ON TAP CHUONG 1 HH LOP 11 HAY

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG I HÌNH HỌC 11
I. Phép biến hình: * Nếu phép biến hình là F thì viết F(M) = M′ hay M′ = F(M), ta gọi M′ là ảnh của
điểm M qua phép biến hình F
* Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép đồng nhất
II. Phép tịnh tiến:
1. Lý thuyết:
uuuuu
r r
uuuuur uuuu
r
* Nếu Tvr (M) = M′ ⇔ MM′ = v
* Nếu Tvr (M) = M′ và Tvr (N) = N′ ⇔ M′N′ = MN ⇒ MN = M′N′
 x′ = x

* Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất tức là 
 y′ = y
r
u
r
* Tvr (d) = d ⇔ v và v′ cùng phương
r
 x M′ = x M + a
với v = (a; b)
 y M′ = y M + b

* Biểu thức tọa độ: Nếu Tvr (M) = M′ ⇒ M′ (xM + a; yM + b) hoặc M′ = 

* Phép tịnh tiến: + Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
+ Biến tam giác thành tam giác bằng nó
+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

2. Bài tập mẫu:
Bài 1: uCho
tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của utam
giác ABC qua phép tịnh tiến theo
uur
uur
vectơ AG . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A.
uuur (B) = B′
Giải: * Dựng hình bình hành AB B′ G ⇒ TAG
D
u
u
u
r
′
T
(C)
=
C
⇒
Dựng hình bình hành AC C′ G
AG
uuur (A) = G
uuur (ABC) = GB′C′
TAG
A
. Vậy: TAG
u
u
u

r
u
u
u
r
uuur (D) = A ⇔
* Ta có: TAG
DA = AG . Dựng điểm D sao cho A
G
là trung điểm của DG.
Bài 2: Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3) qua phép
C
B
r
T
tịnh tiến v trong các trường hợp sau:
r
r
r
a) v = (1;1)
b) v = (−2;1)
c) v = (0; 0)
C'
B'
r
r
r
′
′
′

Giải: a) Tv (A) = A (1;3)
b) Tv (A) = A (−2;3)
c) Tv (A) = A (0;2)
a) Tvr (B) = B′(2; 4)
b) Tvr (B) = B′(−1; 4)
c) Tvr (B) = B′(1;3)
Bài 3: Cho điểm A(1; 4). Tìm tọa độ của điểm B sao cho A = Tvr (B) (tức là A là ảnh của B), biết:
r
r
r
a) v = (2; −3)
b) v = (−3;1)
c) v = (0; 0)
r
xB = x A − a
với v = (a; b)
yB = y A − b

Giải: Ghi nhớ: A = Tvr (B) ⇒ B(xA – a; yA – b) hay B = 

a) A = Tvr (B) ⇒ B(-1; 7)
b) A = Tvr (B) ⇒ B(4; 3)
c) A = Tvr (B) ⇒ B(1; 4)
r
Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ v sao cho M′ = Tvr (M) , biết:
a) M(-1; 0), M′ (3; 8)
b) M(-5; 2), M′ (4; -3)
c) M(-1; 2), M′ (4; 5)
r
Giải: a) Ghi nhớ: M′ = Tvr (M) ⇒ v = (x M′ − x M ; y M′ − y M )

r
r
r
a) v = (4;8)
b) v = (9; −5)
c) v = (5;3)
Bài 5: ra) Tìm tọa độ của C” là ảnh của điểm C(3; -2) bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo
vectơ v = (−2;4) và phép vị tự tâm O, tỉ số 2
r
b) Tìm tọa độ ảnh của điểm D(-5; 1) bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v = (3;2)
và phép quay tâm O, góc 900.
1


c) Tìm tọa độ của E” là ảnh của điểm E(5; 2) bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số -3 và
phép quay tâm O, góc - 900.
Giải: a) Gọi C” là điểm cần tìm. Ta có: Tvr (C) = C′(1;2) và V(O,2) (C′) = C′′( 2; 4)
b) Gọi D” là điểm cần tìm. Ta có: Tvr (D) = D′(−2;3) và Q(O,90 ) (D′) = D′′(−3; −2)
0

c) Gọi E” là điểm cần tìm. Ta có: V(O,−3) (E) = E′(−15; −6) và Q(O,−90 ) (E′) = E′′(−6;15)
r
Bài 6: Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v , biết:
r
r
a) d: x + 3y – 1 = 0 với v = (2; −1)
b) d: 2x – y – 1 = 0 với v = (2; −1)
Giải: a) * Cách 1: Gọi Tvr (d) = d′ . Khi đó d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x + 3y + C = 0
Chọn A(1; 0) ∈ d. Khi đó: Tvr (A) = A′(3; −1) ∈ d’ nên 3 – 3 + C = 0 ⇔ C = 0. Vậy: d’: x + 3y = 0
* Cách 2: Chọn A(1; 0) ∈ d ⇒ Tvr (A) = A′(3; −1) ∈ d’ và chọn B(-2; 1) ⇒ Tvr (B) = B′(0; 0) ∈ d’

0

x − x A′
x − y A′
x − 3 y +1
=
⇔
=
x B′ − x A′ y B′ − y A′
0 − 3 0 +1
⇔ x – 3 = -3y – 3 ⇔ x + 3y = 0
 x′ = x + 2
 x = x′ − 2
⇒ 
* Cách 3: Gọi M(x; y) ∈ d, Tvr (M) = M′ = 
 y′ = y − 1
 y = y′ + 1
’
’
Ta có: M ∈ d ⇔ x + 3y – 1 = 0 ⇔ x – 2 + 3y + 3 – 1 = 0 ⇔ x’ + 3y’ = 0 ⇔ M’ ∈ d’: x + 3y = 0
b) * Cách 1: Gọi Tvr (d) = d′ . Khi đó d’ // d nên PT đt d’ có dạng: 2x – y + C = 0

Đt d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên PT đt d’ là:

Chọn A(0; -1) ∈ d. Khi đó: Tvr (A) = A′(2; −2) ∈ d’ nên 4 + 2 + C = 0 ⇔ C = -6. Vậy: d’: 2x – y – 6 = 0
* Cách 2: Chọn A(0; -1) ∈ d ⇒ Tvr (A) = A′(2; −2) ∈ d’ và chọn B(1; 1) ⇒ Tvr (B) = B′(3; 0) ∈ d’

x − x A′
x − y A′
x−2 y+2

=
⇔
=
x B′ − x A′ y B′ − y A′
3−2 0+ 2
⇔ 2x – 4 = y + 2 ⇔ 2x – y – 6 = 0
 x′ = x + 2
 x = x′ − 2
⇒ 
* Cách 3: Gọi M(x; y) ∈ d, Tvr (M) = M′ = 
 y′ = y − 1
 y = y′ + 1
Ta có: M ∈ d ⇔ 2x – y – 1 = 0 ⇔ 2x’ – 4 – y’ – 1 – 1 = 0 ⇔ 2x’ – y’ – 6 = 0 ⇔ M’ ∈ d’: 2x –ry – 6 = 0
r
Bài 7: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo v : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – 1 = 0 với v = (−2; −1)
Giải: * Cách 1: Gọi Tvr (d) = d′ . Khi đó d // d’ nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = 0

Đt d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên PT đt d’ là:

Chọn A’(2; -1)∈ d’. Khi đó: Tvr (A) = A′ ⇒ A(4; 0) ∈ d nên 8 + 0 + C = 0 ⇔ C = -8
Vậy: d: 2x + 3y – 8 = 0
* Cách 2: Chọn A’(2; -1) ∈ d’, Tvr (A) = A′ ⇒ A(4; 0)∈ d và chọn B’(-1; 1)∈ d’, Tvr (B) = B′ ⇒ B(1; 2)∈ d
x − xA
x − yA
x−4 y−0
=
⇔
=
Đt d đi qua 2 điểm A, B nên PT đt d là:
xB − xA yB − yA

1− 4 2 − 0
⇔ 2x – 8 = -3y ⇔ 2x + 3y – 8 = 0
 x = x′ + 2
 x′ = x − 2
⇒
 y = y′ + 1
 y′ = y − 1
’∈ ’ ⇔
’
’
Ta có: M d
2x + 3y – 1 = 0 ⇔ 2x – 4 + 3y – 3 – 1 = 0 ⇔ 2x + 3y – 8 = 0
⇔ M ∈ d: 2x + 3y – 8 = 0
r
Bài 8: Tìm tọa độ vectơ v sao cho Tvr (d) = d′ với d: 3x – y + 1 = 0 và d’: 3x – y – 7 = 0
r
Giải: Chọn A(0; 1)∈ d và B(0; -7) ∈ d’. Khi đó: Tvr (d) = d′ ⇒ v = (0; −8)
r
Bài 9: Tìm tọa độ vectơ v sao cho Tvr (C) = (C′)

* Cách 3: Gọi M’(x’; y’)∈ d’, Tvr (M) = M′ ⇒ M = 

a) (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4 và (C’): (x + 5)2 + (y – 1)2 = 4
b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 và (C’): x2 + y2 + 4x – 6y + 10 = 0
Giải: a) Từ (C), ta có: tâm I(2; -3) và từ (C’), ta có: tâm I’(-5; 1)
2


r

Khi đó: Tvr (C) = (C′) ⇒ v = (−7; 4)
b) Từ (C), ta có: tâm I(1;r -2) và từ (C’), ta có: tâm I’(-2; 3)
Khi đó: Tvr (C) = (C′) ⇒ v = (−3;5)
r
Bài 10: Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo v , biết:
r
r
a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 với v = (3; −4)
b) (C): (x + 3)2 + (y – 1)2 = 4 với v = (−3;1)
Giải: a) * Cách 1: (C) có tâm I(2; -1) và bán kính R = 8
2
2
Khi đó: Tvr (I) = I′(5; −5) và R’ = R = 8 . Vậy: Tvr (C) = (C') : (x − 5) + (y + 5) = 8
 x′ = x + 3
 x = x′ − 3
⇒
 y′ = y − 4
 y = y′ + 4
2
2
’
2
Ta có: M ∈ (C) ⇔ x + y – 4x + 2y – 3 = 0 ⇔ (x – 3) + (y’ + 4)2 – 4x’ + 12 + 2y’ + 8 – 3 = 0
⇔ x′2 − 6x′ + 9 + y′2 + 8y′ + 16 − 4x′ + 12 + 2y′ + 8 − 3 = 0 ⇔ x′2 + y′2 − 10x′ + 10y′ + 42 = 0

* Cách 2: Gọi M(x; y) ∈ (C), Tvr (M) = M′ = 

⇔ M’ ∈ (C′) : x2 + y2 – 10x + 10y + 42 = 0

b) * Cách 1: (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 2

2
2
Khi đó: Tvr (I) = I′(−6;2) và R’ = R = 2. Vậy: Tvr (C) = (C') : (x + 6) + (y − 2) = 4
 x′ = x − 3
 x = x′ + 3
⇒
 y′ = y + 1
 y = y′ − 1
Ta có: M ∈ (C) ⇔ (x’ + 3 + 3)2 + (y’ – 1 – 1)2 = 4 ⇔ M’ ∈ (C′) : (x + 6)2 + (y – 2)2 = 4

* Cách 2: Gọi M(x; y) ∈ (C), Tvr (M) = M′ = 

r
Bài 11: Phép tịnh tiến theo vectơ v = (3;m) . Tìm m để đt d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua
r
phép tịnh tiến theo vectơ v
r
Giải: Từ đt d ⇒ VTCP của d là: u = (−6;4)
r
r
3 m
= ⇔ 12 = -6m ⇔ m = -2
Để Tvr (d) = d ⇔ v cùng phương u ⇔
−6 4
3. Bài tập tự luyện:
uuur
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD .
uuur
Xác định điểm F sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AC biến F thành A.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD,

MN. Hãy tìm một phép tịnh tiến biến ∆ AFM thành ∆ ENF
r
Bài 3: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ v , biết:
r
r
a) A(2; -3) với v = (7;2) . ĐS: A’(9; -1)
b) B(8; 2) với v = (−7;4) . ĐS: B’(1; 6)
r
r
c) C(1; 2) với v = (−4;3) . ĐS: C’(-3; 5)
d) D(-5; -6) với v = (4; −9) . ĐS: D’(-1; -15)
r
Bài 4: a) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A(3; 5) là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (−1;2)
r
b) Tìm tọa độ của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; −5) , biết Tvr (M) = N và N(-7; 2)
c)
r Cho điểm D(-5; 6). Tìm tọa độ của điểm E sao cho D là ảnh của E qua phép tịnh tiến theo vectơ
v = (−2; −8)
r
d) Cho điểm A(1; 4). Tìm tọa độ điểm B sao cho A = Tvr (B) với v = (−3;9)
ĐS: a) C(4; 3)
b) M(-10; 7)
c) E(-3; 14)
d) B(4; -5)
r
r
Bài 5: Tìm tọa độ của vectơ v sao cho Tv (A) = B , biết:
a) A(-10; 1), B(3; 8)
b) A(-5; 2), B(4; -3)
c) A(-1; 2), B(4; 5)

d) A(0; r0), B(-3; 4)
e)
A(5;
-2),
B(2;
6)
f)
A(2; 3), B(4; -5)
r
r
ĐS: a) v = (13;7)
b) v = (9; −5)
c) v = (5;3)
r
r
r
d) v = (−3;4)
e) v = (−3;8)
f) v = (2; −8)
3


r
Bài 6: a) Cho đt d: 2x – y + 5 = 0. Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (4; −3)
r
b) Cho đt d: x – 4y – 2 = 0. Tìm PT đt d’ sao cho Tvr (d) = d′ với v = (−2;5)
r
c) Cho đt d: 5x + 3y + 5 = 0. Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (−2; −1)
r
d) Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3;7) , biết: đt d: 4x – y – 3 = 0

ĐS: a) 2x – y – 6 = 0
b) x – 4y – 20 = 0 r c) 5x + 3y + 18 = 0
d) 4x – y – 8 = 0
’
Bài 7: Tìm đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v : d biến thành d :
r
r
a) d’: 2x + 3y – 1 = 0 với v = (−2; −1)
b) d’: 2x – 4y – 1 = 0 với v = (3; −1)
r
r
c) d’: x – 6y + 2 = 0 với v = (−2;4)
d) d’: 5x – 3y + 5 = 0 với v = (−2; −3)
ĐS: a) 2x +3y – 8 = 0
b) 2x – 4y + 9 = 0
c)r x – 6y – 24 = 0
d) 5x – 3y + 4 = 0
Bài 8: Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v , biết:
r
a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 với v = (3; −4) . ĐS: (x – 5)2 + (y + 5)2 = 8
r
b) (C): x2 + y2 + 6x – 4y + 1 = 0 với v = (−3; −5) . ĐS: (x + 6)2 + (y + 3)2 = 12
r
c) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 16 với v = (−1;4) . ĐS: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 16
r
d) (C): (x + 4)2 + (y – 1)2 = 9 với v = (5;3) . ĐS: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 9
r
Bài 9: Tìm tọa độ của vectơ v sao cho Tvr (d) = d′ và Tvr (C) = (C′) , biết:
a) d: 3x – 2y + 1 = 0 và d’: 3x – 2y – 4 = 0
b) d: 2x + y – 5 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0

c) (C): (x + 3)2 + (y – 2)2 = 4 và (C’): (x – 5)2 + (y – 7)2 = 4
2
2
’
2
2
d) (C): (x
r – 5) + (y + 4) = 8 và (Cr): (x + 2) + (y – 9) = 8 r
r
ĐS: a) v = (−1; −4)
b) v = (0; −8)
c) v = (8;5)
d) v = (−7;13)
r
Bài 10: Phép tịnh tiến theo vectơ v = (3m; −6) . Tìm m để đt d: 4x + 2y – 7 = 0 biến thành chính nó
r
qua phép tịnh tiến theo vectơ v . ĐS: m = -4
III. Phép quay
x′ = − y
 y′ = x
 x′ = y
* Phép quay tâm O, góc -900: Q(O,−900 ) (M) = M′ = 
 y′ = −x


1. Lý thuyết: * Phép quay tâm O, góc 900: Q(O,90 ) (M) = M′ = 
0

2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết:

a) A(3; -4)
b) B(-2; 1)
c) C(4; 5)
d) D(-2; -3)
e) E(0; -5)
′
′
Q
(A)
=
A
Q
(B)
=
B
Giải: a) (O,90 )
(4; 3)
b) (O,90 )
(-1; -2)
c) Q(O,90 ) (C) = C′ (-5; 4)
d) Q(O,90 ) (D) = D′ (3; -2)
e) Q(O,90 ) (E) = E′ (5; 0)
0

0

0

0

0

Bài 2: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết:
a) A(2; 5)
b) B(-4; 2)
c) C(-3; -1)
′
′ (2; 4)
Q
(A)
=
A
Q
(B)
=
B
Giải: a) (O,−90 )
(5; -2)
b) (O,−90 )
c) Q(O,−90 ) (C) = C′ (-1; 3)
Bài 3: Tìm tọa độ của điểm A sao cho Q(O,90 ) (A) = B , biết:
0

0

0

0

a) B(3; -5)

b) B(-2; 7)
Giải: a) Q(O,90 ) (A) = B ⇒ A(-5; -3)
c) Q(O,90 ) (A) = B ⇒ A(-1; 3)
0

0

c) B(-3; -1)
d) B(4; 6)
b) Q(O,90 ) (A) = B ⇒ A(7; 2)
d) Q(O,90 ) (A) = B ⇒ A(6; -4)
0

0

Bài 4: Tìm tọa độ của điểm C sao cho D là ảnh của C qua phép quay tâm O, góc quay -90 0, biết:
a) D(-5; 1)
b) D(-4; -7)
c) D(2; 3)
d) D(4; -8)
Giải: a) Q(O,−90 ) (C) = D ⇒ C(-1; -5)
b) Q(O,−90 ) (C) = D ⇒ C(7; -4)
0

0

4


c) Q(O,−90 ) (C) = D ⇒ C(-3; 2)

d) Q(O,−90 ) (C) = D ⇒ C(8; 4)
Bài 5: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết đt d: 5x – 2y – 2 = 0
Giải: * Cách 1: Gọi Q(O,90 ) (d) = d′
0

0

0

Chọn A(0; -1)∈ d ⇒ Q(O,90 ) (A) = A′ (1; 0)∈ d’ và B(2; 4) ⇒ Q(O,90 ) (B) = B′ (-4; 2)∈ d’
x − x A′
y − y A′
x −1 y − 0
=
⇔
⇔ 2x + 5y – 2 = 0
=
Đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:
x B′ − x A′ y B′ − y A′
−4 − 1 2 − 0
* Cách 2: Gọi Q(O,90 ) (d) = d′ ⇒ d ⊥ d′ nên PT đt d’ có dạng: 2x + 5y + C = 0
Chọn A(0; -1)∈ d ⇒ Q(O,90 ) (A) = A′ (1; 0)∈ d’. Khi đó: 2 + C = 0 ⇔ C = -2. Vậy: d’: 2x + 5y – 2 = 0
0

0

0

0

x′ = −y x = y′
⇒
* Cách 3: Gọi M(x; y)∈ d ⇒ Q(O,90 ) (M) = M′ = 
′
y
=
x

y = −x′
’
’
’
Ta có: M∈ d: 5x – 2y – 2 = 0 ⇔ 5y – 2(-x ) – 2 = 0 ⇔ 2x + 5y’ – 2 = 0
⇔ M’∈ d’: 2x + 5y – 2 = 0
Bài 6: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết đt d: 2x – 5y + 1 = 0
Giải: * Cách 1: Gọi Q(O,−90 ) (d) = d′
Chọn A(2; 1)∈ d ⇒ Q(O,−90 ) (A) = A′ (1; -2)∈ d’ và B(-3; -1) ⇒ Q(O,−90 ) (B) = B′ (-1; 3)∈ d’
0

0

0

0

x − x A′
y − y A′
x −1 y + 2
=
⇔

⇔ 5x + 2y – 1 = 0
=
x B′ − x A′ y B′ − y A′
−1 − 1 3 + 2
* Cách 2: Gọi Q(O,−90 ) (d) = d′ ⇒ d ⊥ d′ nên PT đt d’ có dạng: 5x + 2y + C = 0
Chọn A(2; 1)∈ d ⇒ Q(O,−90 ) (A) = A′ (1; -2)∈ d’. Khi đó: 5 – 4 + C = 0 ⇔ C = -1
Đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:
0

0

Vậy: d’: 5x + 2y – 1 = 0

x′ = y
x = −y′
⇒
* Cách 3: Gọi M(x; y)∈ d ⇒ Q(O,−90 ) (M) = M′ = 
y′ = − x y = x′
’
’
Ta có: M∈ d: 2x – 5y + 1 = 0 ⇔ 2(-y ) – 5x + 1 = 0 ⇔ –5x’ – 2y’ + 1 = 0
⇔ M’∈ d’: 5x + 2y – 1 = 0
Bài 7: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết
a) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9
b) x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
Giải: a) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -5) và bán kính R = 3
Khi đó: Q(O,90 ) (I) = I′ (5; 2) và bán kính R’ = R = 3. Vậy: Q(O,90 ) (C) = (C′) : (x – 5)2 + (y – 2)2 = 9
x′ = −y x = y′
⇒
* Cách 2: Gọi M∈ (x; y)∈ (C) ⇒ Q(O,90 ) (M) = M′ = 

y′ = x
y = −x′
Ta có: M∈ (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9 ⇔ (y’ – 2)2 + (-x’ + 5)2 = 9 ⇔ (x’ – 5)2 + (y’ – 2)2 = 9
⇔ M’∈ (C’): (x – 5)2 + (y – 2)2 = 9
b) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -1) và bán kính R = 3
Khi đó: Q(O,90 ) (I) = I′ (1; 2) và bán kính R’ = R = 3. Vậy: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9
x′ = −y x = y′
⇒
* Cách 2: Gọi M∈ (x; y)∈ (C) ⇒ Q(O,90 ) (M) = M′ = 
′
y
=
x

y = −x′
2
2
’
2
’
2
’
Ta có: M∈ (C): x + y – 4x + 2y – 4 = 0 ⇔ (y ) + (-x ) – 4y + 2(-x’) – 4 = 0
⇔ x′2 + y′2 − 2x′ − 4y′ − 4 = 0 ⇔ M’∈ (C’): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0
Bài 8: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết: (x + 4)2 + (y – 1)2 = 16
Giải: * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) và bán kính R = 4
Khi đó: Q(O,−90 ) (I) = I′ (1; 4) và bán kính R’ = R = 4. Vậy: Q(O,−90 ) (C) = (C′) : (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16
0

0

0

0

0

0

0

0

5


x′ = y
x = −y′
⇒
* Cách 2: Gọi M∈ (x; y)∈ (C) ⇒ Q(O,−90 ) (M) = M′ = 
y′ = − x y = x′
2
2
’
2
Ta có: M∈ (C): (x + 4) + (y – 1) = 16 ⇔ (–y + 4) + (x’ – 1)2 = 16 ⇔ (y’ – 4)2 + (x’ – 1)2 = 16
⇔ M’∈ (C’): (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16
Bài 9: Cho tam giác ABC, trọng tâm G
a) Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay 900
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 900

C"
0
A
c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 90
Giải: a) Dựng AB = AB’ và (AB, AB’) = 900
Khi đó: B’ là ảnh của điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 900
b) Dựng AC = AC’ và (AC, AC’) = 900
B'
B
Khi đó: B’C’ là ảnh của BC qua phép quay tâm A, góc quay 900
G
c) Dựng GA = GA’và (GA, GA’) = 900, GB = GB”
A'
và (GB, GB”) = 900, GC = GC” và (GC, GC”) = 900
Khi đó: Tam giác A’B”C” là ảnh của tam giác ABC qua
phép quay tâm G, góc quay 900
B"
C
0
Bài 10: Cho ∆ ABC đều có tâm O và phép quay tâm O, góc quay 120 .
a) Xác định ảnh của các đỉnh A, B, C qua phép quay Q(O,120 )
b) Tìm ảnh của ∆ ABC qua phép quay Q(O,120 )
0

C'

0

0

OA = OB
⇒ Q(O,120 ) (A) = B;
Giải: a) Ta có: 
0
(OA,OB)
=
120

OB = OC
OC = OA
⇒ Q(O,120 ) (B) = C; 
⇒ Q(O,120 ) (C) = A

0
0
(OB,OC) = 120
(OC,OA) = 120
b) Vậy: Q(O,120 ) ( ∆ ABC) = ∆ BCA

A

0

0

120 O 120
120

0

0

Bài 11: Cho hình vuông ABCD tâm O
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 900
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 900
Giải:
a) Dựng AE = AC và (AE, AC) = 900
Vậy: Q(A,90 ) (C) = E
b) Ta có: Q(O,90 ) (B) = C; Q(O,90 ) (C) = D

B

C

D

E

C

O

0

0

0

B

A

Vậy: Q(O,90 ) (BC) = CD
Bài 12: Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh
A
M
của ∆ AMN qua phép quay tâm O, góc quay 900.
B
’
’
Giải: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OA và OD
Ta có: Q(O,90 ) (A) = D; Q(O,90 ) (M) = N
M'
Q(O,90 ) (M’) = N’
N
0

0

0

0

O

Vậy: Q(O,90 ) ( ∆ AMN) = ∆ DM’N’
0

N'
D

C

Bài 13: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó.
Tìm
ảnh của ∆ OAB qua phép dời hình cóuuđược
ur bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay
0
60 và qua phép tịnh tiến theo vectơ OE
6


F

Giải: Ta có: * Q(O,60 ) (O) = O; Q(O,60 ) (A) = B; Q(O,60 ) (B) = C
⇒ Q(O,60 ) ( ∆ OAB) = ∆ OBC
0

0

A

0

E

0

uuur
uuur

uuur
* TOE
(O) = E; TOE
(B) = O; TOE
(C) = D
u
u
u
r
Vậy: TOE ( ∆ OBC) = ∆ EOD

O
D

B
C

Bài 14: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. I là
trung điểm của AB.
F
Q
a) Tìm ảnh của ∆ AIF qua phép quay (O,120 )
A
E
b) Tìm ảnh của ∆ AOF qua phép quay Q(E,60 )
0

0

Giải: a) Gọi J là trung điểm của CD

Ta có: Q(O,120 ) (A) = C; Q(O,120 ) (I) = J; Q(O,120 ) (F) = B
Vậy: Q(O,120 ) ( ∆ AIF) = ∆ CJB
0

0

I
O

0

D

B

0

b) Ta có: Q(E,60 ) (A) = C; Q(E,60 ) (O) = D; Q(E,60 ) (F) = O
Vậy: Q(E,60 ) ( ∆ AOF) = ∆ CDO
0

0

J

0

C

0

Bài 15: Cho hai hình vuông vuông ABCD và BEFG (hình bên). Tìm ảnh của ∆ ABG trong phép quay
tâm B, góc quay -900.
C
D
Giải:
Ta có: Q(B,−90 ) (A) = C; Q(B,−90 ) (B) = B; Q(B,−90 ) (G) = E
G
F
Q
Vậy: (B,−90 ) ( ∆ ABG) = ∆ CBE
0

0

0

0

A

E

B

Bài 16: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó.
F
Tìm một phép quay biến ∆ AOF thành ∆ CDO
EA = EC
A

⇒ Q(E,60 ) (A) = C
E
Giải: Ta thấy: * 
0
(EA,
EC)
=
60

O
EO = ED
EF = EO
⇒ Q(E,60 ) (O) = D; * 
⇒ Q(E,60 ) (F) = O
*
0
0
(EO,
ED)
=
60
(EF,
EO)
=
60


B
D
Vậy: Q(E,60 ) (∆AOF) = ∆ CDO

0

0

0

0

C

Bài 17: Cho hai tam giác đều ABD và CBE (hình bên). Tìm một phép quay biến ∆ ACD thành ∆
BCE.
BA = BC
C
⇒ Q(B,−60 ) (A) = C
Giải: Ta thấy: * 
0
(BA, BC) = −60
0

BD = BE
⇒ Q(B,−60 ) (D) = E
*
0
(BD,
BE)
=
−
60


Vậy: Q(B,−60 ) (∆ABD) = ∆ CBE
3. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết:
a) A(4; -2)
b) B(-5; 3)
c) C(-6; -7)
’
’
ĐS: a) A (2; 4)
b) B (-3; -5)
c) C’(7; -6)
7
* Q(B,−60 ) (B) = B
0

D

0

0

A

d) D(2; 9)
d) D’(-9; 2)

B

E

Bài 2: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết:
a) E(3; 5)
b) F(-4; 6)
c) M(7; -2)
d) N(-3; -8)
’
’
’
ĐS: a) E (5; -3)
b) F (6; 4)
c) M (-2; -7)
d) N’(-8; 3)
Bài 3: Tìm tọa độ của điểm M sao cho Q(O,90 ) (M) = N , biết:
a) N(-3; 2)
b) N(4; -7)
c) N(-5; -1)
d) N(5; 9)
ĐS: a) M(2; 3)
b) M(-7; -4)
c) M(-1; 5)
d) M(9; -5)
Bài 4: Tìm tọa độ của điểm E sao cho F là ảnh của E qua phép quay tâm O, góc quay -90 0, biết:
a) F(4; 7)
b) F(3; -2)
c) F(5; -6)
d) F(-3; -8)
ĐS: a) E(-7; 4)
b) E(2; 3)
c) E(6; 5)

d) E(8; -3)
0
Bài 5: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay 90 , biết :
a) d: 2x – 3y + 2 = 0
b) d: 3x + y = 0
c) d: y – 3 = 0
d) d: x + 1 = 0
e) d: – 4x + 2y + 3 = 0
f) d: 2x + 5y – 2 = 0
g) d: x – 7y – 3 = 0
’
’
ĐS: a) d’: 3x + 2y + 2 = 0
b) d : x – 3y = 0
c) d : x + 3 = 0
d) d’: y + 1 = 0
’
e) d : 2x + 4y – 3 = 0
f) d’: 5x – 2y – 2 = 0
g) d’: 7x + y – 3 = 0
Bài 6: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết :
a) d: x + 3y – 1 = 0
b) d: 2x – y + 5 = 0
c) d: 3x – 2y = 0
’
ĐS: a) d’: 3x – y – 1 = 0
b) d : x + 2y – 5 = 0
c) d’: 2x + 3y = 0
Bài 7: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết
a) (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9

b) (C): x2 + (y – 2)2 = 4
c) (C): x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0
d) (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0
ĐS: a) (C’): (x + 1)2 + ( y + 1)2 = 9
b) (C’): (x + 2)2 + y2 = 4
’
2
2
c) (C ): (x + 1) + (y – 2) = 9
d) (C’): (x + 2)2 + (y + 1)2 = 16
Bài 8: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết
a) (C): (x – 3)2 + (y + 5)2 = 16
b) (C): (x + 3)2 + y2 = 25
2
2
c) (C): x + y – 6x + 4y – 3 = 0
d) (C): x2 + y2 + 10x – 8y – 8 = 0
ĐS: a) (C’): (x + 5)2 + (y + 3)2 = 16
b) (C’): x2 + (y – 3)2 = 25
c) (C’): (x + 2)2 + (y + 3)2 = 16
d) (C’): (x – 4)2 + (y – 5)2 = 49
Bài 9: Cho tam giác ABC và điểm O. Xác định ảnh của tam giác đó qua phép quay tâm O góc 60 0.
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD và tâm O.
a) Tìm ảnh của OC qua phép quay tâm B, góc quay 900
b) Tìm ảnh của ∆ AOB qua phép quay tâm O, góc quay -900
Bài 11: Cho hình vuông ABCD có tâm O theo chiều âm
a) Tìm ảnh của điểm A qua phép quay tâm C, góc quay -900
b) Tìm ảnh của đường thẳng AD qua phép quay tâm O, góc quay 900
Bài 12: Cho tam giác đều ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm một phép quay
biến ∆ ABC thành chính nó.

Bài 13: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm một phép quay biến hình vuông ABCD thành chính nó.
Bài 14: Cho ∆ ABC. Về phía ngoài tam giác, dựng ba tam giác đều BCA1, ACB1, ABC1
a) Tìm một phép quay biến ∆ AC1C thành ∆ ABB1
b) Tìm một phép quay biến ∆ ACA1 thành ∆ B1CB
IV. Phép vị tự:
1. Lý thuyết:
x′ = kx
a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M’. Ký hiệu: V(O,k ) (M) = M′ = 
y′ = ky
b) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’). Viết: V(O,k ) (C) = (C′)
Gọi I, R và I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C) và (C’)
Khi đó: V(O,k ) (I) = I′ và R’ = k R
0

8


2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
1
a) A(-3; 4), k = -2
b) B(2; -6), k =
c) C(4; 5), k = 3
2
V (B) = B′
Giải: a) V(O,−2) (A) = A′ (6; -8)
b) (O, 1 )
(1; -3)
2

c) V(O,3) (C) = C′ (12; 15)

d)

V

2
(O, − )
3

(D) = D′

d) D(-3; -12), k = −

2
3

(2; 8)

Bài 2: Tìm tọa độ của điểm A sao cho B là ảnh của A qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
1
1
a) B(-2; 6), k = 2
b) B(0; 3), k =
c) B(3; -1), k = -3
d) B(-5; -2), k = −
3
2
V (A) = B ⇒
Giải: a) V(O,2) (A) = B ⇒ A(-1; 3)

b) (O, 1 )
A(0; 9)
3

1
V
(A) = B ⇒
)
d) (O,− 1 )
A(10; 4)
2
3
Bài 3: Tìm tỉ số k, biết V(O,k ) (A) = A′ :
a) A(-2; 4), A’(1; -2)
b) A(4; 5), A’(-8; -10)
c) A(-3; -8), A’(-9; -24)
1
Giải: a) V(O,k ) (A) = A′ ⇒ k = −
b) V(O,k ) (A) = A′ ⇒ k = −2
c) V(O,k ) (A) = A′ ⇒ k = 3
2
Bài 4: Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
1
a) d: 4x – 3y + 1 = 0, k = -3
b) d: x – 4y + 2 = 0, k =
2
’
’
′
V

(d)
=
d
⇒ d // d nên PT đt d có dạng: 4x – 3y + C = 0
Giải: a) * Cách 1: Gọi (O,−3)
Chọn A(2; 3)∈ d ⇒ V(O,−3) (A) = A′ (-6; -9) ∈ d’. Khi đó: -24 + 27 + C = 0 ⇔ C = -3
Vậy: PT đt d’ là: 4x – 2y – 3 = 0
* Cách 2: Chọn A(2; 3)∈ d ⇒ V(O,−3) (A) = A′ (-6; -9) ∈ d’ và B(-1; -1) ∈ d ⇒ V(O,−3) (B) = B′ (3; 3) ∈ d’
x − x A′
y − y A′
x +6 y+9
=
⇒
⇔ 12x – 9y – 9 = 0
=
PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:
x B′ − x A′ y B′ − y A′
3+ 6 3+9
⇔ 4x – 3y – 3 = 0
V (d) = d′ ⇒ ’
b) * Cách 1: Gọi (O, 1 )
d // d nên PT đt d’ có dạng: x – 4y + C = 0
c) V(O,−3) (A) = B ⇒ A(-1;

2

V (A) = A′
Chọn A(-2; 0)∈ d ⇒ (O, 1 )
(-1; 0) ∈ d’. Khi đó: -1 + C = 0 ⇔ C = 1
2

Vậy: PT đt d’ là: x – 4y + 1 = 0

V (A) = A′
V (B) = B′
* Cách 2: Chọn A(-2; 0) ∈ d ⇒ (O, 12 )
(-1; 0) ∈ d’ và B(6; 2) ∈ d ⇒ (O, 12 )
(3; 1) ∈ d’
x − x A′
y − y A′
x +1 y − 0
=
⇒
⇔ x – 4y + 1 = 0
=
x B′ − x A′ y B′ − y A′
3 +1 1− 0
Bài 5: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
1
a) (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 1, k = −
b) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0, k = 4
2
′
V
(C) = (C )
Giải: a) Gọi (O,− 1 )
. Từ (C), ta có: tâm I(2; -4) và bán kính R = 1
PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:

2

1
1
1
R = . Vậy: (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 =
2
2
4
b) Gọi V(O,4) (C) = (C′) . Từ (C), ta có: tâm I(3; -2) và bán kính R = 4
Khi đó:

V

1
(O, − )
2

(I) = I′

(-1; 2) và bán kính R’ = −

9


Khi đó: V(O,4) (I) = I′ (12; -8) và bán kính R’ = 4 R = 16. Vậy: (C’): (x – 12)2 + (y + 8)2 = 256
Bài 6: Cho tam giác ABC. Tìm ảnh của B, C qua phép vị tự tâm A, tỉ số k, biết:
1
2
a) k =
b) k = 2

c) k = −
M
2
3
uuur 1 uuur uuur 1 uuur
V (B) = D V 1 (C) = E B
Giải: a) Dựng AD = AB , AE = AC ⇒ (A, 1 )
và (A, )
2
2
2uuur
2
D
uuur
uuuu
r
uuur
b) Dựng AM = 2AB , AN = 2AC
A
P
C
E
⇒ V(A,2) (B) = M và V(A,2) (C) = N
Q
uuur
r
2 uuur uuu
2 uuur
V
(B) = Q

V
(C)
=P
c) Dựng AQ = − AB , AP = − AC ⇒ (A,− 2 )
và (A,− 2 )
3
3
3
3
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD (theo chiều âm) có tâm O. Tìm ảnh của hình bình hành ABCD qua
phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2
uuuu
r
uuur
A'
B'
Giải: a) Dựng OA′ = 2OA ⇒ V(O,2) (A) = A′
A
uuur
uuur
u
u
u
u
r
u
u
u
r
B

OB′ = 2OB ⇒ V(O,2) (B) = B′ ; OC′ = 2OC ⇒ V(O,2) (C) = C′
O
uuuu
r
uuur
C
OD′ = 2OD ⇒ V(O,2) (D) = D′ .
D
D'
C'
Vậy: A’B’C’D’ là ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị
tự tâm O, tỉ số k = 2
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) A(-3; 5), tỉ số k = -3
b) B(4; -1), tỉ số k = 2
c) C(-1; 3), tỉ số k = 4
1
2
1
d) D(-2; -8), tỉ số k = −
e) E(3; 9), k =
f) F(3; -7), tỉ số k =
2
3
3
7
ĐS: a) A’(9; -15) b) B’(8; -2)
c) C’(-4; 12)
d) D’(1; 4)

e) E’(2; 6)
f) F’(1; − )
3
Bài 2: Tìm tọa độ của điểm E sao cho F là ảnh của E qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
1
1
a) F(-2; 8), tỉ số k = 2
b) F(3; -2), tỉ số k =
c) F(5; 1), tỉ số k = −
2
4
ĐS: a) E(-1; 4)
b) E(6; -4)
c) F(-20; -4)
Bài 3: Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) d: 5x – 2y + 2 = 0, tỉ số k = 3
b) d: 3x + y – 4 = 0, tỉ số k = -2
1
2
c) d: 4x – y = 0, tỉ số k =
d) d: x + 3y – 2 = 0, tỉ số k = −
3
3
’
’
’
ĐS: a) d : 5x – 2y + 6 = 0
b) d : 3x + y + 8 = 0
c) d : 4x – y = 0
d) d’: 3x + 9y + 4 = 0

Bài 4: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) (C): (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4, tỉ số k = -3
b) (C): x2 + y2 – 2x + 6y – 2 = 0, tỉ số k = 4
1
1
c) (C): (x + 2)2 + (y – 8)2 = 9, tỉ số k =
d) (C): x2 + y2 + 6x – 18y + 3 = 0, tỉ số k = −
2
3
ĐS: a) (C’): (x + 9)2 + (y – 3)2 = 4
b) (C’): (x – 4)2 + (y + 12)2 = 12
c) (C’): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 9
d) (C’): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 87
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm của tam giác. Tìm ảnh của tam giác ABC qua
1
phép vị tự: a) Tâm G, tỉ số k =
b) Tâm G, tỉ số k = 2
c) Tâm A, tỉ số k = -2
2

10

N


11