Giao an so 4 100306

GIÁO ÁN SỐ 4
ĐH A2

Số tiết 6

TÊN BÀI GIẢNG: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH(TT)
 MỤC ĐÍCH:
-

Hiểu và vận dụng được đònh lý Kronecker-Capelli để giải hệ phương trình tuyến tính.

-

Nắm được các đònh lý về nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

TT
NỘI DUNG GIẢNG DẠY
TG P.PHÁP
2.2 Đònh lý về hệ phương trình cơ sở.
15’ Diễn giải.
Hệ phương trình đại số tuyến tính tương đương với hệ phương trình cơ sở
của nó.
* Giới thiệu về hệ phương trình cơ sở: Nếu r (A) = r, chọn một đònh thức
~
con cơ sở của A = [ A | B] , ta có các hàng cơ sở tương ứng. Hệ gồm r phương
trình của hệ mà các hệ số chưa hệ số các hàng cơ sở được gọi là hệ phương
trình cơ sở của hệ đã cho.
* Chứng minh:
+ Mọi nghiệm của hệ đã cho hiển nhiên là nghiệm của hệ cơ sở.
~
+ Mỗi hàng bất kì của A là một tổ hợp tuyến tính của các hàng cơ

sở. Như vậy mỗi phương trình của hệ đã cho đều có thể thu được bằng các
phép toán tuyến tính từ hệ cơ sở => Mọi nghiệm của hệ cơ sở là nghiệm
của hệ đã cho.
30’ Diễn giải.
2.3 Đònh lý Kronecker Capelli:
~
Hệ phương trình AX = B tương thích khi và chỉ khi r (A) = r ( A ) với
~
A = [ A | B] .
~
Nếu r (A) = r ( A ) = n: hệ có một nghiệm duy nhất.
~
Nếu r (A) = r ( A ) < n: hệ có vô số nghiệm.
* Chứng minh:
i) Điều kiện cần: Cho hệ phương trình tương thích, tức là có nghiệm x 1 = c1,
x2 = c2, ……, xn = cn, sao cho:
a i1 c1 + a i 2 c 2 + ...... + a in c n = bi ;

Suy ra

i = 1, m

a1n  b1 
a11 
a12 
a  b 
a 
a 
21 
22 



c1
+ c2
+ ... + c n  2 n  =  2 
   
 
 
   
 


a m1 
a m 2 
a mn  bm 

~

Như vậy cột cuối cùng của ma trận mở rộng A là một tổ hợp tuyến
~
tính của các cột trước đó, nên ta có thể bỏ được, vậy ta có r ( A ) = r (A).
~
ii) Điều kiện cần: Cho r ( A ) = r (A), ta tách r cột cơ sở của ma trận A; vì r(
~
~
A ) = r (A) nên chúng cũng là r cột cơ sở của A .
Không giảm tính tổng quát, chúng ta sử dụng r cột đầu là r cột cơ sở. Như

Giải thích.
1

~

vậy cột cuối cùng của ma trận A là một tổ hợp tuyến tính của r cột đầu.
Do đó ta có thể tìm được các số c1, c2,…, cr sao cho:
a11 
a12 
a1r  b1 
a 
a 
a  b 
21 
22 


c1
+ c2
+ ... + c r  2 r  =  2 
 
 
   
 


   
a m1 
a m 2 
a mr  bm 
c1 a i1 + c 2 a i 2 + ...... + c r a ir = bi ; i = 1, m

Suy ra:
Đặt x1 = c1, x2 = c2, ……, xr = cr, xr+1 = …… = xn = 0
Ta có: c1ai1 + c2ai2 + …… + crair + …… + cnain = bi
Nghóa là (c1, c2, ……, cr, 0, 0,…, 0) là nghiệm của hệ đã cho, vậy hệ số cho
là tương thích.
Bây giờ xét hệ phương trình cơ sở.

~

a11 x1 + a12 x 2 + ...... + a1n x n = b1
a x + a x + ...... + a x = b
 21 1
22 2
2n n
2


a r1 x1 + a r 2 x 2 + ...... + a rn x n = br

(*)

* Nếu r ( A ) = r (A) = r = n.
Thì hệ (*) là hệ có n phương trình, n ẩn, đònh thức của hệ khác 0 nên theo
đònh lý Cramer, hệ (*) có nghiện duy nhất, vậy hệ đã cho có nghiệm duy
nhất.
~
* Nếu r ( A ) = r (A) = r < n. Ta có:
a11 x1 + a12 x 2 + ...... + a1r x r = b1 − a1( r +1) x r +1 − ...... − a1n x n

a 21 x1 + a 22 x 2 + ...... + a 2 r x r = b2 − a 2 ( r +1) x r +1 − ...... − a 2 n x n

Hệ (*) ⇔ 

a r1 x1 + a r 2 x 2 + ...... + a n x r = br − a r ( r +1) x r +1 − ...... − a rn


Cho các ẩn xr+1,…, xn những giá trò cr+1,…, cn ∈ R tùy ý (các ẩn tự do)
thì hệ (*) là hệ Cramer và nó có nghiệm duy nhất x 1 = c1, x2 = c2,…, xr = cr,
(những ci, i = 1,n phụ thuộc vào cr+1,…, cn) và như vậy (c1, c2…, cr, cr+1,…, cn)
là nghiệm của (*), cũng là nghiện của hệ đã cho.
Vì cr+1,…, cn chọn tùy ý nên hệ đã cho có vô số nghiệm.
§3 Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
10’
~
* B1: Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận A = [ A | B]
~
về dạng ma trận bậc thang, từ đó xác đònh r (A) và r ( A )
* B2: Dùng đònh lý Kronecker Capelli để xét sự tương thích của hệ.
Nếu r (A) < r (A’) : kết luận hệ vô nghiệm
Nếu r (A) = r (A’) : qua bước 3.
* B3: Giải hệ phương trình cơ sở để tìm nghiệm (số hàng khác không).
- Các ví dụ 1, 2, 3 giáo trình trang 81, 82, 83
25’ Hướng dẫn
- Bài tập: 123, 125, 127, 138, 139, 145, 148 trang 98, 99, 100
60’ giải.

2


§4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng AX = 0

A∈Mmxn, X∈ Mnx1.
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có một nghiệm tầm thường là
(0, 0, 0, …, 0). Như vậy hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn tương
thích.
4.1 Đònh lý 1: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính không thuần
nhất có nghiệm không tầm thường là r (A) < n
Đònh lý này là hệ quả của đònh lý Kronecker Capelli.
Từ đònh lý 1, ta có ngay các hệ quả sau:
* Hệ quả 1: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất mà số phương trình bé
hơn số ẩn thì luôn có nghiệm khác không.
* Hệ quả 2: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
mà số phương trình bằng số ẩn có nghiệm khác không là đònh thức của hệ
bằng 0.
(Vì r (A) < n ⇔ det A = 0)
4.2 Đònh lý 2: Nếu các vectơ cột C1, C2…, Cn là nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất AX = 0 thì ô«3 hợp tuyến tính bất kì.
C = λC1 + A2C2 +… + AnCn cũng là nghiệm của hệ.
Chứng minh: C1, C2…, Cn là nghiệm của hệ nên ta có:
AC1 = AC2 = ……= ACn = 0. Từ đó suy ra AC = 0, suy ra C là nghiệm
của hệ.
Đònh lý 3: Nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
hạng r và n ẩn số có dạng λ1C1+ λ2C2 +…… + λCn-r trong đó C1, C2…, Cn-r là
các nghiệm riêng độc lập tuyến tính bất kì và λ1, λ2…, λh-r là các số thực bất
kì.
Các nghiệm C1, C2…, Cn-r được gọi là hệ nghiệm cơ sở.

5’

Diễn giải.

10’ Giải thích.

5’
5’

10’ Giải thích.

10’ Giới thiệu
về tổ hợp
tuyến tính,
độc
lập
tuyến tính.
Lưu ý r10’

4.4 Đònh lý 4: Tổng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất
với nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là nghiệm của hệ
phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Chứng minh: Xét hệ phương trình AX = B, hệ phương trình thuần
nhất tương ứng là AX = 0.
c1 
d 1 
c 
d 
2
2

Giả sử C =   và D =  



 
 
c n 
d n 

lần lượt là nghiệm của hệ không

thuần nhất và hệ thuần nhất tương ứng, ta có AC = B và AD = 0, suy ra:
A (C+D) = AC + AD = B + 0 = B
Vậy C+D là nghiệm của hệ phương trình AX = B.
Như vậy: Nghiệm tổng quát của hệ phương trình AX = B bằng nghiệm
tổng quát của hệ phương trình thuần nhất tương ứng AX = 0 cộng với một
3


nghiệm riêng bất kì của hệ không thuần nhất.
- Ví dụ: trang 85 giáo trình.
- Bài tập: bài 158, 160 giáo trình trang 102.

10’ Hướng dẫn
10’ giải.

 TỔNG KẾT BÀI (5 phút):
-

Đònh lý Kronecker Capelli, phương pháp giải.

-

Nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

-

Bài tập trang 99, 100, 103, 104 giáo trình.

 RÚT KINH NGHIỆM:
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Ngày

tháng năm 2006
Khoa

Ngày
Tổ bộ môn

tháng năm 2006
Giảng viên

4