Số phức và ý nghĩa hình học trong chương trình phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Huyền

SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC TRONG
CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 601410
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010


LỜI CẢM ƠN
Lời ñầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến TS. Nguyễn Ái Quốc, người ñã
tận tình hướng dẫn và ñộng viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn ñến quí thầy cô: PGS. TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê
Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh về
những bài giảng didactic thú vị.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot và TS.
Alain Birebent về những lời góp ý cho luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, quí thầy cô và các em học sinh trường
THPT Gia Định; Khoa Toán trường Đại học Nông Lâm và các sinh viên ngành
quản lý môi trường khóa 2010 ñã luôn hỗ trợ và giúp ñỡ tôi ñể tôi hoàn thành tốt
khóa học và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, khoa

Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh ñã tạo ñiều kiện học
tập tốt nhất cho chúng tôi.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn ñến các bạn và các anh chị cùng lớp didactic toán
khóa 18 ñặc biệt là anh Đinh Quốc Khánh về những sẻ chia và giúp ñỡ trong thời
gian học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn ñến gia ñình và những người bạn vì những sự
quan tâm và ñộng viên giúp tôi hoàn thành khóa học.
Lê Thị Huyền.


DANH MỤC VIẾT TẮT
SGK

: Sách giáo khoa.

SGV

: Sách giáo viên.

KNV

: Kiểu nhiệm vụ.

T1

: Giáo trình “A first Course in Complex Analysis” của Matthias
Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton.

T2

: Giáo trình “Introduction to complex analysis” của W W L Chen.

T3

: giáo trình “Số phức” của TS Nguyễn Văn Đông, giáo trình dành
cho sinh viên sư phạm.

[P]

: Mathématiques 12ème, Ministère de l’Éducation et de la formation,
Hanoi 2002.

M1

: TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo
dục.

M2

: ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản
giáo dục.


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc

BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN
Tôi tên: Lê Thị Huyền
Ngày sinh: 12/04/1985

Nơi sinh: Quảng Ngãi

Là học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học Toán khóa: 18
Tôi đã bảo vệ luận văn thạc sĩ với đề tài: “Số phức và ý nghĩa hình học trong chương
trình phổ thông”
tại hội đồng chấm luận văn ngày 20 tháng 01 năm 2010
Tôi đã sửa chữa và hoàn chỉnh luận văn đúng với các góp ý, yêu cầu của Hội đồng và
ủy viên nhận xét, gồm các ý chính như sau:
+ Phát biểu lại giả thuyết H3 thành: “Việc thiếu vắng định nghĩa hai số phức bằng nhau
dưới dạng lượng giác gây khó khăn cho học sinh trong việc giải phương trình trong tập số
phức bằng dạng lượng giác.”
+ Phát biểu lại Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường
mắc phải khi học số phức? Những hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học
sinh khi dạy học số phức”
+ Thêm một chiến lược trong phần phân tích thực nghiệm bài thực nghiệm số 3.
+ Sửa một số lỗi chính tả, một số phần diễn đạt ý….
Nay tôi xin báo cáo đã hoàn thành sữa chữa luận văn như trên và đề nghị Hội đồng
chấm luận văn, cán bộ hướng dẫn xác nhận.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 3

năm 2011

Học viên
Lê Thị Huyền
Xác nhận của cán bộ hướng dẫn

Xác nhận của chủ tịch Hội đồng

Nguyễn Chí Thành

1

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban ñầu và câu hỏi xuất phát:
Khái niệm số phức ñược ñưa vào cuối chương trình Toán giải tích lớp 12, sau
khi hoàn thành chương Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng.
Như ta ñã biết, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực Ax 2 + Bx + C = 0 mà
biệt thức ∆ < 0 ñều không có nghiệm thực, sự phát triển của khoa học nói chung
và toán học nói riêng ñòi hỏi phải mở rộng tập hợp các số thực thành một tập hợp
số mới gọi là tập hợp các số phức, trong ñó các phép tính cộng và nhân các số
phức với các tính chất tương tự phép toán cộng và nhân các số thực sao cho các
phương tình nói trên ñều có nghiệm.
Ở chương trình phổ thông, số phức ñã xuất hiện từ rất lâu trong chương trình
toán ở nhiều nước trên thế giới. Tuy nhiên ở Việt Nam, ñối tượng số phức ñược
ñưa vào giảng dạy trong chương trình SGK trước cải cách giáo dục và phân ban
thí ñiểm năm 1998. Sau ñó ñến năm học 2008-2009 mới ñưa vào. Như vậy có một
sự ngắt quãng. Tại sao có sự khác biệt và ngắt quãng này? Vị trí và vai trò của
khái niệm số phức trong chương trình phổ thông Việt Nam giống và khác nhau
như thế nào so với các nước khác? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñưa ra như thế
nào?
Những ghi nhận ban ñầu nói trên ñưa chúng tôi ñến việc ñặt ra các câu hỏi sau:
Q1’: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñã ñược hình thành và phát
triển như thế nào?
Q2’: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào ở bậc ñại học?
Q3’: Số phức ñược ñưa vào chương trình toán THPT với mục tiêu gì? Nó ñược
tiếp cận ra sao? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñề cập như thế nào và các ứng dụng
của nó ra sao? Có sự tương ñồng hay khác biệt nào giữa lịch sử và hệ thống dạy
học?

2

Q4:’ Những ràng buộc của hệ thống dạy học ảnh hưởng như thế nào trên giáo
viên và học sinh về khái niệm số phức?
Q5’: Học sinh hiểu như thế nào về khái niệm số phức; những khó khăn học
sinh thường gặp phải khi học tập những kiến thức về số phức; có những hợp ñồng
nào hình thành trong giáo viên và học sinh không; có những quan niệm sai lầm
nào của học sinh trong khi học số phức?
2. Khung lý thuyết tham chiếu:
Chúng tôi ñặt mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán. Cụ thể chúng
tôi sử dụng thuyết nhân chủng học, hợp ñồng dạy học với các khái niệm sau:
2.1.

Chuyển ñổi Didactic:

Trong nhà trường phổ thông, ñối với một môn học, người ta không thể dạy cho
học sinh toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại ñã tích lũy ñược trong lịch sử.
Hơn nữa, ñể tri thức bộ môn trở nên có thể dạy ñược, cần phải lựa chọn, sắp xếp
và tái cấu trúc lại nó theo một kết cấu logic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác
ñịnh. Chuyển ñổi didactic, nói khác hơn là quá trình biến ñổi một tri thức bác học
thành một ñối tượng tri thức dạy học. Việc qui ñịnh các ñối tượng cần dạy ñược
thể hiện thông qua chương trình, SGK, ñề thi, tài liệu ôn thi của Bộ giáo dục, các
tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK.
Khái niệm này ñược vận dụng nhằm xác ñịnh khoảng cách giữa tri thức khoa
học và tri thức cần dạy ñối với khái niệm số phức. Nó cũng giúp nghiên cứu tính
hợp pháp của tri thức cần dạy và giải thích ñược một số ràng buộc của thể chế dạy
học ở trường phổ thông ñối với các kiến thức nêu trên.
2.2.

Quan hệ thể chế

Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại mà
thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở ñâu,
có vai trò gì và tồn tại ra sao … trong I.


3

2.3.

Quan hệ cá nhân

Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại
mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào
về O, có thể thao tác O ra sao?
Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần ñặt nó trong R(I, O).
2.4.

Tổ chức toán học:

Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần

[T ,τ ,θ , Θ] , trong ñó T là kiểu nhiệm vụ, τ

là kỹ thuật cho phép giải T, θ là công

nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ .
Một praxéologie mà các thành phần ñều mang bản chất toán học ñược gọi là một
tổ chức toán học (TCTH).

Việc phân tích các TCTH liên quan ñến ñối tượng tri thức O cho phép ta làm
rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O, từ ñó hiểu ñược quan hệ mà
các nhân X duy trì với tri thức O.
2.5.

Hợp ñồng Didactic:

Hợp ñồng didactic là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ tiềm ẩn của
học sinh và giáo viên về các ñối tượng tri thức toán học. Thông thường, nó là tập
hợp các quy tắc phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên – học sinh
và giáo viên – về một tri thức toán học ñược giảng dạy. Hợp ñồng didactic là qui
tắc giải mã các hoạt ñộng của quá trình học tập. Chỉ có thể hiểu thấu ý nghĩa của
những gì ñịnh hướng cách ứng xử của giáo viên và học sinh khi giải thích một
cách rõ ràng và chính xác những sự kiện ñã quan sát bằng những khuôn khổ của
hợp ñồng.
3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu
Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu ñã lựa chọn, câu hỏi xuất phát
ñã ñược chúng tôi cụ thể hóa như sau:


4

Q1: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành và phát triển
như thế nào? Các mô hình hình học của nó ñược xây dựng ra sao?
Q2: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào trên bậc ñại học?
Q3: Số phức ñược ñưa vào chương trình trung học phổ thông với mục tiêu gì?
Nó ñược tiếp cận ra sao? Sự ràng buộc của thể chế có ảnh hưởng như thế nào ñến
việc dạy và học của giáo viên và học sinh về khái niệm số phức?
Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường mắc
phải khi học số phức? Những hợp ñồng nào ñược hình thành giữa giáo viên và học

sinh khi dạy học số phức”
4. Mục ñích và phương pháp nghiên cứu.
Mục ñích nghiên cứu của chúng tôi là ñi tìm câu trả lời cho những câu hỏi ñã
ñặt ra ở mục 2. Để ñạt ñược mục ñích ñề ra, chúng tôi xác ñịnh phương pháp
nghiên cứu như sau:
-

Tìm hiểu quá trình hình thành và phát triển của số phức trong lịch sử toán

học, trong ñó làm rõ mối liên hệ giữa hình học và số phức. Số phức ñược xây
dựng như thế nào, các mô hình hình học của số phức ñược các nhà toán học xây
dựng như thế nào?
-

Tìm hiểu việc xây dựng số phức trong các giáo trình ñại học. Cụ thể là giáo

trình của Mỹ, Anh và Việt Nam. Từ ñó làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể
chế trong chương sau.
-

Phân tích chương trình và sách giáo khoa Song ngữ Pháp Việt về vấn ñề số

phức ñể thấy ñược mong muốn của thể chế ñưa ra ở ñây là gì? Từ ñó so sánh với
thể chế dạy học toán ở Việt Nam về khái niệm số phức.
-

Xây dựng và tiến hành thực nghiệm ñối với học sinh ñể cho phép tìm câu

trả lời cho các giả thuyết nghiên cứu ñã ñặt ra.

5

5. Tổ chức của luận văn.
Luận văn gồm 6 phần: Phần mở ñầu, 4 chương và phần kết luận chung.
Trong phần mở ñầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban ñầu, khung lý
thuyết tham chiếu; mục ñích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn.
Chương 1, dành cho việc nghiên cứu khoa học luận; Vài nét về lịch sử xuất
hiện số phức; các mô hình học của số phức trong lịch sử.
Chương 2, chúng tôi giới thiệu một số quan ñiểm về xây dựng số phức trong
lịch sử và trong một số giáo trình của Mỹ, Anh và Việt Nam.
Chương 3, chúng tôi phân tích chương trình và sách giáo khoa của hai thể chế
Pháp (chương trình song ngữ) và Việt Nam về khái niệm số phức. Từ ñó so sánh
và ñưa ra một số hợp ñồng didactic, sai lầm của học sinh và các giả thuyết nghiên
cứu.
Chương 4, nghiên cứu thực nghiệm ñối với học sinh nhằm kiểm chứng các
hợp ñồng didactic và giả thuyết của luận văn.
Trong phần kết luận chung, chúng tối tóm tắt các kết quả ñã ñạt ñược ở
chương 1,2, 3 và 4 và nêu ra một số hướng mở ra từ luận văn.


6

Chương 1
NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NÓ TRONG
LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN.
Mở ñầu
Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục ñích trả lời câu hỏi Q1: “Trong
lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành và phát triển như thế nào?
Các mô hình hình học của nó ñược xây dựng ra sao?”.

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu, phân tích và tổng hợp một số tài liệu về sự
hình thành và phát triển của toán học nói chung cũng như số phức nói riêng.
Các tài liệu chúng tôi chọn làm tư liệu trong chương này gồm có:
1. LÊ THỊ HOÀI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trò của phân tích
khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn
Toán, Báo cáo tổng kết ñề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, tp Hồ Chí Minh.
2. HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch
sử toán học, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, công ty sách thiết bị trường học
thành phố HCM.
3. NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen
dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục.
4. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản
ñại học quốc gia thành phố HCM.
5. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ.
6. WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math
through the Ages, a gentle history for teachers and others.
7. Remark on the history of Complex Numbers
8. FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company,
London 1909.


7

1. Vài nét về lịch sử xuất hiện số phức
Trong cuốn “The Great Art” xuất bản năm 1545, Cardano ñưa ra vấn ñề về
việc tìm hai số sao cho tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng là 40. Theo
những kiến thức lúc bấy giờ thì không tồn tại hai số ñó nhưng Cardano chỉ ra rằng
nếu bỏ qua sự vô lý của các kí hiệu thì hai số có dạng 5 + −15 và 5 − −15 quả
thực có tổng là 10 và tích là 40. Nhưng ông chỉ ñưa ra một cách qua loa những
dạng này như là một “trò chơi vô nghĩa” của những “kẻ rỗi việc”. Trong một cuốn

sách khác, ông nói rằng

9 cũng là 3 hay -3 và

−9 cũng là +3 hay -3 nhưng

chúng là “số 3 không có gì cả”.
Trong một ví dụ ñầu thế kỉ 17, Descartes lưu ý rằng khi tìm giao ñiểm của một
ñường tròn và một ñường thẳng ta phải giải một phương trình bậc hai. Công thức
nghiệm của phương trình bậc hai dẫn ñến căn bậc hai của số âm khi ñường thẳng
trong thực tế không cắt ñường tròn. Vì vậy trong hầu hết các phần, sự cảm nhận có
sự xuất hiện của nghiệm “không thể” hay “nghiệm ảo” thì ñơn giản là câu trả lời
cho phương trình không có bất kì nghiệm nào.
Thành tựu lớn nhất của Cardano là tìm công thức giải cho phương trình bậc ba.
Cho một phương trình dạng x3 + px + q = 0 , công thức nghiệm của Cardano ñược
q2 p3 3 q
q 2 p3
+
+ − −
+
. Công
4 27
2
4 27

q
2

viết lại bằng ngôn ngữ hiện ñại là: x = 3 − +

thức này dùng cho mọi phương trình bậc 3 (phương trình dạng x3 + ax 2 + bx + c = 0
1
3

có thể ñưa về dạng trên bằng cách ñặt x = z − a2 . Khi ñó phương trình trên trở
1
3

1
3

thành z 3 + Bz + C = 0 với B = c − a 2 , C = c − ab +

1
2a 2 ). Tuy nhiên, một vài
27

trường hợp gặp phải rắc rối.
Giả sử cho phương trình x3 = 15 x + 4 ta viết lại thành x3 − 15 x − 4 = 0 , và áp
dụng công thức trên, ta ñược x = 3 2 + −121 + 3 2 − −121 .


8

Dựa vào những ñiều ñã biết khi giải phương trình bậc hai, dường như kết luận
ñúng nhất trong trường hợp này là phương trình vô nghiệm. Nhưng rõ ràng x = 4
là nghiệm của phương trình trên. Vậy kết luận trên là sai lầm.
Cardano ñã ñưa ra vấn ñề này nhưng hầu như không ai biết ñến nó. Ông ñã ñề
cập hai lần trong những cuốn sách của mình
Vào năm 1560, Bombelli ñã ñưa cách thoát khỏi những bối rối ñó. Ông tranh

luận rằng, ta có thể khai triển với loại “căn số mới” này. Để nói về căn bậc hai của
số âm, ông phát minh ra một ngôn ngữ mới lạ. Thay cho việc nói 2 + −121 là 2
cộng căn trừ 121, thì ông nói rằng 2 cộng của trừ căn của 121. Do ñó, “cộng của
trừ” trở thành mật mã cho việc cộng căn bậc hai của số âm. Tất nhiên, trừ căn bậc
hai như thế trở thành “trừ của trừ”. Vì 2 + −121 = 2 + 11 −1 nên ông ñề cập ñến
nó như “hai cộng của trừ 11” và giải thích qui luật của phép toán như sau:
“Cộng của trừ nhân cộng của trừ thành trừ
Trừ của trừ nhân trừ của trừ là trừ.
Cộng của trừ nhân trừ của trừ là cộng”
Theo ngôn ngữ hiện ñại, có nghĩa: i × i = −1; − i × −i = −1 ; i × −i = 1
Nhưng Bombelli không thực sự nghĩ về “căn số mới” này như là một số. Đúng
hơn, ông dường như ñưa ra những qui tắc mà cho phép ông chuyển những công
thức phức tạp như

(

3

)

2 + −121 − 3 2 + −121 về những biểu thức ñơn giản hơn.

3

Ông ñưa ra 2 ± −1 = 2 ± −121 .
Vì vậy,

3

(

) (

)

2 + −121 + 3 2 − −121 = 2 + −1 + 2 − −1 = 4 . Đây là nghiệm của

phương trình bậc ba, và bắt ñầu theo hướng này, ông tìm ñược nghiệm của phương
trình bậc 3. Những công trình của Bombelli cũng chỉ ra rằng thỉnh thoảng việc tìm
căn bậc hai của số âm cũng cần thiết cho việc tìm nghiệm thực của phương trình.
Nói cách khác, ông chỉ ra rằng sự xuất hiện của những biểu thức như thế không
luôn là những tín hiệu cho những phương trình không thể giải ñược. Đây là dấu


9

hiệu ñầu tiên nói rằng số phức là công cụ toán học thực sự hữu ích. Nhưng
những ñiều ñó ñều vấp phải sự phản ñối của những ñịnh kiến cũ.
Nữa thế kỷ sau ñó, cả hai ông Girard và Descartes biết rằng phương trình bậc n
sẽ có n nghiệm. Nó cho phép căn bậc hai ñúng (căn bậc hai của số dương) và căn
bậc hai sai (căn bậc hai của số âm) và nghiệm phức. Nó giúp tạo ra những công
thức nghiệm tổng quát và ñơn giản hơn. Nhưng những nghiệm phức vẫn thường
ñược mô tả như là “”ngụy biện”, “không thể”, “ảo” hay là “vô nghĩa, vô lý”.
Vào

ñầu

(cos x + i sin x )n

thế

kỉ

18,

Moivre

ñưa

ra

công

thức

nối

tiếng

sau

= cos nx + i sin nx (Công thức này ngầm ẩn trong các công trình của

Moivre, mặc dù nó không ñược phát biểu dưới dạng này).
Một năm sau ñó, Leonhard Euler ñã ñưa ra ký hiệu i thay cho

− 1 và ñi ñến

sự liên kết tất cả với nhau khi ông phát minh ra công thức e ix = cos x + i sin x . Khi
x = π , ta ñược e iπ = −1 hay e iπ + 1 = 0 , công thức này là một công thức quan trọng

vì nó liên kết một số khái niệm quan trọng nhất trong toán học.
Giữa thế kỷ 18, người ta biết ñến số phức như là một bước cần thiết ñể giải
quyết các vấn ñề về số thực. Nó ñóng vai trò quan trọng trong những thuyết về
phương trình, và có mối liên hệ sâu sắc giữa số phức, hàm lượng giác và dạng
mũ.
Nhưng cũng còn rất nhiều vấn ñề. Ví dụ, Euler làm rối tung những căn thức
giống

− 2 . Căn của một số thực ñược ñịnh nghĩa:

2 có nghĩa là căn bậc hai

dương của 2. Vì số phức không dương, không âm nên không có sự lựa chọn căn
bậc

hai

nào

tốt

nhất.

Do

ñó,

Euler

nói

rằng:

− 2 . − 2 = −2; − 3 − 2 = − 3. − 2 = 6 nhưng ông không chú ý rằng nếu ông áp

dụng công thức thứ 2 vào công thức thứ nhất thì kết quả không ñúng.
Mặc dù Euler sử dụng số phức rất nhiều, nhưng ông không giải quyết lại những
ñiều mà chúng ta ñã nói ở trên. Trong cuốn Đại số sơ cấp, ông viết:


10

“ Vì mọi số ñều có thể so sánh với 0, nhỏ hơn hay lớn hơn hay bằng 0. Do ñó,
ta không thể ñưa căn bậc hai của một số âm vào ñội ngũ “những số có thể”. Trong
cách này, những số ñó ñược gọi là những ñại lượng ảo vì nó tồn tại trong sự tưởng
tượng. Mọi ký hiệu

− 1; − 2 , − 3... là những số không thể, số ảo. Và chúng ta

thừa nhận những số này không là gì cả, không lớn hơn hay nhỏ hơn bất cứ thứ gì.
Điều ñó có nghĩa chúng là ảo hay không tồn tại.
Nhưng dù sao ñi nữa, những số này vẫn ở trong ñầu chúng ta, chúng tồn tại
trong sự tưởng tượng của chúng ta và chúng ta vẫn có những ý tưởng về chúng”.
Quan ñiểm của hầu hết các nhà toán học thế kỷ 18 là “Số phức là những số
tưởng tượng có ích”.
Gauss là người thực sự có ý tưởng ñầu tiên về số phức vào năm 1831 và dùng
kí hiệu a+bi ñể chỉ số phức, trong ñó a, b là các số thực, i là ñơn vị ảo. Khi a = 0
thì a+bi = bi là số ảo; khi b = 0 thì a+bi = a là một số thực.
Thế kỷ 19, bắt ñầu xuất hiện những nhu cầu về số phức. Argand, một người

bán sách ở Paris là người ñầu tiên ñưa ra ñề nghị trong một xuất bản 1806. Nó làm
rõ một số giả thuyết về những số tưởng tượng hay những số ảo kỳ quái bằng cách
biểu diễn chúng bằng hình học. Các ñiểm với toạ ñộ của chúng có sự tương
ñồng, (x, y ) ֏ x + iy . Giả thuyết của Argand bị bác bỏ cho ñến khi Gauss ñề xuất
nhiều ý tưởng tương tự vào 1931và chỉ ra rằng nó có thể là một thành phần toán
học có ích.Và Gauss cũng ñề xuất các ñiều kiện cho số phức. Hai năm sau ñó,
Hamilton chỉ ra rằng, ta có thể bắt ñầu từ mặt phẳng ñể ñịnh nghĩa những cặp sắp
thứ tự trong một cách thuận lợi và kết thúc là sự ñồng nhất với số phức.
Hamilton nó rằng số “hư cấu” i chỉ là một ñiểm (0, 1).
Các nhà toán học luôn tìm kiếm ñề tài cho số phức bởi vì sau ñó, chúng quá
hữu ích ñến nỗi mà chúng ta khó tránh tiếp xúc với nó. Euler và Gauss dã chỉ ra
rằng ta có thể sử dụng chúng ñể giải quyết những vấn ñề về ñại số và lý thuyết số.


11

Hamilton ñã ñúc kết những ứng dụng của số phức trong vật lý. Cauchy và
Gauss cũng chỉ ra rằng có thể phát minh ra 1 phương pháp tính ứng dụng cho số
phức. “Phép tính phức” này ñóng vai trò to lớn, một phần bởi vì nó chứng minh dễ
dàng hơn phép tính chỉ ñơn thuần dựa vào số thực.
Trong sổ tay của Riemann,Weierstrass và những người khác, số phức trở
thành một công cụ hết sức mạnh mẽ, ñóng vai trò trung tâm trong toán học
thuần túy và toán học ứng dụng. Thậm chí, Hadamard nói rằng “nếu chúng ta chỉ
quan tâm về số thực và những câu trả lời về số thực, cách dễ nhất thường chứa
ñựng số phức”. Vì vậy, lý do mà chúng ta phải tin vào số phức là: “tại vì số phức
rất hữu dụng”
Nhận xét: Khái niệm số phức nảy sinh từ chính nhu cầu giải quyết các bài
toán của khoa học toán học. Tuy nhiên, ñó không phải là bài toán bậc hai như
chúng ta thường thấy trong chương trình toán ở trường phổ thông hay thậm chí
trên bậc ñại học mà là những bài toán gắn liền với việc tìm nghiệm thực của

phương trình bậc ba.
Tóm lại, chính trong quá trình ñi tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba
mới là ñộng cơ nảy sinh ra số phức.
2. Vấn ñề biểu diễn hình học của số phức trong lịch sử.
Từ thế kỷ 16, mầm mống của số phức ñã xuất hiện. Việc mở rộng hệ thống
tính toán ñại số ñã ñòi hỏi phải ñưa vào căn bậc hai của số âm với tư cách là trung
gian của tính toán.
Tuy nhiên, ñến tận thế kỷ 19, vấn ñề hợp thức căn bậc hai của số âm vẫn luôn
là một trong những nổi bận lòng của các nhà toán học về phương diện triết học.
Người ta gọi ñây là những ñại lượng ảo, xem nó là sản phẩm của trí tuệ thuần túy,
là một ký hiệu hình thức, là ñối tượng ñược lấy làm trung tâm cho các tính toán
ñại số. Người ta luôn quan tâm ñến câu hỏi: nó biểu diễn cho ñối tượng nào của
thực tế toán học?


12

Việc tìm thấy nghĩa của ñại lượng ảo ñược thực hiện trong phạm vi hình học
thông qua các công trình của nhiều nhà toán học.
2.1.

Mô hình của Wallis:

Năm 1673, Wallis ñề nghị một hình ảnh phát họa cho các ñại lượng ảo. Trong
cuốn “Algebra” xuất bản năm 1685, ông chính thức ñưa ra một giải thích các ñại
lượng ảo:
“Nếu ta giả sử rằng mặt rộng này là -1600 perches, nghĩa là 1600 perches mất,
và nó có dạng hình vuông, thì liệu có hay không cạnh của hình vuông này? Nếu có
thì bằng bao nhiêu? Chắc chắn, cạnh này không thể là +40 hay -40, vì hình vuông
tương ứng cho 1600perches chứ không phải là -1600 perches. Đó phải là

−1600

(căn giả ñịnh của một số âm), hay 10 −16 , 20 −4 , 40 −1 ”
Như vậy, Wallis tưởng tượng 40 −1 như là cạnh của một hình vuông diện tích
là

-1600 perches, nhưng trong hình ảnh hình học sơ khai này các ñại lượng ảo

vẫn tồn tại trong sự tưởng tượng.
Tuy nhiên mô hình của ông thất bại vì ông không ñem lại một sự giải thích
thỏa ñáng cho phép nhân. Phương pháp của ông là khái quát hóa vào mặt phẳng
mô hình cộng của những cái ñược và mất ñã ñược sử dụng ñể giải thích cho các
ñai lượng âm.
Theo ngôn ngữ hiện ñại thì ta có thể nói rằng, việc mở rộng từ R vào C của
Wallis có cùng bản chất với việc mở rộng từ N vào Z. Thực ra, phép tương tự ở
ñây chỉ là sự tương tự bề ngoài, nó không tính ñến cấu trúc nhân. Trong thực tế,
mô hình của những cái ñược và mất ñã ñược dùng cho các ñại lượng âm không chỉ
vì nó mang lại nghĩa cho số âm mà trước hết nó tính ñến cấu trúc cộng của Z. Thế
nhưng ở ñây cái liên quan ñến tập hợp các số ảo không phải là cấu trúc cộng mà là
cấu trúc nhân của nó. Mô hình ñược và mất không còn thích hợp ở ñây nữa.


13

2.2.

Mô hình của Wessel:

Khám phá ñầu tiên về việc biểu diễn hình học các số phức dường như là công

trình nghiên cứu của Wessel ñược công bố năm 1797.
Wessel không trực tiếp tìm cách giải thích sự tồn tại của các số phức, mà theo
cách nói của ông là tìm cách biểu diễn các phương bằng giải tích. Ông nhận thấy
rằng, với kỹ thuật của ñại số cổ ñiển thì một hướng chỉ có thể ñược biến ñổi thành
hướng ñối của nó, ñến nổi mà khi ñã cố ñịnh một phương thì người ta chỉ có thể
xét cùng lúc các ñường có hai hướng ñối nhau. Để khắc phục các thiếu sót này,
Wessel tìm cách mở rộng các tính toán ñại số trên mọi ñường của không gian sao
cho không làm thay ñổi các qui tắc tính toán quen thuộc.
Để xây dựng một hệ thống tính toán như vậy, ñầu tiên ông ñịnh nghĩa phép
cộng hai ñường. Trong ñịnh nghĩa của ông về tổng hai ñường, ta tìm thấy quan
niệm (ngầm ẩn) về ñại diện của vectơ. Ông cũng lưu ý rằng thứ tự các ñường
trong phép cộng không quan trọng. Sau ñó, ông ñưa vào phép nhân hai ñường
ñồng phẳng. Tích hai ñường ñồng phẳng là một ñường ñồng phẳng có chiều dài
bằng tích các chiều dài và ñộ nghiêng bằng tổng các ñộ nghiêng của hai ñường ban
ñầu.
Theo qui ước của Wessel, một ñường ñơn vị ñược ñược cố ñịnh và kí hiệu là
+1. Một ñường ñơn vị khác vuông góc với nó và có cùng ñiểm gốc ñược kí hiệu là
+δ . Ông ký hiệu -1 là ñơn vị ñối của +1 và chỉ ra rằng với phép toán ñã ñược ñịnh

nghĩa như trên thì

−1 = δ và ( +δ )( +δ ) = −1

Như vậy, Wessel ñã ñưa ra ñược một cách giải thích hình học cho

−1 . Ông

cũng chứng minh ñược rằng các bán kính của ñường tròn ñơn vị ñược viết ở dạng
cos v + δ sin v hay a + δ b và người ta có thể nhân, chia, nâng lên lũy thừa hửu tỷ

những biểu thức như vậy.


14

2.3.

Mô hình của Argand

Năm 1806 Jean Robert Argand (1768-1822) công bố Tiểu luận về một cách
biểu diễn ñại lượng ảo trong phép dựng hình học, trong ñó ông ñưa ra cách biểu
diễn hình học của phép cộng và phép nhân các số phức.
Điểm xuất phát ñầu tiên của Argand là ñại số.
Argand tìm cách biểu diễn trung bình nhân của hai ñơn vị có hướng ñối nhau,
ñó là ñại lượng x thỏa mãn tỉ lệ thức:

+1 x
=
. Hiển nhiên ta có x. − x = −1 . Vì ñại
x −1

lượng x không thể âm, cũng không thể dương nên cần một hướng thứ 3 chứa x.
Với tư tưởng này, ông biểu diễn các số thực trên cùng một trục, sau ñó xét trục
vuông góc với trục thứ nhất tại ñiểm gốc của nó. Trên trục thứ hai, hai ñại lượng
ñơn vị theo thứ tự ñược biểu diễn bởi + −1 và − −1 . Như vậy, nguyên lý biểu
diễn hình học ñã ñược ñặt ra.
Ông cũng ñưa vào khái niệm ñường ñịnh hướng:
“Đường ñịnh hướng ñược phân biệt với ñường tuyệt ñối- ñường mà người ta
chỉ có thể xem xét chiều dài, không quan tâm gì về hướng”
Để liên kết các ñường ñịnh hướng với nhau, ông chỉ ra rằng những ñường song

song với trục thực ñược viết là ± a , những ñường vuông góc với nó ñược viết là
±b −1 và cuối cùng thì mọi ñường của mặt phẳng ñược biểu diễn bởi ± a ± b −1 .

Sau ñó ông thiết lập sự tương ứng giữa các số ảo với các phép dựng hình học
ñược thực hiện trên các ñường ñịnh hướng.
Nhận xét
Trong quá trình tìm nghiệm của phương trình bậc ba thì mầm mống của số
phức ñã bắt ñầu xuất hiện. Tuy nhiên, nó chỉ là cách viết trung gian ñể tìm nghiệm
của phương trình bậc 3. Chính bài toán tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba


15

mới dặt ra vấn ñề là: mọi phương trình bậc ba có nghiệm thực không? Nếu có thì
làm sao xác ñịnh ñược chúng.
Người Hy Lạp cổ ñặc biệt Euclide (330-275 trước công nguyên) ñã tìm ra cách
giải nhưng không thành công các bài toán dẫn ñến phương trình bậc ba. Như bài
toán “chia ba góc 600 ” dẫn tới phương trình x3 = 3x + 1 . Việc giải phương trình
này ñược thực hiện nhờ vào phép dựng hình học.
Phép dựng hình học nghiệm thực của phương trình bậc ba ñã thành công ở
nhiều nhà toán học, chẳng hạn Al – Haytham (965-1093) khi giải bài toán của
Archimede. Bài toán này dẫn tới phương trình bậc ba dạng ax 3 + a 2b = cx 2 và
nghiệm ñược xác ñịnh từ giao của parabol x 2 = ay và hyperbol y ( c − x ) = ab .
Nhưng biểu thức ñại số của các nghiệm này vẫn chưa xuất hiện trong lời giải.
Cũng chính trong quá trình tìm cách biểu diễn hình học của số phức mà hệ
thống tính toán vectơ ñã ñược tạo ra.
Kết luận
Trong phân tích trên chúng ta thấy rõ nếu chỉ có các số thực thì ta sẽ gặp bế
tắc trong việc giải các phương trình bậc ba và việc giải quyết bế tắc này ñã ñưa
ñến việc phát minh ra số phức. Và cũng từ số phức người ta chứng minh ñược mọi

phương trình bậc n ñều có n nghiệm. Đây là ñịnh lý mà ngày nay người ta gọi là
“ Định lý cơ bản của Đại Số Học”. Hơn nữa việc phát minh ra số phức còn thúc
ñẩy các lĩnh vực khác tiến thêm một bước nữa và có những ngành Toán học mới
ra ñời như: lý thuyết hàm số biến số phức… . Có thể nói số phức là cầu nối giữa
Đại Số và Giải Tích.


16

Chương 2
SỐ PHỨC DƯỚI GÓC ĐỘ MỘT TRI THỨC KHOA HỌC
Mở ñầu
Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục ñích trả lời cho câu hỏi Q2:
“Trường số phức ñược xây dựng như thế nào trên bậc ñại học?” .
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số quan ñiểm về xây dựng số phức
trong lịch sử và các cách xây dựng trường số phức trên bậc ñại học. Cụ thể, chúng
tôi nghiên cứu ba giáo trình ñại học khác nhau của ba nước Mỹ, Anh và Việt Nam.
Để thực hiện chương này, chúng tôi ñã sử dụng một số tài liệu tham khảo sau:
1. NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen
dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục.
2. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản
ñại học quốc gia thành phố HCM.
3. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ.
4. ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Sách giáo viên, Nhà
xuất bản giáo dục.
5. MATTHIAS BECK, GERALD MARCHESI, and DENNIS PIXTON, A
First Course in Complex Analysis, Department of Mathematics San Francisco
State University, San Francisco CA 94132.
6. W W L CHEN, Introduction to complex analysis, University of London.
7. NGUYỄN VĂN ĐÔNG, Số phức, Giáo trình dành cho sinh viên sư phạm,

Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.
1. Các quan ñiểm về xây dựng khái niệm số phức trong lịch sử.
Năm 1799, Gauss ñưa ra một cách chứng minh ñịnh lý cơ bản của Đại số học.
Nhưng Gauss có thói quen không hay vội vã công bố công trình của mình. Mãi