phương trình lượng giác THPT

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I)
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Bảng giá trị lượng giác



rad -
2
3
4
x
độ -180o -90o

-60o


6

0


6

-45o

-30o

0

30o 45o 60o 90o 120o

2
2

1
2

0

1
2

3
2

1

-

sin

0

-1

3
2

cos

-1

0

1
2

2
2

tan

0

||

- 3

-1

-

1
3

cot

||

0

-

1
3

-1

- 3


4


3


2

2
3

2
2

3
2

1

3
2

3
2

2
2

1
2

0

-

0

1
3

1

3

||

||

3

1

1
3

0

-

1
2

3
4

5
6



135o

150o

180o

2
2

1
2

0

2
2

-

3
2

-1

- 3

-1

-

1
3

0

1
3

-1

- 3

||

-

2) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau

cos( )  cos

sin( )   sin

tan( )   tan

cot( )   cot 

Góc bù nhau
sin(   )  sin

Góc phụ nhau



sin      cos
2


Góc hơn kém 

Góc hơn kém


2

sin(   )   sin



sin      cos
2


cos(   )   cos



cos     sin
2


cos(   )   cos



cos      sin
2


tan(   )   tan



tan      cot 
2


tan(   )  tan



tan       cot 
2


cot(   )   cot 



cot      tan
2


Nguyễn Hoài Nam 0979160543

cot(   )  cot 




cot       tan
2


Dạy kèm học sinh từ L6 – L12


3) Công thức lượng giác
1) Công thức cộng:

5) Công thức tích thành tổng.

 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
 cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
tana - tanb
 tan(a - b) = 1 + tana.tanb
 sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tana + tanb
 tan(a + b) = 1 - tana.tanb
 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
2) Công thức nhân đôi :

 cosxcosy=

 sin2x = 2sinxcosx = (sinx+cox)2 - 1
 cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x - 1 = 1 – 2sin2x

 x y
 x y
 sinx + siny = 2sin 

 cos 

 2 
 2 
 x y  x y
 sinx – siny = 2cos 
 sin 

 2   2 

2tanx
1  tan 2 x
cot 2 x  1
 cot2x =
2cotx

 tan2x =

3) Công thức nhân 3:
 cos3x = 4cos3 x - 3cos x
 sin3x = 3sin x - 4sin3 x
3tan x - tan 3 x
 tan 3x =
1- 3tan 2 x
3cot x - cot 3 x
 cot 3x =
1- 3cot 2 x

4) Công thức hạ bậc:
1  cos 2 x

2
1

c
os2 x
 sin 2 x 
2
1  cos2
 tan2  
1  cos2
1  cos2
 cot 2  
1  cos2

 cos 2 x 

1
 cos( x  y )  cos( x  y )
2
1
 sinxcosy= Sin ( x  y )  Sin ( x  y )
2
1
 sinxsiny=   cos( x  y )  cos( x  y )
2

 cos x.sin y =

1
[sin( x + y ) - sin( x - y )]

2

6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:

 x y
 x y
 cos 

 2 
 2 
 x y  x y
 cosx–cosy = 2sin 
 sin 

 2   2 
sin( x  y )
 tanx + tany =
cos xcosy

 cosx + cosy = 2 cos 

sin( x  y )
cos xcosy
sin( x  y )
 cotx + coty =
sin xsiny
sin( y  x)
 cotx – coty =
sin xsiny

 tanx – tany =

1
(3sin x - sin 3 x)
4
1
 cos3 x = (cos3 x + 3cos x)
4

 sin 3 x =

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12


 tanx=

sinx

,(x   k)
cosx
2

cosx
,(x  k)
sinx
2
2
 sin x  cos x  1

 cotx=
1
2
 cos x

1
2

 1  tan 2 x,(x 


 k)
2

 1  cot 2 x,(x  k)

 sin x
 tanx.cotx=1,(x  k )
2

3
3
 sin x  cos x  (sinx  cos x)(1  sinx.cos x)
3
3
 sin x  cos x  (sinx  cos x)(1  sinx.cos x)
1
3  1cos 4 x
 sin 4 x  cos4 x  1  sin 2 2 x 
2

4
3
5  3 cos 4 x
 sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x 
4
8
2
 1  sin 2 x   sin x  cos x 





sin x  cos x  2 sin  x    2cos  x  
4
4







sin x  cos x  2sin  x     2cos  x  
4
4




4) Phương trình lượng giác
a) Phương trình lượng giác cơ bản
éx = a + k2p
Dạng: sin x = sin a Û êê
êëx = p - a + k2p

éx = a + k2p

Dạng: cos x = cos a Û êê
êx = - a + k2p
ë

t an x = t an a Û x = a + k p
Dạng:
p
Ðk : x, a ¹
+ kp
2

cot x = cot a Û x = a + kp
Dạng:
Ðk : x, a ¹ kp

 x  arcsin a +k 2
,k 
+) sin x  a  
x




arc
sin
a
+
k
2


 x  arc cosa +k 2
,k 
+) cosx  a  
 x  arccosa +k 2

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

ìï
ïï sin x = 0 Þ x = k p
ïï
ï
p
Đặc biệt: ïí sin x = 1 Þ x = + k2p
ïï
2
ïï
p
ïï sin x = - 1 Þ x = - + k2p
2
ïî
ìï
ïï cos x = 0 Þ x = p + kp

ïï
2
Đặc biệt: ïí cos x = 1 Þ x = k2p
ïï
ïï cos x = - 1 Þ x = p + k2p
ïï
î
ìï t an x = 0 Û x = k p
ïï
í
ïï t an x = ± 1 Û x = ± p + kp
4
Đặc biệt: ïî

ìï
ïï cot x = 0 Û x = p + k p
2
Đặc biệt: ïí
ïï
p
ïï cot x = ± 1 Û x = ± + k p
4
ïî

+) tanx  a  x  arc tana +k , k 
+) cotx  a  x  arccot a+k , k 

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12

Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 2cos x b)

e) s in(x-600 ) =

3= 0

3 tan 3 x - 3 = 0

c) s inx+

3
= 0
2

d) s in2x = 1

-

2
2

i) sin(3x 1) sin(x- 2)

n) sin2x cot x = 0
o) sin 3x + sin 5 x = 0

f) cos(2x+500 ) =

3

2

k)cos3x sin 2x

g) tan(2 x - 1) =

3

l) (1- 2cox)(4 - cos x) = 0

p) tanxtan2x= -1

x
x
m) (cot - 1)(cot + 1) = 0
3
2
2
r) cos( x - 2 x) = 0

q) sin 2 x = 0

h) cot(2 x -

p
)= 1
3

b) Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác
 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công

thức lượng giác để đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản.
 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0
(hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t
bằng hàm số lượng giác.(Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)

Dạng

Đặt ẩn phụ

Điều kiện

a sin 2 x + b sin x + c = 0

t = sin x

- 1£ t £ 1

a cos2 x + b cos x + c = 0

t = cos x

- 1£ t £ 1

a tan 2 x + b tan x + c = 0

t = tan x

a cot 2 x + b cot x + c = 0

t = cot x

x¹

p
+ kp , (k Î ¢ )
2

x ¹ kp, (k Î ¢ )

Nếu đặt t = sin 2 x hoặc t = sin x thì điều kiện là 0 £ t £ 1

Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ
2



1 + sin 2x = sin 2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = (sin x + cos x )
2






1 - sin 2x = sin 2 x + cos2 x - 2 sin x cos x = (sin x - cos x )
sin x cos x =

sin 2x
2

sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x )(1 - sin x cos x )
sin 3 x - cos3 x = (sin x - cos x )(1 + sin x cos x )

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12












t an x + cot x =

sin x cos x sin 2 x + cos2 x
2
+
=
=
cos x sin x
sin x cos x
sin 2x

cos x sin x

cos2 x - sin 2 x 2 cos2x
cot x - t an x =
=
=
= 2 cot x
sin x cos x
sin x cos x
sin 2x
1
1 1
3 + 1cos 4x
sin 4 x + cos4 x = 1 - sin 2 2x = + cos2 2x =
2
2 2
4

(

)(

)

cos4 x - sin 4 x = sin 2 x + cos2 x cos2 x - sin 2 x = cos 2x

sin 6 x + cos6 x = sin 4 x + cos4 x - sin 2 x cos2 x = 1 -

3 2
5 + 3 cos 4x
sin 2x =
4

8

(

cos6 x - sin 6 x = cos 2x sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos2 x

x
1
=
2
cos x
æ
pö
÷
sin x ± cos x = 2 sin çççx ± ÷
=
÷
÷
4ø
è

)

1 + t an x t an

æ
pö
÷
2 cos çççx m ÷
÷

÷
4ø
è

cos x
cos2 x
1 - sin 2 x
1 + sin x
=
=
=
(mối liên hệ giữa sinx và cosx)
1 - sin x
cos x
cos x (1 - sin x ) cos x (1 - sin x )

Bài 2: Giải các phương trình sau:
æ

pö

æ

pö

a) 2cos2 x - 3cos x + 1 = 0

k) cos ççç2x + ÷÷÷+ cos ççç2x - ÷÷÷+ 4 sin x = 2 + 2 (1 - sin x )
4 ø÷
4 ø÷

è
è

b) 2cos2 2x + 3sin 2 x = 2

l) 4 sin 5 x cos x - 4 cos5 x sin x = sin 2 4x

c) 3cos2 x - 2sin x + 2 = 0

m) cos x + 3cos + 2 = 0

d) 5sin 2 x + 3cos x + 3 = 0

2
n) cot 2x+3cot2x+2=0

e) 2sin 2 x + 3sinx-5 = 0

2
o) 2cos 2x  2

f) tanx+cotx=2

2
2
p) 3cot x  2 2 sin x   2  3 2  cosx

g) 3sin 2 2x  4cos 2x  4  0

2

q) tan x 

h) sin 2 x  2sin 2 2x  1

2
r) 2cos 2x  2

4
 t anx  7
i)
cos 2 x

x
2

t)

(







3  1 cos2x  3  0



3  1 tan x  3  0





3  1 cos2x  3  0

)

2 cos6 x + sin 6 x - sin x cos x
= 0

2 - 2 sin x

æ

j) (tanx+cotx) 2 -(tanx+cotx)=2

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

s)

(1 + sin x + cos 2x )sin çççèx +
1 + t an x

ö
p÷
÷
÷
4÷

ø

=

1

cos x

2

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12


c) Phng trỡnh bc nht i vi sinx v cosx:
Dng: asinx+bcosx=c. iu kiờn phng trỡnh cú nghiờm l a 2 b 2 c 2 .
Cỏch 1: asinx+bcosx=c
b
a
t: cos
; sin
a 2 b2 sin( x ) c
2
2
2
2
a b
a b
b

Cỏch 2:
a sin x cos x c
a


b
c
t: tan a sin x cos x.tan c sin( x ) cos
a
a

2t
1 t2
x
;cos x
Cỏch 3: t: t tan ta cú: sin x
(b c)t 2 2at b c 0
2
2
2
1 t
1 t

Bi 3: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a) 3 sinx - cos x = 1
b) 2sin 3x + 5 cos3 x = - 3
c) sin 3x cos3x

3
2

h) sin 2x cos2x 1
i) sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x

j) sin 2 x sin 2x 3cos 2 x
p
4

p
3 2
)=
4
2

d) 3sin5x 2cos5x 3

k) 2sin( x + ) + sin( x -

e) 4sin x cos x 4

l) 4sin x + 3cos x = 4(1 + tan x) -

f) sin 2x cos2x 1

ổ x
ử2
x
ữ
m) ỗỗỗsin + cos ữữ =
ữ

2ứ
ố 2

g) sin x 1 sin x cos x cos x 1

n) cos 7x -

1
cos x

3 cos x = 2

3 sin 7x = -

ổ2p 6p ử
ữ
2 , " x ẻ ỗỗỗ ; ữ
ữ
ố 5 7 ứữ

d) Phng trỡnh lng giỏc ng cp
Dng: a. sin 2 X + b. sin x cos x + c. cos2 x = d

(1)

" a, b, c, d ẻ Ă

Cỏch 1:
ỡù cos x = 0
ù

ớ 2
(Hay x = kp ) cú phi l nghiờm ca
ùù sin x = 1
ùợ
phng trỡnh (1) hay khụng ? Nờu phi thỡ nhn nghiờm ny.

p
Bc 1. Kim tra xem x = + kp, (k ẻ Â )
2

p
+ kp, (k ẻ Â )
Bc 2. Khi x ạ
2

ỡù cos x ạ 0
ù
ớ 2
(Hay x ạ kp ) . Chia hai vờ ca (1) cho cos2 x
ùù sin x ạ 1
ùợ

(hay sin 2 x ), ta c:

Nguyn Hoi Nam 0979160543

Dy kốm hc sinh t L6 L12


(1) Û a.

sin 2 x
sin x cos x
cos2 x
d
+
b.
+
c.
=
2
2
2
cos x
cos x
cos x
cos2 x

(

Û a t an 2 x + b t an x + c = d 1 + t an 2 x

)

Û (a - d )t an 2 x + b t an x + c - d = 0
 Bước 3: Đặt t = tan x để đưa về phương trình bậc hai đã biết cách giải.
Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi
1 - cos 2x
sin 2x
1 + cos 2x

; cos2 x =
và sin x cos x =
vào (1) và rút gọn lại,
2
2
2
ta được: b sin 2x + (c - a )cos 2x = 2d - a - c (*)

 Bước 1: Thế sin 2 x =

 Bước 2: Giải phương trình (*) , tìm nghiệm. Đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2x và
cos 2x mà đã biết cách giải.

éa. sin 3 x + b. sin 2 x cos x + c. sin x cos2 x + d. cos 3 x = 0
(2)
ê
 Dạng: ê
4
3
2
2
3
4
êëa. sin x + b. sin x cos x + c. sin x cos x + d. sin x cos x + e. cos x = 0 (3)

Cách giải: Chia hai vế của (2) cho cos3 X (hay sin 3 X ) hoặc chia hai vế của (3) cho
cos4 X (hay sin 4 X ) và giải tương tự như trên.

Bài 4: Giải phương trình lượng giác:
a) cos2 x -

3 sin 2x = 1 + sin 2 x

b) 2 sin 2 x + (1 -

3) sin x cos x + (1 -

3) cos2 x = 1

c) 4 sin 2 x - 5sin x cos x - 6cos2 x = 0
d) sin 2 x -

3 sin x cos x + 2cos2 x = 1

e) 2sin 2 x + 3 3 sin x cos x - cos2 x = 4
f) 3 sin 2 x + 4 sin 2x + (8 3 - 9) cos2 x = 0
g) sin 2 x + 2 sin x cos x - 2 cos2 x =

1
2

h) - sin 2 x + 3 sin x cos x + 4 cos2 x = 3
i) 2sin 2 x - cos2 x - sin x cos x = 2
j) 4 sin 2 x + 3 cos2 x - 4 sin x cos x = 1
k) 3 sin 2 x + 4 cos2 x - 3 sin x cos x = 1
l) 5 sin 2 x + cos2 x + sin 2x = 2

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12

e) Phương trình lượng giác đối xứng
Dạng 1.
Dạng 2.
Dạng 3.

a (sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = 0 Þ P P : t = sin x + cos x, t £

t2 - 1
2 Þ sin x cos x =
2

a (sin x - cos x ) + b sin x cos x + c = 0 Þ P P : t = sin x - cos x, t £

2 Þ sin x cos x =

(

1- t2
2

)

a t an 2 x + cot 2 x + b (t an x + cot x ) + c = 0

ìï sin x ¹ 0
kp
ÐK : ïí
Û sin 2x ¹ 0 Û x ¹

, (k Î ¢ )
ïï cos x ¹ 0
2
î
Þ P P : t = t an x + cot x , t ³ 2 Þ t an 2 x + cot 2 x = t 2 - 2

Dạng 4.

(

)

a t an 2 x + cot 2 x + b (t an x - cot x ) + c = 0

ìï sin x ¹ 0
kp
ÐK : ïí
Û sin 2x ¹ 0 Û x ¹
, (k Î ¢ )
ïï cos x ¹ 0
2
î
Þ P P : t = t an x - cot x , t ³ 2 Þ t an 2 x + cot 2 x = t 2 + 2

Dạng 5.

(

)

a sin 4 x + cos4 x + b sin 2x + c = 0

Þ P P : t = sin 2x, t £ 1 Þ sin 4 x + cos 4 x = 1 -

Dạng 6.

(

)

a sin 4 x + cos4 x + b cos 2x + c = 0

Þ P P : t = cos 2x, t £ 1 Þ sin 4 x + cos 4 x = 1 -

Dạng 7.

(

)

(

3 2
3
sin 2x = 1 - t 2
4
4

)

a sin 6 x + cos6 x + b cos 2x + c = 0

Þ P P : t = cos 2x, t £ 1 Þ sin 6 x + cos6 x = 1 -

Dạng 9.

1 2
1 1
1 1
sin 2x = + cos2 2x = + t 2
2
2 2
2 2

a sin 6 x + cos6 x + b sin 2x + c = 0

Þ P P : t = sin 2x, t £ 1 Þ sin 6 x + cos 6 x = 1 -

Dạng 8.

1 2
1
sin 2x = 1 - t 2
2
2

3 2
1 3
1 3
sin 2x = + cos2 2x = + t 2

4
4 4
4 4

a sin 4 x + b cos4 x + c cos2x + d = 0

2
ìï
ìï 2
ïï 4
1- t)
(
1
cos
2x
1
t
ïï sin x =
ï sin x =
=
2
2 Þ ïïí
4
Þ P P : t = cos 2x, t £ 1 Þ ïí
2
ïï
ï
1
+
cos

2x
1
+
t
2
1
+
t
ï
(
)
cos
x
=
=
4
ïï
ï
2
2
ïî
ïïîï cos x =
4

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12


Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) 2  sin x  cos x   6sin x cos x  2  0

k) sin x  cos x  4sin x cos x  1  0

b) sin x cos x  2  sin x  cos x   1  0

l) 6  sin x  cos x   1  sin x cos x

c) sin x  cos x  2 6 sin xcos x

m) 2 2  sin x  cos x   3sin 2x

d) 2sin 2x  3 3  sin x  cos x   8  0

n) sin x  2sin 2x   cos x

e) sin 3 x + cos3 x - 1 =

3
sin 2x
2

f) 2 (sin x + cos x ) = tan x + cot x
3
3
g) 1 + cos x - sin x = sin x

h) cot x - tan x = sin x + cos x
i) 1 + tan x = sin x + cos x

æ

j) sin 2x + 2 sin çççx çè

p ö÷
÷= 1
÷
4 ø÷

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

1
2

o)
p)
q)

cos3 x + sin 3 x = cos 2x
cos3 x - sin 3 x = 1
sin 2x - 12 (sin x - cos x ) + 12 = 0

sin x + cos x
= 1
r) sin 2x + 1
sin x cos x + 2sin x + 2cos x = 2

s)

sin 6 x + cos6 x = sin 2x

t)

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12


f) Một số dạng phương trình khác
 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp:
 Phương trình chứa căn thức: Áp dụng công thức
A=

ìï B ³ 0
A = B Û ïí
ïï A = B2
ïî

ìï A ³ 0
ìï B ³ 0
B Û ïí
Û ïí
ïï A = B
ïï A = B
î
î

●
●
Lưu ý: Khi giải B ³ 0 , ta áp dụng phương pháp thử lại.
 Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Cách 1. Mở giá trị tuyệt đối dựa vào định nghĩa
Cách 2. Áp dụng công thức

éìï A ³
êï
ìï B ³ 0
êíï A =
ïï
ê
ï
● A = B Û í éêA = B Û êïîì
ïï ê
êïï A <
ïï êA = - B
êí
îë
êïï A =
ëî

éA = B
A = B Û êê
êëA = - B
●

0
B
0
- B

 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

 Loại 1. Tổng hai số không âm:

ìï A ³ 0
ïï
ïí B ³ 0
Þ
ïï
ïï A + B = 0
î

ìï A = 0
ï
í
ïï B = 0
î

 Loại 2. Phương pháp đối lập dạng 1:

ìï A £ M
ïï
ì
ïí B ³ M Þ íïï A = M
ïï
ïï B = M
î
ïï A = B
î

 Loại 3. Phương pháp đối lập dạng 2:

ìï ìï A £ M
ïï ï
ï íï B £ N
Þ
í ïî
ïï
ïï A + B = M + N
î

ìï A = M
ï
í
ïï B = N
î

ìï sin u = 1
Đặc biệt ● sin u ± sin v = 2 Û ïí

ìï sin u = - 1
● sin u + sin v = - 2 Û ïí

ìï cos u = 1
● cos u ± cos v = 2 Û ïí

ìï cos u = - 1
● cos u + cos v = - 2 Û ïí

ïï sin v = ± 1
î
ïï cos v = ± 1

î

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

ïï sin v = - 1
î

ïï cos v = - 1
î

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12


éìï sin u
êï
êíï sin v
ê
● sin u. sin v = 1 Û êïîì
êïï sin u
êí
êïï sin v
ëî

= 1
= 1
= - 1
= - 1

éìï cos u =
êï

êíï cos v =
ê
● cos u. cos v = 1 Û êïîì
êïï cos u =
êí
êïï cos v =
ëî

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

1
1
- 1
- 1

éìï sin u
êï
êíï sin v
ê
● sin u. sin v = - 1 Û êïîì
êïï sin u
êí
êïï sin v
ëî
éìï cos u
êï
êíï cos v
ê
● cos u. cos v = - 1 Û êïîì
êïï cos u

êí
êïï cos v
ëî

= - 1
= 1
= 1
= - 1

= - 1
= 1
= 1
= - 1

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12