Giao an so 3 090306

GIÁO ÁN SỐ 3

Số tiết 6

TÊN BÀI GIẢNG:

ĐH A2

CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC (TT)
CHƯƠNG IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
 MỤC ĐÍCH:
-

Nắm các phương pháp tính đònh thức.

-

Điều kiện khả nghòch của một ma trận vuông, tìm ma trận nghòch đảo của một ma trận
vuông bằng ma trận phụ hợp, ma trận liên lợp.

-

Hạng của ma trận, các tính chất của hạng, đònh thức con cơ sở.

-

Biết hệ phương trình đại số tuyến tính và dạng ma trận của hệ.

-

Nắm và vận dụng được qui tắc Cramer.

TT
NỘI DUNG GIẢNG DẠY
§5 Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông khả nghòch.
5.1 Ma trận phụ hợp, ma trận liên hợp của một ma trận vuông.
+ Ma trận phụ hợp của

A = (a iij ) i =1, m

là ma trận

j =1, n

A = ( Aiij ) i =1, m

j =1, n

TG

. Tong đó Aij là

P.PHÁP

20’ Diễn giảng
Minh họa

phần bù đại số của phần tử aij.
T
+ Ma trận liên hợp của A , kí hiệu AV, là AV = A
* Cho ví dụ.

5.2 Đònh lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận A∈Mn(R) khả nghòch là det A 25’
≠0.
Chứng minh (GT trang 68, 69)
Hướng dẫn
* Điều kiện cần: det A. det B = 1
* Điều kiện đủ:
• Lập A AV
(AVA)

5.3

n

k =1

k =1
i≠ j

∑ a ik Aik = det A, ∑ a ik A jk = 0

• Lưu ý
=>
Tương tự

n

AAV = det A.In
AVA = det A.In

Vậy A có nghòch đảo A −1 =

AV
det A

Cáo bước để tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phụ hợp.
* B1: Tính det A: det A = 0 => A không có ma trận nghòch đảo. det A ≠ 0,
thực hiện B2.
* B2: Tính Aij để xác đònh ma trận phụ hợp A = [ Aij ] ij==11,,nn
Suy ra AV = A

T

−1
* B3: Xác đònh A =

Ví dụ 1 trang 34.

T
1
A
det A

1


§6 Các Phương pháp tính toán đònh thức.
6.1 Dùng công thức khai triển Laplace.
Lưu ý: Nhân một hàng với một số chọn thích hợp rồi cộng vào một hàng
khác để làm triệt tiêu các phần tử của một cột ngoại trừ một phần tử.
6.2 Phương pháp dẫn về đònh thức tam giác.

Dùng tính chất của đònh thức để biến đổi đònh thứcvề dạng đònh thức tam
giác.
Các ví dụ trang 70, 71 giáo trình.
§7 Hạng của ma trận.
7.1 Đònh nghóa: Cho ma trận A∈Mmxn(|R)
+ Nếu trong ma trận A ta tách ra k hàng, k cột bất kì thì các phần tử trên 25’ Diễn giảng
Minh họa.
các giao điểm của các hàng và các cột đó tạo thành một ma trận vuông
cấp k. Đònh thức của ma trận này được gọi là đònh thức con cấp k của ma
trận A [ta có k ≤ min (m, n)].
+ Hạng của ma trận A, kí hiệu r (A) là cấp lớn nhất của đònh thức con khác
không của A.
* Chú ý: Nếu r (A) = r thì 0 ≤ r ≤ min (m, n) và lúc đó mọi đònh thức con
cấp lớn hơn r đều bằng 0. [r (A) = 0 ⇔ A = 0]
+ Nếu r (A) = r thì A có chứa ít nhất một đònh thức con khác không cấp r,
mỗi đònh thức con khác không cấp r bất kì của A được gọi là một đònh thức
con cơ sở của A.
+ Một ma trận A có thể có nhiều đònh thức con cơ sở. Ta chọn xét một
trong các đònh thức con cơ sở, lúc đó hàng và cột mà trên các giao điểm
của chúng là các phần tử của đònh thức con cơ sở đã chọn được gọi là hàng
và cột cơ sở.
7.2 Các tính chất.
* Tính chất 1: r (A) = r (AT) ∀A∈Mmxn(R).
* Tính chất 2: Gọi A’ là ma trận có được từ A sau một số hữu hạn các phép
biến đổi sơ cấp trên hàng, ta nói A’ là ma trận tương đương với A và ta có
r(A’) = r (A).
* Tính chất 3: Hạng của một ma trận không thay đổi nếu ta gạch bỏ một
hàng không (hàng toàn số 0).
* Tính chất 4: Hạng của một ma trận không thay đổi nếu ta gạch bỏ một
hàng là một tổ hợp tuyến của các hàng khác.

* Tính chất 5: Hạng của một ma trận bậc thang dòng bằng số hàng khác
không của ma trận đó.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng phép toán sơ cấp về hàng
(giáo trình trang 77).
45’
Bài tập: 19, 28, 33, 36
CHƯƠNG IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH.
§1 Đònh nghóa:
15’
* Hệ phương trình đại số tuyến tính m phương trình, n ẩn có dạng:
2


a11 x1 + a12 x 2 + ......... + a1n x n = b1
a x + a x + ......... + a x = b
 21 1
22 2
2n n
2



a m1 x1 + a m 2 x 2 + ......... + a mn x n = bm

(1)

Hệ (1) ⇔ AX = B
Với

A = [ a ij ] ij==11,,mn gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình.

 x1 
x 
2
X =  

 
xn 
b1 
b 
2
B =  

 
bm 

gọi là ma trận cột ẩn số.

gọi là ma trận cột hằng số.

Trong quá trình giải, ta thường dùng ma trận A’ = [A | B] gọi là ma trận mở
rộng của hệ phương trình.
* Khi tất cả các hằng số b1, b2, ……, bm đều bằng 0 thì hệ (1) được gọi là hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất.
* Nghiệm của hệ (1) là bộ (x1, x2, ……, xn) sao cho mọi phương trình trong
hệ được thỏa.
* Hai hệ phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
* Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có một nghiệm tầm thường là
(0, 0, …, 0)
§2 * Hệ phương trình cơ sở của một hệ phương trình tuyến tính (GT).
2.1 Các đònh lý.

25’
Đònh lý Cramer.
Cho hệ phương trình tuyến tính có n phương trình, n ẩn. Gọi A là ma trận
hệ số của phương trình, lúc đó nếu det A ≠ 0 thì hệ có một nghiệm duy
nhất (x1, x2, ……, xn) với x j =

∆j
∆

, j = 1, n . Trong đó ∆j là đònh thức của ma

trận có được từ A bằng cách thay cột thứ j bởi vectơ cột hằng số B.
Chứng minh (GT trang 73).
* Bước 1: Tồn tại nghiệm C0 = A-1B.
* Bước 2: Nghiệm duy nhất.
* Bước 3: Tính nghiệm: C 0 = A −1 B ⇔ x j =
- Ví dụ: Giáo trình trang 74, 75.
- Bài tập: Giáo trình trang 93, 94

∆j
∆

, j = 1, n

45’

3


 TỔNG KẾT BÀI (5 phút):

-

Điều kiện khả nghòch, nghòch đảo của một ma trận vuông.

-

Hạng của ma trận.

-

Qui tắc Cramer.

-

Bài tập về nhà: từ bài 85 đến bài 95 trang 94, 95 giáo trình.

 RÚT KINH NGHIỆM:
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Ngày

tháng năm 2006
Khoa

Ngày
Tổ bộ môn

tháng năm 2006
Giảng viên

4