Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nghiên cúu sinh BÙI TIẾN DŨNG

CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ
ĐƯC CÔNG BỐ
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN
LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học :
TS. NGUYỄN THÀNH LONG
PGS.TS. NGUYỄN HỘI NGHĨA

TP. HỒ CHÍ MINH – 2005


LỜI CAM ĐOAN


Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả và số liệu trong
luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả luận án


Lời cảm ơn

Con xin ghi tạc công ơn sinh thành và dưỡng dục của Cha mẹ để con khôn lớn nên người.
Tôi xin ghi ơn tất cả Quý Thầy, Cô đã dạy cho tôi từ thû ấu thơ cho đến ngày tôi được thành đạt
hôm nay.

Kính gửi đến TS. Nguyễn Thành Long, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên
Thành phố Hồ Chí Minh, cùng PGS. TS. Nguyễn Hội Nghóa, Ban Sau Đại Học của Đại Học Quốc Gia
Thành phố Hồ Chí Minh, lòng biết ơn và tất cả những tình cảm tốt đẹp nhất vì sự tận tụy dạy dỗ của Quý
Thầy đã dành cho tôi, kể cả những nghiêm khắc cần thiết của Quý Thầy trong việc hướng dẫn cho tôi học
tập và nghiên cứu khoa học, nhằm giúp tôi được nên người.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy phản biện độc lập luận án, Quý Thầy trong Hội
đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Bộ môn, Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Nhà nước, đã đóng góp
nhiều ý kiến quý báu, giúp cho tôi hoàn thành tốt đẹp luận án này.
Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô cùng các Chuyên viên ở Vụ Đại học và Sau Đại học của Bộ
Giáo Dục và Đào Tạo, và ở Phòng Sau Đại học của Trøng Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh
đã tận tình giúp cho tôi hoàn tất các thủ tục học tập và bảo vệ luận án tiến sỹ.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí
Minh cùng Qúy Thầy, Cô đồng nghiệp thuộc Khoa Khoa học Cơ Bản đã độâng viên và tạo nhiều điều kiện
thuận lợi cho tôi hoàn tất việc học tập, nghiên cứu khoa học. Đặc biệt xin được cảm ơn Thạc sỹ Ninh
Quang Thăng, Khoa Trưởng Khoa Khoa Học Cơ Bản của Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí
Minh, người lãnh đạo, người anh, và là đồng nghiệp đã luôn sát cánh bên tôi, giúp đỡ rất nhiều cho tôi
trong sự nghiệp giảng dạy, quản lý tổ chức để cho tôi tập trung hoàn thành được luận án tiến sỹ này.
Sau cùng, tôi xin gửi tất cả những tình cảm yêu thương và lòng biết ơn đối với gia đình, nơi đã gửi
gắm ở tôi niềm tin, nơi cho tôi những an lành và sức mạnh, nhờ đó tôi có thể vượt qua khó khăn, trở ngại
để học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án tiến sỹ của mình.

Bùi Tiến Dũng


PHẦN MỞ ĐẦU
Trong các ngành Khoa học ứng dụng như Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật, ... thường xuất
hiện các bài toán biên phi tuyến rất phong phú và đa dạng. Đây chính là nguồn đề tài không bao
giờ cạn mà rất nhiều các nhà toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu. Hiện nay, với những
thành tựu của Toán học hiện đại, nhiều công cụ sâu sắc dựa vào nền tảng của Giải tích hàm đã
xâm nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó. Tuy nhiên, nhìn một cách

tổng quát, chúng ta vẫn chưa có một phương pháp toán học chung để giải quyết cho mọi bài toán
biên phi tuyến. Do đó còn rất nhiều các bài toán biên phi tuyến vẫn chưa giải hoặc giải được một
phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể nào đó.
Trong luận án này chúng tôi sẽ khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến nhiều vấn đề
trong các ngành Khoa học ứng dụng. Chẳng hạn các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các
loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao động của một vật đàn hồi (
một dây hoặc một thanh đàn hồi) với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự
va chạm của một vật rắn với một thanh đàn nhớt tuyến tính trên một nền cứng hoặc một nền đàn
nhớt với các ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt.
Công cụ để khảo sát các bài toán biên trên được chúng tôi sử dụng và trình bày trong luận án là
các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và
đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các đònh lý về điểm bất động, phương pháp
tiệm cận ...
Ngoài phần tổng quan ở chương mở đầu, kết quả chính của luận án sẽ được trình bày trong
hai chương sau:
Chương 1: Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi
tuyến có chứa toán tử Kirchhoff
2

2

(0.1)

u (1, t )  g1 (t),

(0.2)

u tt  B(t , u )u xx  f ( x, t , u , u, u t , u ), x    (0,1), 0  t  T ,

liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

u x (0, t )  h0 u (0, t )  g 0 (t ),

và điều kiện đầu
u ( x,0)  u~0 ( x ),

u t ( x,0)  u~1 ( x ),

(0.3)


trong đó B, f , u~0 , u~1 , g 0 , g1 là các hàm cho trước sẽ được giả thiết ở phần sau và h0  0 là hằng số
cho trước. Trong phương trình (0.1) các số hạng phi tuyến
2

2

B(t , u ) và f ( x, t , u , u , u t , u ) phụ thuộc vào tích phân
u (t )

2

2

N

 
 i 1

u
( x, t ) dx.

x i

(0.4)

Phương trình (0.1) được tổng quát hóa từ phương trình mô tả dao động của một dây đàn hồi
(Kirchhoff [16]):
2
L


E
u

u ,
 hu tt  P0 
(
y
,
t
)
dy

 xx
2 L 0 y



0  x  L , 0  t  T,

(0.5)

đây u là độ võng,  là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở trạng thái ban
đầu, E là môđun Young và P0 là lực căng lúc ban đầu. Tuy nhiên, trong nhiều tài liệu sau này (
xem [13, 15, 23, 24, 30, 39]) vẫn gọi phương trình thuộc dạng (0.5) là phương trình sóng chứa toán
tử Carrier hoặc ghép tên chung và gọi là phương trình sóng chứa toán tử Kirchhoff-Carrier. Thật ra
giữa hai bài báo gốc của Kirchhoff (1876)[16] và của Carrier (1945)[7] có sự khác biệt, bởi vì
chúng tôi tìm thấy trong [7] của Carrier đã công bố năm 1945 thì phương trình không phải thuộc
dạng (0.5), mà lại là
L


u tt   P0  P1  u 2 ( y , t )dy u xx ,
0



0  x  L , 0  t  T,

(0.6)

trong đó P0 , P1 là các hằng số dương.
Trong một số trường hợp riêng của B và f, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình
(0.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như Ebihara, Medeiros và Miranda[13]; Pohozaev[34];

Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36], Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39]. Trong
hai công trình gần đây (xem [31, 32]), các tác giả Medeiros, Limaco, Menezes đã cho một tổng
quan các kết quả về khía cạnh toán học có liên quan đến mô hình Kirchhoff-Carrier.
Trong [14], Frotta chú ý nghiên cứu phương trình sóng cho miền n-chiều   IR n
2

u tt  B( x, u )u  f ( x, t ), x  , 0  t  T ,

liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu.
Thay vì xét (0.7), Larkin[18] nghiên cứu phương trình sóng

(0.7)


2

u tt  B( x, t , u (t ) )u  g ( x, t , u t )  f ( x, t ), x  , 0  t  T ,

(0.8)

liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu, với
u (t )

2

2

  u ( x, t ) dx.


Trong [37], các tác giả Santos-Ferreira-Pereira-Raposo nghiên cứu bài toán với phương trình
sóng
2

u tt  B( u )u  u t  f (u )  0, x    (0,1), 0  t  T ,

(0.9)

liên kết với điều kiện biên hỗn hợp phi tuyến và điều kiện đầu.
Trong [38], Tucsnak nghiên cứu bài toán
2
1


u

u tt  a  b 
( y , t ) dy u xx  0,


y
0



0  x  1 , t  0,

(0.10)

u (0, t )  0, u x (1, t )   u t (1, t )  0, t  0,

(0.11)

u ( x,0)  u~0 ( x ),

(0.12)

u t ( x,0)  u~1 ( x ),

trong đó a  0, b  0,   0 là các hằng số cho trước. Trong trường hợp này, bài toán (0.10) - (0.12)
mô tả sự kéo giãn sợi dây.
Trong [30] Medeiros đã khảo sát bài toán (0.1) - (0.3) với f  f (u )  bu 2 ,
ở đây b là một hằng số dương cho trước,  là một tập mở bò chận của IR 3 . Trong [15], Hosoya và


Yamada đã xét bài toán với f  f (u )   u u, trong đó  > 0 ,   0 là các hằng số cho trước.
Trong [8] Dmitriyeva đã nghiên cứu bài toán
2

u tt  .2 u  u u   u t  F ( x, t ), ( x, t )    (0, T ),
 2u
v  0 trên ,

2 i
i 1 xi

(0.13)

2

u  0,

u ( x,0)  u~0 ( x ),

u t ( x,0)  u~1 ( x ),

(0.14)
(0.15)

trong đó,   (0, )  (0, ), vectơ v  (v1 , v 2 ) là pháp tuyến đơn vò trên biên  hướng ra ngoài,
   2 h 2 / 6, với h,  là các hằng số dương. Trong trường hợp này, bài toán (0.13)-(0.15) mô tả dao

động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tónh.
Trong [26], N.T Long và các tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài
toán


2

u tt   .2 u  B( u )u   u t

 1

u t  F ( x, t ), ( x, t )    (0, T ),

u
 0 trên  ,
v

u  0,

(0.16)

(0.17)

u ( x,0)  u~0 ( x ),

u t ( x,0)  u~1 ( x ),

(0.18)

trong đó  > 0,  > 0, 0 <  < 1 là các hằng số cho trước và  là một tập mở bò chận của IR n .
Bằng cách tổng quát kết quả của [8, 26], các tác giả N.T Long và T.M. Thuyết [27] đã xét
bài toán
2

u tt  .2 u  B( u )u  f (u , u t )  F ( x, t ), ( x, t )    (0, T ),
u  0,

u
 0 trên  ,
v

u ( x,0)  u~0 ( x ),

(0.19)
(0.20)

u t ( x,0)  u~1 ( x ).

(0.21)

Trong [9], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận khi   0 của
nghiệm yếu của bài toán (0.1) - (0.3) với B  1 liên kết với điều kiện biên thuần nhất Dirichlet
u (0, t )  u (1, t )  0,

(0.22)

ở đây số hạng phi tuyến có dạng f   f 1 (t , u ). Sau đó, trong [10] Alain P.N. Đònh và N.T. Long đã
xét bài toán (0.1) - (0.3) với B  1 và số hạng phi tuyến có dạng
f   f1 (t , u, u t )

(0.23)

Trong [21] N.T. Long và T.N. Diễm đã khảo sát phương trình sóng phi tuyến
u tt  u xx  f ( x, t , u, u x , u t )   f1 ( x, t , u , u x , u t ), x  (0,1), 0  t  T ,

0.24)

liên kết với điều kiện đầu (0.3) và điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
u x (0, t )  h0 u (0, t )  u x (1, t )  h1u (0, t )  0,

(0.25)

trong đó h0 , h1 là các hằng số dương cho trước.
Trong trường hợp f  C 2 ([0,1]  [0, )  IR 3 ) và f1  C 1 ([0,1]  [0, )  IR 3 ), trong [12] thu được
kết quả thu được liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán nhiễu đến cấp 2 theo một
tham số  đủ nhỏ. Kết quả này tiếp tục được mở rộng trong [24] với phương trình sóng phi tuyến có
chứa toán tử Kirchhoff:
2

2

u tt  [b0  B( u x )   .B1 ( u x )] u xx
 f ( x, t , u, u x , u t )   f1 ( x, t , u , u x , ut ),

(0.26)


liên kết với điều kiện (0.3) và (0.22)

trong đó b0  0 là hằng số cho trước và

B  C 2 ( IR ), B1  C 1 ( IR ), B  0, B1  0 là các hàm cho trước.

Trong chương này, chúng tôi tập trung giải quyết hai vấn đề:
Vấn đề thứ nhất: Chúng tôi liên kết bài toán với một dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh
trong các không gian hàm thích hợp và chứng minh sự tồn tại đòa phương và duy nhất nghiệm của
bài toán bằng phương pháp Galerkin thông dụng kết hợp với phương pháp compact. Chú ý rằng
phương pháp tuyến tính hóa trong chương này cũng như trong các bài báo [6, 10, 21, 23, 24, 33]
không thể sử dụng trong các bài báo [3, 5, 9, 11, 12, 13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34]
Vấn đề thứ hai: Chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu
2

2

u tt  [ B(t , u x )  ε.B1 (t , u x )] u xx
2

2

(0.27)

 f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε. f1 ( x, t , u , u x , u t , u x )

và tìm cách khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u ε ( x, t ) đến cấp N+1 theo một tham số bé .

Trong vấn đề thứ nhất, trước hết chúng tôi chứng minh sự tồn tại đòa phương và duy nhất
nghiệm của bài toán (0.1) - (0.3) tương ứng với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
2

2

u tt  B( u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x    (0,1), 0  t  T ,

(0.28)

u x (0, t )  h0 u (0, t )  u (1, t )  0,

(0.29)

u ( x,0)  u~0 ( x),

(0.30)

u t ( x,0)  u~1 ( x ),

trong đó B, f , u~0 , u~1 là các hàm cho trước. Ở đây, số hạng phi tuyến ở vế phải của (0.28) xác đònh
bởi hàm f được giả sử rằng f  C 0 ([0,1]  IR  IR 3  IR ) và thêm một số điều kiện phụ.
Kế tiếp chúng tôi mở rộng việc khảo sát cũng với phương trình sóng phi tuyến có chứa toán
tử Kirchhoff-Carrier nhưng lại liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất như sau:
2

2

u tt  B(t , u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x    (0,1), 0  t  T ,

(0.31)

u x (0, t )  h0 u (0, t )  g 0 (t ),

(0.32)

u ( x,0)  u~0 ( x ),

u (1, t )  g1 (t),

u t ( x,0)  u~1 ( x ),

(0.33)

trong đó B, f , u~0 , u~1 , g 0 , g1 là các hàm cho trước sẽ được giả thiết sau. Bằng việc đặt ẩn phụ thích
hợp, chúng tôi đưa bài toán (0.31) - (0.33) về bài toán có điều kiện biên thuần nhất thuộc dạng
(0.28) - (0.30) với sự điều chỉnh lại các hàm B, f , u~0 , u~1 trong (0.28) - (0.30) thành các hàm


~ ~
B , f , v~0 , v~1 . Tuy nhiên để giải bài toán (0.31) - (0.33) thì giả thiết f  C 0 ([0,1]  IR  IR 3  IR )

không đủ mà phải là f  C 1 ([0,1]  IR  IR 3  IR ), dó nhiên cũng phải bổ sung thêm một số điều
~ ~
kiện phụ. Mặt khác cho dù f  C 1 ([0,1]  IR  IR 3  IR ), thì với các dữ kiện B , f , v~0 , ~v1 cho bài

toán (0.31) - (0.33) cũng không áp dụng trực tiếp kết quả đã khảo sát cho bài toán (0.28) - (0.30).
Điều này cho thấy rằng bài toán (0.28) - (0.30) là trường hợp riêng của bài toán (0.31) - (0.33),
nhưng về kết quả thì lại là không. Chính vì vậy, chúng tôi vẫn phải trình bày hai bài toán (0.1) (0.3) tương ứng với hai điều kiện biên thuần nhất và không thuần nhất.

Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng và cơ sở lập luận, trước tiên chúng tôi khảo sát
phương trình nhiễu
2

2

u tt  [ B (t , u x )  ε.B1 (t , u x )] u xx
2

2

0.34)

 f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε. f1 ( x, t , u , u x , u t , u x )

liên kết với (0.32) và (0.33). Khi đó với các giả thiết thích hợp về B, f , u~0 , u~1 , g 0 , g1 , chúng tôi thu
được một nghiệm yếu u ε ( x, t ) có khai triển tiệm cận đến cấp 3 theo một tham số  đủ nhỏ.
Kế tiếp, chúng tôi mở rộng việc khai triển tiệm cận đến cấp cao hơn cho phương trình nhiễu
2

2

u tt  [ B ( u x )  ε.B1 ( u x )] u xx
2

2

(0.35) liên kết với (0.29)

 f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε. f ( x, t , u, u x , u t , u x )

và (0.30). Chúng tôi thu được một nghiệm yếu u ε ( x, t ) có khai triển tiệm cận đến cấp N+1 theo một
tham số  đủ nhỏ và các giả thiết thích hợp cho B, f , u~0 , u~1 .
Các kết quả này đã được công bố trong hai bài báo [d1, d2]
Chương 2: Chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến liên kết với một phương trình tích
phân phi tuyến chứa giá trò biên. Bài toán đặt ra là tìm một cặp hàm (u, P) thỏa
u tt  u xx  f (u, u t )  0, x    (0,1), 0  t  T ,

(0.36)

u x (0, t )  P(t ), u (1, t )  0,

(0.37)

u ( x,0)  u 0 ( x ),

(0.38)

u t ( x,0)  u1 ( x),

trong đó f , u 0 , u1 là các hàm cho trước thỏa một số điều kiện nào đó sẽ được giả thiết sau. Ẩn
hàm u(x,t) và giá trò biên chưa biết P(t) thỏa một phương trình tích phân phi tuyến


t

P(t )  g (t )  H (u (0, t ))   K (t  s, u (0, s ))ds,

(0.39)

0

trong đó g, H và K là các hàm cho trước.
Bài toán (0.36) - (0.39) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo nhiều kiểu điều kiện
biên khác nhau tương ứng với các ý nghóa cơ học nào đó, chẳng hạn như :
Trong [1], N.T. An và N.Đ. Triều và trong [20] N.T. Long, Alain P.N. Đònh đã xét bài toán
(0.36), (0.38) liên kết với điều kiện biên
(0.40)

u x (0, t )  P(t ), u (1, t )  0,

trong đó ẩn hàm u(x,t) và giá trò biên chưa biết P(t) thỏa bài toán Cauchy cho phương trình vi phân
thường
P ' ' (t )   2 P (t )  hu tt (0, t ), 0  t  T ,

(0.41)

P(0)  P0 , P' (0)  P1 ,

(0.42)

ở đây   0, h  0, P0 , P1 là các hằng số cho trước [1, 20].
Trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.36), (0.38) (0.41), (0.42) với
u 0  u1  P0  0 và
(0.43)

f (u , u t )  Ku   .u t ,

với K và  là các hằng số dương cho trước. Trong trường hợp này bài toán (0.36), (0.38), (0.41),
(0.42) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tuyến tính có

một đầu đặt trên một nền cứng.
Bằng việc giải bài toán (0.41), (0.42) ta thu được P(t) biểu thò theo P0 , P1 ,  , h, u tt (0, t) và
sau khi tích phân từng phần, ta được
t

P(t )  g (t )  hu (0, t )   k (t  s )u (0, s )ds,

(0.44)

0

trong đó
1

 g (t )  ( P0  h0 u (0)) cos  t  ( P1  hu1 (0)) sin  t ,


k (t )  h sin  t.

Bằng cách khử bớt một ẩn hàm P(t) thì điều kiện biên (0.37) có dạng

(0.45)


t

u x (0, t )  g (t )  hu (0, t )   k (t  s )u (0, s )ds, u (1, t )  0.

(0.46)

0

Cũng với f (u , u t )  Ku  .u t , trong [5], Bergounioux, N.T. Long và Alain P.N. Đònh đã khảo
sát bài toán (0.36), (0.38), (0.44) và
(0.47) ở đây K ,  , K1 , 1

u x (0, t )  P(t ), u x (1, t )  K 1u (1, t )   .u t (1, t )  0,

là các hằng số không âm cho trước.
Bài toán này mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tuyến tính tựa trên một nền
đàn nhớt với các ràng buộc tuyến tính ở bề mặt và các ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt.
Trong trường hợp
f (u , u t )  u t

 1

u t (0    1),

(0.48)

Đ.Đ. Áng và Alain P.N. Đònh trong [3] đã thiết lập được một đònh lý tồn tại và duy nhất của một
nghiệm toàn cục cho bài toán (0.36) - (0.38) với P, u 0 , u1 là các hàm cho trước.
Bằng sự tổng quát hóa của [1, 3, 20], bài toán (0.36) - (0.38) cũng được xét bởi
- Alain P.N. Đònh và N.T. Long [11,12] với k  0 và
(0.49)

P(t )  g (t )  H (u (0, t )),

ở đây H là hàm cho trước cũng nhận trường hợp H(s) = hs như là trường hợp riêng.

- N.T. Long và T.M. Thuyết [28] với
t

P (t )  g (t )  H (u (0, t ))   k (t  s )u (0, s )ds.

(0.50)

0

Trong chương này, chúng tôi thực hiện hai phần chính. Ở phần thứ 1, chúng tôi chứng minh
đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục của bài toán (0.36) - (0.39). Việc chứng minh dựa
trên cơ sở của phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm, các kỹ thuật của
phương pháp compact và phương pháp hội tụ yếu. Trong phần xấp xỉ Galerkin, chúng tôi cũng sử
dụng đònh lý về điểm bất động Schauder để kiểm tra sự tồn tại của nghiệm xấp xỉ. Sự khó khăn
chính gặp phải trong phần này là điều kiện biên tại x  0 . Ta chú ý rằng phương pháp tuyến tính
hóa đã sử dụng trong [6, 10, 21, 23, 24, 33] không dùng được trong [3, 5, 9, 11-13, 19, 20, 26, 27,
29, 30, 34]. Trong phần thứ 2 của chương này, chúng tôi chứng minh nghiệm (u,P) là ổn đònh đối


với các hàm g, H và K. Các kết quả thu được ở đây đã tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [1,
3, 5, 9-12, 17, 20, 21, 25, 28, 33] và đã được công bố trong [d3].
Các kết quả trên đây của luận án đã được công bố trong ([d1]-[d4]) và đã tham gia báo cáo
trong các hội nghò:
- Hội nghò về Phương trình đạo hàm riêng và Ứng dụng, Hà Nội, 27-29/12/99.
- Hội nghò Toán học Việt nam toàn quốc lần thứ 6, Huế, 7-10/9/2002.
- Hội nghò Khoa học lần 2, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 5-2000.
- Hội nghò Khoa học lần 3, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 10-2002.
- Hội nghò Khoa học Khoa Toán – Tin học, Đại học Sư phạm Tp HCM, 22/12/2000.
- Hội nghò Khoa học Khoa Toán – Tin học, Đại học Sư phạm Tp HCM, 21-22/12/2002.

Chương 1
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN
CÓ CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF
1.1. Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi tuyến có chứa
toán tử Kirchhoff được liên kết với điều kiện biên hỗn hợp
2

2

u tt  B(t , u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x    (0,1), 0  t  T ,

(1.1.1)

u x (0, t )  h0 u (0, t )  g 0 (t ),

(1.1.2)

u ( x,0)  u~0 ( x),

u (1, t )  g1 (t),

u t ( x,0)  u~1 ( x ),

(1.1.3)

trong đó B, f , u~0 , u~1 , g 0 , g 1 là các hàm cho trước thỏa một số giả thiết nào đó mà ta sẽ đặt sau.
2

2

Trong phương trình (1.1.1) các số hạng phi tuyến B(t , u x ) và f ( x, t , u , u x , u t , u x ) phụ thuộc vào
tích phân
1

ux

2

2

(1.1.4)

  u x ( x, t ) dx.
0

Chúng tôi tập trung giải quyết hai vấn đề
Vấn đề thứ nhất: Chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đòa phương của bài
toán (1.1.1) - (1.1.3) tương ứng với hai trường hợp thuần nhất ( g 0 (t )  g1 (t )  0 ) và không thuần nhất
( g 0 (t )  0  g 1 (t ) ). Ý tưởng và công cụ tổng quát để khảo sát sự tồn tại nghiệm là thiết lập một dãy
qui nạp tuyến tính liên kết với bài toán, sau đó sử dụng xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact
để chứng minh dãy này hội tụ mạnh về nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) - (1.1.3) trong các không
gian hàm thích hợp. Sự duy nhất nghiệm được chứng minh nhờ vào bổ đề Gronwall sau một số các
phép tính toán và đánh giá cụ thể.
Vấn đề thứ hai: Chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu

2

2

u tt  [ B(t , u x )  ε.B1 (t , u x )] u xx
2

2

 f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε. f1 ( x, t , u , u x , u t , u x )

(1.1.5)


liên kết với (1.1.2), (1.1.3) và tìm cách khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u ε ( x, t ) đến một cấp nào
đó phụ thuộc vào tính trơn của các hàm B, B1 , f , f1 theo một tham số bé .
Trong vấn đề thứ nhất, trước hết chúng tôi chứng minh sự tồn tại đòa phương và duy nhất
nghiệm của bài toán với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
2

2

u tt  B( u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x  (0,1), 0  t  T ,

(1.1.6)

u x (0, t )  h0 u (0, t )  u (1, t )  0,

(1.1.7)

u ( x,0)  u~0 ( x),

(1.1.8)

u t ( x,0)  u~1 ( x),

trong đó B, f , u~0 , u~1 là các hàm cho trước sẽ được giả thiết ở phần sau và h0  0 là hằng số cho
2

trước. Trong phương trình (1.1.6) số hạng phi tuyến B( u x ) bây giờ không phụ thuộc vào biến thứ
1

nhất ( biến thời gian t ) mà chỉ phụ thuộc vào tích phân u x

2

2

  u x ( x, t ) dx . Sau đó, với một số giả
0

thiết nào đó trên các hàm cho trước B, f , u~0 , u~1 , g 0 , g 1 và bằng việc đổi ẩn hàm bằng phép tònh
tiến
v( x, t )  u ( x, t )   ( x, t ),

 x t  1 ( x  1) g (t )  e h0 ( x  t ) g (t ),
0
1
 ( , ) 1 h

0

(1.1.9)

bài toán (1.1.1) - (1.1.3) được đưa về bài toán với điều kiện biên thuần nhất sau
~
2
2
vtt  B(t , v x (t )   x (t ) )v xx  f ( x, t , v, v x , vt , v x (t )   x (t ) ),

(1.1.10)

0  x  1, 0  t  T ,
v x (0, t )  h0 v(0, t )  v(1, t )  0,

(1.1.11)

v( x,0)  v~0 ( x),

(1.1.12)

vt ( x,0)  v~1 ( x),

trong đó
~
f ( x, t , v, v x , vt , z )  f ( x, t , v   , v x   x , vt   t , z )  B (t , z ) zz   tt ,

(1.1.13)

v~0 ( x )  u~0 ( x )   ( x,0),

(1.1.14)

v~1 ( x)  u~1 ( x )   t ( x,0).

Tuy nhiên, bài toán (1.1.10) - (1.1.13) không sử dụng được kết quả của bài toán (1.1.6) (1.1.8). Do đó, chúng tôi tiếp tục trình bày chứng minh kết quả tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài

toán (1.1.1) - (1.1.3) tương ứng với trường hợp không thuần nhất ( g 0 (t )  0  g 1 (t ) ).


Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng và cơ sở lập luận, trước tiên chúng tôi khảo sát
phương trình nhiễu (1.1.5) liên kết với (1.1.2), (1.1.3) và thu được một nghiệm yếu u ε ( x, t ) có khai
triển tiệm cận đến cấp 3 theo một tham số  đủ nhỏ.
Kế tiếp, chúng tôi mở rộng việc khai triển tiệm cận cho phương trình nhiễu
2

2

u tt  [ B ( u x )  ε B1 ( u x )] u xx
2

(1.1.15)

2

 f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε f 1 ( x, t , u , u x , u t , u x )

liên kết với (1.1.7) và (1.1.8) để thu được một nghiệm yếu u ε ( x, t ) có khai triển tiệm cận đến cấp
N+1 theo một tham số bé . Các kết quả này đã được công
bố trong hai bài báo [d1, d2].
1.2. Ký hiệu và các kết quả chuẩn bò
Chúng ta bỏ qua các đònh nghóa của các không gian hàm thông dụng. Ta ký hiệu
LP  LP(Ω ), H m  H m (Ω ), H 0m  H 0m(Ω ), QT  Ω  ( 0 ,T), T  0.

Ta dùng ký hiệu  ,  để chỉ tích vô hướng trong L2 hay cặp tích đối ngẫu
của một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không gian hàm

Ký hiệu  để chỉ chuẩn trong L2 và ký hiệu 

X

để chỉ chuẩn trong một không gian Banach X. Ta

gọi X  là không gian đối ngẫu của X.
Ta ký hiệu LP (0, T ; X ), 1  p  , là không gian Banach của các hàm đo được

u :

( 0 ,T) 
 X, sao cho
u

LP (0 ,T ; X )

u

L  ( 0,T ; X )

T

P
   u (t ) X dt 
0



1

p

 

nếu 1  p  ,

và

Ký

 ess sup u (t )

hiệu

0t T

X

nếu p  .

u (t ), u t (t )  u (t ), u tt (t )  u(t ), u x (t )  u (t ), u xx (t )  u (t )

u ( x, t ), (u / t )( x, t ), ( 2 u / t 2 )( x, t ), (u / x )( x, t ), ( 2 u / x 2 )( x, t ) lần lượt tương ứng.

Với f = f(x,t,u,v,w,z), ta đặt

thay

cho


D1 f  f / x, D2 f  f / t , D3 f  f / u, D4 f  f / v, D5 f  f / w, D6 f  f / z.
V  { v  H 1 (0,1) : v (1)  0 },

Bây giờ đặt
(1.2.1)

1

(1.2.2)

a(u, v)   u x ( x)v x ( x)dx  h0 u (0)v(0).
0

Khi đó V là một không gian con đóng của H 1 và trên V thì ba chuẩn v

H1

, v x , v V  a (v, v) là

tương đương.
Chúng ta có các bổ đề sau
Bổ đề 1.2.1. Phép nhúng V  C 0 ([0,1]) là compact và với mọi v  V , ta có
v

C 0 ([0 ,1])

1
2

v

H1

 vx  v V ,
 v x  v V  max(1, h0 ) v

(1.2.3)
H1

.

(1.2.4)

Bổ đề 1.2.2. Dạng song tuyến tính đối xứng a( , ) được đònh nghóa trong (1.2.2) là liên tục trên
V  V và cưỡng bức trên V.

~ } của L2 gồm các hàm riêng { w
~ } tương ứng
Bổ đề 1.2.3. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert { w
j
j

với giá trò riêng  j sao cho :
0  1   2  ...   j  ...,

lim  j   ,

j  

~ , v)   w
~ , v với mọi v  V , j = 1, 2, ...
a( w
j
j
j

(1.2.5)
(1.2.6)

~ /  } cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối với tích vô hướng
Hơn nữa, dãy {w
j
j
~ cũng thỏa bài toán giá trò biên
a( , ). Mặt khác, w
j

~  w
~ trong ,
  w
j
j
j
~
~

~
 w jx (0)  h0 w j (0)  w j (1)  0,
~  V  C  ([0,1]).

w
j


(1.2.7)

Việc chứng minh các bổ đề 1.2.1 và 1.2.2 thì không có gì khó khăn và phức tạp, ta có thể bỏ
qua. Đối với bôû đề 1.2.3, phần chứng minh có thể tìm thấy trong [35], trang 137, Đònh lý 6.2.1, với
H = L2 , còn V, a( , ) được đònh nghóa bởi (1.2.1) và (1.2.2) .


1.3. Đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
Chúng ta bắt đầu khảo sát bài toán (1.1.6) - (1.1.8) với các giả thiết được đặt ra dưới đây
( H 1 ) : h0  0
( H 2 ) : u~0  V  H 2 , u1  V ;
( H 3 ) : B  C 1 ( IR ), B ( z )  b0  0;

( H 4 ) : f  C 0 ([0,1]  IR  IR 3  IR ) thỏa
( H 4' ) : f (1, t , u , v, w, z )  0 với mọi t, z  0 và (u , v, w)  IR 3 ,
( H 4'' ) : Di f  C 0 ([0,1]  IR  IR 3  IR ), i  1, 3, 4, 5, 6.

(Chú ý rằng không cần thiết f  C 1 ([0,1]  IR  IR 3  IR ).
Với B và f thỏa các giả thiết ( H 3 ) và ( H 4 ) tương ứng, ta xây dựng các hằng số sau đối với
mỗi M > 0 và T > 0
(1.3.1)

K 0  K 0 ( M , T , f )  sup f ( x, t , u , v, w, z ) ,
6

K 1  K 1 ( M , T , f )  sup( D1 f   Di f )( x, t , u , v, w, z ),

(1.3.2)

i 3

ở đây, trong mỗi trường hợp, sup được lấy trên miền 0  t  T , 0  x  1, u  v  w  M , 0  z  M 2 .
~
K 0  K 0 ( M , B)  sup B( z ) ,

(1.3.3)

~
K 1  K 1 ( M , B )  sup B' ( z ) .

(1.3.4)

0 z M 2

0 z M 2

Với mỗi M > 0 và T > 0, ta đặt
W ( M , T )  { v  L (0, T ;V  H 2 ) : vt  L (0, T ;V ), vtt  L2 (QT ),
v

,
L ( 0 ,T ;V  H 2 )

vt

,
L ( 0 ,T ;V )

v tt

L2 ( QT )

 M },

W1 ( M , T )  {v  W ( M , T ), vtt  L (0, T , L2 )}.

(1.3.5)
(1.3.6)

Ta liên kết bài toán (1.1.6) - (1.1.8) với một dãy quy nạp tuyến tính {u m } sau
Trước hết, chọn số hạng đầu tiên u 0  u~0 . Giả sử rằng
u m 1  W1 (M , T ).

(1.3.7)

Sau đó, tìm u m  W1 ( M , T ) thỏa bài toán biến phân tuyến tính
um (t ), v  bm (t )a (u m (t ), v)   Fm (t ), v với mọi v  V ,

(1.3.8)


u m (0)  u~0 ,

u m (0)  u~1 ,

(1.3.9)

bm (t )  B( u m 1 (t ) 2 ),

2
Fm ( x, t )  f ( x, t , u m 1 (t ), u m 1 (t ), u m 1 (t ), u m 1 (t ) ).

(1.3.10)

ở đây

Khi đó, ta có
Đònh lý 1.3.1. Giả sử các giả thiết ( H 1 )  ( H 4 ) được thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số dương M và T
và một dãy qui nạp tuyến tính {u m }  W1 ( M , T ) được xác đònh bởi (1.3.8)  (1.3.10).
Chứng minh. Việc chứng minh đònh lý bao gồm nhiều bước
Bước1. Xấp xỉ Galerkin (xem Lions[17])
~ /  } như đã nêu ra trong bổ đề 1.2.3.
Trong V ta chọn cơ sở trực chuẩn Hilbert {w j  w
j
j

Đặt
k
(k )
u m( k ) (t )   c mj
(t ) w j ,

(1.3.11)

j 1

(k )
trong đó c mj
thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính

um( k ) (t ), w j   bm (t )a(u m( k ) (t ), w j )   Fm (t ), w j  ,

u m( k ) (0)  u~0k ,

u m( k ) (0)  u~1k ,

1  j  k,

(1.3.12)
(1.3.13)

ở đây
u~0k  u~0 mạnh trong V  H 2 ,

(1.3.14)

u~1k  u~1 mạnh trong V .

(1.3.15)

Từ giả thiết u m 1  W1 (M , T ) ta suy ra hệ phương trình (1.3.12)  (1.3.13) có duy nhất nghiệm u m( k ) (t )
trong khoảng 0  t  Tm( k )  T . Các đánh giá tiên lượng sau đây cho phép ta lấy Tm( k )  T với mọi m

và k.
Bước 2. Đánh giá tiên lượng. Đặt
t

S

(k )
m

(t )  X

(k )
m

(k)
m

(t )  Y

2

(t )   um( k ) ( s ) ds,
0

(1.3.16)


ở đây
2

X m( k ) (t )  u m( k ) (t )  bm (t )a (u m( k ) (t ), u m( k ) (t )),
2

Ym( k ) (t )  a (u m( k ) (t ), u m( k ) (t ))  bm (t ) u m( k ) (t ) .

(1.3.17)
(1.3.18)

Từ (1.3.12), (1.3.13) và (1.3.16)  (1.3.18), ta được
t

S

(k )
m

(t )  S

(k )
m

2
(0)   bm ( s ) a(u m( k ) ( s ), u m( k ) ( s ))  u m( k ) (s ) ds


0
t

t

+ 2  Fm ( s), u m( k ) ( s) ds  2  a ( Fm ( s), u m( k ) ( s))ds
0

0

t

2

  um( k ) (s ) ds
0

= S m( k ) (0)  I 1  I 2  I 3  I 4 .

(1.3.19)

Chúng ta tiến hành đánh giá các tích phân có mặt trong vế phải của (1.3.19).
Tích phân thứ 1. Ta có
2

bm (t )  B( u m 1 (t ) ),
2

bm (t )  2 B ( u m1 (t ) )u m 1 (t ), u m 1 (t ).

(1.3.20)

Dùng giả thiết ( H 3 ), ta thu được từ (1.3.4) và (1.3.7), rằng



bm (t )  2 B  u m 1 (t )

2



~
u m 1 (t ) u m 1 (t )  2 M 2 K 1 .

(1.3.21)

Kết hợp (1.3.16)  (1.3.18) và (1.3.21), ta được
~ t
2M 2 K1
S m( k ) ( s )ds.
I1 

b0
0

(1.3.22)

Tích phân thứ 2. Từ (1.3.1), (1.3.10), (1.3.16) và (1.3.17), ta có

t

t

I 2  2  Fm ( s ) u

(k)
m

( s ) ds  2 K 0  S m( k ) (s ) ds.

0

(1.3.23)

0

Tích phân thứ 3. Từ (1.3.1), (1.3.2), (1.3.7) và (1.3.10) ta suy được rằng
2

2

Fm (s ) V = Fm (s)  h0 Fm2 (0, s)  4 K12 (1  3M 2 )  h0 K 02 .

(1.3.24)


Do vậy từ (1.3.16), (1.3.18) và (1.3.24) ta thu được
t

I 3  2  Fm ( s ) V u m( k ) ( s ) ds
V

0
t

 2[2 K 1 1  3M 2  h0 K 0 ] S m( k ) (s )ds.

(1.3.25)

0

Tích phân thứ 4. Phương trình (1.3.12) được viết lại
um( k ) (t ), w j   bm (t ) u m( k ) (t ), w j    Fm (t ), w j  ,

1  j  k,

(1.3.26)

theo đó ta thay w j bởi um( k ) (t ) và tích phân hai vế ta được
t

 u

(k )
m

2

t
2
m

( s ) ds  2 b (s ) u

0

(k )
m

t

2

2

( s ) ds  2  Fm (s ) ds.

0

(1.3.27)

0

Từ (1.3.1), (1.3.3), (1.3.7), (1.3.10), (1.3.16) và (1.3.18), ta kết luận
t

~
I 4  2 K 0  S m( k ) ( s )ds  2TK 02 .

(1.3.28)

0

Kết hợp (1.3.19), (1.3.22), (1.3.23), (1.3.25) và (1.3.28), ta có

S

(k )
m

(t )  S

(k )
m

2
0

t



2

(0)  2TK  2 2 K 1 1  3M  (1  h0 ) K 0



S m( k ) ( s ) ds

0

~
~
M 2 K1  t ( k )

  S m ( s )ds

 2 K 0 

b
0
0

1
 S m( k ) (0)  2TK 02  T [2 K 1 1  3M 2  (1  h0 ) K 0 ]2
2

~

M 2 K1  t ( k )
~
 S m ( s )ds
 21  K 0 
b0  0


t

 S m( k ) (0)  C1 ( M , T )  C 2 (M ) S m( k ) (s )ds ,

(1.3.29)

0

ở đây

1

2
2
2
C1 ( M , T )  2TK 0  2 T [2 K 1 1  3M  (1  h0 ) K 0 ] ,

~


M 2 K1 
~
C 2 (M )  21  K
.
0 



b
0



(1.3.30)