Một số dạng phương trình lượng giác và cách giải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
.................................................

Đỗ Thị Hiền

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN VÀ THỐNG KÊ

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
.................................................

Đỗ Thị Hiền - C00230

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN VÀ THỐNG KÊ
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Lê Thị Hà

Hà Nội - 2016

Thang Long University Libraty


MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ  .................................................   04 
1.1

Các hàm số lượng giác  ..................................................................   04 

1.1.1

Định nghĩa các hàm số lượng giác  .................................................   04 

1.1.2

Tính chất các hàm số lượng giác  ....................................................   05 

1.1.3

Dấu các hàm số lượng giác  ............................................................   08 

1.1.4

Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt  .....................................   09 

1.2

Công thức lượng giác .....................................................................   09 

1.2.1   Các hệ thức cơ bản   .......................................................................   09 
1.2.2   Tính chất các cung có liên quan đặc biệt   .......................................   10 
1.2.3   Công thức lượng giác   ...................................................................   10 
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  ..................................   13 
2.1  

Phương trình lượng giác cơ bản   ....................................................   13 

2.1.1    Phương trình  sin x  m  ...................................................................   13 
2.1.2    Phương trình  cos x  m ...................................................................   15 
2.1.3    Phương trình  tan x  m ...................................................................   17 
2.1.4    Phương trình  cot x  m ...................................................................   18 
2.2     Một số dạng phương trình lượng giác  ............................................   20 
2.2.1    Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản  .................................   20 
2.2.2    Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu  ........................................   36 
2.2.3    Phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối  ........................   41 
2.2.4    Phương trình lượng giác chứa căn  .................................................   47 
2.2.5    Phương trình lượng giác chứa tham số  ..........................................   52 
KẾT LUẬN ...............................................................................................   78 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................   79 
 
Page 1


LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình toán phổ thông lượng giác đã được bắt đầu đưa vào 
phần kiến thức từ lớp 10 những năm đầu của bậc  học. Các bài toán về phần 
này rất đa dạng và phong phú trong nhiều đề thi hiện nay. Trong đó phần kiến 
thức  về  phương  trình  lượng  giác  chiếm  vai  trò  không  nhỏ.  Tuy  nhiên  phần 
kiến  thức  này  luôn  là  những  vấn  đề  không  dễ  đối  với  nhiều  học  sinh  phổ 

thông, thêm nữa do thời gian hạn hẹp của chương trình học chỉ nêu được các 
dạng  phương  trình  cơ  bản  và  những  phương  trình  bậc  nhất,  bậc  hai  đối  với 
một hàm số lượng giác. Vì vậy học sinh thường gặp nhiều khó khăn lúng túng 
khi giải các bài toán không nằm trong chương trình mình được học. 
 

Đặc biệt hơn nữa, nhiều dạng toán về đại số và lượng giác có mối quan 

hệ  chặt  chẽ,  khăng  khít  với  nhau,  không  thể  tách  rời  được.  Nhiều  bài  toán 
lượng giác cần có sự trợ giúp của đại số, giải tích và ngược lại. Ta có thể dùng 
lượng giác để giải một số bài toán về phương trình và hệ phương trình trong 
đại số thông qua cách đặt ẩn phụ là những hàm lượng giác. 
 

Chính vì vậy để đáp ứng được nhu cầu về công tác giảng dạy, nâng cao 

trình độ chuyên môn của bản thân và góp phần nhỏ vào sự nghiệp giáo dục, 
luận  văn  “Một số dạng phương trình lượng giác và cách giải”  nhằm  hệ 
thống lại kiến thức cơ bản của  phương trình lượng giác, kết hợp với kiến thức 
đại số để chọn lọc và phân loại một số cách giải phương trình lượng giác. Với 
đề tài này tôi mong sẽ giúp cho các học sinh phổ thông có một tài liệu tham 
khảo về chủ đề giải phương trình lượng giác. Luận văn ngoài lời nói đầu, kết 
luận và tài liệu tham khảo gồm chương. 
 

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 
Trình  bày  lại  định  nghĩa  các  hàm  số  lượng  giác,  đồ  thị  các  hàm  số 

lượng giác và một số công thức lượng giác cơ bản. 
 

Chương 2: Phương trình lượng giác
Page 2

Thang Long University Libraty


Trình bày các phương trình lượng giác cơ bản: sin x  m,cos x  m,
tan x  m,cot x  m , và một số dạng phương trình lượng giác đưa về dạng cơ

bản, trong đó có phương trình bậc nhất đối với sin và cos, phương trình bậc
hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin
và cos, phương trình đối xứng đối với sin và cos, phương trình đối xứng với
tan và cot, phương trình chứa các biểu thức đối xứng với sin n x,cosn x , tiếp
theo tác giả giới thiệu dạng phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu, phương
trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình lượng giác chứa căn và phương
trình lượng giác chứa tham số. Đặc biệt cuối chương tác giả trình bày phương
pháp lượng giác hóa áp dụng vào giải một số phương trình và hệ phương trình
trong đại số.
Để hoàn thành bản luận văn tốt nghiệp, em xin cảm ơn TS. Lê Thị Hà
người trực tiếp hướng dẫn và tận tình giúp đỡ em trong quá trình thực hiện
khóa luận. Đồng thời em cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tất cả các thầy
cô trong khoa Toán, Trường Đại học Thăng Long đã dạy bảo và giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, em xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp
những người thân đã luôn bên cạnh và giúp đỡ em trong học tập và cuộc sống.
Mặc dù đã cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên bản
luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Rất mong các thầy cô và các bạn học viên
nhận xét, đóng góp ý kiến để bản luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 07 tháng 06 năm 2016
Học viên

Đỗ Thị Hiền

Page 3


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1.1.1 Định nghĩa các hàm số lượng giác

 
Trong  mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy,  đường  tròn  lượng  giác  gốc  A  là  đường 
tròn  định  hướng  có  bán  kính  R  =  1.  Điểm  M  nằm  trên  đường  tròn  sao  cho 
cung      khi đó: 
Tung độ  y 

  của điểm M  gọi  là sin của α, hoành độ x 

điểm M gọi là côsin của α và được ký hiệu như sau:

của

Page 4

Thang Long University Libraty


sin  

.

cos  

.

sin 

cos 
cos 

cot  
sin 
tan  







.  

 T





.

1.1.2 Tính chất các hàm số lượng giác
a. Hàm số y  sin x
 Hàm số  y  sin x  là hàm số lẻ vì  sin   x    sin x .
Tập xác định:  D   . 
Tập giá trị:   1;1 . 
 Hàm số  y  sin x  tuần hoàn với chu kỳ  2  nên ta có: 
sin  x  k 2   sin x, k  .  

Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  sin x  trên 
   ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên   0;  , sau đó lấy đối xứng đồ 

thị qua gốc O, ta được đồ thị trên đoạn    ;  , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa 
thu  được  sang  trái  và  sang  phải  theo  trục  hoành  những  đoạn  có  độ  dài 
2 ,4 ,...  

 
Đồ thị hàm số y  sin x

b. Hàm số y  cos x

Page 5


 Hàm số  y  cos x  là hàm số chẵn vì  cos   x   cos x .
Tập xác định:  D   . 
Tập giá trị:   1;1 . 
 Hàm số  y  cos x  tuần hoàn với chu kỳ  2  nên ta có: 
cos  x  k 2   cos x, k  .  

Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  cos x  trên 

   ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên   0;  , sau đó lấy đối xứng đồ 

thị  qua trục Oy,  ta được đồ thị trên đoạn    ;  , cuối cùng  tịnh tiến  đồ thị 
vừa  thu  được  sang  trái  và  sang  phải  theo  trục  hoành  những  đoạn  có  độ  dài
2 ,4 ,...  

 
Đồ thị hàm số y  cos x

c. Hàm số y  tan x
 Hàm số  y  tan x  là hàm số lẻ vì  tan   x    tan x .



Tập xác định:  D   \   k , k    . 
2

Tập giá trị:   . 
 Hàm số  y  tan x  tuần hoàn với chu kỳ    nên ta có: 
tan  x  k   tan x, k  . 

Page 6

Thang Long University Libraty


Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  tan x trên 

 
 ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên  0;  , sau đó lấy đối xứng đồ 

 2
   
thị  qua  gốc O, ta được  đồ thị trên đoạn   ;  , cuối cùng  tịnh tiến đồ thị 
 2 2
vừa  thu  được  sang  trái  và  sang  phải  theo  trục  hoành  những  đoạn  có  độ  dài 

 ,2 ,...  

 
 
Đồ thị hàm số hàm số y  tan x

 

Đồ thị hàm số hàm số  y  tan x   nhận mỗi đường thẳng  x 

k   làm một đường tiệm cận. 
d. Hàm số y  cot x
 Hàm số  y  cot x  là hàm số lẻ vì  cot   x    cot x . 

Page 7


2

 k ,


Tập xác định:  D   \ k , k  .  
Tập giá trị:    

 Hàm số  y  cot x  tuần hoàn với chu kỳ    nên ta có: 
 

cot  x  k   cot x, k  .  
 
 
Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  cot x  trên    

 
ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên  0;  , sau đố lấy đối xứng đồ thị 
 2
   
qua gốc O, ta được đồ thị trên đoạn   ;  , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa 
 2 2
thu  được  sang  trái  và  sang  phải  theo  trục  hoành  những  đoạn  có  độ  dài 

 ,2 ,...  

Đồ thị hàm số y  cot x

Đồ thị hàm số  y  cot x   nhận mỗi đường thẳng  x  k , k   làm một 
đường tiệm cận. 
1.1.3 Dấu các hàm số lượng giác 

Page 8

Thang Long University Libraty


 

Hàm
số lượng
giác 

(I)

(II)

(III)

(IV)

+ 

+ 

– 

– 

+ 

– 

– 

+ 

+ 

– 

+ 

– 

+ 

– 

+ 

– 

1.1.4 Giá trị các hàm lượng giác của một số góc (cung) đặc biệt

Hàm
số lượng
giác 

0 

0  
0 

1 
0 
|| 

1.2

6

 

4

 

3

 

30  

45  

60  

√3
 
2
1

√2
 
2

1

 
2

1
 
2

√3

√2
 
2

 

√3 

1 
1 

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

√3
 
2
√3 
1

√3

 

2

 

 

90  

180  

0 

1 

|| 

0 

0 

|| 

1 

0 

1.2.1 Các hệ thức cơ bản
 ) cos 2 x  sin 2 x  1;

k 

 ) tan x.cot x  1,  x 
;
2 



1
, ( x   k );
2
cos x
2
1
,  x  k  .
 ) 1  cot 2 x 
sin 2 x
 ) 1  tan 2 x 

Page 9


1.2.2 Tính chất các cung liên quan đặc biệt
a. Cung đối

 ) sin   x    sin x;

 ) tan   x    tan x;

 ) cos   x   cos x;

 ) cot   x    cot x.

b. Cung bù
 ) sin   x   sin x;

 ) tan(   )   tan  ;

 ) cos   x    cos x;

 ) cot(   )   cot  .

c. Cung sai kém π

 ) sin    x    sin x;

 ) cos   x    cos x;

 ) tan   x   tan x;

 ) cot   x   cot x.

d. Cung phụ



 ) sin   x   cos x;
2




 ) tan   x   cot x;
2




) cos   x   sin x;
2




) cot   x   tan x.
2


1.2.3 Công thức lượng giác
a. Công thức cộng

 ) cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b;
 ) sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b;

 ) cot  a  b  

cot a cot b  1
,  a , b  k  ;
cot a  cot b

 ) tan  a  b  

tan a  tan b
,
1  tan a tan b




 a , b   k  .
2



b. Công thức nhân đôi

Page 10

Thang Long University Libraty


 ) sin 2a  2sin a cos a;
 ) cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2cos 2 a  1  1  2sin 2 a;
 ) tan 2a 

2tan a 
 k

, a  
, k   ;

2
1  tan a 
4 2


cot 2 a  1
 ) cot 2a 
,
2cot a

k


, k   .
a 
2



Từ công thức cộng và công thức nhân đôi ta có công thức nhân ba sau
đây:
 ) sin 3a  3sin a  4sin 3 a;
 ) cos3a  3cos a  4cos3 a;

 k
3tan a  tan 3 a 
 ) tan 3a 
, a  
2
1  3tan a 

6
3


.


Từ đó ta có các công thức hạ bậc

1
1  cos 2a  ;
2
1
 ) cos 2 a  1  cos 2a  ;
2
1  cos 2a
;
 ) tan 2 a 
1  cos 2a
1  cos 2 a
;
 ) cot 2 a 
1  cos 2a

1
 3sina  sin 3a  ;
4
1
 ) cos3 a   3cos a  cos3a  ;
4

 

a
a
3sin
sin
3
;
) tan 3 a 
3cos a  cos3a
3cos a  cos3a
.
 ) cot 3 a 
3sin a  sin 3a

 ) sin 2 a 

Công thức biến đổi theo t  tan

 ) sin a 

2t
;
1 t2

 ) sin 3 a 

a
2

 

2t
;
1 t2
1 t2
.
 ) cos a 
1 t2
 ) tan a 

 

c. Công thức biến đổi
Page 11


 Biến đổi tổng thành tích

ab
ab
cos
.
2
2
ab
ab
) cos a  cos b  2sin
sin
.

2
2
ab
ab
cos
.
) sin a  sin b  2sin
2
2
ab
a b
sin
.
) sin a  sin b  2cos
2
2
sin  a  b 
.
) tan a  tan b 
cos a cos b
sin  b  a 
.
) cot a  cot b 
sin a sin b
) cos a  cos b  2cos

 
 Biến đổi tích thành tổng 

1

 ) cos a cos b  cos  a  b   cos  a  b   ;
2
1
 ) sin a sin b  cos  a  b   cos  a  b   ;
2
1
 ) sinacosb  sin  a  b   sin  a  b   .
2

Page 12

Thang Long University Libraty


CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2.1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
2.1.1 Phương trình sin x  m
I. hương pháp
 Nếu  m  1  hoặc  m  1 thì phương trình vô nghiệm. 
 Nếu  1  m  1  
+) Giả sử m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt  , khi đó phương trình 
có dạng: 
 x    k 2
sin x  sin   
, k  .  
 x      k 2

+) Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt, khi đó đặt  m  sin   
ta được: 
 x    k 2

sin x  sin   
, k  .  
 x      k 2

Ngoài ra ta có thể viết như sau: 
 x  arcsin m  k 2
, k  .  

 x    arcsin m  k 2

Trong cả 2 trường hợp ta đều kết luận phương trình có 2 họ nghiệm. 
Các trường hợp đặc biệt:

 sin x  0  x  k , k  .
 sin x  1  x 



2

 sin x  1  x  

 k 2 , k  .  


2

II. Bài tập minh họa

Page 13

 k 2 , k  .


Bài tập 1. Giải các phương trình sau:  
 

a) sin x 

2
;
2

1
b) sin x   . 
3
Giải 



x   k 2


2
4
a) sin x 
 sin x   
, k  .  

3

2
4
x 
 k 2

4
Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 

1
1
b) Vì     1;1  nên ta có thể đặt    sin  . Khi đó ta có: 
3
3
 x    k 2
sin x  sin   
, k  .






2
x
k

 
 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bài tập 2. Giải các phương trình sau: 
 

a )sin(5 x   )  sin x  0;

b)sin(3 x  500 )  cos( x  600 )  0.  

Giải

a ) sin(5 x   )  sinx  0  sin x   sin(5 x   )
 sin x  sin(  5 x)
 x    5 x  k 2

, k  .
 x      5 x  k 2
 
 k



x

6
3 , k  .

 x   k

2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 

Page 14

Thang Long University Libraty


b) sin(3 x  500 )  cos( x  600 )  0  sin(3x  500 )   cos( x  600 )
 sin(3x  500 )  cos(1800  x  600 )
 sin(3x  500 )  sin( x  1500 )
3 x  500  x  1500  k 3600

, k  .
0
0
0
0
3 x  50  180  x  150  k 360
 
 
0
0
 x  50  k180
, k  .

0
0
95
90


x

k
     
Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 
2.1.2 Phương trình cos x  m  
I. Phương pháp
 Nếu  m  1  hoặc  m  1  thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu  1  m  1 . 
+)  Khi  m  được  biểu  diễn  qua  cos  của  góc  đặc  biệt  ,  khi  đó  phương 
trình có dạng: 
 

 

 x    k 2
cos x  cos  
, k  .  





2
x
k


+)  Khi  m  không  biểu  diễn  được  qua  cos  của  góc  đặc  biệt,  khi  đó  đặt
m  cos   ta được: 

 

 

 

 x    k 2
cos x  cos  
, k  .  
 x    k 2

Ngoài ra ta có thể viết như sau:  
 

 

 

 x  arccos m  k 2
 x   arccos m  k 2 , k  .  


Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm. 
Các phương trình đặc biệt  

Page 15


 

 



 k , k  .
2
 cos x  1  x  k 2 , k  .
 
 cos x  0  x 

 cos x  1  x    k 2 , k  .
II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải các phương trình sau: 
 

a)cos3x 

3
;
2

 

 

 

 

b)cos3x  sin 2 x  0.  
Giải

 

 k

x



3

24
2
a ) cos 4 x 
 cos 4 x  cos  
2
6
 x     k

24 2

, k  .  

Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 

b) cos3 x  sin 2 x  0  cos3 x  sin 2 x


 cos3 x  cos   2 x 
2





 2 x  k 2
3
x

2

, k  .

3 x    2 x  k 2

2

 k 2

 x  10  5

, k  .
 x     k 2

2

   

 

 

Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 
Bài tập 2. Giải phương trình: 

cos5 x  sin(2  x)  0.  
 
                       
Biến đổi phương trình về dạng: 

Giải

 

Page 16

Thang Long University Libraty


cos5x  sin  2  x 


 cos5 x  cos   x  2 
2




5 x  2  x  2  k 2

, k  .


5 x    x  2  k 2

 
2
 
1  k

x   2  8  2

, k  .
 x  2    k

3 12 3
Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 
2.1.3. Phương trình tan x  m  
I. Phương pháp 

 

Đặt điều kiện:  cos x  0  x 


2

 k , k  .  

 Nếu  m  biểu  diễn  được  qua  tan  của  góc  đặc  biệt  ,  khi  đó  phương  trình
tan x  m  có dạng: 

tan x  tan   x    k , k .  
 Nếu  m  không  biểu  diễn  được  qua  tan  của  góc  đặc  biệt  ,  khi  đó  đặt    
m  tan   ta được: 

tan x  tan   x    k , k .  

Ngoài ra ta có thể viết   x  arctan m  k , k .  
Trong cả 2 trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. 
II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải phương trình: 

tan  x  500   3.  
Giải
Page 17


tan  x  500   3  tan  x  500   tan 600
 x  500  600  k1800 , k  
 x  1100  k1800 , k  .
Vậy phương trình có một họ nghiệm. 
Bài tập 2. Giải phương trình:  

tan 2 x  tan

2
 0.  
7

Giải

tan 2 x  tan

2
2
 0  tan 2 x  tan
7
7
2
 2x 
 k , k  .
7
x



7

k



2

, k  .

Vậy phương trình có một họ nghiệm.   
2.1.4. Phương trình cot x  m
I. Phương pháp
Đặt điều kiện   sin x  0  x  k , k .  
 Nếu m biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt  , khi đó phương trình có 

dạng 

cot x  cot   x    k , k  . 
 Nếu  m  không  biểu  diễn  được  qua  cot  của  góc  đặc  biệt     khi  đó  đặt 
m  cot   ta được 

cot x  cot   x    k , k .  
Ngoài ra ta có thể viết   x  arc cot m  k , k .  
Trong cả 2 trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. Như 
vậy tức là với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm. 

Page 18

Thang Long University Libraty


II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải các phương trình: 
a) cot  3 x  2   1;

b) sin 3 x  3 cos3 x  0.  

Giải

a ) cot  3 x  2   1  cot  3 x  2   cot
 3x  2 
x


4


4

 
 k , k  ฀฀

2  k
 
, k  .
3 12 3

Vậy phương trình có một họ nghiệm. 

b) sin3 x  3 cos3 x  0  sin 3 x  3 cos3 x
 cot 3 x 

1
3

 cot 3 x  cot
x


9





 

3

k
, k .
3

Vậy phương trình có một họ nghiệm. 
Bài tập 2. Giải phương trình:  

x 
x 

 cot  1  cot  1  0.  
3 
5 

Giải
Điều kiện  sin

x
x
 0,sin  0 . Khi đó ta có: 
3
5

x
x



cot

1

0
cot
 3
 3 1
x 
x 


 cot  1 cot  1   0  
x
3 
5 

cot  1  0
cot x  1
 5
 5

Page 19


x 
 3  4  k
, k 


 x     k
 5
4
3

x

 k 3

4

, k  .  

5
x  
 k 5

4
Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã 
cho có hai họ nghiệm. 
2.2 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2.2.1 Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản 
I. Phương pháp
Bước 1: Dùng công thức lượng giác, biến đổi phương trình đã cho về dạng cơ 
bản. Trong quá trình biến đổi, nếu phát hiện thừa số chung thì đưa về 
dạng phương trình tích số rồi giải tiếp. 
Bước 2: Dùng ẩn phụ nếu phương trình có dạng quen thuộc và tìm điều kiện 
cho ẩn phụ đó. 
II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải phương trình: 

 1

sin 2 2 x  2cos 4  x     
4 2

Giải
Ta có: 

 

 





cos 2  x    2cos 2  x    1
4
4




cos  2 x    1


2

 cos 2  x   

4
2

 
Page 20

Thang Long University Libraty


2

  1 
  1
2

 cos  x    cos  2 x    1  1  sin 2 x   
4 4 
2 
4

4

Từ đó ta đưa phương trình đã cho về dạng:  

 

 

 

 1

sin 2 2 x  2cos 4  x   
4 2

1
1
2
 sin 2 2 x  1  sin 2 x  
2
2
 
2
2
 2sin 2 x  1  2sin 2 x  sin 2 x  1
sin 2 x  0
 3sin 2 x  2sin 2 x  0  
sin 2 x  2
3

k


x

 
2

1
2

  x  arcsin  k
, k  .

2
3

 1
2
 x   arcsin  k

2 2
3
2

Vậy phương trình có ba họ nghiệm. 
Bài tập 2. Giải phương trình:  
cos 2 2 x  cos 2 3 x  cos 2 5 x  1.  

Giải

cos 2 2 x  cos 2 3 x  cos 2 5 x  1
cos 4 x  1 cos 6 x  1


 cos 2 5 x  1
2
2
 cos 4 x  cos6 x  1  2cos 2 5 x  1  
 2cos5 x cos x  2cos 2 5 x  0
 2cos5 x  cos x  cos5 x   0

Page 21


 k


x
 10  5

cos5 x  0
 k

 x 
, k  .

2
cos x  cos5 x

k
x 

3
Vậy phương trình có ba họ nghiệm. 
Bài tập 3. Giải phương trình: 
  

 

 

 

2 tan 2 x  cot x  tan x.  
Giải

cos x  0
k

Điều kiện:  sin x  0  sin 4 x  0  x 
, k  ฀฀
*
4
cos 2 x  0

Biến đổi phương trình đã cho về dạng: 
cos x sin x

sin x cos x
cos 2 x  sin 2 x
 2 tan 2 x 
sin x cos x
cos 2 x
 2 tan 2 x 
1
sin 2 x
2
2 tan 2 x 

 



 2 tan 2 x  2cot 2 x  cot 2 x  cot   2 x 
2

 k
, k  .
 x 
8
4

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình đã cho có một họ 
nghiệm. 
Bài tập 4. Giải phương trình: 

sin 2 x  4cos 2 x  17 sin10 x  
Giải
Page 22

Thang Long University Libraty


Chia cả 2 vế của phương trình trên cho  17  ta được:  

1
4
sin 2 x 
cos 2 x  sin10 x  
17

17
2

2

1
 1   4 
 cos  ,
Vì  
 
  1 nên ta đặt 
17
 17   17 
 

4
 sin   
17

Khi đó ta có:  

sin 2 x cos   cos 2 x sin   sin10 x
 sin  2 x     sin10 x

 

 2 x    10 x  k 2
, k  .

 2 x      10 x  k 2

 

      

 k

x



8 4

 x       k

12 12 6

 

, k  .  

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm. 
Bài tập 5. Giải phương trình:  

3 3sin x  3cos x  5sin 2 x  11cos 2 x  
Giải
Chia cả 2 vế của phương trình trên cho 6 ta được: 
      

3
1

5
11
sin x  cos x  sin 2 x 
cos 2 x  
2
2
6
6

 
2

2
5
11
 5   11 
 sin  .  
Vì     
  1  nên tồn tại α sao cho   cos  ,
6
6
6  6 

Khi đó ta có: 

sin x cos
                  


6

 cos x sin


6

 sin 2 x cos   cos 2 x sin 



 sin  x    sin  2 x   
6

Page 23