Một số tính chất của giới hạn ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Toàn

MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Toàn

MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số:
60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TRẦN T UẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CẢM ƠN
Xin gửi lời cám ơn chân thành đến Ban giám hiệu, quý Thầy cô và các bạn học
viên khóa 23, Trường đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh, đã giúp tôi trong suốt quá
trình học và hoàn thành luận văn này, tôi đã thực sự nhận được nhiều sự giúp đỡ và
động viên từ mọi người.
Em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy PGS.TS Trần Tuấn Nam, người đã dành
thời gian chỉnh sửa, và hướng dẫn, giúp em có thể hoàn thành luận văn. Xin cám ơn
về những đóng góp quý báu của Thầy.
Xin cám ơn toàn thể quý Thầy đã tận tình giảng dạy, giúp chúng em trang bị
những kiến thức bổ ích trong quá trình học tập, để hoàn thành tốt luận văn này.
Tôi xin gửi lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Khoa toán và Phòng sau đại học,
Trường đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể
hoàn thành luận văn trong thời hạn cho phép.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình, bạn bè, những người luôn động
viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
TP. Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2014

Nguyễn Thanh Toàn


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cám ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 2
1.1. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ mô đun ...................................... 2
1.2. Dãy khớp ................................................................................................ 3
1.3. Mô đun nội xạ và mô đun xạ ảnh ........................................................... 4

1.4. Nhóm Abel ............................................................................................. 7
1.5. Hàm tử .................................................................................................... 8
1.6. Hệ xạ ảnh .............................................................................................. 10
Chương 2. TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC ................................. 13
2.1. Hàm tử .................................................................................................. 13
2.2. Một số kết quả trên tập các chỉ số đếm được ....................................... 19
2.3. Thứ nguyên đối đồng điều của một tập hợp bậc xk ............................. 28
( )
2.4. Các dãy phổ cho lim
 ........................................................................ 33
KẾT LUẬN .................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 39
n


1

MỞ ĐẦU
Giới hạn ngược được định nghĩa trên cơ sở định nghĩa của hệ xạ ảnh
trong phạm trù các R-mô đun trái. Tức là, với I là tập chỉ số, định hướng, ta
định nghĩa giới hạn ngược như sau:
“Cho { Aα , f αβ } là một hệ xạ ảnh của R-mô đun trên tập chỉ số I. Giới hạn

( uα : lim
 Aα → Aα )α∈I

ngược là limA
 α và một họ các đồng cấu chiếu

thỏa: f αβuβ = uα khi α < β , với mỗi R-mô đun M và với mọi đồng cấu

ψ α : M → Aα thỏa mãn f αβψβ =ψ α với α < β , tồn tại duy nhất đồng cấu
θ : M → lim
 Aα sao cho uα θ = ψ α ”.

Với định nghĩa giới hạn ngược như trên, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất
của hàm tử lim
 trên một tập các chỉ số đếm được, cũng như thứ nguyên đối
( )
đồng điều của một tập hợp bậc xk , các dãy phổ cho lim
 .
n

Toàn bộ luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức đã được biết đến trong đại số đại
cương, đại số đồng điều.
Chương 2: Nội dung của chương 2 được chia làm 4 phần.
Phần 1: Trình bày định nghĩa hàm tử lim
 và một số tính chất đối với các
hệ xạ ảnh mềm và cận mềm.
Phần 2: Nêu kết quả trên tập các chỉ số đếm được.
Phần 3: Thứ nguyên đối đồng điều của một tập hợp bậc xk .
( )
Phần 4: Về các dãy phổ cho lim
 .
n


2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong phần kiến thức chuẩn bị này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức
cần thiết về lý thuyết mô đun cần dùng cho việc triển khai nội dung ở
chương 2.
1.1. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ mô đun
1.1.1. Định nghĩa
Cho A, B là các R- mô đun trái. Khi đó tập tích Descartes A × B với hai
phép toán cộng và nhân ngoài được định bởi,

( a1 , b1 ) + ( a2 , b2 ) =( a1 + a2 , b1 + b2 ) ,
r ( a, b ) = ( ra, rb ) ,

Với mọi ( a1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a, b ) ∈ A × B và với mọi r ∈ R , là một R-mô
đun, được gọi là mô đun tổng trực tiếp của hai mô đun A và B, kí hiệu là:
A⊕ B.

1.1.2. Định nghĩa
Cho một họ bất kì các R- mô đun trái {M i }i∈I . Khi đó tích Descartes
=
∏ Mi
i∈I

{( x )

i i∈I

}

xi ∈ M i với hai phép toán như sau:

( xi )i∈I + ( xi′ )i∈I =

( xi + x′ )i∈I ,
r ( xi )i∈I = ( rxi )i∈I ,

Với mọi ( xi )i∈I , ( xi′ )i∈I ∈ ∏ M i và với mọi r ∈ R , là một R-mô đun trái
i∈I

và được gọi là mô đun tích trực tiếp của họ { X i }i∈I .
1.1.3. Định lý
Cho họ khác rỗng các R-mô đun {M i }i∈I . Khi đó với bất kỳ R- mô đun
M, mỗi họ đồng cấu { fi : M → M i } được phân tích một cách duy nhất qua họ


3



các phép chiếu  pi : ∏ M t → M i  . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một
t∈I


đồng cấu f : M → ∏ M i sao cho fi = pi f với mọi i ∈ I (Tính phổ dụng của
i∈I

tích trực tiếp)[1, định lý 5, tr.28].
1.1.4. Định nghĩa
Cho họ khác rỗng các R-mô đun {M i }i∈I . Mô đun con của

∏M
i∈I

i

gồm

các bộ số x = ( xi ) mà hầu hết các thành phần xi = 0 trừ ra một số hữu hạn
được gọi là mô đun tổng trực tiếp của họ {M i }i∈I và ký hiệu là ⊕ M i hay
i∈I

⊕M i .

1.1.5. Định lý
Cho họ khác rỗng các R-mô đun {M i }i∈I . Khi đó với bất kỳ R- mô đun
M, mỗi họ đồng cấu { ft : M t → M } được phân tích một cách duy nhất qua họ
các phép nhúng { jt : M t → ⊕ M i } . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một
đồng cấu f : ⊕ M i → M sao cho ft = fjt với mọi t ∈ I (Tính phổ dụng của
tổng trực tiếp)[1, Định lý tr 32].
1.2. Dãy khớp
1.2.1. Một số định nghĩa
Dãy các đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn)
f
g
... 
→ A 
→ B 
→ C 
→ ...

được gọi là khớp tại mô đun B nếu imf = ker g
Một mô đun trong dãy các đồng cấu được gọi là mô đun trung gian nếu
tại đó vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra.

Dãy các đồng cấu các R-mô đun được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại
mọi mô đun trung gian.


4

f
g
Dãy khớp có dạng 0 
→ A 
→ B 
→ C 
→ 0 được gọi là dãy

khớp ngắn.
f
g
Dãy khớp các đồng cấu ... 
→ A 
→ B 
→ C 
→ ... được gọi là

chẻ ra tại mô đun B nếu Imf là một hạng tử trực tiếp của B, tức là tồn tại một
mô đun con B1 sao cho=
B Imf ⊕ B1 .
Một dãy khớp được gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi mô đun trung gian.
1.2.2. Định lý
χ
σ

Đối với mỗi dãy khớp ngắn 0 
→ A 
→ B 
→ C 
→ 0 , ba phát

biểu sau là tương đương [1, định lý 1, tr 40].
i. Dãy là chẻ.
ii. Đồng cấu χ có nghịch đảo trái.
iii. Đồng cấu σ có nghịch đảo phải.
1.2.3. Mệnh đề
Nếu dãy khớp
f
g
... 
→ A 
→ B 
→ C 
→ ...

chẻ ra tại B thì B ≅ Imf ⊕ Img [1, hệ quả 2, tr 41].
1.2.4. Mệnh đề
α
β
Cho dãy khớp 0 
→ A 
→ B 
→ C với β là một đơn cấu thì A=0.

Chứng minh : Theo tính khớp của dãy trên, ta có A ≅ Im α

= ker=
β 0.
Tương tự ta có mệnh đề sau.
1.2.5. Mệnh đề
β
α
Cho C 
→ B 
→ A 
→ 0 với β là một toàn cấu thì A=0.

1.3. Mô đun nội xạ và mô đun xạ ảnh
1.3.1. Định nghĩa
Một R- mô đun J là mô đun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu χ : A → B , mỗi
đồng cấu f : A → J , tồn tại đồng cấu f : B → J thỏa f = f χ .


5

1.3.2. Định lý
Hai mệnh đề sau đây là tương đương nhau :
i. R- mô đun J là nội xạ.
χ
σ
ii. Bất kỳ dãy với ngắn 0 
→ A 
→ B 
→ C 
→ 0 dãy các nhóm

Abel sau là khớp
σ
χ
0 
→ Hom ( C , J ) 
→ Hom ( B, J ) 
→ Hom ( A, J ) 
→0
*

*

[1, tr. 76].
1.3.3. Mệnh đề
R-mô đun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kỳ ideal trái I của R và bất kì
đồng cấu f : I → J , luôn luôn tồn tại một phần tử q ∈ J sao cho với mọi
λ ∈ I , ta có f ( λ ) =λq . Nói cách khác mỗi đồng cấu f : I → J đều có thể mở

rộng được tới đồng cấu f : R → J (Tiểu chuẩn Baer)[1, Định lý 5, tr. 77].
1.3.4. Mệnh đề
Mỗi mô đun M đều có thể nhúng vào một mô đun nội xạ N ( M ) nào đó
[1, Định lý 9, tr. 82].
1.3.5. Định lý
Đối với bất kì R-mô đun J, các phát biểu sau là tương đương :
i. J là mô đun nội xạ.
ii. Mọi dãy khớp 0 → J → B → C → 0 là chẻ ra.
iii . J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một mô đun nội xạ nào đó
[1, Định lý 10, tr. 82].
1.3.6. Mệnh đề
Tích trực tiếp của một họ mô đun J = ∏ J i là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi

i∈I

mô đun thành phần J i là nội xạ.
1.3.7. Định nghĩa
Mô đun P được gọi là mô đun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ : B → C và


6

mỗi đồng cấu f : P → C tồn tại một đồng cấu ϕ : P → B sao cho f = σϕ .
1.3.8. Định nghĩa
Mô đun X được gọi là mô đun tự do nếu X có một cơ sở.
1.3.9. Định lý
Mỗi mô đun tự do X đều là mô đun xạ ảnh [1, Định lý 1, tr. 73].
1.3.10. Định lý
Tổng trực tiếp của một họ mô đun P = ⊕ Pi là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi
i∈I

mô đun thành phần Pi là xạ ảnh [1, Định lý 2, tr. 73].
1.3.11. Định lý
Đối với mỗi mô đun P, ba phát biểu sau là tương đương :
i. P là mô đun xạ ảnh.
χ
σ
ii. Mỗi dãy khớp 0 
→ A 
→ B 
→ P 
→ 0 là chẻ ra.

iii. P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một mô đun tự do.
[1, Định lý 3, tr. 75].
1.3.12. Bổ đề con rắn
Cho sơ đồ giao hoán
f
g
A 
→ B 
→ C 
→0

a

b

c

f′
g′
→ A′ 
→ B′ 
→ C′
0 

Với các dòng là khớp, thì ta có dãy khớp
Kera → Kerb → Kerc → Cokera → Cokerb → Cokerc .

Hơn nữa, nếu f là đơn cấu thì Kera → Kerb là đơn cấu, nếu g ′ là toàn
cấu thì Cokerb → Cokerc cũng là toàn cấu.