số. Số
a1

Sn (0) =

a2

b1 +

a3

b2 +
b3 +

...
+

10

an
bn


được gọi là xấp xỉ riêng thứ n của liên phân số. Để tiện lợi trong việc
trình bày người ta sử dụng ký hiệu
Sn (0)= b0 +

a1 a2 a3
.
b1 + b2 + b3 +...

Ta nói liên phân số hội tụ tới số phức mở rộng f nếu {fn} → f và ta
viết
f = b0 +

a1 a2 a3
an
b1 + b2 + b3 +...+ bn +...

hoặc

an
.
n=1 bn
∞

f = b0 + K

Việc nghiên cứu liên phân số được thông qua các xấp xỉ của liên phân
số dưới dạng
fn =

An
; n = 0, 1, 2, ....
Bn

Nếu xác định




     
 A−1   1  A0   b0 

 =  ,   =  
B−1
0
B0
1
thì ta dễ dàng nhận được công thức qua mối liên hệ quy nạp
Sn (w) =

An + An−1 w
.
Bn + Bn−1 w

Ở đây, mối liên hệ truy hồi được xác định bởi




 
 An−2 
 An−1 
 An 
=
b
+
a
 ; n = 1, 2, 3, . . .

 
n
n
Bn−2
Bn−1
Bn

11

Nhận xét rằng Sn là tích của các biến đổi phân tuyến tính không suy
biến
ak
bk + w
nên nó cũng chính là một biến đổi phân tuyến tính không suy biến.
sk (w) =

Chúng ta có những giá trị đặc biệt sau
Sn (0) = fn =

An−1
An
, Sn (∞) = fn−1 =
.
Bn
Bn−1

Ta gọi các An , Bn lần lượt là các tử số và mẫu số tổng quát thứ n. Một
tính chất quan trọng liên quan tới các số An , Bn được xác định qua công
thức sau

n

An Bn−1 − An−1 Bn = (−1)

n−1

ak .
k=1

1.3. Một số ví dụ
Ví dụ 1.2. Từ đẳng thức
√

2−1=

1
√
2 + ( 2 − 1)

ta nhận được các đẳng thức sau
√

2−1=

1
1
√
2 + 2 + ( 2 − 1)

=

1 1
1
√
2 + 2 + 2 + ( 2 − 1)

=

1 1 1

1
√
2 + 2 + 2 + 2 + ( 2 − 1)

= ...
12


=

1 1 1
1
√
.
2 + 2 + 2 +...+ 2 + ( 2 − 1)

Từ đó, ta nhận được
√

2=1+

1 1 1
1
√
.
2 + 2 + 2 +...+ 2 + ( 2 − 1)

Điều đó dẫn đến ý tưởng tốt để xem xét các xấp xỉ của liên phân số
1+

1 1 1
1
.
2 + 2 + 2 +...+ 2 +...

Chúng ta thấy
1+

1
= 1.5
2

1+

1 1
= 1.4
2+2

1+

1 1 1
= 1.4166...
2+2+2

1+

1 1 1 1
= 1.41379...
2+2+2+2

1+

1 1 1 1 1
= 1.4142857....
2+2+2+2+2

Các liên phân số này tiến tới

√

2 rất nhanh, ở bước thứ năm ta thấy sai

số của nó nhỏ hơn 0.00008. Điều đó cho ta thấy các liên phân số này
√
dường như là xấp xỉ hữu tỷ tốt đối với số vô tỷ 2. Từ biểu diễn trên
đây, ta đưa ta đến ý tưởng nghiên cứu liên phân số 1 + K(1/2) với hy
13


vọng nhận được xấp xỉ tốt đối với

√

2. Tuy nhiên, ta cũng cần có một sự

cảnh báo rằng xuất phát từ ý tưởng như thế không phải khi nào cũng
đúng. Chẳng hạn, từ đẳng thức
√
− 2−1=

1
√
2 + (− 2 − 1)

nó dẫn đến biểu diễn
√
1 1 1
1
√
− 2=1+
.
2 + 2 + 2 +...+ 2 + (− 2 − 1)
Thế nhưng, liên phân số 1 + K(1/2) lại hội tụ đến

√

2.

Ví dụ 1.3. Xét phương trình vi phân
y = 2y + y .
Lấy vi phân n lần ta lần lượt nhận được các đẳng thức sau
y = 2y + y ,
...
y (n) = 2y (n+1) + y (n+2) .
Từ các đẳng thức trên và giả thiết rằng đạo hàm đến cấp n + 2 khác 0,
ta nhận được các đẳng thức sau
y
1
=2+
,

y
y /y
y
1
=2+
,
y
y /y
...
y (n)
1
=
2
+
.
y (n+1)
y (n+1) /y (n+2)
14


Từ đó, ta suy ra rằng
1 1 1
1
y
1
=2+
.
y
2 + 2 + 2 +...+ 2 + y (n+1) /y (n+2)
n+1

Điều đó, gợi ý cho ta xét đến liên phân số
2+

1 1 1
1
.
2 + 2 + 2 +...+ 2

Từ ví dụ trên đây, ta thấy liên phân số này hội tụ về giá trị

√

2 + 1. Như

thế, ta nhận được
√
y
= 2+1
y
hoặc
√
y
= 2 − 1.
y
Từ đó, ta suy ra rằng
y = C.e

√
( 2−1)x

.

Đây chính là nghiệm của phương trình vi phân đã cho. (Dĩ nhiên, lý do
đã được trình bày trong ví dụ trên đây cũng chưa phải là nguyên nhân
tốt đưa đến việc sử dụng phương pháp này trong việc giải phương trình
vi phân).
Ví dụ 1.4. (Khai triển của một hàm). Bằng cách tương tự chúng ta có
√

1+x−1=

x
.
2 + ( 1 + x − 1)
√

Từ ví dụ 1.2 ở phần này ta có
√

1+x−1=

x x
x
x
√
.
2 + 2 +...+ 2 + 2 + ( 1 + x − 1)
15

Điều này gợi ý tới việc xem xét các xấp xỉ của liên phân số
x x
x
x
2 + 2 +...+ 2 +...+ 2 +...
nghĩa là bởi các hàm hữu tỷ sau
2x x x x x2 + 4x
x x x
;
=
;
=
.
2 2+2
x + 4 2+2+2
4x + 8
Đối với các hàm thì liên phân số ít được biết đến hơn so với phương
pháp khai triển chuỗi lũy thừa. Trong trường hợp khai triển của chuỗi
Taylor tại 0 là
 
1
∞
√
1 2
1 3
5 4
 2 k 1
x + ...
1+x−1=

 x = x − x + x −
2
8
16
128
k=1
k
chuỗi này hội tụ khi |x| < 1 và phân kỳ khi |x| > 1. Các xấp xỉ của chuỗi
này là các tổng riêng
1
s1 = x;
2
1
s2 = x −
2
1
s3 = x −
2

1 2
x;
8
1 2
1
x + x3 ;
8
16

....
Nhận xét rằng các xấp xỉ như trên chính là các đa thức trong khi các

xấp xỉ dưới dạng liên phân số là các hàm hữu tỷ.
Dưới đây, ta kiểm chứng hai phương pháp xấp xỉ này với một số giá trị
của biến x xem xảy ra điều gì. Trước hết với x = 0.96 thì giá trị chính
√
xác của hàm là 1 + x − 1 = 0.4. Trong bảng dưới đây, ta ký hiệu (sn )
16


là dãy xấp xỉ chuỗi lũy thừa còn (fn ) là dãy xấp xỉ của liên phân số
n

1

2

3

4

5

6

sn 0.4800 0.3648 0.4201 0.3869 0.4092 0.3932

7
0.4053

fn 0.4800 0.3871 0.4022 0.3996 0.4001 0.4000 0.40000
Dĩ nhiên điều đó không chứng tỏ được vấn đề gì. Tuy nhiên, trong một

số trường hợp có thể khai triển liên phân số hội tụ nhanh hơn khai triển
chuỗi lũy thừa.

1.4. Một số tiêu chuẩn hội tụ
´
1.4.1. Định lý Sleszy´
nski-Pringsheim
Liên phân số K(an /bn ) hội tụ nếu, với mọi n ta có
|bn | ≥ |an | + 1;

(1.9)

hay dưới điều kiện tương tự, với mọi n = 1, 2, ..., ta có
|fn | < 1;

(1.10)

và giá trị của liên phân số thỏa mãn
|f | ≤ 1.

(1.11)

Chứng minh. Ta chứng minh công thức (1.10) bởi phép quy nạp. Với
n ≥ 1 chúng ta có
an
|an |
≤
<1
bn
|an | + 1

17


điều đó chứng tỏ công thức đúng với n = 1. Tiếp theo, với mọi n ≥ 2 ta
có
an−1
|an−1 |
<
= 1.
bn−1 + an /bn
|an−1 | + 1 − 1
Bất đẳng thức này thiết lập (1.10) cho trường hợp n = 2.
Giả sử rằng với 1 ≤ k < n
fn(k) =

an
ak+1
bk+1 +....+ bn

(k)

ta có tính chất fn < 1. Khi đó
fn(k) =

ak
(k)

|ak |

≤

bk + fn

|ak | + 1 −

(k)
fn

< 1.

Thật vậy, bằng phép quy nạp theo k
|fn | = fn0 < 1
để chứng minh sự hội tụ của liên phân số K(an /bn ), từ công thức sau
(đã nêu trong định nghĩa ở phần trên)
n

An Bn−1 − An−1 Bn = (−1)

n−1

ak
k=1

ta có

n

n−1

An An−1
−
=
Bn Bn−1

(−1)

ak
k=1

Bn Bn−1

.

Từ đó, sự hội tụ được thiết lập khi chúng ta chứng minh sự hội tụ của
chuỗi
∞

(−1)n−1

n

ak
k=1

n=1

Bn Bn−1
18

.

(1.12)


Hơn nữa, từ công thức truy hồi sau (đã nêu trong định nghĩa ở phần
trên)












 An 
 An−1 
 An−2 
=
b
+
a
 


n

n
Bn
Bn−1
Bn−2
ta có, với n ≥ 1
|Bn | = |bn Bn−1 + an Bn−2 |
≥ |bn | |Bn−1 | − |an | |Bn−2 |
≥ (|an | + 1) |Bn−1 | − |an | |Bn−2 | .
Từ đó, ta suy ra
|Bn | − |Bn−1 | ≥ |an | (|Bn−1 | − |Bn−2 |) .
Đến đây, ta nhận được bất đẳng thức
n

|Bn | − |Bn−1 | ≥

|ak | > 0
k=1

và số hạng tổng quát trong (1.12) thỏa mãn
n−1

n

(−1)

ak
k=1

Bn Bn−1

≤

1
|Bn−1 |

−

1
.
|Bn |

Ta thấy tổng (1.12) hội tụ tuyệt đối, tổng riêng thứ n có giá trị tuyệt
đối nhỏ hơn hoặc bằng
1
|Bn−1 |

−

1
1
=1−
< 1.
|Bn |
|Bn |

Do đó, chuỗi (1.12) hội tụ và (1.11) đơn giản chỉ là hệ quả của (1.10).
Chú ý. Nếu bất đẳng thức (1.9) được thỏa mãn, thì từ chứng minh trên
19

ta cũng suy ra rằng, với mọi |w| < 1
|S(w)| < 1
và
Sn (w) → f
sự hội tụ này là hội tụ đều với mọi |w| < 1.
Ví dụ 1.5. Cho z là một số phức và giả sử rằng |an | ≤ 1; với mọi n .
Khi đó, liên phân số
an
n=1 z
∞

K

hội tụ với mọi |z| ≥ 2 . Trong trường hợp đặc biệt khi an = 1 với mọi n
ta thấy rằng giá trị của f (z) được xác định như sau
f (z) =
Từ đó, suy ra

1
.
z + f (z)

√
f (z) =

z2 + 4 − z
.
2

Liên phân số K(1/z) là một trường hợp đặc biệt sẽ được trình bày ở

phần sau. Trong ví dụ này biểu thức căn bậc hai được lựa chọn sao cho
f (z) → 0 khi z → ∞ tức là
z2 + 4 = z 1 +

2
+ ...
z2

=z+

và do đó
f (z) =

1 1
+ + ....
z z

20

2
+ ...
z


1.4.2. Định lý Worpitzky
Với mọi n ≥ 1
1
|an | ≤ .
4
Thế thì, liên phân số K(an /1) hội tụ. Các giá trị xấp xỉ fn nằm trong

miền
|w| <

1
2

và giá trị f nằm trong miền
1
|w| ≤ .
2
Chứng minh. Cho
a1 a2
an
1 + 1 +...+ 1 +...
như vậy |an | ≤

(1.13)

1
với mọi n . Dễ thấy rằng, dãy những giá trị xấp xỉ của
4

liên phân số
2a1 4a2
4an
2 + 2 +...+ 2 +...

(1.14)

hoàn toàn giống như dãy những giá trị xấp xỉ (1.13).

Từ
|an | ≤

1
4

với mọi n, chúng ta có
2 ≥ |4an | + 1
´
và theo định lý Sleszy´
nski-Pringsheim ta có liên phân số (1.14) và hơn
nữa liên phân số (1.13) hội tụ. Nếu liên phân số (1.14) được nhân với 2
21