Các phương pháp tính tích phân và những vấn đề liên quan khi dạy học tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.18 MB, 121 trang )
B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O
TR
NGă IăH CăTH NGăLONG
---------------------------------------
PH MăNG CăHI U
CÁCăPH
NGăPHÁPăTệNHăTệCHăPHỂN
VĨăNH NGăV Nă ăLIểNăQUANăKHIăD YăH CăTệCHăPHỂN
LU NăV NăTH CăS TOÁNăH C
Hà N i – N m 2016
1
B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O
TR
NGă IăH CăTH NGăLONG
---------------------------------------
PH MăNG CăHI Uăậ C00445
CÁCăPH
NGăPHÁPăTệNHăTệCHăPHỂN
VĨăNH NGăV Nă ăLIểNăQUANăKHIăD YăH CăTệCHăPHỂN
LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C
NGăPHÁPăTOÁNăS ăC P
CHUYểNăNGĨNH:ăăPH
MĩăS :ă60ă46ă01ă13
NG
IăH
NGăD NăKHOAăH Că:ăTSăV ă ỊNHăPH
NG
Hà N i – N m 2016
2
Thang Long University Libraty
L IăC Mă N
Lu n v n đ
c hoƠn thƠnh d
vƠ s tr giúp c a các th y cô
i s ch d n t n tình c a th y h
khoa Toán ậ Tin tr
ng d n
ng
i H c Th ng Long
ình Ph
ng đƣ t n tình
HƠ N i.
Tôi xin chơn thƠnh c m n th y giáo, TS V
gi ng d y, ch b o vƠ ng h trong su t quá trình lƠm lu n v n c a tôi.
Tôi xin chơn thƠnh c m n Ban giám hi u, phòng đƠo t o cùng các th y
cô
khoa Toán ậ Tin Tr
ng
i H c Th ng Long HƠ N i vƠ các b n h c
viên l p Cao H c Toán B c Giang đƣ giúp đ , đ ng viên ng h tôi trong
su t quá trình h c t p vƠ hoƠn thƠnh lu n v n.
Tôi xin c m n Ban Giám Hi u, t chuyên môn Toán ậ Tin, các đ ng
nghi p Tr
ng trung h c ph thông Yên D ng s 1 B c Giang đƣ t o đi u
ki n, giúp đ , đ ng viên tôi trong quá trình h c t p vƠ hoƠn thƠnh lu n v n.
Tácăgi
Ph măNg căHi u
3
B NăCAM OAN
Tôi xin cam đoan v tính trung th c, h p pháp c a lu n v n. Các k t
qu , s li u trong lu n v n lƠ trung th c không sao chép
các tƠi li u khác.
Tácăgi
Ph măNg căHi u
4
Thang Long University Libraty
M CăL C
Trang
M đ u…….………………………………………………………………...6
Ch
ng 1. H TH NG KI N TH C C B N..………………………….8
1.5. Nguyên hƠm…….……………….……………..……………………8
1.6. Tích phơn…………………………………………………………...10
1.7.
ng d ng tích phơn tính di n tích hình ph ng……………………..14
1.8.
ng d ng tích phơn tính th tích kh i tròn xoay…………………...14
Ch
ng 2. CÁC PH
NG PHÁP TệNH TệCH PHÂN…………………..16
2.1. Ph
ng pháp bi n đ i t
2.2. Ph
ng pháp đ i bi n s ..................................................................16
2.3. Ph
ng pháp tích phơn t ng ph n.....................................................20
Ch
ng 3. M T S V N
ng đ
TH
ng..................................................16
NG G P KHI D Y TệCH PHÂN..27
3.1. D ng 1. Tính tích phơn b ng công th c............................................27
3.2.D ng 2. Tích Phơn c a các hƠm s có m u ch a tam th c b c hai....28
3.3. D ng 3. Tích phơn c a hƠm phơn th c h u t ....................................41
3.4. D ng 4. Tích phơn c a hƠm s l
ng giác........................................56
3.5. D ng 5. Tích phơn c a hƠm s vô t ..................................................80
3.6. D ng 6. Tích phơn c a hƠm s ch a d u giá tr tuy t đ i.................92
3.7. D ng 7. M t s tích phơn c a hƠm đ c bi t......................................94
3.8.
ng d ng tích phơn tính di n tích hình ph ng..................................96
3.9.
ng d ng tích phơn tính th tích c a kh i tròn xoay......................101
3.10. M t s sai l m th
ng g p khi gi i toán tích phơn.......................104
3.11. Gi i bƠi toán tích phơn b ng nhi u cách khác nhau......................108
3.12. BƠi t p v n d ng………………………………………………....113
K T LU N VÀ KHUY N NGH ............................................................120
DANH M C SÁCH THAM KH O.........................................................121
5
M
U
1.ăLỦădoăch năđ ătƠi
ph thông thì nguyên hƠm, tích phơn lƠ m t m ng ki n th c r t quan
tr ng trong ch
ng trình gi i tích 12 nói riêng vƠ trong toƠn b ch
toán ph thông nói chung. Các bƠi toán v tích phơn th
trong các đ thi
i H c - Cao đ ng tr
ng trình
ng xuyên xu t hi n
c đơy vƠ trong kì thi trung h c ph
thông Qu c Gia hi n nay.
Tuy nhiên trong nhi u n m d y h c tích phơn tôi th y h c sinh th
ng
r t khó ti p c n ki n th c v nguyên hƠm, tích phơn. Th c t tích phơn
ph
thông không quá ph c t p mƠ do các em thi u k n ng gi i toán, qua đó d n
đ n nh ng sai l m c b n. H n n a m i m t bƠi t p h c sinh th
ng ch tìm
ra m t l i gi i trong khi bƠi đó có nhi u cách gi i vƠ các cách gi i đó có th
áp d ng cho nh ng bƠi toán khác.
Hi n nay, có r t nhi u tƠi li u vi t v đ tƠi nguyên hƠm tích phơn vƠ các
tƠi li u tham kh o đó đƣ đ a ra đ y đ các d ng toán, nh ng ch a chú tr ng
t i nh ng bƠi toán v i nhi u các gi i khác nhau, h th ng bƠi t p t d đ n
khó, qua đó ch a phát tri n đ
c n ng l c cho m i đ i t
quá trình d y h c. Vì v y tôi ch n đ tƠi: “Các ph
ng h c sinh trong
ng pháp tính tích phơn vƠ
nh ng v n đ liên quan khi d y h c tích phơn’’
v i mong mu n giúp h c sinh ti p c n các bƠi toán v tích phơn m t cách ch
đ ng vƠ d dƠng h n.
2.ăM căđíchănghiênăc u
+ H th ng hoá l i ki n th c, d ng bƠi t p tích phơn vƠ các ph
ng pháp
gi i.
+
a ra h th ng bƠi t p đ luy n thi
i h c vƠ b i d
ng h c sinh
gi i.
+ Xơy d ng m t s bƠi toán gi i b ng nhi u cách khác nhau.
6
Thang Long University Libraty
3.
+
a ra m t s sai l m th
ng g p c a h c sinh khi gi i toán tích phơn.
iăt
ngăvƠăph măviănghiênăc u
+ H c sinh trung h c ph thông
+ Các d ng vƠ ph
ng pháp gi i tích phơn dùng d luy n thi trung h c
ph thông Qu c gia vƠ b i d
4.ăPh
ng h c sinh gi i.
ngăphápănghiênăc uă
+ Nghiên c u lí lu n.
+ i u tra quan sát.
+ Th c nghi m gi ng d y.
5.ăC uătrúcălu năv n
Lu n v n g m 3 ch
Ch
ng:
ngă1. H th ng l i ki n th c c b n
+ H th ng các đ nh ngh a, đ nh lí, tính ch t c a nguyên hƠm, tích phơn.
Ch
ngă2. Các ph
ng pháp tính tích phơn
+ Trình bƠy l i các ph
ng pháp tính tích phơn trong sách giáo khoa gi i
tích 12.
+
a ra m t s d ng tích phơn gi i b ng ph
ph n th
Ch
ng pháp tích phơn t ng
ng g p.
ngă3. M t s v n đ th
ng g p khi d y h c tích phơn.
+
a ra m t s d ng tích phơn th
ng g p vƠ ph
ng pháp gi i.
+
a ra m t s bƠi toán tích phơn gi i b ng nhi u cách khác nhau.
+
a ra m t s sai l m th
+
a ra m t s bƠi t p áp d ng.
ng g p c a h c sinh khi gi i toán tích phơn.
7
CH
NGă1. H ăTH NG KI NăTH CăC ăB N
1.1.NGUYểNăHĨM
1.1.1.ă nhăngh a
Cho hƠm s f xác đ nh trên K. HƠm s F đ
c g i lƠ nguyên hƠm c a f
trên K n u F ' x f x v i m i x thu c K.
1.1.2.ăM tăs ăđ nhălí
nh lí 1
Gi s hƠm s F lƠ m t nguyên hƠm c a hƠm s f trên K. Khi đó
a) V i m i h ng s C, hƠm s y = F(x) + C c ng lƠ m t nguyên hƠm c a f
trên K;
b) Ng
c l i, V i m i nguyên hƠm G c a f trên K thì t n t i m t h ng s C
sao cho G(x) = F(x) + C v i m i x thu c K.
+ T đ nh lí 1 ta th y n u F lƠ m t nguyên hƠm c a f trên K thì m i nguyên
hƠm c a f trên K đ u có d ng F(x) + C v i C R . V y F(x) + C v i C R lƠ
h t t c các nguyên hƠm c a f trên K, kí hi u f x dx .
V y
f x dx F x C,C R.
nh lí 2
N u f,g lƠ hai hƠm s liên t c trên K thì
a) f x g xdx f x dx g x dx;
b) f x g xdx f x dx g x dx;
c) V i m i s th c k 0 ta có: kf x dx k f x dx.
1.1.3. B ngătínhănguyênăhƠmăc ăb n
HƠm s f(x)
H nguyên hƠm F(x)+C
a (h ng s )
x , 1
ax + C
x 1
C
1
8
Thang Long University Libraty
1
x
ex
a x , a 0
ln x C
ex C
ax
C
ln a
cos x + C
sin x + C
cot x C
sin x
cos x
1
sin 2 x
1
1
(ax b) ,
a 0
1
, a 0
ax b
eax b , a 0
1 (ax b)
a
1
C
1
ln ax b C
a
1 ax b
e
C
a
1
cos(ax b) C
a
1
sin(ax b) C
a
1
tan(ax b) C
a
sin ax b , a 0
cos ax b , a 0
1
, a 0
cos (ax b)
1
, a 0
sin2 (ax b)
2
1
cot(ax b) C
a
1.1.4. B ăđ ă1.1
1
1.1.4.1.
dx ln x x2 a 2 C;
2
2
x a
1.1.4.2.
x
1
x2 a 2
dx
1 a x2 a 2
C , a 0;
ln
a
x
b
1.1.4.3. ln(ax b)dx ( x )ln(ax b) x C , a 0.
a
Ch ng minh.
9
1.1.4.1. Ta có
ln x x a C
2
2
1
x a
2
2
/
x x2 a 2
x x2 a 2
x
1
x a2
x x2 a 2
1
2
x2 a 2
dx ln x x2 a 2 C.
/
1 a x2 a 2
1
1.1.4.2. Ta có
ln
ln a x2 a 2 ln
C
a
x
a
x
1 1 x2 a x2 a 2 x2 a 2
1
a x2 a 2 a x2 a 2
x a x x2 a 2 a x2 a 2
a a x2 a 2
1
1
a x x2 a 2 a x2 a 2 x x2 a 2
x
/
1 a x2 a 2
dx ln
C.
a
x
x x2 a 2
1.1.4.3. Ta có
1
/
b
b a
x
ln(
ax
b
)
x
C
ln(
ax
b
)
x
1 ln(ax b)
a
a ax b
b
ln(ax b)dx ( x )ln(ax b) x C.
a
1.2. TệCHăPHỂN
1.2.1. nhăngh a
Cho hƠm s f liên t c trên K vƠ a,b lƠ hai s b t kì thu c K. N u F lƠ m t
nguyên hƠm c a hƠm s f trên K thì hi u s F(b) – F(a)
c g i lƠ tích phơn c a hƠm s f t a đ n b vƠ kí hi u lƠ
b
f ( x)dx.
a
Trong tr
ng h p a < b, ta g i
b
f ( x)dx tích phơn c
a f trên đo n [a; b].
a
Ng
i ta còn kí hi u F x a đ ch hi u s F(b) – F(a). Nh v y ta có
b
10
Thang Long University Libraty
b
f x dx F x a F b F a (Công th c NewTon ậ Leibniz).
b
a
1
1
Víăd 1.2.1. x
2015
0
1
x2016
.
dx
2016 0 2016
1.2.2.ăCácătínhăch tăc aătíchăphơn
Gi s các hƠm s f, g liên t c trên K vƠ a, b, c lƠ các s b t kì thu c K.
Khi đó ta có:
a
1.2.2.1.
f (x)dx 0;
a
b
1.2.2.2.
f ( x)dx f ( x)dx;
a
b
1.2.2.3.
a
b
c
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x )dx;
a
b
a
c
b
b
a
a
1.2.2.4. f ( x ) g( x ) dx f ( x )dx g( x )dx;
a
b
b
a
a
1.2.2.5. k. f ( x )dx k . f ( x )dx v i k R;
1.2.2.6. Tích phơn c a hƠm s trên a; b cho tr
bi n s , ngh a lƠ :
b
b
b
a
a
a
c không ph thu c vƠo
f ( x)dx f (t)dt f (u)du ...;
1.2.2.7. N u f(x) liên t c trên a; b vƠ f ( x ) 0 x [a ; b] thì
b
f ( x )dx 0;
a
1.2.2.8. N u f(x) liên t c trên a; b , f ( x) 0 x [a ; b] vƠ f(x) không đ ng
b
nh t b ng 0 trên [a; b] thì
f ( x)dx 0;
a
1.2.2.9. N u hai hƠm s f(x) vƠ g(x) liên t c trên a; b vƠ
f ( x ) g( x ) x a;b thì
b
b
a
a
f ( x)dx g( x)dx;
11
1.2.2.10. N u hai hƠm s f(x) vƠ g(x) liên t c trên a; b ,
f ( x ) g( x ) x a;b vƠ f x , g x không đ ng nh t v i nhau trên [a; b]
thì
b
b
a
a
f ( x)dx g( x)dx;
1.2.2.11. N u f(x) liên t c trên a; b vƠ m f ( x ) M ( m,M laø hai haèng soá)
b
thì m(b a) f ( x )dx M (b a);
a
f x liên t c trên [a; b] thì
1.2.2.12. N u hƠm s
b
b
a
a
f x dx f x dx.
1.2.2.13. B đ 1.2.1. N u f ( x) ch n vƠ liên t c trên đo n [-a; a] thì
a
a
a
0
f ( x)dx 2 f ( x)dx.
Ch ng minh.
Ta có:
a
0
a
a
0
f x dx f xdx f x dx
a
Tính I
0
f xdx
a
t x u dx du, x a u a , x 0 u 0.
a
a
a
0
0
I f u du f u du f x dx
0
a
a
a
0
f x dx 2 f x dx.
1.2.2.14. B đ 1.2.2. N u f ( x) ch n vƠ liên t c trên đo n [-a, a] thì
a
a
f ( x)
a c x 1 dx 0 f ( x)dx.
Ch ng minh:
t x u dx du, x a u a , x a u a.
a
a
a
a
a
f x
f u
f u u
f u u
f u
dx u
du u
c du u
c 1 du u
du
x
c 1
c 1
c 1
c 1
c 1
a
a
a
a
a
12
Thang Long University Libraty
f x
dx;
cx 1
a
a
a
f u du
a
a
a
a
a
f x
f x
dx f u du 2 f u du x dx f x dx .
2 x
1
c
c 1
0
0
a
a
a
1.2.2.15. B đ 1.2.3. N u f ( x) l vƠ liên t c trên đo n [-a, a] thì
a
a
f ( x)dx 0.
a
Ch ng minh:
t x u dx du, x a u a , x a u a.
a
a
a
a
a
a
f xdx f u du f u du f xdx;
a
a
a
2 f xdx 0
a
a
f xdx 0.
a
1.2.2.16. B đ 1.2.4. N u f ( x) xác đ nh, liên t c trên R vƠ
f x T f x , x R thì :
a T
a
Ch ng minh:
f ( x)dx f ( x) dx , ( a R ).
0
a T
0
T
a T
a
a
0
T
f x dx f x dx f x dx f x dx
Ta có:
Tính
T
a T
f x dx
T
t x u T dx du, x T u 0 , x a T u a.
a T
a
T
0
a
a
f x dx f u T du f u du f x dx.
V y
0
0
a T
0
T
a
T
a
a
0
0
0
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx.
1.2.2.17. B đ 1.2.5. N u f ( x) liên t c trên đo n [a; b] vƠ tho mƣn:
a b
f (a b x) f ( x), x [a ;b] . Khi đó ta có xf ( x)dx
f ( x)dx.
2
a
a
Ch ng minh:
b
13
b
t x a b u dx du, x a u b , x b u a.
b
b
b
xf xdx a b u f a b u du a b u f u du
a
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
a b f u du uf u du a b f x dx xf xdx;
a b
2 xf xdx a b f x dx xf xdx
f x dx.
2
a
a
a
a
1.3. NGăD NGăTệCHăPHỂNăTệNHăDI NăTệCHăHỊNHăPH NG
1.3.1.ăDi nătíchăhìnhăthangăcong
Cho hƠm s f x liên t c trên đo n [a; b]. Di n tích hình thang cong gi i
b
b
h n b i các đ
b
b
b
ng y f x ,x a ,x b vƠ tr c hoƠnh lƠ S f x dx .
a
1.3.2.ăDi nătíchăhìnhăph ng
1.3.2.1. Tr ng h p 1
Cho hai hƠm s f x vƠ g x liên t c trên đo n [a; b]. Di n tích hình
ph ng gi i h n b i các đ ng y f x , y g x ,x a,x b lƠ
b
S f x g x dx .
a
1.3.2.2. Tr ng h p 2
Cho hai hƠm s f x vƠ g x liên t c trên đo n [a; b]. Di n tích hình
ph ng gi i h n b i các đ
ng y f x , y g x lƠ S f x g x dx .
Trong đó , lƠ nghi m nh nh t vƠ l n nh t c a ph ng trình
f x g x , a b .
1.4. NGăD NG TệCHăPHỂNăTệNHăTH ăTệCHăKH I TRọNăXOAY
1.4.1. Tr ngăh pă1
Th tích kh i tròn xoay do hình ph ng gi i h n b i các đ ng
y f ( x ) 0 x a;b , y 0 , x a vƠ x b a b quay quanh tr c Ox
lƠ V
b
f x dx .
2
a
1.4.2.ăTr ngăh pă2
Th tích kh i tròn xoay do hình ph ng gi i h n b i các đ
ng
14
Thang Long University Libraty
x g( y ) 0 y c; d , x 0 , y c vƠ y d (c d) quay quanh tr c
d
Oy lƠ V g2 (y)dy .
c
1.4.3.ăTr ngăh pă3
Th tích kh i tròn xoay do hình ph ng gi i h n b i các đ ng
y f x , y g x , x a vƠ x b ( a b, f ( x ) 0,g( x ) 0 x a; b )
b
quay quanh tr c Ox lƠ V
f 2 ( x ) g 2 ( x ) dx .
a
1.4.4.ăTr ngăh pă4
Th tích kh i tròn xoay do hình ph ng gi i h n b i các đ ng
x f y ,x g y , y c vƠ
y d (c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d ) quay quanh tr c Oy lƠ
d
V f 2 (y) g2 (y) dy .
c
15
CH
NGă2.ăCÁCăPH
NGăPHÁPăBI Nă
2.1. PH
Ph
NGăPHÁPăTệNHăTệCHăPHỂN
IăT
NGă
NG
ng pháp. Bi n đ i tích phơn sau đó s d ng b ng nguyên hƠm c b n.
2
Ví d 2.1.1. Tính I
1
x2 1
dx.
x
Gi i:
2
2
1
1
x2
1
3
1
I x dx ln x 2 ln 2 ln1 ln 2.
2
2
2
x
2
Ví d 2.1.2. Tính J sin 2x1 cos x dx.
0
Gi i:
sin x sin3x
J sin 2x sin 2xcos xdx sin 2x
dx
2
0
0
2
2
2
1
1
cos 3x 2 5
2 sin 2x sin x sin3xdx cos 2x cos x
.
2 0
2
3 0 3
1
Ví d 2.1.3. Tính I x x2 1dx.
0
1
1
1 2
1 2
x 1dx2
x 1d x2 1
Gi i: I
2
2
0
0
2.2. PH
NGăPHÁPă
x
2
1
3
1
3
2 2 1
.
3
0
IăBI NăS
b
2.2.1. D ng 1: Tính I f [t(x)].t' (x)dx b ng cách đ t u t x .
a
t (b )
b
Công th c đ i bi n s d ng 1:
f t ( x).t '( x)dx
a
f (u )du.
t (a )
Cách th c hi n:
16
Thang Long University Libraty
B
B
B
c 1: t u t ( x) du t ' ( x)dx;
c 2: i c n: Khi x b u t (b) . Khi x a u t (a );
c 3: Chuy n tích phơn đƣ cho sang tích phơn theo bi n t ta đ
b
t (b )
a
t (a )
I f t ( x).t '( x)dx
c
f (u )du. (Ti p t c tính tích phơn m i).
1
Ví d 2.2.1.1. Tính I x2 x3 5dx.
0
t u x3 5 du 3x2dx, x 0 u 5 , x 1 u 6.
Gi i:
6
1
2
2
12 6 10 5
c I udu u u 6 6 5 5
.
35
9
9
9
5
6
T đó đ
Ví d 2.2.1.2. Tính các tích phơn sau:
e2
1
a) A 2x 1 dx;
b) B
5
e
0
2
c) C
1
1
2x 1
2
d) D
dx;
2
3
1
dx;
xln x
cos 3x
2
3
dx.
3
Gi i: a)
3
t u 2 x 1 dx
du
, x 0 u 1 , x 1 u 3.
2
3
1
u6
1
182
A u 5 du
36 1
.
21
12 1 12
3
t u ln x du
b)
dx
, x e u 1, x e2 u 2.
x
2
du
2
lnu 1 ln 2 ln1 ln 2.
u
1
B
c)
t u 2 x 1 dx
du
, x 1 u 1, x 2 u 3.
2
17
.
3
3
1 du
1
1 1 1
C 2
.
21u
2u 1
6 2 3
d)
t u 3x
1
D
3
2
2
4
du
u .
dx , x u , x
3
3
3
3
3
3
4
3
1
cosudu 3 sinu
4
3
3
3
1 4
3
3
3
1
.
sin
sin
3
3
3 3 2
2
3
Ví d 2.2.1.3. Tính các tích phơn sau
1
a) I e
1
4 x dx
.
x
x
4
2
0
b) I1
e 1dx;
2x
x
0
Gi i:
e x 1 u e x u 2 1 e xdx 2udu,
x 0 u 2 , x 1 u e 1.
a)
t
e 1
I 2
u
2
e 1
1 u du 2
u
2
2
u5 u3
2
5 3
b)
4
u 2 du
2
e1
2
e 1 3e 2 4
3
15
2
t u 2 x du 2 x ln 2dx 2 x dx
2
.
du
.
ln 2
Khi x 0 u 1 , khi x 1 u 2.
2
2
2
2
udu
du 3
1
1 u 2du
1
1
ln 9 1
3
I1
u
ln
1
.
3
3
1
ln 2 1 u 2 1 ln 2 1 u 1 3ln 2 1 u 1 3ln 2
ln8 3
u
b
2.2.2. D ng 2: Tính I f x dx b ng cách đ t x
t .
a
b
Công th c đ i bi n s d ng 2: I f ( x)dx f (t ) '(t )dt.
a
Cách th c hi n:
B c 1: t x (t ) dx ' (t )dt;
B c 2: i c n : Khi x b t , khi x a t ;
B c 3: Chuy n tích phơn đƣ cho sang tích phơn theo bi n t ta đ
c
18
Thang Long University Libraty
b
I f ( x)dx f (t ) '(t )dt , ti p t c tính tích phơn m i.
a
Ví d 2.2.2.1. Hƣy tính các tích phơn sau:
2
1
1
dx.
2
1
x
0
b) J
a) I 4 x dx;
2
0
Gi i:
t x 2sin t v i t ; dx 2cos tdt ,
2 2
a)
x 0 thì t 0 , x 2 thì t .
2
2
2
2
I 4 4 sin t .2costdt 4 cos tdt 2 1 cos 2t dt 2t sin 2t 02
2
2
0
0
0
1
t x tan t v i t ; dx
dt , x 0 t 0 , x 1 t
4
cos 2 t
2 2
b)
4
4
1
1
J
dt dt t 04 .
2
2
1
tan
t
cos
t
4
0
0
Ví d 2.2.2.2. Tính: I x cos 2 xdx.
0
Gi i:
t x t dx dt , x 0 t , x t 0.
I t cos t dt t cos tdt cos tdt t cos 2 tdt
2
2
0
2
0
1 cos 2t dt x cos
2
0
2
xdx
0
0
2 0
1 cos 2t dt I ;
sin 2t
2
2
2 I 1 cos 2t dt t
I
.
20
2
2 0
2
4
2
sin 2 x
dx.
sin x cos x
0
Ví d 2.2.2.3. Tính I
Gi i:
19
0
1 2 sin 2 x
I
dx
2 0 sin x
4
3
t x t dx dt , x 0 t , x t .
2
4
4
4
3
3
4 sin 2t
1
1 4 cos 2t
2
I
dt
dt
sin t
2
2 sin t
4
1
2
3
4
4
3
4
3
4
4
4
2sin t 1
1
dt 2 sin tdt
sin t
2
2
4
3
4
dt
sin t .
3
4
Tính A 2 sin tdt 2 cos t 2;
4
4
Tính
B
1
2
3
4
1
dt
sin t
2
4
3
4
3
4
sin tdt
1
sin 2 t
2
4
3
4
1
d cos t
2
2
1 cos t
3
4
4
4
1
1
1 cos t
1
ln
d cos t
2 2 1 cos t 1 cos t
2 2 1 cos t
1
4
1
2 1
2 1
1
ln
ln
ln
2 2
2 1
2 1
2
1
V y I A B 2
ln 2 1 .
2
d cos t
1 cos t 1 cos t
3
4
4
2 1 ;
2.3. PH
NGăPHÁPăTệCHăPHỂNăT NGăPH N
2.3.1. Côngăth cătíchăphơnăt ngăph n
b
u( x).v'( x)dx u x v x
a
2.3.2. Cáchăth căhi n
b
a
b
b
b
v( x).u '( x)dx hay lƠ udv uv a vdu.
b
a
a
a
20
Thang Long University Libraty
B
B
c 1:
u u ( x)
du u '( x)dx
t
dv v '( x)dx v v( x)
b
b
c 2: Thay vƠo công th c tích phơn t ng t ng ph n : udv uv a vdu;
b
a
a
b
B
c 3: Tính uv a vƠ vdu.
b
a
ChúăỦ: Gi s c n tính tích phơn
b
f x g x dx ta th
a
t u f ( x), dv g( x)dx (ho c ng
c hi n
c l i) sao cho d tìm v( x ) vƠ vi
b
phơn du u ( x )dx không quá ph c t p. H n n a, tích phơn vdu ph i tính
/
đ c.
2.3.3.ăD ng 1:
a
f ( x )g(x)dx . Trong đó f ( x) lƠ đa th
( ax b )
các hƠm: sin(ax b),cos(ax b),e( axb ) , m
Ph
c còn g(x) lƠ m t trong
, a 0.
ng pháp gi i.
u f x
t
dv g x dx
4
Ví d 2.3.3.1. Tính J xsin xdx.
0
Gi i:
u x
du dx
t
dv
sin
xdx
v cos x
2
4
J xcos x 04 cos xdx
0
8
sin x 04
Ví d 2.3.3.2. Tính I x2 cos 2 2 xdx.
0
21
2
8
2
.
2
Gi i:
du 2 x
2
u x
t
1
sin 4 x
2
cos
2
dv
xdx
v 2 x 4
1
sin 4 x
3
1
2 xsin 4 x
I x x
x2dx x sin 4 xdx.
x
dx
2
4 0 0
4
2 0
40
2
x3
Tính A x dx
3
0
2
0
3
3
.
Tính B x sin 4 xdx.
0
du dx
u x
t
cos 4 x
dv sin 4 xdx v
4
1
x cos 4 x
sin 4 x
B
cos 4 xdx
.
4
40
4
16 0
4
0
V y I
3
2
3
3
16
3
6
16
.
Nh năxét: +) Trong d ng nƠy n u f x có b c n thì ta ph i s d ng tích
phơn t ng ph n n l n.
+) Ta ph i đ t u f x vì sau m i l n đ t b c c a f x gi m m t đ n v .
N u ta đ t ng
c l i thì b c c a f x t ng lên vƠ nh v y tích phơn thu đ
c
ph c t p h n tích phơn ban đ u.
2.3.4.ăD ng 2:
f x g xdx Trong đó f ( x) lƠ hƠm đa th c ho c hƠm phơn
th c h u t còn g x lƠ m t trong các hƠm: ln ax b ;log n ax b , a 0 .
22
Thang Long University Libraty
Ph
u g x
t
dv f x dx
ng pháp gi i.
e
Ví d 2.3.4.1. Tính J xln xdx.
1
Gi i:
1
du dx
u ln x
x
t
2
x
dv x
v
2
e
e
e
x2
x
e2 x2
e2 e2 1 e2 1
J ln x dx
.
2
2
2
4
2
4
4
4
1
1
1
3 ln x
dx (
( x 1 )2
1
3
Ví d 2.3.4.2. Tính I
Gi i:
i H c-Kh i B-2009).
3 ln x
dx
ln x
I
dx 3
dx.
2
2
2
(
x
1)
(
x
1)
(
x
1)
1
1
1
3
3
3
3
dx
3
3
.
Tính A 3
2
(
x
1
)
(
x
1
)
4
1
1
3
3
ln x
dx.
2
(
x
1
)
1
Tính B
1
u ln x
du
dx
x
dx
t
dv
1
2
1 x v x 1
3
3
3
3
ln x
ln 3
dx
dx
dx
B
4 1 x 1 x 1
x 1 1 1 x( x 1)
3
ln 3
ln 3
3
x
ln
ln .
4
4
2
x 11
23
V y I
3 ln 3
3
ln .
4 4
2
Nh năxét: Trong bƠi nƠy ta đ t u ln x vì u ,
1
t đó ta thu đ
x
c tích phơn
c a hƠm phơn th c h u t .
2.3.5. D ng 3: a mxn f xdx, a 0 . Trong đó f x lƠ m t trong các hƠm
sin(k x b),cos(k x b) .
Ph
ng pháp gi i.
mx n
u f x
u a
t
ho c đ t
mx n
dx
dv f x dx
dv a
2
Ví d 2.3.5. Tính I e2 x cos3xdx.
0
Gi i:
du 2e2 xdx
u e
t
sin 3x
dv cos3xdx v
3
2x
sin 3x 2 2 2 2 x
I e
e sin 3xdx.
3 0 3 0
2x
sin 3x 2
e
Tính A e
.
3 0
3
2x
2
Tính B e2 x sin 3xdx.
0
du 2e2 xdx
u e2 x
t
cos3x
dv sin 3xdx v
3
24
Thang Long University Libraty
cos3x
2 2 2x
1 2
e cos3xdx I .
B e
3 0 30
3 3
2
2x
2
13
9 e 2
e 2 4
e 2
I A B I I I .
3
3 9 9
9
3 9
13 3 9
Nh năxét: Trong tr
ng h p nƠy, ta ph i tính tích phơn t ng ph n hai l n sau
đó tr thƠnh tích phơn ban đ u. T đó suy ra k t qu tích phơn c n tính.
2.3.6. D ng 4: xk f xdx . Trong đó f x lƠ m t trong các hƠm
cos ln x ,cos log a x ,sin ln x ,sin log a x .
Ph
ng pháp gi i.
u f x
t
k
dv x dx
e
Ví d 2.3.6. Tính I x2 sin ln xdx.
1
Gi i:
1
du
cos ln x dx
x
u sin ln x
t
3
2
v x
dv x dx
3
e
3
e
x
1
I sin ln x x2 cos ln x dx
3
30
1
e
e
1
1
0 x2 cos ln x dx x2 cos ln x dx.
30
30
e
Tính A x2 cos ln x dx.
0
25
