chuyên đề về lương giác, các bài tập lượng giác hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.17 MB, 152 trang )

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

1

Chuyên đë 1

LƯỢNG GIÁC
Vấn đề 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm sö y = sinx và y = cosx
y = sinx
Tập xác định
Tập giá trị
Chu kỳ
Tính chẵn lẻ

Sự biến thiên

y = cosx

D=R
T = [– 1 ; 1 ]
T = 2
Lẻ

D=R
T = [– 1 ; 1 ]
T = 2
Chẵn

 



HSĐB trên:    k2 ;  k2 
2
 2


HSĐB trên:    k2 ; k2
HSĐB trên:  k2 ;   k2



3
 k2 ;
 k2 
2
2



HSNB trên: 

Bảng biến
thiên

x

–

y = sinx

0




2

0

0


2
1



–

x






0
1

y = cosx

–1

0

–1

–1

Đồ thị

2. Hàm sö y = tanx và y = cotx
y = tanx
Tập xác định

D=R\{

y = cotx


+ k}
2

D = R \ {k}

Tập giá trị
Chu kỳ
Tính chẵn lẻ

R
T=

Lẻ

Sự biến thiên

 


Đồng biến trên    k ;  k 
2
 2

x

Bảng biến
thiên




2

y = tanx
–


2
+

R
T=

Lẻ
Nghịch

biến

 k ;   k 
x

0
+

trên

mỗi

khoảng:



y = cotx
–

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11

2

Đồ thị

Dạng 1. Tìm tçp xác định của hàm sö

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x sao cho f(x) có nghĩa.
f(x)
 y
có nghĩa
 g( x )  0
g( x )

 f ( x )  0, ( n 



y  2n f ( x ) có nghĩa



y  2n 1 f ( x ) có nghĩa  f(x) có nghĩa ( n 



y  tan f ( x ) có nghĩa

 cos f(x)  0  f ( x ) 

 k ,( k 

)



y  cot f ( x ) có nghĩa

 sin f(x)  0  f ( x )    k ,( k 

)

)

)


2

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.1 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) y =

1  cos x
sin x

b) y =

1  sin x
1  cos x



c) y = tan  x  
3





d) y = co t  x  
6


..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

3

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
x
a) y = sin3x
b) y = cos
2


e) y = 3  sin x
f) y = tan  2x  
3


1.1

c) y =

3
2 cos x

g) y = cos x

2x
x 1


h) y = cot  2x  
4

d) y = cos

D. BÀI TẬP NÂNG CAO
1.2

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

1 x
1 x
1
e) y = sin 2
x 1
a) y = sin

sin x  2
cos x  1
2
f) y =
cos x  cos3x
b) y =

c) y =

cot x
cos x  1

g) y = tanx + cotx

d) y = tan
h) y =

x
3

3
sin x  cos2 x

1.3

Tìm m để hàm số sau xác định x  R: y  sin 4 x  cos4 x  2msin x cos x

1.4

Tìm tập xác định của các hàm số:

2

b) y  sin 2x  sinx  3

a) y  2  tan 2 x  cos x

Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhät – Giá trị nhỏ nhät của hàm sö lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số lượng giác. x  :
2
2
 1  sinx  1 , 1  co s x  1
 0  sin x  1 , 0  co s x  1

 0  sin x  1 , 0  co s x  1

 0  sinx  1 ,

0  co s x  1 (khi sinx ≥ 0, cosx ≥ 0)

 Sử dụng các tính chất của bắt đẳng thức:
a  b

 abba

 b  c  a  c


 a  b  a  c  b  c (cộng 2 vế với c)

 c  d  a c  b  d

a  b  a.c  b.c (nếu c < 0: đổi chiều)

 a  b  a.c  b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều)

a  b  0

1

 c  d  0   a.c  b.d

2n
2n
 a  b  0  a  b ( n

a  b

1

 a b0  a  b
*

)
 Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc: Cô-si, BCS, …

2n 1
 b2n1 ( n 
 a ba

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

*

)

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11

a) y = 2 cos x  1

4

b) y = 3 – 2sinx



c) y = 2cos  x   + 3
3


d) y = 1  sin(x 2 )  1

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

l)
6


y=

2(1  cos x)  1

y = 3 – 4sin2xcos2x
y = 3 – 4sinx


y = cosx+cos  x  
3


D. BÀI TẬP NÂNG CAO
1.6

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
a) y  sinx  cos x
b) y  sinx(1  2cos 2x)

1.7

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  cot 4 x  cot 4 y  2 tan 2 x tan 2 y  2 .

Dạng 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm sö
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D:

x  D   x  D
a) Hàm số chẵn trên D nếu 
 f ( x )  f ( x )

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

5

x  D   x  D
b) Hàm số lẻ trên D nếu 
 f ( x )   f ( x )
x  D   x0  D
c) Hàm số không chẵn, không lẻ trên D nếu:  0
x0  D : f (  x0 )  f ( x0 )   f ( x0 )

 Nhận xét:




 Chú ý:



x  x



( a  b )2n  ( b  a )2n , n 



( a  b )2n1  ( b  a )2n1 , n 

Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung
Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.3 Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:

a) y = x – sinx
d) y = sinxcosx + tanx

b) y = 3sinx – 2
cos x
e) y =
x

c) y = sinx – cosx
f) y = 1  cos x

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11

6

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

h) y 

c) y = x3sin2x
f) y =

x3  sin x
cos 2x

sin 4 1  x 2  cos 6 x 2  1
1 x

Dạng 4. Tính tuãn hoàn của hàm sö
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định nghĩa về tính tuần hoàn của hàm số:
Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu có số T  0 sao cho x  D, ta
có:
x  T  D,x  T  D và f ( x  T )  f ( x )
Nếu số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với
chu kì T.

B. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.9

Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau (a  0):
a) y = sin(ax + b)
b) y = cos(ax + b)
c) y = tan(ax + b)

1.10 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số:
a) y = cos3x.(1 + cosx)

b) y  sin 6 x  cos6 x

Dạng 5. Sử dụng đõ thị
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Vẽ đồ thị hàm số trên miền đã chỉ ra.
 Dựa vào đồ thị xác định giá tị cần tìm.

B. BÀI TẬP MẪU

d) y = cot(ax + b)

c) y  sin(x 2 )

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

7



VD 1.4 Hãy xác định giá trị của x trên đoạn   ;



a) bằng 0.

b) bằng 1.

3 
để hàm số y = tanx nhận giá trị:

2 
c) dương.
d) âm.

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

 3

; 2 để hàm số
VD 1.5 Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn  
 2


đó:

a) Nhận giá trị bằng – 1

b)

Nhận giá trị âm.

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

J1    ;
;
;
 , J4   
 , J 2    ;  , J3  

4 
2 
3
4 
 4 4
 4


Hỏi hàm nào trong ba hàm trên đồng biến trên khoảng J1? Trên khoảng J2 ? Trên khoảng
J3? Trên khoảng J4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng biến thiên)
1.13 Trong mỗi khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? Giải thích vì sao?
a) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sinx đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch biến.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11

8

b) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin2 x đồng biến thì hàm số y = cos2x nghịch biến.
1.14 Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx hãy vẽ đồ thị hàm số y = |sinx|.
1.15 Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x
a) Chứng minh rằng với số nguyên dương k tùy ý, luôn có f(x + k) = f(x) với mọi x.
  
b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên đoạn   ;  .

 2 2
c) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin2x
1.16 CMR: sin2(x + k) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.
1
2

1.17 CMR: cos (x + k4) = cos
suy ra đồ thị hàm số y = cos

x
x
với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = cos rồi
2
2

x
.
2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

9

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dạng 1. Phương trình cơ bản
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Chú ý:
 Khi gặp dấu trừ ở trước thì:

– sinx = sin(– x)

– cosx = cos( – x)

– tanx = tan(– x)

– cotx = cot(– x)

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11

10

 Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (0).

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.6 Giải các phương trình sau:

3
2


3
d) cot  x   
3 3

a) sinx = –

b) cos(3x –
e) sinx =

1
4

2

)=–
2
6

c) tan(3x – 300) = – 1
f) cos(x + 3) =

1
3

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

11

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN
1.18 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

1
a) sin(x – 600) =
b) sin2x = – 1
2


1
1
d) cos  2x    
e) cos(2x + 500) =
3
2
2


x 

g) tan     tan
8
2 4
j) sin4x =

c) cos(x – 2) =



f) cot  4x    3
6


x

3
h) cot   20 0   
3
3


i) tan2x = tan

3
2
x

1
n) sin   100   
2
2


2
3

2
2

2
7

3

2
3
o) sin2x =
2

k) cos(3x – 450) =

m) sin(2x – 150) =

2
5

l) sin3x = –

Dạng 2. Phương trình bçc nhät theo một hàm sö lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác là các phương trình có dạng:
asinx + b = 0 ; acosx + b = 0 ; atanx + b = 0 ; acotx + b = 0
 Phương pháp giải: Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.7 Giải các phương trình sau:

a) 3sin 4x  2

b) 2sin 2x  1  0

c)




3 cot  x    1  0
3


d) 2cos(x  500 )   3

e) 2cosx –

3 =0

f)

3 tan3x – 3 = 0

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11

12

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
VD 1.8 Giải các phương trình sau:



a) cos2x . cot  x   = 0
4

c) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0


x 
x 
b)  cot  1 cot  1  0
3 
2 

d) (cotx + 1) . sin3x = 0

..........................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
VD 1.9 Giải các phương trình sau:

a)

cos3x – sin2x = 0

b) tanx tan2x = – 1

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
1.20 Giải các phương trình sau:
a) sin3x = cos2x
c) sin3x + sin5x = 0
e) sinx – cos(x + 600) = 0




g) sin  x     sin  2x  
3
4


i) tan3x + tanx = 0
k) sin2x + cos3x = 0
m) cot2x.cot(x + 450) = 1




o) cos  2x    sin   x 
4

3

q) (sinx + 1)(2cos2x –

2)=0

b) cosx = – sin2x
d) cot2x cot3x = 1
f) cos(x – 100) + sinx = 0


h) cos  2x     cos x
4

f) tan3x + tan(2x – 450) = 0
l) tanx . tan3x = 1
n) tan(3x + 2) + cot2x = 0




p) cos  2x    cos  x  
3
6


r) (sin2x – 1)(cosx + 1) = 0

1.21 Giải các phương trình sau:
1
4
d) sin2(x – 450) = cos2x

a) sin2x =

b) 4cos2x – 3 = 0

c) sin23x – cos2x = 0

e) 8cos3x – 1 = 0

f) tan2(x + 1) = 3

Dạng 3. Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên khoản, đoạn cho trước
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Bước 1. Giải phương trình lượng giác đã cho và tìm các họ nghiệm (nếu có)
 Bước 2. Với mỗi họ nghiệm tìm được, cho thuộc khoản, đoạn đề cho và tìm k (k  Z)
 Bước 3. Ứng với mỗi giá trị k vừa tìm được, thế vào họ nghiệm tìm nghiện tương ứng.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.10 Giải các phương trình sau:

2
2


3
b) tan  2x    
4
3

a) sin(2x – 150) =

với – 1200 < x < 900
với 0 < x < 

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11

14

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

b) sin  2x    
với 0 < x < 2
3
2

3
2

với –  < x < 0

d) cos(x – 2) =

với – 150 < x < 150



f) sin  x   = 1
4


với x  [0 ; ]
với x  [ ; 2]

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
1.23 Tìm nghiệm thuộc đoạn [0 ; 14] của phương trình : cos3x  4cos2x  3cos x  4  0

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

15

sin 2x  cos2x
  
1.24 Tính giá trị của x    ; 0  thỏa mãn phương trình: cot x 
2  sin 2x
 2 


cos3x  sin 3x 
1.25 Tìm nghiệm thuộc (0 ; 2) của phương trình : 5  sin x 
  cos 2x  3
1  2sin 2x 


Dạng 4. Phương trình bçc hai, bçc 3 đöi với một hàm sö lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a  0):
 asin2u + bsinu + c = 0 (1)
 acos2u + bcosu + c = 0 (1)
Đặt t = sinu.
Đặt t = cosu.
Điều kiện: – 1  t  1.
Điều kiện: – 1  t  1.
2
(1)  at + bt + c = 0…
(1)  at2 + bt + c = 0…



atan2u + btanu + c = 0 (1)

Điều kiện: cosu  0.
Đặt t = tanu,
(1)  at2 + bt + c = 0…



acot2u + bcotu + c = 0 (1)
Điều kiện: sinu  0.
Đặt t = cotu,
(1)  at2 + bt + c = 0…

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.11 Giải các phương trình sau:

a) 2sin2 x  3sin x  2  0

b) 3cot 2 x  3cot x  2  0

c) 3cos2 x  5cosx  2  0

d) 3tan2 x  2 3 tanx + 1 = 0

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

d)

e) tan2 3x  (1  3) tan 3x  3  0

f) 4 cot 2

x
x
 2( 2  1) cos  2  0
2
2
2
i) 2 cos x  3cos x  1  0

g) 4 cos2

1.27 Giải các phương trình sau:
a) sin2x – 2cosx + 2 = 0

x
x
 2( 3  1) cot  3  0
3
3
x
x
h) 2sin 2  2 sin  2  0
2
2
2

j) 2 tan x  3tan x  1  0

b) cos2x + sinx + 1 = 0

c) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0

d) 2cos2x – 2( 3 + 1)cosx +

e) cos2x + 9cosx + 5 = 0

f) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1
5


h) cos2(x + ) + 4cos(  x ) =
6
2
3
1
j)
– 1 + tanx – 3 (tanx + 1) = 0
cos2 x
1  tan 2 x
l) cos4x – 3
+2=0
1  tan 2 x

g) cot4x – 4cot2x + 3 = 0
i) tan2x –

4
+5=0
cos x

k) t anx  2cot x  1  0

3 + 2 = 0

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
1.28

Giải các phương trình sau:



 9
a) sin 4 x  sin 4  x    cos4  x   
4
4 8


b)

1.29





cos  2x    cos  2x    4sin x  2  2(1  s inx)

4
4



Giải các phương trình sau:
a) tan3x – 3tan2x – 2tanx + 4 = 0
1


c) tan3x – 1 +
+ 2cot   x  = 3
2
cos x
2

e) 1 + sin3x = sinx + cos2x
1
1
7
g) cos2 x 
 cos x 
 0
2
cos x 4
cos x

b) 4sin3 x + 4sin2x – 3sinx = 3
d) 2sin2 x = 1 + sin3x
f) tan2x + cot2x + 2(tanx + cotx) = 6

1
5
h)
 cot 2 x  (tan x  cot x)  2  0
2
2
cos x

Dạng 5. Phương trình bçc nhät đöi với sinx và cosx (Phương trình cổ điển)
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
asinx + bcosx = c
(1)
với a, b, c  R, và a2 + b2  0
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2 + b2  c2
a
b
 Chia 2 vế phương trình cho a2  b2 , ta được:
sinx +
cosx =
a2  b2
a2  b2

c
a2  b2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

a
Vì 

 2
2
 a b

2

17

 
b
 
  2
2
  a b

Khi đó ta được:

2


  1 nên đặt cos =



sin(x + ) =

a
2

a b

2

, sin =

b
2

a  b2

c

rồi giải như phương trình cơ bản.
a2  b2
 Chú ý: Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải:


sinx  cosx = 2 sin(x  ) =  2 cos(x
)
4
4

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.12 Giải các phương trình sau:

a) s inx  3 cos x  1

b) cosx – 3 sinx =

c) 3sin3x – 4cos3x = 5

d) 2sin x  2 cos x  2  0

2

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

d) 2sinx – 9cosx =

e) 3sinx +

g) cosx + 4sinx + 1 = 0

h)

3 cos2x = 1

j) sin2x –

3 cosx + sinx = – 2
3 cosx = 1

2 sin2x + 3cos2x = 4

k) 5cos2x + 12sin2x = 13

c) sin4x +

3 cos4x =

3

f) 2cosx – 3sinx + 2 = 0
i) cos(2x–150) + sin(2x–150) = –1
2

l) 2sinx + 2 cosx =

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
1.31 Giải các phương trình sau:
a) 2sin22x +

3 sin4x = – 3




 3 2
c) 2sin  x   + sin  x   =
2
4
4



e) sin2x + sin2x =

1
2



b) cosx + 3 sinx = 2 cos   x 
3





 5 2

d) 2cos  x   + 3cos  x   =
2
6
3


f) 2sin2 x +

3 sin2x = 3

g) 3cos2x – sin2x – sin2x = 0

h) 4sinxcosx = 13 sin4x + 3cos2x

i) 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)

j) 2sin17x +

k) cosx –

3 sinx = 2cos3x

m) sin5x + cos5x =
o)

2 cos13x

1  sin x 1

1  cos x 2

3 cos5x + sin5x = 0

l) sin9x + 3 cos7x = sin7x +
x
n) 8sin2 – 3sinx – 4 = 0
2
1  cos 4x
sin 4x
p)

2sin 2x 1  cos 4x

3 cos9x

1.32 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:
a) y = 2sinx +

3 cosx + 1

b) y = sin2 x + cos2x – 2

c) y = 2sin2x + 4sinxcosx + 3
sin x  cos x  1
d) y 
sin x  cos x  3

Dạng 6. Phương trình thuãn nhät bçc hai, bçc ba đöi với sinx và cosx
(Phương trình đẳng cäp)
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

Hoặc

19

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d

(1)
(2)

 asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d(sin2x + cos2x)
 (a– d)sin2x + bsinxcosx + (c– d)cos2x = 0
(2 )
Phương trình (2) cũng là dạng (1), nên ta chỉ xét dạng (1). Nếu gặp dạng (2) thì ta đưa về dạng (1)
(2)

như trên.
Sau đây là cách giải dạng (1):

cos x  0
 Nếu a = 0 và b, c  0 thì (1)  cosx.(bsinx + ccosx) = 0  
 b sin x  ccos x  0
 Nếu c = 0 và b, a  0 thì (1)  sinx.(asinx + bcosx) = 0

 sin x  0

 a sin x  bcos x  0

 Nếu a, b, c  0:
 Kiểm tra xem với cosx = 0 thì (1) có thỏa hay không? (cosx = 0 thì sinx =  1). Nếu thỏa thì


+ k (k  Z).
2
 Với cosx  0, chia 2 vế của (1) cho cos2x, ta được phương trình:
atan2x + btanx + c = 0
(1)
(1) là phương trình bậc 2 theo tanx, ta đã biết cách giải (Xem phần 2).

 Nghiệm của (1) là nghiệm của (1) và x = + k (nếu có).
2
 Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa (1) về dạng phương trình bậc nhất
theo sinX và cosX (Phần 3). Với:
1  cos 2x
1  cos 2x
1
sin2 x 
, cos2 x 
, sin x.cos x  sin 2x
2
2
2
 Phương trình đẳng cấp bậc 3: asin3x + bsin2xcosx + c.sinxcos2x + dcos3x = 0

Giải tương tự như đẳng cấp bậc 2.
kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x =

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.13 Giải các phương trình sau:

a) 2sin2 x  5sin x cosx  cos2 x  2
c)

3 sin2x + 2cos2x – 1 = 0

b) 4sin2 x – 3 3 sin2x – 2cos2x = 4
d) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2 x = 0

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11

20

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

21

3 cos2x – sin2x –

3 sin2 x = 1

k) 3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 1

l)

m) 3 sin2x + 2cos2x – 1 = 0

n) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2 x = 0

C. BÀI TẬP NÂNG CAO
1.34 Giải các phương trình sau:
a) sin3x + cos3x = sinx + cosx
b) sin3 x + 2sin2 xcosx – 3cos3x = 0
e) 3cos4 x  4cos2 x sin 2 x  sin 4 x  0
f) sin x  4sin3 x  cos x  0

cos 2x
1

g) 2 2 cos3  x    3cos x  sin x  0
h) cot x  1 
 sin 2 x  sin 2x
1  tan x
2

4

3
2
2
3
c) cos x – 4cos xsinx + cosxsin x + 2sin x = 0
d) sin3x – 5sin2xcosx – 3sinxcos2x + 3cos3x = 0

Dạng 7. (Nâng cao) Phương trình đöi xứng – Phản đöi xứng
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng1:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c

Đặt t = sinx + cosx =

2 sin(x +

 t2 = 1 + 2sinxcosx
(1)  at + b.

(1)


), Điều kiện: – 2  t  2
4

 sinxcosx =

t2  1
2

t2  1
= c  bt2 + 2at – b – 2c = 0
2

(2)

Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2  t  2
Giải phương trình

Dạng 2:

2 sin(x +


) = t để tìm x.
4

a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c

Đặt t = sinx – cosx =

2 sin(x –

 t2 = 1 – 2sinxcosx
(1)  at + b.

(1)


), Điều kiện: – 2  t  2
4

 sinxcosx =

1  t2
=c 
2

1  t2
2

bt2 – 2at – b + 2c = 0

(2)

Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2  t  2
Giải phương trình

2 sin(x –


) = t để tìm x.
4

Dạng 3: a|sinx  cosx| + bsinxcosx = c
Đặt t = |sinx  cosx| =

2 sin(x 

(1)

4

Điều kiện: 0  t  2

Giải tương tự như trên.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.14 Giải các phương trình sau:

a) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

b) 3(sinx + cosx) – sin2x – 3 = 0

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11

22

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

=
cos x
sin x
3

f) 2sin4x + 3(sin2x + cos2x) + 3 = 0


h) sin2x – 2 sin  x   + 1 = 0
4


Dạng 8. (Nâng cao) Phương trình lượng giác không måu mực
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a. Trường hợp 1: Tổng hai số không âm:
b. Trường hợp 2: Phương pháp đối lập:

A  0  B  0
A  0
 

A  B  0
B  0
A  M  B
A  M
 

A  B
B  M

 A  M vaø B  N

c. Trường hợp 3: Sử dụng tính chất : 

A B  M  N

 sinu + sinv = 2

sinu  1

sin v  1
sinu  1

 sinu + sinv = – 2  

A  M
 
B  N



sinu – sinv = 2

sin u  1

sin v  1



sinu – sinv = – 2

sinu  1

sin v  1

sin v  1
 Tương tự cho các trường hợp: cosu  cosv =  2 và cosu  cosv  2.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

23
 A  M vaø B  N

d. Trường hợp 4: Sử dụng tính chất : 
 sinu.sinv = 1

 A.B  M.N
sinu  1 sinu  1


sin v  1 sin v  1



A  M
 

B  N

 A  M

B  N

sinu.sinv

=

–1

sinu  1 sinu  1


sin v  1
sin v  1
 Tương tự cho các trường hợp: cosu.cosv = 1, sinu.cosv = 1, cosu.sinv = 1.

B. BÀI TẬP
1.36 Giải các phương trình sau:
a) sin25x + 1 = cos23x

b) sin2 x – 2sinx + 2 = sin23x

c) sinx + cosx = 2 (2 – sin3x)
e) (cos4x – cos2x)2 = 4 + cos23x
g) cos5x.sin3x = 1

d) 2cos2x = 3sin25x + 2
f) sinx + cosx = tanx + cotx
h) sin2x + sin3x + sin4x = 3

Dạng 9. Phương trình dạng khác (tổng quát)
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Thông thường để giải một phương trình lượng giác, ta thường dùng các phém biến đổi lượng giác (cung
liên kết, hạ bậc, nhân 2, …) để đưa phương trình đã cho về dạng tích hoặc một trong những dạng phương
trình đã học.
Lưu ý một số biến đổi sau:
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

B. BÀI TẬP

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11

24

1.37 Giải các phương trình sau:
a) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x
b) sin24x + sin23x + sin22x + sin2 x = 2
2
2
2
2
c) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2
d) sin2 x + sin22x = cos23x + cos24x
e) sin2x + sin22x = sin23x
f) sin 2 x  sin 2 3x  cos2 2x  cos2 4x
x
x
 21

g) sin 2 4x  cos 2 6x  sin 
h) cos 4  sin 4  sin 2x
 10x 
2
2
 2

2
2
2
i) 2cos x  2cos 2x  2cos 3x  3  cos 4x(2sin 2x 1)

j) sin 2 x  sin 2 2x  sin 2 3x  cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos 2 4x
1.38 Giải các phương trình sau:
a) 4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 0
b)
c) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0
d)
e) sin6x.sin2x = sin5x.sinx
f)
g) sin7x.cosx = sin5x.cos3x
h)
i) 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0
j)
k) sinx+sin2x+sin3x = 1+cosx+cos2x+cos3x
l) sinx + sin2x + sin3x = cosx+cos2x+cos3x

cos2x – cos8x + cos6x = 1
sin2x + cos2x + sin3x = cos3x
cos8x.cos5x = cos7x.cos4x
sin3x + sin5x + sin7x = 0
3 + 2sinx.sin3x = 3cos2x

1.39 Giải các phương trình sau:
sinx = 2 sin5x – cosx
2cos2x + sin10x = 1
5tanx – 2cotx = 3
4sin3 x = sinx + cosx
cos 2x
j) sin x  cos x 
1  sin 2x
3  cos6x

l) sin4 x + cos4x =
4

cos2x + 4sin4 x = 8cos6x
tanx + cot2x = 2cot4x
tanx + tan2x = sin3x.cosx
(1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
1  cos 2x
sin 2x
i)

cos x
1  cos 2x
1
1
2
k)


cos 2x sin 2x sin 4x
a)
c)
e)
g)

b)
d)
f)
h)

m) 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cotx – 3 = 0

Dạng 10. Phương trình lượng giác có tham sö
A. BÀI TẬP
1.40 Giải các phương trình sau:
a) msinx – 2m + 1 = 0
b) mcosx – 2m + 1 = (2m – 1)cosx
c) msinx + 1 = 2(sinx + m)
d) cos2x – sinx.cosx – 2sin2 x = m
e) (m + 2)sinx – 2mcosx = 2(m + 1)
f) mcos2x + (m + 1)sin2x = m + 2
g) sinx + mcosx = 1
h) (m + 2)sinx + mcosx = 2
i) (m2 + 2)cos2x – 2msin2x + 1 = 0
j) sin2x – 4(cosx – sinx) = m

có nghiệm
có nghiệm
vô nghiệm
có nghiệm
có nghiệm
có nghiệm
vô nghiệm
vô nghiệm
có nghiệm
có nghiệm

1.41 Xác định m để phương trình : 2(sin 4 x  cos4 x)  cos 4x  2sin 2x  m  0 có ít nhất một

 

nghiệm thuộc đoạn 0 ;  .
 2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

2sin x  cos x  1
a
sin x  2cos x  3
1
a) Giải phương trình (1) khi a =
3
b) Tìm a để phương trình (1) có nghiệm.

1.42 Cho phương trình :

25

(1)

cos6 x  sin 6 x
1.43 Cho phương trình :
 m tan 2x
cos 2 x  sin 2 x
13
a) Giải phương trình (1) khi m =
8
b) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm.

(1)

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ 1
(Xem chuyên đề luyện thi đại học: LƯỢNG GIÁC)

chuyên đề về lương giác, các bài tập lượng giác hay

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về