Một số đồng nhất thức của số fibonacci và ứng dụng

B
TR

GIÁOăD CăVĨă ĨOăT O
NGă

I H CăTH NGăLONG

.................................................

TH H

NG

M TS
NG NH T TH C C A S
FIBONACCIăVĨă NG D NG

LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH Că

HÀ N I - N M 2016


B
TR

GIÁOăD CăVĨă ĨOăT O
NGă

I H CăTH NGăLONG

.................................................

TH H

NG - MãăHV:ăC00268ă

M TS
NG NH T TH C C A S
FIBONACCIăVĨă NG D NG

LU NăV NăTH CăS :ăTOÁN VÀ TH NG Kể
CHUYểN NGÀNH: PH NG PHÁP TOÁN S C P
MÃ S : 60460113

NG

I H NG D N KHOA H C:
PGS,ăTS:ăV ăTh Khôiă

HÀ N I - N M 2016

Thang Long University Libraty


L I C M N.
Lu n v n này đ
h

c th c hi n t i Tr

ng

i h c Th ng Long d

is

ng d n và ch b o t n tình c a PGS-TS V Th Khôi - Vi n Toán H c.

Nhân d p này, tác gi xin đ

c bày t lòng bi t n sâu s c đ n Th y h

ng

d n.
Tác gi xin trân tr ng c m n t i các Th y Cô giáo trong Tr

ng

i

H cTh ng Long đã giúp đ , gi ng d y và t o đi u ki n cho tôi trong quá trình
h c t p t i l p Cao H c Toán khóa 3. Tác gi xin bày t l i c m n t i Ban
ch nhi m Khoa đào t o Sau đ i h c, Khoa Toán đã t o đi u ki n cho tôi
trong th i gian h c t p t i tr

ng.

Tác gi xin trân tr ng c m n t i S Giáo d c Giám hi u, các đ ng nghi p Tr

ào t o Hà N i. Ban

ng THPT Cao Bá Quát Qu c Oai đã t o

đi u ki n cho tôi tham gia h c t p và hoàn thành khóa h c.
Tác gi xin c m n t i b n bè, t p th l p Cao H c Toán khóa 3 tr

ng

i h c Th ng Long Hà N i, đã đ ng viên, giúp đ tôi trong quá trình h c t p
v a qua.
Tuy nhiên, do s hi u bi t c a b n thân, nên trong quá trình nghiên c u
không tránh kh i nh ng thi u sót, tôi r t mong nh n đ

c s ch b o và đóng

góp Ủ ki n c a quỦ Th y Cô và b n bè đ ng nghi p.
Hà N i, ngày…..tháng…..n m 2016
Tác gi
Th H

1

ng


M C L C.
M t s kỦ hi u.................................................................................................................................... 3
M

U. .......................................................................................................................................... 4

CH

NGă1:ăGI I THI U . ........................................................................................................... 7

1.1. TI U S

NHÀ TOÁN H C FIBONACCI ............................................................................ 7

1.2. BÀI TOÁN CÁC C P TH .................................................................................................. 9
1.3.

NH NGH A TRUY H I. .................................................................................................. 12

1.4. S FIBONACCI V I CH S ỂM...................................................................................... 14
1.5. CỌNG TH C T NG QUÁT C A S FIBONACCI. ....................................................... 16
1.5.1 T s vàng. ...................................................................................................................... 16
1.5.2. Công th c t ng quát c a s Fibonacci. ......................................................................... 16
1.6. M T S
CH

NG NH T TH C C A S FIBONACCI. ................................................... 18

NGă2.ăM T S

2.1. T P CON C A
2.2: S L

NG D NG C A S

Sn

FIBONACCI. ................................................... 26

KHỌNG CH A HAI S NGUYểN LIểN TI P. ............................ 26

NG CÁC T P H P SINH C A

2.3: CHU I NH PHỂN

Sn 1 .................................................................. 28

DÀI n KHỌNG Cị HAI S 1 LIểN TI P.................................. 30

2.4: S L

NG CÁC HOÁN V C A

2.5: S L

NG CÁC T P CON LUỂN PHIểN C A

2.6. S L

NG CÁC T P CON BÉO C A

2.7. T P CON A C A
CH

NGă3:ăM T S

Sn Cị PH

NT

Sn

. ............................................................................. 31

Sn

Sn

. .................................................... 33

. ................................................................... 34

NH NH T B NG

A

...................................... 36

BĨIăT PăÁPăD NG. ............................................................................. 38

K T LU N. .................................................................................................................................... 58
TĨIăLI U THAM KH O ............................................................................................................. 59

2

Thang Long University Libraty


M TS

KÝăHI U.

1. Các s Fibonacci: Fn , n=0, 1, 2, 3, 4,ầ
2. gcd  a , b 

c s chung l n nh t c a s a và s b

3. a b S a chia h t cho s b
4. Sn = {1, 2, 3,. . . , n 1, n}, v i n ≥ 1. T p h p các s t nhiên t 1 đ n n.
5. A Kích th

c c a t p A.

6. (a  b) c hay a  b (mod c) . Hi u a-b chia h t cho c
7.  x  S nguyên d

ng l n nh t nh h n ho c b ng x

8.  x  S nguyên d

ng nh nh t l n h n ho c b ng x

n
9.    C kn t h p ch p k c a n.

k

3

.


M

U.

1. Lý do ch n đ tài lu n v n.
S Fibonacci n m trong ch
d y cho h c sinh hi u đ

ng trình toán trung h c ph thông, d dàng

c các s Fibonacci có r t nhi u tính ch t đ i s và

s h c đ p đ . M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci có vai trò quan tr ng
trong ki n th c c a th c ti n nói riêng, có ng d ng trong các bài toán dãy
s - t h p, có ng d ng trong th c t : toán kinh t ầ Do đó vi c n m v ng
v n đ này là n i dung quan tr ng đ i v i vi c h c c a h c sinh và vi c d y
c a giáo viên trung h c ph thông.
Tr

c Fibonacci, đã có nhi u h c gi nghiên c u v dãy Fibonacci.

Susantha Goonatilake vi t r ng s phát tri n c a dãy Fibonacci ắm t ph n là
t Pingala (200 BC), sau đó đ

c k t h p v i Virahanka (kho ng 700 AD),

Gopala (c.1135 AD) và Hemachandra (c.1150)Ằ. Sau Fibonacci, còn có r t
nhi u nhà Khoa h c nghiên c u v dãy Fibonacci nh : Cassini (1625 - 1712),
Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne
(1862 - 1938), ... và r t nhi u tính ch t c a dãy s trên đã đ

c mang tên các

nhà Khoa h c này. Hi n nay, tài li u b ng ti ng Vi t v dãy Fibonacci, cùng
v i các tính ch t, ng d ng ch a có nhi u và còn t n m n.
Vì v y, vi c tìm hi u sâu và gi i thi u dãy Fibonacci v i các tính ch t
và ng d ng là r t c n thi t cho vi c h c t p, gi ng d y Toán h c và s hi u
bi t c a con ng

i. C n c vào nh ng lí do trên nên tôi ch n đ tài:

“ M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci và ng d ng”
B n lu n v n ắ M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci và ng d ngẰ đ

c

ti n hành vào cu i n m 2015 ch y u d a trên tài li u tham kh o:

4

Thang Long University Libraty

Grimaldi, Ralph. Fibonacci and Catalan Numbers: an introduction. John
Wiley & Sons, 2012.
2. M c đích c a đ tài lu n v n
H c t p, gi i thi u và tìm hi u l ch s c a nhà khoa h c Fibonacci, m t
s đ ng nh t th c c a s Fibonacci, dãy Fibonacci cùng v i các tính ch t c
b n, các tính ch t s h c c ng nh các tính ch t liên h gi a chúng.
giúp m i ng

in mđ

c bi t,

c nh ng ng d ng quan tr ng và s xu t hi n đa

d ng c a dãy Fibonacci trong bài t p.
+ Phát tri n kh n ng t duy logic, phân tích các bài toán s d ng dãy
s Fibonacci.
3. B c c c a lu n v n
B n lu n v n“ M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci và ng d ng” g m
có:
+ M đ u.
+ N i dung ba ch

ng.

+ K t lu n và tài li u tham kh o.
Ch

ng 1. Gi i thi u.
Trong ch

toán các c p th .

ng này, trình bày ti u s c a nhà toán h c Fibonacci. Bài
nh ngh a truy h i c a dãy Fibonacci, m t s tính ch t s

h c c a dãy Fibonacci, công th c t ng quát c a s Fibonacci. M t s đ ng
nh t th c c a s Fibonacci. Khác v i nhi u tài li u tham kh o, b n lu n v n
này gi i thi u cách ch ng minh đ n gi n .
Ch

ng 2. M t s

ng d ng c a s Fibonacci .

5


Trong ch

ng này, trình bày m i liên h c a dãy Fibonacci v i toán

h c. S xu t hi n c a dãy Fibonacci trong m t s ví d
Ch

ng d ng quan tr ng.

ng 3. M t s bài t p áp d ng.

Trong ch

ng này, trình bày m t s bài t p d ng ch ng minh các đ ng th c,

đ ng nh t th c c a s Fibonacci. Các bài t p d ng dãy s c n áp d ng các
ki n th c c a dãy s Fibonacci đã đ

c trình bày

ch

ng 1 và ch

ng 2.

K t lu n và tài li u tham kh o.

6

Thang Long University Libraty


CH

NGă1: GI I THI U .
Trong ch

ng này trình bày ti u s nhà toán h c Fibonacci, bài toán

các c p th , đ nh ngh a truy h i, m t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci d a
trên tài li u tham kh o [1], [3], [4]

1.1. TI U S ăNHĨăTOÁNăH CăFIBONACCI
Leonardo Pisano Bogollo sinh ra vào nh ng
n m 1170 (kho ng 1170 ậ1240). Ọng còn đ

c bi t

đ n v i tên Leonardo c a Pisa, hay ph bi n nh t
d
ng

i cái tên Fibonacci. Ọng là m t nhà toán h c
i ụ và ông đ

c m t s ng

i xem là ắnhà

toán h c tài ba nh t th i Trung C Ằ. Fibonacci n i
ti ng trong th gi i hi n đ i vì có công truy n bá h
th ng s Hindu -

R p

châu Ểu, và đ c bi t là dãy s hi n đ i mang tên

ông. Dãy Fibonacci trong cu n Sách Liber Abaci - Sách v Toán đ n m
1202.
c sinh ra trong gia đình nhà Bonacci
con c a th

ng gia phát đ t Guglielmo, ông đã h

nghi p c a mình. Vì v y, khi Guglielmo đ
c a thành ph Algerian

ng con trai ông theo

c b nhi m là ng

i thu h i quan

Bugia (nay là Bejaia), vào kho ng n m 1190, ông

mang Leonardo theo mình.
ng

Pisa, Leonardo c a Pisa là

ó là n i chàng trai tr h c v i m t th y giáo

i H i giáo. Th y giáo đó đã gi i thi u ông đ n v i h th ng s Hindu-

Arabic, cùng v i các ph

ng pháp tính toán Hindu- Arabic. Sau đó, ông l i

ti p t c cu c s ng c a mình v i ngh buôn bán kinh doanh. Leonardo tìm
th y chính mình khi đ n các n
Rome và Syria.

c Constantinople, Ai C p, Pháp, Hy L p,

ó là nh ng n i ông ti p t c nghiên c u các h th ng s h c
7


khác nhau mà sau đó đ
tình khi tr v quê h

c s d ng. Vì v y, Ọng nh n đ

c s chào đón nhi t

ng Pisa vào kho ng nh ng n m 1200. Leonardo a

thích và ng h s đ n gi n, tao nhã, và tính th c ti n c a h th ng s La Mã.
c bi t, khi so sánh l i ích th c t c a h th ng ch s Hindu-Arabic, cùng
v i h th ng ch s La Mã sau đó đ

c s d ng

ụ. K t qu là, tính đ n th i

đi m ông qua đ i vào kho ng n m 1240, nhà buôn ng
giá tr c a h th ng ch

s Hindu ậArabic, và d n d n b t đ u s d ng nó

cho các giao d ch kinh doanh.
gia

i ụ b t đ u nh n ra

n cu i th k th m

i sáu, h u h t các qu c

châu Ểu đã đi u ch nh theo h th ng này.
N m 1202, Leonardo công b ki t tác đ u tiên c a mình, cu n Liber

Abaci ( Cu n sách v Tính Toán hay cu n sách v Bàn Tính). Trong đó ông
đã gi i thi u h th ng ch s Hindu-Arabic và các thu t toán s h c v i l c
đ a châu Ểu. Leonardo b t đ u công vi c c a mình v i s ra đ i c a các ch
s Hindu-Arabic: Chín con s Hindu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cùng v i con s 0,
mà ng

i

R p g i là "Zephirum" (m t mã). Sau đó, ông gi i quy t bài toán,

giá tr c a m t h th ng ch s các s nguyên. Giá tr đó ph thu c vào v trí
c a các tr s đ

c s p x p trong h th ng s nguyên đó. Cùng v i s phát

tri n c a cu n sách, nhi u bài toán đ
h ph

c gi i quy t, bao g m c m t lo t các

ng trình tuy n tính xác đ nh và không xác đ nh có h n hai n, và bài

toán khác là s hoàn thi n (có ngh a là, m t s nguyên d
t ng các giá tr c a t t c các

ng có giá tr b ng

c c a nó mà nh h n nó, ví d , 6 = 1 + 2 + 3

và 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14). Kín đáo gi u gi a hai v n đ này là m t bài toán
mà r t nhi u h c sinh và giáo viên toán bi t, bài toán n i ti ng "Bài toán các
c p Th ."
Tr

c khi ti p t c v i bài toán này, hãy đ chúng tôi gi i thi u thêm

nh ng thành t u c a Leonardo là: Khi Leonardo đ

c bi t t i do cu n sách

8

Thang Long University Libraty


Liber Abaci, ông y c ng công b ba tác ph m n i ti ng khác. Cu n Practica
Geometry (Hình h c Th c hành) đ
or Blossom) đ

c vi t vào n m 1220. The Flos (Flower

c công b n m 1225, và cu n Liber Quadratorum (Cu n sách

vi t v S chính ph

ng). Tác ph m sau này giúp Leonardo đ

c bi t đ n

nh nhà lỦ thuy t s n i ti ng.
1.2. BĨIăTOÁNăCÁCăC PăTH .
Bây gi

quay tr

l i bài toán n i ti ng " Bài toán các c p Th ",

Leonardo gi i thi u bài toán có m t c p th s sinh ậ m t con đ c, m t con
cái. Fibonacci xem xét s phát tri n c a m t đàn th đ
đ nh r ng:

c lỦ t

ng hóa, gi

m t c p th m i sinh, m t đ c, m t cái trong m t cánh đ ng.

Chúng ta quan tâm t i vi c xác đ nh s c p th có th đ

c nhân gi ng (bao

g m c c p ban đ u) trong m t n m n u:
(1) M i c p m i sinh, m t đ c và m t cái, phát tri n đ n tr

ng thành và

sau đó b t đ u sinh s n;
(2) B t đ u đ
s sinh s n đ

c hai tháng tu i, m i tháng sau đó, m t c p tr

ng thành

c m t c p th (s sinh), g m m t đ c và m t cái;

(3) Không có th ch t trong giai đo n m t n m đó.
N u chúng ta b t đ u ki m tra tình hình này vào ngày đ u tiên c a n m. Câu
đ mà Fibonacci đ t ra là: Trong m t n m có bao nhiêu c p th ?, chúng ta s
tìm ra k t qu

mô ph ng sau,

9


H

1

Chúng ta c n nh r ng vào cu i m i tháng, m t c p m i sinh (sinh ra vào
đ u tháng) phát tri n đ n tr
tháng đó.
thành tr

ng thành, không ph thu c vào s ngày c a

i u này cho ta s c p tr

ng thành m i b ng t ng s c p tr

c c ng thêm s c p m i sinh tr

Vào cu i tháng th hai, m t c p tr

ng

c đó. Nh v y,

ng thành bây gi sinh s n vào đ u m i

tháng sau t o ra m t c p th m i, vì v y bây gi có 1 + 1 = 2 (c p).
Vào cu i tháng th ba, m t c p tr

ng thành bây gi sinh s n vào đ u m i

tháng sau t o ra m t c p th n a, ta có s l

ng các c p th lúc này là 2 + 1 =

3 (c p).
Và vào cu i tháng th t , m i c p tr

ng thành bây gi sinh s n vào đ u

m i tháng sau thêm m t c p m i, ta có s l

ng các c p th lúc này là 3 + 2 =

5 (c p).
C nh v y, m i c p tr

ng thành sinh ra m t c p s sinh vào đ u

tháng sau. Do đó s c p th s sinh đ i v i b t k tháng nào đ u b ng s c p
th tr

ng thành trong tháng tr

c.
10

Thang Long University Libraty


Ta có k t qu trong b ng 1.
B ng 1:
S l

ng các c p

S l
th tr

th m i sinh

ng các c p

T ng s các c p

ng thành

th

B tđ ut
M ng 1 tháng 1

1

0

1

M ng 1 tháng 2

0

1

1

M ng 1 tháng 3

1

1

2

M ng 1 tháng 4

1

2

3

M ng 1 tháng 5

2

3

5

M ng 1 tháng 6

3

5

8

M ng 1 tháng 7

5

8

13

M ng 1 tháng 8

8

13

21

M ng 1 tháng 9

13

21

34

M ng 1 tháng 10

21

34

55

M ng 1 tháng 11

34

55

89

M ng 1 tháng 12

55

89

144

M ng 1 tháng 1
c a n m sau

89

144

233

T c t th ba trong b ng 1, chúng ta th y r ng vào cu i n m, ng

i đó

b t đ u v i m t c p th s sinh, bây gi đã có t ng c ng 233 c p th , k c
các c p th ban đ u.

11


Vào cu i tháng th n, s l
trong tháng  n  2  , c ng v i s l

ng các c p th b ng s l

ng các c p th

ng các c p th trong tháng  n  1 . ây là

s Fibonacci th n.  n  3
Trình t s l

ng các c p th này g m các s c th là 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13, 21, 34, 55, ... -

c g i là dãy Fibonacci. Tên Fibonacci là s k t h p

c a Filius Bonaccii, theo ti ng Latin cho "con trai c a Bonaccio," và tên
Fibonacci đã đ

c đ t cho các dãy s vào tháng N m n m 1876 b i nhà lỦ

thuy t n i ti ng ng

i Pháp François Edouard Anatole Lucas (phát âm là

Lucah) (1842-1891). Trong th c t , Leonardo không ph i là ng

i đ u tiên

mô t dãy s , nh ng ông đã xu t b n nó trong cu n sách Liber Abaci, chính
cu n sách này đã gi i thi u dãy s Fibonacci đ n v i ph
Dãy s

Fibonacci đã đ

ng Tây.

c ch ng minh là m t trong nh ng dãy s thú

v , và ph bi n nh t trong c b môn toán. Th t không nh mong đ i, t khi
nh ng con s này xu t hi n đ n nay, có quá nhi u h c sinh, và th m chí là c
giáo viên toán, ch nh n th c đ
Th ". Tuy nhiên, nh ng

c s k t n i gi a con s và "Bài toán các c p

i đ c s tìm hi u, nh ng con s này có nhi u tính

ch t thú v và xu t hi n trong r t nhi u l nh v c khác nhau.

12

Thang Long University Libraty


1.3.ă

NHăNGH AăTRUYăH I.
Sau khi phân tích dãy s trong c t gi a c a b ng 1, chúng ta th y r ng

sau hai s đ u tiên, m i s sau là t ng c a hai s li n tr

c.

Ví d nh :
1 = 1 + 0, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, 8 = 5 + 3, ..., 55 = 34 + 21.
Vì v y, chúng ta có th xác đ nh s sau trong dãy s
đ

c giá tr các s tr

chúng ta xác đ nh đ

c đó trong dãy s .

khi chúng ta bi t

c tính này bây gi cho phép

c các con s Fibonacci t nay v sau chúng ta s xem

xét. Do đó, dãy s Fibonacci đ

c đ nh ngh a, theo m t cách h th ng, nh

sau:
nhăngh a 1.3.1 : Dãy {F n} các s Fibonacci đ

c đ nh ngh a b i h th c

truy h i sau: V i n ≥ 0, n u chúng ta cho Fn là s Fibonacci th n, ta có
(1) F0  0,F1  1 (đi u ki n ban đ u)
(2) Fn  Fn1  Fn2 , n ≥ 2 (M i quan h Truy h i)
Do đó, các giá tr F0 ,F1,F2 ,F3 ,... xu t hi n
F0 , t

dãy F1,F2 ,F3 ,... xu t hi n trong c t th

F0 ,F1,F2 ,F3 ,... bây gi đ

(1.1)
c t gi a b ng 1, c th là
ba c a b ng 1. Dãy s

c coi là đ nh ngh a chu n v dãy s Fibonacci. Nó

là m t trong nh ng ví d s m nh t c a m t dãy s truy h i trong toán h c.
Nhi u ng

i c m th y r ng Fibonacci đã ch c ch n nh n th c đ

c b n ch t

truy h i c a dãy s . Tuy nhiên, ph i t i t n n m 1634, khi kỦ hi u toán h c đã
đ tiên ti n, nhà toán h c ng

i Hà Lan Albert Girard (1595-1632) m i vi t

công th c này trong tác ph m đ

c xu t b n sau khi m t c a mình là

L'Arithmetique de Simon Stevin de Bruges.

13


S d ng đ nh ngh a truy h i

trên, ta tìm ra đ

c 25 s Fibonacci đ u

tiên trong b ng 2.
B ng 2:
F0  0

F5  5

F10  55

F15  610

F20  6765

F1  1

F6  8

F11  89

F16  987

F21  10946

F2  1

F7  13

F12  144

F17  1597

F22  17711

F3  2

F8  21

F13  233

F18  2584

F23  28657

F4  3

F9  34

F14  377

F19  4181

F24  46368

1.4. S ăFIBONACCIăV IăCH ăS ăỂM
T công th c truy h i (1.1), ta có công th c

Fn2  Fn  Fn1
đ m r ng các s Fibonacci v i ch s âm.
Ta có

F1  F12  F1  F0  1 0  1
F2  F02  F0  F1  0 1  1
F3  F12  F1  F2  1 (1)  2

F4  F2  F3  1 2  3
F5  F3  F4  2  (3)  5

F6  F4  F5  3  5  8

F  F  F  5  (8)  13
7 5 6

…
14

Thang Long University Libraty


T đó, suy ra
B đ 1.4.1:

Fn  (1)n 1 Fn
Ch ng minh b ng ph

(1.2)

ng pháp quy n p.

Th t v y, v i n = 1 ta có

F1  1  (1)11F1

(luôn đúng)

Gi s m nh đ đúng v i n  k (k  1,k  N)
t c là:

Fk  (1)k 1 Fk (gi thi t quy n p).
Ta c n ch ng minh m nh đ đúng v i n  k 1,
t c là

F(k 1)  (1)k2 Fk1
Th t v y, theo gi thi t quy n p và (1.1), ta có

F(k 1)  F(k 1)  Fk
 (1)k Fk 1  (1)k 1 Fk
 (1)k 2 Fk  (1)k 2 Fk 1
 (1)k 2 (Fk  Fk 1)
 (1)k 2 Fk 1
T đó, suy ra đi u ph i ch ng minh.

15


1.5.ăăCỌNGăTH CăT NGăQUÁTăC AăS ăFIBONACCI.ă
1.5.1ăT ăs ăvàng.
T s vàng

(phi) đ

c đ nh ngh a là t s khi chia đo n th ng thành

hai ph n (a và b) sao cho t s gi a c hai đo n (a + b) v i đo n l n h n (a)
b ng t s gi a đo n l n (a) và đo n nh (b).



ab a

a
b

Ta quy đ dài đo n th ng a + b v đ n v 1
Do đó, ta có:



1 5
 1.6180339887...
2

T s vàng

còn đ

c g i là t l vàng, và nó có m i liên h m t thi t

v i dãy Fibonacci.
1.5.2. Côngăth căt ngăquátăc aăs ăFibonacci.
Các s Fibonacci có công th c truy h i:
Fn 2  Fn  Fn 1 , n  0. v i

F0 = 0, F1 = 1.

Ta có Fn  2  Fn 1  Fn  0, n  0.
Xét ph

ng trình đ c tr ng x n  2  x n 1  x n  0

 *

 x n  x 2  x  1  0

16

Thang Long University Libraty




x0

1 5
 x

2

x  1  1  5

2
Ta đ t  

1 5
2

Ta xét hàm f a,b  n   an  b 1  

n

Ta ph i ch ng minh fa,b  n  th a mãn h th c truy h i Fibonacci.
Th t v y

f a,b  n  1  an 1  b 1   

n 1

n
n 1
 a  n  n 1   b 1     1    


n
n 1
 an  b 1      an 1  b 1    

 

 f a,b  n   f a,b  n  1

Th a mãn h th c truy h i.
Do đó ta có Fn  an  b 1   

n

Tìm đi u ki n ban đ u

ta có

1


a

ab0
f a,b  0   0 
5





 f a,b 1  1 a  b 1     1  b   1

5

T đó, ta có công th c:

17


Fn 

1  n
n
  1   

5

(1.3)

n
n
1  1  5   1  5  


  1 
 
2  
5  2  


n

1 5  1 5 

 

2
2 




5

n

Chú Ủ :  và 1  là nghi m c a ph

ng trình (*)

 n1  n  n1
Và (1  )n 1  (1  )n  (1  )n 1 , v i  

1.6. M T S

NG NH T TH C C A S

FIBONACCI.

c s chung l n nh t c a F5  5 và F6  8 là 1. Vì các

Ta th y r ng
c s nguyên d

1 5
2

ng c a F5  5 là 1 và 5, và các

c s nguyên d

ng c a

F6  8 là 1, 2, 4 và 8.

KỦ hi u

c s chung l n nh t c a F5 ,F6 là gcd (F5 ,F6 )  1.

ng t nh v y, gcd (F9 ,F10 )  1 , vì các

T

F9  34 là 1, 2, 17, và 34, và các

c s nguyên d

c s nguyên d

ng c a

ng c a F10  55 là 1, 5,

11, và 55.
i u này d n t i tính ch t chung đ u tiên c a s Fibonacci.
Tínhăch t 1.6.1. V i n ≥ 0, ta có:

gcd(Fn ,Fn 1)  1.

(1.4)

Ch ng minh:
18

Thang Long University Libraty

V i n=0 ta có gcd(F0 ,F1 )  gcd(0,1)  1. (m nh đ đúng).
Gi s m nh đ đúng v i n  k (k  0,k  N).
t c là: gcd (Fk ,Fk 1)  1 ,(gi thi t quy n p).
Ta c n ch ng minh m nh đ đúng v i n  k 1, t c là

gcd(Fk 1,Fk 2 )  1.
Gi s có m t s nguyên d

ng d th a mãn d  1 và d là

c s chung c a

Fk 1 và Fk  2 . Ta có

Fk 2  Fk  Fk 1
Vì v y, n u d là

c s chung c a Fk 1 và Fk 2 , theo đó Fk c ng chia h t cho d.

i u này l i mâu thu n v i gi thi t gcd (Fk ,Fk 1 )  1.
Do đó, gcd (Fn ,Fn 1)  1, v i n ≥ 0.
Tínhăch t. 1.6.2. V i n ≥ 0, ta có:

gcd(Fn ,Fn 2 )  1.

(1.5)

Ch ng minh:
V i n  0 ta có gcd (F0 ,F2 )  gcd (0,1)  1. (m nh đ đúng).

Gi s m nh đ đúng v i n  k (k  0,k  N).
t c là: gcd (Fk ,Fk 2 )  1 , (gi thi t quy n p).
Ta c n ch ng minh m nh đ đúng v i n  k 1, t c là gcd (Fk 1,Fk 3 )  1.
Gi s có m t s nguyên d

ng d th a mãn d  1 và d là

c s chung c a

Fk 1 và Fk 3. Ta có: Fk 3  Fk 1  Fk 2

Vì v y, n u d là

c s chung c a Fk 1 và Fk 3 , theo đó Fk  2 c ng chia h t

cho d.
Mà Fk 2  Fk  Fk 1 suy ra Fk c ng chia h t cho d.
i u này l i mâu thu n v i gi thi t gcd (Fk ,Fk 2 )  1.
19


Do đó, gcd(Fn ,Fn 2 )  1 , v i n ≥ 0.
Ta có m t s khai tri n sau.
F0  F1  F2  F3  F4  F5  0  1  1  2  3  5  12  4.3
F1  F2  F3  F4  F5  F6  1  1  2  3  5  8  20  4.5
F2  F3  F4  F5  F6  F7  1  2  3  5  8  13  32  4.8

Nh ng k t qu này cho ta nh ng tính ch t d

i đây:

Tínhăch t. 1.6.3. T ng c a sáu s Fibonacci liên ti p b t k chia h t cho 4.
V i n ≥ 0, ( n c đ nh), ta có đ ng th c sau:
5

Fn r  Fn  Fn 1  Fn 2  Fn 3  Fn 4  Fn 5  4Fn 4

r 0

(1.6)

Ch ng minh:
V i n ≥ 0, ta có v trái b ng
5

Fn r  Fn  Fn 1  Fn 2  Fn 3  Fn 4  Fn 5

r 0
 (Fn  Fn 1 )  Fn 2  Fn 3  Fn 4  (Fn 3  Fn 4 )

 2Fn 2  2Fn 3  2Fn 4  2(Fn 2  Fn 3 )  2Fn 4

 4Fn 4.
Do đó

5

Fn r  Fn  Fn 1  Fn 2  Fn 3  Fn 4  Fn 5  4Fn 4

r 0

Tínhăch t. 1.6.4. T ng c a m

i s Fibonacci liên ti p b t k chia h t cho

11.
V i n ≥ 0, (n c đ nh), ta có đ ng th c sau:
9

Fn  r  11Fn 6

r 0

(1.7)

Ch ng minh:
20

Thang Long University Libraty


V i n ≥ 0,(n c đ nh),
Ta có:
Suy ra

5

Fn r  Fn  Fn 1  Fn 2  Fn 3  Fn 4  Fn 5  4Fn 4

r 0

(theo tính ch t 1.6.3)

Fn  Fn 1  Fn 2  Fn 3  Fn 4  Fn 5  Fn 6  4Fn 4  Fn 6

Mà ta có :
Fn 7  Fn 8  Fn 9  Fn 6  Fn 5  Fn 7  Fn 6  Fn 8  Fn 7
 2 Fn 6  2Fn 7  Fn 8  Fn 5
 2Fn 6  2(Fn 6  Fn 5 )  Fn 7  Fn 6  Fn 5
 5Fn 6  3Fn 5  Fn 7

 5Fn 6  3Fn 5  Fn 6  Fn 5
 6Fn 6  4Fn 5

Suy ra

r0 Fnr  4Fn4  Fn6  6Fn6  4Fn5.
9

 4(Fn 4  Fn 5 )  7Fn 6  4Fn 6  7Fn 6  11Fn 6 .

Do đó ắT ng c a m

i s Fibonacci liên ti p b t k chia h t cho 11Ằ.

Ta có
F0  F1  F2  2  3 1  F4 1
F0  F1  F2  F3  4  5 1  F5 1
F0  F1  F2  F3  F4  7  8 1  F6 1.

Tínhăch t. 1.6.5. V i n ≥ 0, ta có đ ng th c sau:
n

Fr  Fn 2 1

r 0

(1.8)

Ch ng minh:
Công th c t ng quát này có th đ
pháp quy n p c a toán h c,

c thi t l p b ng cách s d ng các ph

ng

đây ta ch n cách s d ng đ nh ngh a truy h i

c a s Fibonacci xét nh ng đ ng th c sau đây:
F0  F2  F1
21


F1  F3  F2
F2  F4  F3

. .

.

. .

.

. .

.

Fn 1  Fn 1  Fn
Fn  Fn 2  Fn 1
C ng t t c các đ ng th c
c các đ ng th c

v bên trái cho chúng ta k t qu :

r0 Fr , t
n

ng t t

v ph i cho ta k t qu là:

(F2  F1)+(F3  F2 )    (Fn 1  Fn )  (Fn  2  Fn 1)
 F1  (F2  F2 )  (F3  F3 )  · · ·  (Fn  Fn )  (Fn 1  Fn 1)  Fn  2
 Fn  2  F1
 Fn  2  1.
Do đó,

n

Fr  Fn 2 1

r 0

v i n ≥ 0, ta có

Khai tri n t l y th a b c nh t lên bình ph

.

ng ta có:

F02  02  0  0 1
F02  F12  02 12  1  11
F02  F12  F22  02 12 12  2  1 2
F02  F12  F22  F32  02 12 12  22  6  2  3
F02  F12  F22  F32  F42  02 12 12  22  32  15  3 5
T nh ng k t qu c a n m đ ng th c trên, ta có tính ch t sau:
Tínhăch t. 1.6.6.

V i n ≥ 0, ta có đ ng th c sau:

r0 Fr2  Fn  Fn1.
n

(1.9)

Ch ng minh:
22

Thang Long University Libraty


Ch ng minh b ng ph

ng pháp quy n p c a toán h c.

V i n = 0, ta có

 r0 Fr2  F02  02  0 1  F0  F1  F0  F01 ( đ
0

ng th c luôn đúng ).

Gi s đ ng th c trên đúng v i n  k (k  0,k  N).
Ta có:

 r0 Fr2  Fk  Fk1 (gi
k

thi t quy n p)

Ta ph i ch ng minh đ ng th c đúng v i n = k + 1 (≥ 1),
t c là
k 1

 r0 Fr2  Fk 1  Fk 2.
Th t v y ta có :

r0 Fr2   r0 Fr2   Fk21  (Fk  Fk1)  Fk21
k 1

k

 Fk 1  (Fk  Fk 1)  Fk 1  Fk 2 .

Do đó, v i n ≥ 0,

r0 Fr2  Fn  Fn1.
n

D a theo tài li u tham kh o [3],[4].
Tínhăch t 1. 6.7. V i n  1, ta có đ ng th c sau:

r1 F2r1  F1  F3  F2n1  F2n .
n

Ch ng minh.
Ta có:

23

(1.10)