diện riemann và định lý abel về phương trình đa thức

Å
Ð
Å Ù
½ Ã ôÒ Ø

×

¾

½º½º Æ Ñ
º º º º º
½º¾º
Ò
ÓÒ Ð òÒ Ø
º º º
½º¿º
ôÒ Ø òÒ
Ö ÙÑ ÒØ
½º º Æ Ò Ò ÙÝòÒ Ð
ÙÒ
½º º À Ñ
Øù
º º º º º º
½º º
öÑ Ö Ò Ò º º º º º º
½º º
÷Ò Ê Ñ ÒÒ
Ñ

¾
¿

÷Ò Ê Ñ ÒÒ

¾º½º À Ñ öÙ õÒ
¾º¾º Æ Ñ Ò Ó
¾º¿º Æ Ñ Ò Ó

Ò Ð

¿º½º À Ñ
¿º¾º
Ò Ð

º º º º
º º º º
º º º º
Ø
º º º º
º º º º
Øù

Ñ öÙ õÒ

º º º
º º º
º º º
ØÖ öÒ
º º º
º º º
º º º

º º º º
º º º º
º º º º
Øù
º º º º
º º º º
º º º º

º º º º
º º º º
º º º º
º º º
º º º º
º º º º
º º º º

º
º
º
º
º
º
º

º
º
º
º
º

º
º

º
º
º
º
º
º
º

º
º
º
º
º
º
º

ÒØ

ÒØ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ñ
ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º
Ñ öÙ õÒ
ÒØ
º º º º º º º

½¾

½
¾
¿¼
¿½

¿
¿
¾

Ð

× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

ÃôØ ÐÙ Ò
Ì Ð ÷Ù Ø Ñ

Óºººººººººººººººººººººººº

½

¾



ẹ ề
èệ
ụỉá ỉ ĩ ề
é
ụỉ ề

ề ỉ ề ì ì
ỉ
ậèậ
ẩ ề è í
ề ề ú ỉ
ề ỉ ẹ íụỉ
ề
ềỉ
ỉ



ề
ụề ỉ

ì á é
ề ú ỉ á é
ề ỉ é ữ
ễ
ề ễ ễ ề ũề
ậ ế ỉệứề ề ề ú ỉ ề ũề

ì
ề
ề ể

è íá é ề ề
ữề ấ ẹ ềề
ề é
é

ú ễ
ề ỉệứề
ỉ

ỉ
ể ềỉ ề
ụỉ ế
ề íá
é ề ì ề
ề á ề
á í ể ụỉ ì
ỉ ề ỉứề ề ũẹ

è í
è ĩề
é
ẹ ề
ề ỉ ề ỉ

è í
ỉệểề ẻ ữề èể ề
á
ữỉ é èậ ể ề èệề
ề
é ề ỉ ể ú ữề ỉ ỉ ề ỉ

ễ
ỉ ề ú ỉệểề ế ỉệứề
ỉ ễ
ề ề é ẹ ú ỉ

è ĩề
ềỉ ề
ẹ ềậ
ể
ạ
ể ỉ ể ỉỷề
ặề á ề
ẹ ữá

ề ề ữễ ỉệ ề èẩè ặ íừề ề
ể ạ íữề è ũề
ạ ỉỷề
ặề
ỉ ể ú ữề
ể ỉ
ỉ ễ ể ềỉ ề ụ ể

ỉ ễ
è ĩề
é
ẹ ề ụề
ứề á ề


ỉ ề ũề ỉệểề é ễ
ể
èể ề ắẵ
ắẳẵ ạ ắẳẵ à
ẻ ữề èể ề
é ề

ì
ễ
ửỉ
ể ề ỉ ề ề ữẹ
ặ á ề í ẵ ỉ

ề ẳ ề ẹ ắẳẵ
è
ặ íừề è úề

ắ



ề ỉ

ụỉ


n

1á n Z, n > 1 ề

0n = 1, kn = cos

ề


ỉệ

2k
2k
+ i sin
, k {0, 1, ..., n 1}.
n
n

è ễ

ỉệ ề í
ề ễ ễ ỉể ề ề ề é ẹ ỉ ề ẹ ĩí
é
á

ễ ề
ỉ ì ề
ề ẹ ề í

é
ề ề íũề ỉ í
1á ử ừề ứề
n

1 é

ỷề
ẹ ỉ
ú n
ề ỉệũề ẹ ỉ ễ ề ễ
á

ỉ ẹ ỉ 0
ẹ ỉ ỷề é 1
ể f (z) é ẹ ỉ ẹ ụề ễ
á ỉ ễ

ỉệ
ẹ n f (z) é
Tn = {f0(z), nf0 (z), 2nf0 (z), ..., n1
ỉệ
ỉ ứ
n f0 (z)}á f0 (z) é ẹ ỉ
n
f (z)

ề é
ề
ì
ễ ỉ ử ề ì

ẩ

ề ỉệứề

a0 wn + a1 wn1 + ... + an1w + an = 0

ẵà

ỉệểề á n 1á ai é ì ễ
ỉ í á a0 = 0á
ựỉ ề ỉ ẹ ỉ ề ữẹ

ễ
è
ỉ
ề ìí ệ
ệ ề ễ ề ỉệứề ẵà é ề
ề n
ề ữẹ ễ
ử
à

ề ỉể ề


ễ
ụề ỉ ụ
ẻ

ề ỉể ề
ễ
ề ỉệứề

ậ ẹ ỉì
é ề
ễ
ề ỉệứề

ỉ ề

ề ỉệứề ỉ ề ế ỉ
ẹ ỉá

è ệỉ é
ệệ ệ

ễ ễ ỉ ụề
ề
ềỉ
ế ỉ ú ễ
ề ỉệứề
ề
ắà

u3 + pu + q = 0

ỉệểề
ui =

u, p, q C
i3

3

q
+
2

ề ỉ
à

ỉệứề

ỉ é ề

ề ỉ

ề

ữẹ

ễ

3
p3
q2
q
+
+ i


3
4
27
2

é

ề ỉ
ễ

ề ỉệứề ắà é

p3
q2
+
, i = 0, 1, 2.
4
27
à
ệ ềể ẻ ề ề

ễ
ề
ề ỉệứề
ề ỉ ề ế ỉ ú ỉự





ễ

ề ỉệứề

ể áễ
ề ỉệứề
ề é ề

ề

ề ỉ
ề ữẹ ử ừề

ề
ề ỉ
á
ề ỉ
ề í
é
ề ỉ
ệệ ệ
èệểề ì ỉ ẹ ỉ ỉ
ề

ề ỉể ề

ề ử ỉứẹ ẹ ỉ
ề
ỉ

ề
ềỉ

ễ
ề ỉệứề
ì
ề ẹ ặ ề
ề ẹ ẵ ắ ề ỉể ề
ặểệ
ề ặ éì ềệ
é ẵ ẳắạ ẵ ắ à
ề

ẹề
ề é ì
ề é
é ẩ ề ỉệứề
ì ỉ ề ế ỉ
é ề ề ề ề

ề
ề ỉ
á ỉ
é
ề ỉ ề ỉ
ề ỉ
ử ử ừề

ề ữẹ
ẹ ỉ ễ ề ỉệứề ỉ ề ế ỉ
é ề ề ề ỉ ể ữ ì
ề ề

ỉ
ữề

ễ ễ ỉựề
ề á ỉệ á ề ềá
ề ề éũề éí ỉ

ề íũề ề á ễ ễ
ề

ự

é ề ề èệểề ỉ é ữ
ỉệ ề
ụề ỉ
ú é ỉ íụỉ
ẹ
ỉự
ử
ề ẹ ề
ề é
é
ể
ì ề èẩè
íũề èể ề
ặ
ề ỉ ì
ề ỉ é ữ ỉ ẹ
ể ụỉ ễ ỉ é ữ
ẵá ắá á ử ề
ụề ỉ
ú é ỉ íụỉ ẹ
ỉự
ề ẹ ẹ
ự
ĩ í ề
ữề ấ ẹ ềề
ẹ ỉ ẹ
ỉự

ề ẹ ề
ề
é
é ú ễ
ề ỉệứề
ỉ
ẻ ẹ
ự
ỉệũề é ề ề

é ẹ

ề
ề ẵ ụề ỉ

ì
èệểề
ề ẵ ẹ

ẹ
ì

ẵẵ ặ ẹ
èệểề ẹ
ề í
ề ỉ ề
é ẹ ỉ ì
ề ữẹá ự á ề é
ề ẹ

ặ ề
ụề ỉ
ề í ề
ề
ử
ề ẹề
ề é é ề
é ề ề
é
ề é 2.3.70
éà ặ
ề
ẹ
ề í
ỉ ẹ
ểỉ ỉ
é 3.2.77 ề é
é ữ á ỉệẵạ à

ẵắ
ề
ểề é ũề ỉ
èệểề ẹ
ề í
ề ỉ ề
é ẹ ỉ
ì
ề ữẹ ự
ú
ề

ểề é ũề ỉ
ẩ ề ụề ỉ
ề í

ề  ụỉ ỉệểề

ẹ
ỉ ụễ ỉ ể
é ề ề ặ
ề
ẹ
ề í
ỉ ẹ
ể ỉ ỉ é ữ ẵ ắ

ẵ ụề ỉ ũề
ệ ẹ ềỉ ặ ề
ẹ
ề í
ỉ ẹ
ể ỉ ỉ é ữ á ỉệ ạ ẳà  ỉ ũề
ề ỉ ề
é
ề é 1.3.15
ẹ ệ ẹ ềỉ é
ẹ é ũề ỉ
à
ệ ẹ ỉ
ề ẹ ề
ỉ ụỉ è

ề
é ẹ ỉì
ề ữẹ ự è ụễ ỉ ể
ề ỉ ễ ỉ ử
1.3.24 ặ
ề ẹ ề
ỉ ụỉ èựề
ỉ 1.3.22, 1.3.23á ĩ í ề ẻự
ề
ẹ
ề í
ề ề ú ỉệểề

ẹ
ỉ ụễ ỉ ể
ề
ì á
ữỉ é
ề ắ

ẵ ặ ề ề íũề é
ề
ỉ
ỉệ ửề
ỉự
èệểề ẹ
ề í
ề ỉ ề
é ẹ ỉì
ề é á ề íũề é á

ề ữẹ
ỉ
ỉệ ửề
ỉự
ề ẹ ẹ
ự

ựề
ề
ụề ỉ

ể ẹ
ẵ ặ
ề




Ñ
Ò Ý
Ø Ñ
Ó Ø Ø Ð ÷Ù ´ ½¸ ØÖº½¾ ¹½¿¿℄µº
Å
½º º À Ñ
Øù
ÌÖÓÒ Ñ
Ò Ý
Ò Ø Ò
Ð Ñ Ø ×
Ò ÷Ѹ Ò Ð

Ò Ò Úù

Ñ
Øù
Ò Ñ Ñ
ù

ùÒ
Ù Ò
ôÒ Ø

Ó Ñ
½º º Æ
ÙÒ
Ñ
Ò Ý
Ø Ñ
ÓØ Ø
1.5.38¸ Îù
1.5.39 Ò Ñ
Ð ÷Ù ´ ½¸ ØÖº½¿ ¹½ ½℄µº
Ò Ø Ü Ý Ò Îù
Ò
ôÒ Ø

Ó Ñ
½º Ú Ñ
Ò Ýº
Å
½º º öÑ Ö Ò Ò ÌÖÓÒ Ñ

Ò Ý
Ò Ø Ò
Ð Ñ Ø ×
Ò ÷Ñ
Ò Ò Úù
Ò Ñ
Ù Ò
ôÒ Ø

Ó Ñ
½º Ú


Ò
× Ùº Æ
ÙÒ
Ñ
Ò Ý
Ø Ñ
Ó Ø Ø Ð ÷Ù ´ ½¸ ØÖº½ ½¹½ ℄µº
Å
½º º ÷Ò Ê Ñ ÒÒ
Ñ
Øù
ÌÖÓÒ Ñ
Ò Ý
Ò Ø
Ò
Ð Ñ Ø×
Ò ÷Ѹ Ò Ð

Ò Ò Úù

÷Ò Ê Ñ ÒÒ Ò Ñ
Ù Ò
ôÒ Ø

Ó


Ò × Ùº Æ
ÙÒ
Ñ
Ò Ý
Ø Ñ
Ó Ø Ø Ð ÷Ù ´ ½¸ ØÖº½ ¹½ ¼℄µº
Úù
ØÖÓÒ Ñ
Ò Ý óÙ
Ô Ò
Øù

Ø ôغ
Ò ¾º ÷Ò Ê Ñ ÒÒ
Ñ öÙ õÒ
ÒØ
ÌÖÓÒ
Ò ¾ Ñ

Ñ
× Ù

Å
¾º½º À Ñ öÙ õÒ
Ò Ø
ÌÖÓÒ Ñ
Ò Ý
Ò Ø Ò
Ð
Ò ÷Ñ Úó Ñ öÙ õÒ
Ò Ø
¸ Ò
Ð

Ò Ð Ú Úù
Ò Ñ Ñ
ù
Ñ Ø Ð

Ñ Ø Ñ öÙ õÒ
Ò Ø
º Æ
ÙÒ
Ñ
Ò Ý
Ø Ñ
Ó Ø Ø Ð ÷Ù ´ ¸ ØÖº ¼¹ ℄µº ÀÙ Ò

Úù
ØÖÓÒ Ñ
Ò Ý
Ò Ø

óÙ ØùÒ ØÓ Ò
Ø ôغ à ôÒ Ø
ØÖÓÒ Ñ
Ò Ý
Ù Ò
Ó Ñ
¾º¾ Ú ¾º¿º
Å
¾º¾º Æ Ñ Ò Ó
Ñ ØÖ ÌÖÓÒ Ñ
Ò Ý
Ò Ø Ò
Ò ú Ò Ñ Ó Ò Ú
Ñ Ø Ð
¸ Ò
Ð Ñ Ø × Úù ¸ ØÖÓÒ

Úù
Ò Ø Ô Ò Øù

Ø ôظ

Úù
ÒÐ Ø Ò Ø Ò
Úù
Ò Ø
Ô Ò Øù
º Æ
ÙÒ
Ñ

Ò Ý
Ø Ñ
ÓØ ´ ¸
ØÖº ¹ ℄µº à ôÒ Ø

Ñ
Ò Ý Ò Ñ
Ù Ò
Ó Ñ
¾º¿ Ú
Ò
× Ùº
Å
¾º¿º Æ Ñ Ò Ó
Ñ öÙ õÒ
Ò Ø
Ú ÓØ
Ð ÷Ù ´ ¸ ØÖº ¹½¼¼℄µ
Ò Ø Ô Ø öÙ Ú
Ò Ñ Ò
Ò Ð 2.3.70¸ Ý
Ð
Ò Ð
ùÒ
ÐÙ Ò Ú Ò Ò Ýº à ôÒ Ø
ØÖÓÒ Ñ
Ò Ý Ò Ñ Ñ
еº
ù
ö

Ò Ñ Ò
Ò 3.2.77 ´ Ò Ð
Ò ¿º Ò Ð
Ð
ÌÖÓÒ
Ò ¿ Ñ

Ñ
× Ù
Å
¿º½º À Ñ
× ÌÖÓÒ Ñ
Ò Ý
Ò Ø Ò
Ð
Ò ÷Ñ Ñ
× º Æ Ñ Ñ
ù
ö
Ò Ñ Ò
Ò Ð
ÐØ ÓÒ ÒÒ
ØÓ Ò
Ó
Ô
Ò Ø
Ô Ø öÙ ÌùÒ
Ø 3.1.75 ´Ì Ø

Ñ
× óÙ Ð Ñ
Øù
µº ö
Ò Ñ Ò
ØùÒ
Ø Ò Ý
Ò Ø
Ò ÑÒ
ó 3.1.76¸ Ý Ð
ó º ØÖÓÒ Ø Ð ÷Ù Ø Ñ
Ó´ ¸
ØÖº ¾¹ ¿℄µº
Ò Ø
Ò ÑÒ
ó Ò Ý
Ø ôغ
Å
¿º¾ Ò Ð
Ð Å
Ò Ý
Ò Ø Ú Ò Ò ôÒ Ø

Ù Ò


ØÖÓÒ

Ò ØÖ

Ú Ñ
¿º½ ö

Ò ÑÒ

Ò Ð

к


ề ẵ

ụề ỉ

ì
ẵẵ ặ ẹ
ữề ú ẵẵẵ


ặụ

(i)

G
|G| : |H|


ì

H

é ẹ ỉ ề ẹ
ểề
ề ỉ

ề ẹ G

é ẹỉề ẹ ềỉứ
ễ
ề ẹỉ

ề

G/H

é

ặụ G é ẹ ỉ ề ẹ é ỉ ứ ề ẹ ỉ ề G/H
ề é ẹ ỉ ề ẹ
é
(iii)
ặ ẹ ỉ ề G/H é ẹ ỉ ề ẹ é ềụ
ỷ ềụ aba1b1
H ẹ a, b G
(ii)

ề

ề ề ỳ ẵẵắ
ẹ
ểề

ể G é ẹ ỉ ề

ẹ ẹ ỉ

í é ề ề

ề

ề

G

G = G0 G1 G2 ... Gn = {e}.

ẵẵà

í ẵẵà

é ẹ ỉ ỉ ễ
ề ỉ
ềụ Gi é ề ẹ
ểề
ề ỉ

é ẹ ỉỉ ễ
é ỉ ề

Gi1 ẹ i = 1, 2, ..., n í ẵẵà
ề
í
é
à ềụ ề é ẹ ỉ ỉ ễ
ề ỉ


ề ẹ ỉ
ề Gi1/Gi
é ề ẹ
é ỉ ề ề
í
é
à ẹ i è ễ ẵẵà

é ỉ ễ
í
é

ễ ề íũề ỉ ềụ ề é ẹ ỉ ỉ ễ
í
é
á ề ỉ

ề ẹỉ
ề
Gi1/Gi

ễ ề íũề ỉ ẹ i ặ ẹ G

é ẹ ỉề ẹ
ềụ ỉ ề ỉ ẹ ỉ ỉ ễ
éẵẵà
G

ẻự

(i)

ẵẵ



ề

ẹ

é ú é ề

ẹ




ặ

(ii)

ẹ S3 é ẹ ỉ ề ẹ

ề é ẵẵ
(ii)
(iii)

ề ề

ẹ ỉề ẹ
ặ ẹỉ ề
ẹỉề ẹ



ẹ ỉỉ

ễ

é

S3 < (123) > {(1)}.

ề ẹ
ểề
ẹ ỉ ề ẹ

(i)

ứ ỉ ề ỉ

é ẹ ỉề ẹ

é ẹ ỉề ẹ


ề é ẹ ỉ ề ẹ

ể H é ẹ ỉ ề ẹ
ểề
ề ỉ

ề ẹ G G é ẹ ỉ ề ẹ
ềụ
ỷ ềụ H G/H é ề ẹ

(v) èự
ỉệ
ỉ ụễ
ềề ẹ
é ẹ ỉề ẹ

ề é ẵẵ ặ ẹ

ễ ễ ỉ ụ Sn ề
ềụ n 5

ỉ ềỉ ẹ ỉỉ ễ
é
ề ẹ ề ì Sn é ề ẹ

(iv)



Sn

Sn = G0 G1 G2 ... Gm = {(1)},

ỉệểề
Gi é ề ẹ
ểề
ề ỉ

Gi1 ề ẹ ỉ
ề Gi1/Gi é

ề ẹ
é ẹ i = 1, 2, ..., m
ì (rst) é ẹ ỉ ề ĩự

ễ 3
ỉ ứ ỉệểề Sn u, v é
ễ ề ỉ
ỉ ễ T = {1, 2, ..., n}
r, s, t u
v é ề ỉ ề ỉ ứ n 5à ặ ẹ Sn /G1 é
é ỉ ể ữề ú 1.1.1 àá
1
1
ỉ

(tus)(srv)(tus) (srv) = (tus)(srv)(tsu)(svr) = (rst) G1 ể
G1
ỉ ỉ


ề ĩự

ễ 3 ễ é ề ỉ ề ỉ ề ỉệũề ỉ
ề
ỉ ỉ


ề ĩự

ễ 3...

ề Gm = {(1)}
ỉ ỉ
G2



ề ĩự

ễ ú ề í
ề ỉ ử ĩ í ệ ẻ í ề ẹ Sn
ề


ề é ẵẵ ặụ ẹ ỉ ề ẹ

ểề
ề ẹ Sn



Sn á

ỉ ứ ề ỉệ ề ỉể ề ề ẹ Sn
ề ẹề
G é ề ẹ
ểề
ề ẹ Sn

ỉ ỉ



íửề

ỉ ỉ



íửề
é ẹ ỉ ễ ề ỉ
ỉ ứ ỉ
Sn è
ề ẹ Sn è
G Sn
ụỉ ệ ề é ề ễ ề ỉự

ỉ ề ỉự



íửề ềũề Gá ề
ỉ
ề ẹ G ỉệ ề ề ẹ Sn
ụề Sn G ể


ẵắ
ề
ểề é ũề ỉ
ề ề ỳ ẵắ ẹ ẵá ỉệẵ ạẵ à
ì (t), (t) é

ẹ é ũề ỉ

ỉ ẹ ì t ỉệũề ể ề a t b
è ễ ễ

ửẹ z = x + iy
ẹ ỉ ễ ề ễ
C
ẹ ỉ
ễ
ề ỉệứề
x = (t), y = (t)

ỉ ẹ ì t
í ỉ a ụề b

ửẹ
ỉ ễ
ỉ ũề
ỉ ẹ ì à
é
ề
ểề é ũề ỉ
ẩ
ề ỉệứề

ễ

é íỉ ể

ụề

z = (t) + i(t), a t b


ễ

é ễ ề ỉệứề ỉ
ề ỉệứề ỉ ẹ ì

ẹì

ề

ểề

z = 1 (t), a1 t b1
z = 2 (t), a2 t b2

ỉ ề ề
ề ẹ ỉ
ề
ểề á ềụ

ỉ ễ ễ ửẹ ẹ ỉ

ễ
ề ỉệứề ề í ỉệ ề ề
ề ỉ ỉ

ề à ú

ề ỳ áỉ ềỉ
ẹ ề ữ ỉ ề s(t) ĩ
ề ỉệũề a1 t b1 ì ể
ể

ẻự

ẵắ

s(a1 ) = a2 , s(b1) = b2 , 2(s(t)) = 1 (t)

ễ

ề ỉệứề ỉ ẹ ì 1 (t) = 2 (a+ t(b a)), 0 t 1
2 (t), a t b ỉ ề ề ẹ ỉ
ề
ểề ứ ỉ ề ỉ
ẹ s(t) =
a + t(b a) ề ữ ỉ ề ĩ
ề ỉệũề 0 t 1 ỉ
ẹ ề
s(0) = a, s(1) = b, 2(s(t)) = 1(t)

ể
ú ì ỉ ì
ể ẹ
ề
ểề ú
ỉ ẹì
ể ề
[0, 1]
ặụ

ễ
ề ỉệứề ỉ ẹ ì
ẹ ỉ
ề
ểề ỉ ề ỉ ễ
ề ỉệứề
é ũề ỉ
ỉ ẹ ì z = (t) = (t) + i(t)á

ẹ (t), (t)

ỉệũề ể ề [0, 1]á ỉ ứ
ề
ểề

é
ề
ểề ỉệ ề ề
ểề
é ũề ỉ
é ễ éũề ỉ
ề
ề
ểề ỉệ ề

é
ề
ểề ỉệ ề
ỉề
ẻự
ề
ề ề ỉ ú
ề
ểề ỉệ ề ỉ ề
é
ề
ễ

ặ
ề ẹ ỉ
ề

ểề é ũề ỉ

ỉ ử

ỉệ
ụỉ ì
ễ
ỉ ễá
èí íá ỉ ề í ú ì á
ề
ề
ểề á
ề
í



ØÙÝôÒ ¸ Ø ÐÙ Ò öÙ
Ð
Ò
ÓÒ ØÖ Ò Ø Ò
º
Å Ø
Ò
ÓÒ

Ð
Ò ÒôÙ öÑ Ù Ú öÑ
Ù ØÖ Ò Ò Ù¸
Ø

Ð ÒôÙ Ò
Ô
Ò ØÖøÒ Ø Ñ × z = γ(t), t ∈ [0, 1] Ø ø γ(0) = γ(1)º
Æ
ÙÒ ¸
Ò
ÓÒ
Ø ö Ø
Ø ´Ø
Ð ∃(t1, t2 ) = (0, 1), t1 = t2 × Ó
Ò
ÓÒ
Ò Ø
Ø

Ð
Ò
ÓÒ
Òº
Ó γ(t1) = γ(t2)µº
Æ Ú Ý¸
Ò
ÓÒ Ð
Ò ÒôÙ Ú t1 = t2 Ø
γ(t1) − γ(t2) = 0 ´ØÖ
ØÖ Ò
Ô
Ò
ÓÒ
Ò Ú t1 = a, t2 = bº

Ò Ò ú ½º¾º º ´

Ñ

¸ ØÖº ¼℄µ

Ò
ÓÒ Ð òÒ Ø
Ú Ñ Ø Ô
Ò ØÖøÒ Ø Ñ ×
ÓC Ð Ñ Ø
−1
z = γ(t)º
Ò Ø ù ÷Ù
Ò
ÓÒ C
Ø Ô Ô

öÑ ØÖ Ò Ú
Ò
Ò Ø Ó
óÙ Ò

Ø Ô Ô

öÑ
Ò
ÓÒ C Ò Ò
Ð ¸Ô

Ò ØÖøÒ
Ò Ð γ1(t) = γ(1 − t)º

Ò Ò ú ½º¾º½¼º ´

Ñ

¸ ØÖº ½℄µ

Ó C1 Ú C2 Ð
Ò
ÓÒ ØÖÓÒ C Ú Ô
Ò Ð z = γ1(t) Ú z = γ2 (t) Ñ γ1 (1) = γ2(0)º
Ò Ü Ð òÒ Ø
γ1 ∗ γ2 : [0, 1] → C
Ó
γ1 ∗ γ2 =



Ð

Ô

Ò Ò ú ½º¾º½½º ´

Ò ØÖøÒ Ø

Ñ× Ø

Ò

γ1(2t) , 0 ≤ t ≤ 12
γ2(2t − 1), 12 ≤ t ≤ 1

Ò
ÓÒ C1 Ú C2
Ñ ¾¸ ØÖº ½¹ ¾℄µ

y
γ1 (t)

½
δ(t, u)
I ×I
γ0 (t)

¼

½
ÀøÒ ½º½ ÌùÒ

x

Ò ÐÙ Ò
½¼

Ò
ÓÒ

(i)

ì

é

ề
ểề C0 C1
ễ


ề

ửẹ 

0 : I D
1 : I D

,

ửẹ
á ề

ề ỉệứề ỉ

ẹ ì éề é

ỉ

I = [0, 1]

ỳ é

0 (0) = 1 (0); 0(1) = 1(1)

(ii)

ề
ểề C0 C1

é
ề é ề ề ỉệểề ẹ úề
Dề é ề ề
ề
ểề
 ẹ ỉ ỉ ề ềụ ỉ ề ỉ
ề ĩ
é ũề ỉ
: I ìI D
(t, u) (t, u)
ì ể
ể


(t, 0) = 0 (t)
(t, 1) = 1 (t)

(0, u) = 0 (0) = 1 (0)
(1, u) = 0(1) = 1(1)

é

ỉ



ề
ểề

é

ì ể
ể

ề C0 C1
ễ

0 : I D
1 : I D

ề é ề

ề

,

ề ỉệứề ỉ

ẹ ì éề é

ỉ

I = [0, 1]

ỉệểề ẹ úề Dá ềụ ỉ ề ỉ

ề ĩ é ũề

: I ìI D
(t, u) (t, u)
(t, 0) = 0(t)
(t, 1) = 1(t)
,
(0, u) = (1, u)

u I

èệểề ỉệ ề
ễ
ề
ểề C1
ễ
ề ỉệứề ỉ ẹ ì z = 1 é
ẹ ỉ ề ề 1(t) =
ểềì t ỉ
é 1 ề ĩ ể ề T = [0, 1] ỉ ề ẹ ỉ
ửẹà
ề

ểề C0 ề é ề
ề
ểề C1 ỉ ứ ỉ ề ệ ề C0
ể ú ẹ ỉ ửẹá í é C0 ề é ề 0

ẻự

ẵắẵắ
ì
ể ề


ề

ề
V = {z C : 1 < |z| < 3 }

ì ệ ề C0 é
ề
ểề é ũề ỉ
ỉ
V ề ẹ ỉệ ề ỉệểề ề
ửẹ z = 2 z = 2 ặụ C1 é
ề
ề ẹz > 0 ề

ẵẵ


y

C1
C0
−3

−2

0

−1

1

3

2

x

C2

ÀøÒ ½º¾ ÀøÒ Ú Ò
ÓÒ
Ò
ØùÒ
Ø
Ø ø C0
Ú Ò
Ò
ÁÑz < 0 Ú Ò

Ò ÐÙ Ò Ú C2 ØÖÓÒ V Úø C0
Ò ØÖ Ò Ò Ú º

½º¿º

ôÒ Ø òÒ

Ì
Ò Ò ú

ØÖ
ÕÙ Ò Ò

Ò
ÓÒ

Ò ÐÙ Ò Ú C1º Ø C2 Ò Ñ ØÖÓÒ Ò
öÑ z = 2 Ú z = −2 Ø ø C0
Ò
Ò Ø ö ôÒ Ò Ú Ó C2 Ñ
Ò
Ø

Ö ÙÑ ÒØ

ôÒ Ø òÒ
× Ù

Ò Ò ú ½º¿º½¿º

ÒÚ


Ö ÙÑ ÒØ

Ø Ó

Ò
ÓÒ C
Ò
öÑ z
ÙÝöÒ
Ã
ÕÙ Ý
Ú
Ø z
Ø
öÑ Ù ôÒ öÑ
Ù

Ð ôÒ Ø òÒ
Ò
ÓÒ C º

Îù

½º¿º½ º

ÀøÒ ½º¿

3π
Ð
2

×

ôÒ Ø òÒ

Ö ÙÑ ÒØ

½¾



Ò
ÓÒ C Ñ Ø

ÕÙ
Ø
z = 0º
Ò Ø Ó
Ò
ÓÒ C
Ö ÙÑ ÒØ z
Ø Ó

Ø Ó

Ò
ÓÒ C ØÖÓÒ

y

z

3π
2

0

A

x

B

ÀøÒ ½º¿

ôÒ Ø òÒ Ö ÙÑ ÒØ
Ø Ó

Ò
ÓÒ

C

Ò Ð ½º¿º½ º ´ Ñ Ò Ð

¸ ØÖº ℄µ

× Ö Ò Ñ Ø Ò
ÓÒ
Ð òÒ Ø
C Ú Ñ Ø Ô Ò ØÖøÒ Ø Ñ × z = z(t)¸ Ò ÕÙ
Ø
Ú
× Ö Ò Ø öÑ Ù
Ò
ÓÒ C Ö ÙÑ ÒØ Ð ϕ0º Ì
Ø ö
Ò Ñ Ø ØÖ
Ö ÙÑ ÒØ Ú Ø Ø


öÑ
Ò
ÓÒ C
× Ó
Ó ØÖòÒ ØÓ Ò
Ò
ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ
z(t) ôÒ Ð òÒ Ø
¸ Ø
Ù Ø ϕ0º
Æ

ö× Ó
Ó

Ò ÑÒ ºº

½

´

ØÖ ϕ(t)
arg z(t)
Ú Ñ tÑ Ø
Ú 0 ≤ t ≤ 1 Ú ϕ(0) = ϕ0º

¸ Ø
Ø ö
Ò
Ñ ϕ(t) Ð Ð òÒ Ø
Ñ

ö

ÀøÒ

Ò ÑÒ
½º ´ µµ



Ò Ð Ò ÝØ Ð ÑØ Ó

× Ù

ÌÖÓÒ Ð Ò

Ò
Ò ùÒ
Ò Ø
öÑ t = 0 Ø ÐÙ Ò Ø

Ñ Ø
Ò Ò
Ò ØÖ arg0 z(t)
arg z(t) Ø
Ñ Ò arg0 (0) = ϕ0 º Ì
Ò
Ò
ÓÒ C Ð òÒ Ø
ØÖòÒ
ÑÒ
Ñ Ò Ý Ð òÒ Ø
ØÖÓÒ Ð Ò
Ò Uδ0 (0)º Îø
Ó Ò [0, 1] ÒòÒ Ð òÒ Ø
ØÖÓÒ Ð Ò
Ò Uδ0 (0)¸ ôØ Ô Ú ÀøÒ ½º¿´ µ Ø

∀t ∈ Uδ0 , |t − 0| < ρ, |z(t) − z(0)| < δ0,
δ0
).
| arg0 z(t) − arg0 z(0)| < arcsin(
|z(0)|
δ0
δ0
2δ0

Ó
> 0 ⇒ arcsin(
)<
|z(0)|
|z(0)|
|z(0)|
2δ0
= εº
⇒ | arg0 z(t) − arg0 z(0)| <
|z(0)|
Î Ý Ñ arg0 (z(t)) Ý
ùÒ Ð
Ñ ϕ(z(t)) Ð òÒ Ø
ØÖÓÒ Ð Ò
Ò Uδ0 (0)º

½¿


y

y

z(t)
C

z(0)

C

z(0)
φ0

ϕ0

0

x

x

0

z(1)

z(1)

a)

b)

ÀøÒ ½º

¾´

Ñ ÀøÒ ½º
Ó ØùÒ
ÓÑÔ

Ò Ñ ØÔ

Ù Ò

´ µµ

ôÒ Ø òÒ Ð òÒ Ø


Ö ÙÑ ÒØ

Ò
ÓÒ C ÒòÒ Ø
Ø ö Ô

Ò
ÓÒ C

U0(0), U1(t1 ), ..., Un(tn ), Ui−1(ti−1) ∩ Ui(ti ) = φ, ti ∈ [0, 1], i = 1, 2, ..., n.

ÌÖÓÒ Ñ Ñ óÒ Ui−1(ti−1) ∩ Ui(ti ) Ø ÐÙ Ò Ø

Ñ ØÒ Ò
Ò
ØÖ Ð òÒ Ø
argi z(t)
arg z(t)º Ø ØÖÓÒ Ñ óÒ Ui−1(ti−1) ∩ Ui(ti ) Ø
ϕi(z(t)) − ϕi−1(z(t)) = 2ki π º Îø Ú Ý¸ ØÖÓÒ Ð Ò
Ò Ui (ti) Ø ÐÙ Ò
Ò
ϕ(z(t)) = argi (z(t)) − 2ki π − · · · − 2k1π Ð
Ñ Ò ØÖ º

Ò ÑÒ Ø Ò Ø Ò
½Ø
Ñ argi (z(t)) Ð òÒ Ø
Ú Ñ
t ∈ Ui (ti), i = 1, 2, ..., nº Î Ý Ñ ϕ(z(t)) Ð
Ñ Ð òÒ Ø
º Ì
Ò Ò ú
Ñ ϕ(z(t)) Ý Ñ ϕ(t) Ð
Ñ Ñ Ø ôÒ Ð òÒ Ø

arg z(t)
Ø Ó Ò
ÓÒ C º

Ò Ò ú ½º¿º½ º

Ó
Ò
ÓÒ C
Ô
Ò ØÖøÒ Ø Ñ × Ð z =
z(t), t ∈ [0, 1]º
ϕ(t) Ð
ÑÑ Ø
ôÒ
Ð òÒ Ø

arg z(t)
Ø Ó

Ò
ÓÒ C º À ÷Ù ϕ(1) − ϕ(0)

Ð ôÒ Ø òÒ
Ö ÙÑ ÒØ
Ø Ó Ò
ÓÒ C º

Îù

½º¿º½ º

Ø

Ò
ÓÒ C
Ô

Ò ØÖøÒ Ø

Ñ× Ð

z(t) = cos πt + i sin πtº

Ì
Ò

ÑÑ Ø

ôÒ

Ð òÒ Ø


½

arg z(t)

Ø Ó

Ò
ÓÒ C


é (t) = t è ể ề ề ỳ ỉệũề ỉ
ụề ỉ ũề
ề C é (1) (0) = ã 1 ã 0 =

ệ ẹ ềỉ

ề ề ỳ ẵẵ

ỉ ể

ểẹ ỉ
ề
ểề
ề C
ề ế
ỉ

z = 0 ặụ ụề ỉ ũề
ệ ẹ ềỉ ề 2k á ỉ ứ
ề ỉ ề ệ ề
ửẹ z = 0
ểề C ế í k ề ế ề

ẻự

ẵẵ

z(t) =

ỉ

ề
ểề C
ễ

ề ỉệứề ỉ

1
1
cos 4t i sin 4t, t [0, 1]
2
2

ẹ

ề

ẹì é

ứề ẵ

à

è
ỉ ử
ề ẹẹ ỉ
ửề
é ũề ỉ

arg z(t) é (t) = 4t
ụề ỉ ũề
ệ ẹ ềỉ z
ỉ ể
ề
ểề C é (1) (0) =
(4) ã 1 (4) ã 0 = 4 = 2 ã (2) ẻ í
ề
ểề C ế í
ề ế ề
ửẹ z = 0 ỉ ể
ú ẹ ỉ
é
ề
ú ẹ ề
à
y

ẳ

ứề ẵ

1
2

ề
ểề

1

x

C

ề ề ỳ ẵắẳ

ì ẹ ỉ
ề
ểề C ễ
ề ỉệứề ỉ ẹ
ề
ế
ửẹ z = z0
ề ỉ
ỉ ửề ệ ề
ề
ì z = z1 (t)
ểề C ế í k ề ế ề

ửẹ z = z0 ềụ
ề
ểề ễ
ề ỉệứề
z2 (t) = z1 (t) z0 ế í k ề ế ề
ửẹ z = 0 ẹ ứề ẵ à
ể

ử ĩ
ề ì ề ế í
ẹ ỉ
ề
ểề ế ề
ề ỉ ễ
ề ứề ể ì ế í

ỉ z1 (t) z0
ỉ ề
z1 (t)à

ẵ

ửẹ z = z0
ửẹ z0


y
z1 (t)

z0

0

ứề ẵ

ẻự

ẵắẵ

z2 (t) = z1 (t) z0x

ề
ểề ế í ế ề ẹ ỉ ửẹ z0

ề
ểề

ứề ẵ

ỉệểề
y

0

ứề ẵ
ế í ẹ ỉ ề ế ề

x

1

ề
ểề

C

ửẹ z = 1

èựề
ỉ ẵắắ ẹ
é

ễ
ửẹ z = 0
ề ề 1
(i)
ặụ
ỉ ứ ụề ỉ

z2 (t)

(ii)

ặụ

ỉ ễ ắ ẳ á ỉệ ẳà ể z = z1(t) z =
ề ỉệứề ỉ ẹ ì
ề
ểề C1 C2 ề ế
ể ụề ỉ ũề

ệ ẹ ềỉ
ỉ ể

ề
ểề ỉ ề
2
ề
ểề C ễ ề ỉệứề ỉ ẹ ì é z(t) = z1(t) ã z2(t)
ũề
ệ ẹ ềỉ
ỉ ể ề
ểề C ề 1 + 2
ề
ểề

C

ễ

ề ỉệứề ỉ ẹ ì é
ẵ

z(t) =

z1 (t)
z2 (t)

ỉứ

ụề ỉ ũề
ề ẹề

ệ ẹ ềỉ
ỉ ể

ề
ểề

1 (t) 2(t) éề é
ỉ

arg z1 (t) arg z2 (t)
ỉ ể
ẹ ỉ
ụề
é ũề ỉ

arg z(t)
ễ à (t) = 1(t) + 2(t)á ỉệểề ỉệ
ụề ỉ ũề
ệ ẹ ềỉ z
ỉ ể

C

ề

ỉé
ẹẹ

ề
ểề C1
ỉ ể
ề
ểề
ề
ễ à (t)
ề
ểề C ề

1 2

ỉ
ụề
é ũề
C2á (t) é
ẹ
C èệểề ỉệ ề
= 1(t) 2(t)

(1) (0) = (1(1) 2 (1)) (1(0) 2(0))
= (1(1) 1(0)) (2(1) 2(0))
= 1 2

èựề
ỉ ẵắ ẹ

ỉ ễ ắ ẳ á ỉệ ẳà ể ụề ỉ ũề
ệạ
ẹ ềỉ

ỉ ể ề
ểề C
ễ ề ỉệứề ỉ ẹ ì z = z(t)
é á
ể w0(t) é ề é ũề ỉ

ề
ểề C ế ề ĩ w = z n é
ì ề íũề ề n 2à ỉ ứ ụề ỉ ũề
ệ ẹ ềỉ
ỉ ể ề
ểề

C1
ễ ề ỉệứề ỉ ẹ ì w0(t) é

n
n

ề ẹề

ụề ỉ ũề
1 ể
ề
ểề C é ề

= n1 ể
1 =
n

ẻự

ẵắ

ỉ

ệ ẹ ềỉ
ỉ ể
ề
ểề C1 ế

z(z 1)3
z+1

ẹ ì w(z) =



(i)


(ii)


(iii)



ề
ề

ểề C1 é
n
ề ĩ z=w áỉ

ế í ế ề
ửẹ z = 0 ẹ ỉ ề ỉ ứ ụề ỉ ũề
2 + 0 ã 3 0
=
w(z) é
2
ế í ế ề
ửẹ z = 1
ề ỉ ứ ụề ỉ ũề
0 + 4 ã 3 0
= 6
w(z) é
2
ế í ế ề
ửẹ z = 0 z = 1 ẹ ỉ ề ỉ ứ
2 + 0 ã 3 2
= 0
ệ ẹ ềỉ
w(z) é
2

ẵ

ệ ẹ ềỉ
ệ ẹ ềỉ
ụề ỉ ũề

ẵ ặ ề ề íũề é
ề
ỉ
ỉệ ửề
ề é ẵ ắ ề é í ề ỉ
ì ịà é
ễ
ửẹ


ỉự

ẹ
ỷề ứề ỉệểề ẹ ỉ ẹ úề ề ẳ ỉệũề ẹ ỉ ỉ ễ
ề ề ẹ ỉệểề
ịà ề ề ỉ ề ẳ ỉệểề

ặ íũề é ẵ ắ ặụ ẹ ụề ỉ
ề ể
ẹ
ỷề ứề

ụề ễ
ỉ ứ ỉ
ỉệ ửề

è
ề

ẹ


ỉ íá ỉ
ề é í ề
ề ỉệũề ỉệ
ỉ
ì
ỷề ứề í ề ỉ ỉ
ẹá sin z, log(1 + z)á
ì
ể ẹ f0 (z) ĩ
ẻề ú ỉệ é ỉ ềỉ
í
ề ĩ
ề
ỷề ứề

ỉ ử ỉ
ỉệ ửề ỉ ề
é í ề ỉ

ỉ ìí ệ ệ ề á
ẹ
ỷề ứề ễ
ề ề ỉ ề ề ặ íá ẹ ez é
ỉệ ửề ẹ ỉ
ex è ề ỉ ề í
ề
ỷề ứề ỉệểề ẹ úề G0 ề ể

ề ẹ ỉ ẹ úề ệ ề
ềá ỉệểề
f0 (z)

ề ề ỳ ẵ ắ

ẹ f1(z) ĩ
ề
ỷề ứề ỉệểề ẹ úề G1 G0
ỉệ ửề
ỉự

f0(z) ềụ f1(z) = f0 (z) ẹ z G0



é ỉ



G0
f0 f1

G1

ứề ẵ
ề é ì

í

G1 G0

é ề íũề éự ỉ

ỉệ ửề

ỉự


ề é ẵ ắ ặụ ẹ
ỷề ứề ỉệểề ẹ ỉ ẹ úề ề ể
ỉự

ì ề ẹ ỉ ẹ úề ệ ề

ề ỉ ứ ỉ
ỉệ ửề

ẵ

ỉ
ỉệ ửề
é í ề ỉ


ề ẹề

ì f0 (z) é

ẹ
ỷề
ứề ỉệểề ẹ úề G0 f1(z)á
f2(z)á é

ỉ
ỉệ ửề
ỉự

f0(z) éũề ẹ úề G1 G0
á ẹ
f (z) = f2(z) f1(z)
ỷề ứề ỉệểề G1
ề ẳ ỉệểề ẹ úề G0 è ể
ề éự í ề ỉá ẹ f (z) 0 ỉệểề ẹ úề G1 ỉ
é f1 (z) f2(z) ỉệểề
G1
ậ íá ỉ ì ẹ ệ ề
ề ũẹ ỉ
ỉệ ửề
ỉự

ì
ẹ f0 (z)
ỷề ứề ỉệểề ẹ úề G0 á
ề ẹ f1(z)
ỷề ứề ỉệểề ẹ úề G1 á ề
ỉ
ễ ề ể G0 G1
ề é ẹ ỉ ẹ úề ẹ ỉ ỉ ễ ễ ẹ é ũề ỉ ề à

ặụ ỉệểề G0 G1 á

ẹ f0(z) f1 (z) ỉệ ề ề ỉ ứ ỉ ề ệ ề á
ẹ f1(z) é ỉ
ỉệ ửề
f0(z) éũề ẹ úề G1
G1

f0 f1

G0

ứề ẵ
ừ ỉ í ệ ề á ềụ ỉ

ỉệ ửề ề

G0 G1

íỉ ềỉ

ẵ

ỉ ứề é

í ề

ỉ

è
ẹ ỉ

ề ỉ ề íá ỉ
í
íúề

ẹ úề

G1

G0

f0 f1

G2

ề ữẹ ỉ

ỉệ ửề

ỉự

ẹ f0(z) ỉ ể

Gj

f1 f2
Gj+1
fj fj+1

Gn1

fn1 fn
Gn

ứề ẵẵẳ è
ỉệ ửề ỉ ể í ỉệíúề

ẹ úề

ề ề ỳ ẵ ắ
ì

ẹ úề G0 , G1 , ..., Gn
ỉựề
ỉ ì í ẹ j = 0, 1, 2, ..., n
1á Gj Gj+1 = é ẹ ỉ ẹ úề
ì ỉ ề ỉ

ẹ fj (z) ĩ
ề
ỷề ứề ỉệũề Gj á ề ỉ
fj (z) = fj+1(z) ỉệũề Gj Gj+1 , (j =
0, 1, 2, ..., n 1)
ỉ ề
ẹ fn (z) é ỉ
ỉệ ửề
ỉự

ẹ

f0(z) ỉ ể í
íúề

ẹ úề G0 , G1 , ..., Gn ẹ ứề ẵẵẳ à
ừ ỉ í ệ ề á ỉ
ỉệ ửề
ỉự
ỉ ể ẹ ỉ í
íúề

ẹ úềá ềụ
ỉ ề ỉ á é í ề ỉ
èệểề ề ú ỉệ ề
ễá ẹ úề G0 Gn
ể
ệ ề
á
ẹ f0 (z) fn (z)
ỉệ ề ề
ề
ỉệ
ỉệểề G0 Gn á ỉ
é ề
ề é
ề áề ỳ é ì
ỉ
ỉệ ửề ỉ ỉ
ề ề ề

ẹ

ẹ ề  ẹ ứề ẵẵẵ à
ặ



á ỉ

ỉệ ửề

ỉự
ỉ

ề

ắẳ

ề ụề

ẹ

ỉệ


Gj
Gj+1
G2

fj fj+1

f1 f2
G1
Gn1

f1 f0

G0

?
f0 fn

fn fn1

Gn

ứề ẵẵẵ è
ỉệ ửề ỉ ể í ỉệíúề

ẹ úề
ửỉ íệ
ứề ỉ ể ẹ ỉ
ỉự
ỉ ể ẹ ỉ

ề ì ĩ ỉ ữề
ỉựề
ỉệ
í
íúề

ẹ úềá ỉ
ể
ề
ểề ẹ ứề ẵẵắà

ễ ựề
ỉ

ỉệ ửề ẹ
ỷề
ề ữẹ ỉ
ỉệ ửề

ề ề ỳ ẵ ẳ
ì
ể

ề
ểề C é ũề ỉ


ẹ () ĩ

ề ỉệũề

ề
ểề

C
èệ

ỉ ũề ỉ é ệ ề á ĩ
ề ỉệũề
ề
ểề
ĩ
ề ỉ

ửẹ
ề
ểề ềụ
ề
ểề ỉ
ỉ ỉ ứ ỉ
ửẹ ỉ
ỉá ẹ
()
ỉ ử ề ề ề ề
ỉệ
ề ứ ửẹ
ề ề ề
ỉệ
ề
ỉ ẹ ì ỉệểề ễ
ề ỉệứề ỉ ẹ ì
ề
ểề à
ì ẹ C á ỉ
ẹ ỉ ẹ f (z)
ỷề ứề ỉệểề ẹ ỉ é ề
ề

U ề ể
á ỉệ ề
ẹ () ỉệũề ễ ề
ề
ểề C ề ẹ
ỉệểề é ề
ề U
ỉ ề ệ ề
ẹ f (z)
ể ẹ ỉ ỉ
ỉệ ửề
f0(z)á ỉệểề
z0 é
ửẹ 
ề
ểề C á ụề ửẹ
z
ề
ểề C á ụỉ ế
ế ỉệứề ỉ
ỉệ ửề é
ẹ fz (z)
ỷề ứề

ỉệểề é ề
ề ửẹ
z C
ề ề ỉệũề íá ỉ ỉ í ệ ề á ỉ
ỉệ ửề
ỉự

ỉ ể ẹ ỉ
ề
ểề á ềụ ỉ ề ỉ ỉ ứ í ề ỉ è ỉựề í ề ỉ
ỉ
ỉệ ửề
ỉự
á
ỉ
ẹữề ú ì

ắẵ


fz∗ (z)
z∗
fz0 (z)

Uζ

z0

ζ

z0 ≡ z ∗

ÀøÒ ½º½¾ Ì
ØÖ öÒ

Øù
Ø Ó Ñ Ø

¾¾

Ò
ÓÒ


ữề

ú ẵ ẵ

ì f (z) é ẹ
ỷề ứề ỉệểề ẹ úề G, C é
ề
ểề ỉ í ề ẹ ỉệểề G
á f (z) ỉ
ỉệ ửề

ỉ ể
ề
ểề C ì ế ỉệứề ỉ
ỉệ ửềá ỉ ề ề ề
ẹ ề 

ỉ ử ĩ ẹ ỉ
ỉệ ửề
ỉự

ỉ ểẹ ỉ
ề

ểề ề é ỉệ ề
ễ
ề
ỉ
ỉệ ửề
ỉự
ỉ ể ẹ ỉ í ỉệíúề

ẹ úề ỉ í
ể ẹ ỉ í
íúề

ẹ úề

ẹ
ỷề ứề ỉệểề

ẹ úề á ỉ
é í
é ũề ỉ


ẹ úề

ẹ ề í ặ
é á ì ỉ
ỉệ ửề
ỉự

ỉ ểẹ ỉ

ề
ểề é ề é ề
ỉ ử ẹ ỉ ề é ỉ
ỉệ ửề
ỉự
ỉ ể ẹ ỉ í
íúề

ẹ úề ề ể

ề é ẵ ắ ể

ề
ểề C1
ửẹ  z0 ửẹ
z ặụ
ỉự

ỉ ể ề
ểề C1 ỉ ứ ề
ề
ẹ f0(z)
ỉ ử ỉ
ỉệ ửề
ỉ ử ỉ
ỉệ ửề
ỉự

ỉ ể ề
ểề C2

ề C1

ề

ửẹ  z0 ửẹ
z
Gn

C2

z
G0
z0

C1

ứề ẵẵ è
ỉệ ửề

ỉự
ỉ ể

ắ

ề
ểề

ề ề

ề é ẵ

ì ỉ
ề
 ẹ ỉ
ề
ểề C ụề
ỉ ũề é ũề ỉ
C ử ề ề
ẹ ỉ ỉ ễ ễ ề ể

ề
ểề ặụ
ỉệểề ế ỉệứề ụề ỉ ũề é ũề ỉ
ề
ểề C á ỉ
ỉệ ửề ỷ ỉự

ẹ f0(z)
ỉ ể

ề
ểề ề ề
é ề é ề ỉ ề ỉ á ỉ ứ ụỉ
ế
ễ ễ ỉ
ỉệ ửề ẹ f0(z) é í ề ỉá ề ễ ỉ
ữ

ề

ề
ểề ỉ ỉ ễ ễ

ề
ểề ề ỉệũề

C

z0

z

ứề ẵẵ




ề ũề


ề éự ỉệũề

ẹ



ề
ểề

ỉệ á ỉ ỉ

ề é ề
ề

ề

ề



ữỉ ì

í

ề é ẵ

ì é ẹ úề ề é ũềá f0(z) é ẹ
ỷề ứề ỉ
ỉự

ỉ ể ề
ửẹ z0 G ề ể ặụ ẹ f0(z) ỉ
ỉệ ửề
ểề ỉ í ề ẹ ỉệểề ửẹ  z0 ỉ ứ ỉ ề ỉ ẹ
ỷề ứề ỉệểề
ẹ úề G ỉệ ề f0(z) ỉệểề ẹ ỉ é ề
ề
z0
ề éự ỉệũề í ỉ
ề

é
ề éự ề ể ặ íá ỉệểề ẹ ỉ
ẹ úề ề é ũề ỉ ứ ụỉ ế ề ề

ỉ
ỉệ ửề ẹ
ề ễ ỉ
ể
ề
ểề ẹ
ỷ ễ ỉ
ể ửẹ 
ửẹ

ề
ểề àá ứ

ề
ểề

ề  ẹ ỉ
ỉ ử ụề ỉ ũề é ũề ỉ

éũề ề ẹ úề é
é ũềá ữ
ỉ
ỉệ ửề ẹ ỉ ể ẹ ỉ
ề
ểề

ề
ề  ẹ ỉà
ỉ ử ề ụề ề ề ụỉ ế
ề

ữỉá
ỉ
ỉệ ửề ẹ ỉ ể ẹ ỉ
ề
ểề
ề á ỉệ ú ửẹ ề á
ỉ
ỉ ửề ề
ẹ ỉ ẹ
ỷề ứề

ẹ ĩ ỉ ễ ỉ ỉệểề
é ề
ề ửẹ í
ựề é éự ể ỉ ề ỉ
ẹ
ỉệ

ẵ ẹ

ỉự

ặ ỉệũề
ỉ íá ử
ẹ

ỷề ứề ỉệểề ẹ ỉ ẹ úềá ỉ ỉ
ề ỉ
ỉệ ửề ẹ
ỷề ứề
ể ỉệ
ỉ é ề
ề
ẹ ỉ ửẹ ề ể ú
ề ụề ề ề ỳ ì í

ắ


ề ề ỳ ẵ
ẩ ềỉ
ỉự
ỉ
ửẹ z0 é ẹ ỉ ẹ ề ể
ĩ
ề
ỷề ứề
ỉệểề ẹ ỉ é ề
ề
ửẹ z0
ặ
íá
ể ẹ ỉ ễ ề ỉ
ỉự
ỉ
ửẹ z0 ỉ

é
ể ẹ ỉ
ễ
(f0, U0)á ỉệểề
f0 (z)
ỷề ứề ỉệểề é ề
ề U0
z0
ễ (U0, f0)
(V0 , g0)
ĩ ẹ é ĩ
ề
ề ẹ ỉ ễ ề ỉ
ỉự
ỉ z0 ềụ
f0|U0 V0 = g0 |U0 V0

ề ề ỳ ẵ

è ễ ễ ỉ ỉ


ễ ề ỉ
ỉự
ề ề
ề

ỉ
ỉệ ửề

é
ẹ
ỉự
ì ề
f0(z)
ỉự
ễ ề ỉ f0 (z)

ề
í ề ẹ é ềá ỉ ì ề
ễ ề ỉ ỉ í
ể ễ ề ỉ
ỉự

ặụ ề ỉ ỉ ề ễ ề ỉ
ỉự

ẹ
ỉự
ỉ
ề éự í
ề ỉ
ỉ ử
ễ ỉ ử ề ì ềụ ẹ ỉ ễ ề ỉ
ỉự

ẹ ỉ
ẹ
ỉự
ề ề ỉ ề ẳá ỉ ứ ẹ

ỉự
ề ề ỉ ề ẳ
ệ ề
ẹ
ỉự
ề ễ
é
ẹỉ ểề ỳ ỉ ề ỉ
ề
ề ẹ ỉ ửẹ
ỉ ử
ề ú ễ ề ỉ
ỉự

ề ứ
ỉ ử
ỉ
ỉệ ửề ễ ề ỉ
ỉự
ề  ụề ửẹ
ỉ ểề ề
ề

ề à ặ íá ẹ
ỉự

ỉ ử ề ề ề ề
ỉệ
ề ỉ
ề ẹ ỉ ửẹ ậ

ễ ề ỉ
ỉự

ẹ ỉ ẹ
ỉự

ỉ ử é

ề èí ề ũềá ỉ
ề é ì

ề é ẵ è ễ ễ

ễ ề ỉ

ỉ ẹ ỉ ửẹ é ỉ ễ ễ ề ế ụẹ
ề ẹ ề
ễ ề ỉ
ề

ề
ẹỉ ẹ


ỉự

ẹ ỉ ẹ
ỉự
ỉ ẹ ỉ ửẹ

ỉ ửề ề
ề

ỉ
ỉệ ửề ễ ề ỉ
ề  ỉ ể

ề
ểề ề ể è ể ề é á
ỉ
ỉệ ửề ỉ ể
ề
ểề
ề ề

ề
ửẹ 
ửẹ
á ỉ ỉ

ề ẹ ỉ ễ ề ỉ
ỉự

ỉ
á ẹ
ề
ểề ú
ỉ ử ĩ ễ ĩỷ
ẹ ỉ
ề

ễ



ỷề ỉ
ỉỷ è ễ

ề
ễ
ề í é ụẹ
á
ềũề ìí ệ ỉ ễ ễ

ễ ề ỉ
ỉự

ẹ ỉ ẹ
ỉự
ỉ ẹ ỉ
ửẹ é
ề ế ụẹ

è ề ề ẹ ỉ ỉệũề
é
ẹỉ ểề ỳ ỉ ề ỉ
ỉ ể ề ỳ ì í è ễ ĩ
ẹ ỉ ễ ề ễ
á ẹ ẹ
é ẹ ỉ
ề

ểề ề

íỉ ề ềỉ íệ ề á ẹ
ỉự
ề ễ
ề áề ề
ỉ ửĩ ỉề
ẹỉ ề ỉ
ề
ề
ẹì
ề ễ
é ẹ úề G ỉệểề
ỉ í
ẹ ỉ
ễ (z, )á ỉệểề
ửẹ z G
ỉ ẹ ỉ ửẹ
ề z0 ề ể
ỉ
G


ắ