Tim Min, Max bằng Bất đẳng thức-Chuyên đềg

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC
I. Sử dụng bất đẳng thức cổ điển:
Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm
1
a
,
2
a
, ...,
n
a
. Ta có
n
a...aa
n21
+++

≥

n
n21
a...aa
Dấu “=” xảy ra
⇔

1
a
=
2
a

= ... =
n
a
.
Bất đẳng thức Bunhia: Cho 2 dãy số
1
a
, ...,
n
a
và
1
b
, ...,
n
b
. Ta có
(
2
1
a
+ ... +
2
n
a
)(
2
1
b
+ ... +

2
n
b
)
≥

2
nn11
)ba...ba(
++
Dấu “=” xảy ra
⇔

1
1
b
a
=
2
2
b
a
= ... =
n
n
b
a
.
Ví dụ 1. Cho x, y > 0. Tìm min f(x, y) = x +
)yx(xy

1
−
.
Giải.
f(x, y) = x +
)yx(xy
1
−

≥
x +
2
)
2
yxy
(x
1
−+
= x +
3
x
4
=
3
x
4
3
x
3
x

3
x
+++

≥
8.
Vậy f(x, y)
≥
8. Dấu “=” xảy ra
⇔






=
−=
3
x
4
3
x
yxy

⇔







=
=
2
12
y
12x
4
4
.
Ví dụ 2. Tìm GTNN của S =
33
zxy
yx
+
với x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Giải.
S =
33
zxy
3
y
3
y
3
y
x
+++

≥

33
4
3
zxy
3
y
x4







⇒

4
S

≥

12933
4
zyx
1
3
4
=

1293
12933
4
12
z
9
y
3
x
1
12933
4



















4
S

≥

241236
4
1293
12
z
12
9
y
9
3
x
3
1
43
4













++
++
=
12
56
3
2
.
S
≥

3
14
3
2
.
Dấu “= ” xảy ra
⇔











=
=
=
8
1
z
8
3
y
8
1
x
.
Ví dụ 3. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Tìm GTNN của hàm số:
f(A, B, C) =












+
2
A

sin
1
1












+
2
B
sin
1
1













+
2
C
sin
1
1
.
Giải.
Ta có:
f(A, B, C) = 1 +
2
A
sin
1
+
2
B
sin
1
+
2
C
sin
1
+
2
B

sin
2
A
sin
1
+
2
C
sin
2
B
sin
1
+
2
A
sin
2
C
sin
1
+
2
C
sin
2
B
sin
2
A

sin
1

≥
1 + 3
3
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
1
+ 3
3
2
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
1













+
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
1
=
3
3
2
C
sin
2
B

sin
2
A
sin
1
1












+

≥

3
3
8
1
1
1













+

= 27.
⇒
min f = 27 khi tam giác ABC đều.
Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi:
1) Tìm min, max của hàm số:
f(x, y, z) =
xyz
3xyz2yxz1zxy
−+−+−
Trên D =
( ){ }
1z;2y;3x:z,y,x
≥≥≥
.
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Tìm min của f(x, y, z ) =
xyz
yx

+
.
3) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x, y, z) =
222
zyx
1
++
+
xy
1
+
yz
1
+
xz
1
.
(Đ/s: min f = 30 tại x = y = z =
3
1
).
4) Cho ac > 0 và
a
1
+
c
1
=
b

2
. Tìm min của f(a, b, c ) =
ba2
ba
−
+
+
bc2
cb
−
+
.
Ví dụ 3. Tìm min của hàm số:
f(x, y) =
ycosdxsinc
ycosbxsina
22
44
+
+
+
ysindxcosc
ysinbxcosa
22
44
+
+
.
(với a, b, c là các hằng số dương)
Giải.

f(x, y) = a[
ycosdxsinc
xsin
22
4
+
+
ysindxcosc
xcos
22
4
+
] + b[
ycosdxsinc
ycos
22
4
+
+
ysindxcosc
ysin
22
4
+
]
= a
1
f
+ b
2

f
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia:
[(c
xsin
2
+ d
ycos
2
) + (c
xcos
2
+ d
ysin
2
)][
ycosdxsinc
xsin
22
4
+
+
ysindxcosc
xcos
22
4
+
]
≥
1
1

f

≥

dc
1
+
. Dấu “=” xảy ra
⇔

ycosdxsinc
xsin
22
2
+
=
ysindxcosc
xcos
22
2
+
=
dc
1
+

⇔

xsin
2

=
ycos
2
.
tương tự:
2
f

≥

dc
1
+
. Dấu “=” xảy ra
⇔

xsin
2
=
ycos
2
.
vậy f(x, y)
≥

dc
ba
+
+
. Dấu “=” xảy ra

⇔

xsin
2
=
ycos
2
.
min f =
dc
ba
+
+
khi
xsin
2
=
ycos
2
.
Bài tập áp dụng Bunhia:
1) Cho x, y, z > 0; x + y + z =
2
π
. Tìm Min của biểu thức
f(x, y, z) =
tgxtgy1
+
+
tgytgz1

+
+
tgxtgz1
+
.
2) Tìm max của hàm số: f(x, y) =
x2
+
y
.
Trên miền D=
{ }
1yx;0y;0x);y,x(
33
≤+≥≥
.
3) Cho A, B, C là 3 góc của tam giác. Tìm min của biểu thức:
M =
A2cos2
1
+
+
B2cos2
1
+
+
C2cos2
1
−
.

Ví dụ 4. Cho x, y, z, t
∈







1;
4
1
. Tìm min của hàm số:
f(x, y, z, t) =
)
4
1
y(log
x
−
+
)
4
1
z(log
y
−
+
)
4

1
t(log
z
−
+
)
4
1
x(log
t
−
.
Giải.
Vì x, y, z, t
∈







1;
4
1
và ta có
2
x

≥

x –
4
1

⇒

2
t
xlog

≤

)
4
1
x(log
t
−
.
Tương tự và cộng vế với vế ta có:
f(x, y, z, t)
≥
2(
ylog
x
+
zlog
y
+
tlog

z
+
xlog
t
)
≥
8
4
tzyx
xlogtlogzlogylog

= 8.
⇒
f(x, y, z, t)
≥
8. Dấu “=”
⇔
x = y = z = t =
2
1
.
II. Sử dụng các bất đẳng thức khác:
Bất đẳng thức trị tuyệt đối:
a
+
b

≥

ba

+
ba
−

≤

ba
−
Dấu “=” xảy ra
⇔
ab > 0.
Ví dụ. Cho
1
a
, ...,
n
a
là các hằng số cho trước. Tìm min của biểu thức
T =
1
ax
−
+
2
ax
−
+ ... +
n
ax
−

.
Giải.
Không mất tính tổng quát giả sử
1
a

≤
...
≤

n
a
TH1: n = 2k
1
ax
−
+
n
ax
−

≥

n
a
–
1
a
. Dấu “=”
⇔

1
a

≤
x
≤

n
a
.
................................
1k
ax
+
−
+
k
ax
−

≥

1k
a
+
–
k
a
. Dấu “=”

⇔

k
a

≤
x
≤

1k
a
+
.
⇒
T
≥
(
n
a
+ ... +
1k
a
+
) – (
1
a
+ ... +
k
a
). Dấu “=”

⇔

k
a

≤
x
≤

1k
a
+
.
Với n = 2k thì minT = (
n
a
+ ... +
1k
a
+
) – (
1
a
+ ... +
k
a
) tại
k
a

≤
x
≤

1k
a
+
.
TH2: n = 2k + 1.
1
ax
−
+
n
ax
−

≥

n
a
–
1
a
. Dấu “=”
⇔

1
a

≤
x
≤

n
a
.
................................
2k
ax
+
−
+
k
ax
−

≥

2k
a
+
–
k
a
. Dấu “=”
⇔

k
a

≤
x
≤

2k
a
+
.
1k
ax
+
−

≥
0. Dấu “=”
⇔
1k
a
+
= 0.
⇒
T
≥
(
n
a
+ ... +
2k
a

+
) – (
1
a
+ ... +
k
a
). Dấu “=”
⇔

1k
a
+
= 0.
Với n = 2k + 1 minT = (
n
a
+ ... +
2k
a
+
) – (
1
a
+ ... +
k
a
) khi
1k
a

+
= 0.