TÍNH COMPACT và TÍNH LIÊN THÔNG của tập NGHIỆM TRONG bài TOÁN tối ưu PARETO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

Nguyễn Thị Loan

TÍNH COMPACT VÀ TÍNH LIÊN THÔNG
CỦA TẬP NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU PARETO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC
Nguyễn Thị Loan

TÍNH COMPACT VÀ TÍNH LIÊN THÔNG
CỦA TẬP NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU PARETO

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Tạ Duy Phượng

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
Mở đầu

3

Danh mục kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

7

Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Không gian metric và không gian vectơ . . . . . . .

7

1.1.2

Hàm lõm

9

1.1.3

Hàm lõm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4

Hàm vectơ lõm và hàm vectơ lõm suy rộng . . . . . 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tính liên thông của ánh xạ đa trị nửa liên tục

. . . . . . . 24

1.2.1

Tính liên thông của các tập hợp . . . . . . . . . . . 24

1.2.2

Ánh xạ đa trị nửa liên tục . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Tính compact và tính liên thông của tập nghiệm trong bài
toán tối ưu Pareto
2.1

32

Tối ưu Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1


2.2

Tính compact và tính liên thông của tập nghiệm trong bài
toán tối ưu Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Kết luận

50

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2

Danh mục kí hiệu
R
R+
Rn
Rn+
Rn++
x∈M
y∈
/M
∅
2X
M ⊆N
M ⊂N
M ⊂N
M ∩N
M \N
M ×N
M +N
λM
∀x
∃x
inf x∈K f (x)
supx∈K f (x)
Im(f)

đường thẳng thực
nửa đường thẳng thực không âm
không gian Euclide n-chiều
tập các vectơ các thành phần không âm của Rn

tập các vectơ các thành phần dương của Rn
phần tử x thuộc M
phần tử y không thuộc M
tập rỗng
tập tất cả các tập con của X
M là tập con của N
M là tập con thực sự của N
M không là tập con thực sự của N
giao của hai tập M và N
tập các điểm thuộc M nhưng không thuộc N
tích Descartes của hai tập M và N
tổng của hai tập M và N
vị tự tập M theo tỉ số λ ∈ R trong không gian vectơ
với mọi x
tồn tại x
infimum của tập {f (x) : x ∈ K}
supremum của tập {f (x) : x ∈ K}
ảnh của tập f

3


Mở đầu
Tối ưu đa mục tiêu là chuyên ngành quan trọng của toán ứng dụng.
Về mặt toán học, tối ưu đa mục tiêu là tối ưu với nhiều hàm mục tiêu,
thường là độc lập với nhau, thậm chí đối nghịch nhau trên một miền chấp
nhận được X ⊆ Rn . Hai nhà kinh tế Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỷ
19 đã đưa ra khái niệm nghiệm hữu hiệu hay điểm Pareto. Đây là những
khái niệm nền tảng của tối ưu đa mục tiêu. Tuy nhiên phải đến những năm
50 của thế kỷ 20, tối ưu đa mục tiêu mới trở thành một chuyên ngành toán

học và được phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm qua. Những vấn đề
chính của tối ưu đa mục tiêu đang được quan tâm nghiên cứu là:
i) Nghiên cứu định tính;
ii) Xây dựng thuật toán xác định tập Pareto;
iii) Tối ưu trên tập Pareto.
Cho đến nay, lý thuyết tối ưu đa mục tiêu tuyến tính gần như hoàn
chỉnh. Một số thuật toán xây dựng tập Pareto và Pareto yếu đã được công
bố. Tuy nhiên các thuật toán này mới chỉ hữu hiệu với các bài toán có số
chiều n nhỏ.
Bài toán tối ưu đa mục tiêu là mô hình của nhiều bài toán thực tế. Thí
dụ trong sản xuất ta cần tìm phương thức đạt chất lượng sản phẩm cao
nhất, giá thành rẻ nhất, ô nhiễm môi trường thấp nhất, đồng thời đem lại
lợi nhuận cao nhất, đầu tư thấp nhất,... Đôi khi trong thực tế một phương
án có thể là tốt cho mục tiêu này nhưng lại không tốt cho mục tiêu khác,
từ đó hình thành khái niệm tối ưu Pareto. Phương án tối ưu Pareto là
4


phương án mà không tồn tại phương án nào khác có tất cả các mục tiêu
không kém hơn nhưng có ít nhất một mục tiêu là tốt hơn. Các bài toán
thực tế thường đòi hỏi tìm không chỉ một hoặc một số, mà toàn bộ các
phương án tối ưu. Điều này dẫn đến việc nghiên cứu cấu trúc của toàn bộ
tập nghiệm, thậm chí cả trong trường hợp khi chưa biết được một phương
án tối ưu cụ thể nào.
Vì cần tối ưu nhiều mục tiêu cùng một lúc, nên hàm mục tiêu của bài
toán là một hàm vectơ. Trong thực tế, các mục tiêu thường là các hàm
thuộc một lớp hàm nào đó (hàm liên tục, hàm tuyến tính, hàm phân thức
tuyến tính, hàm lồi (lõm), hàm tựa lồi (tựa lõm), hàm tựa lồi ngặt (tựa
lõm ngặt), hàm nửa tựa lồi ngặt (nửa tựa lõm ngặt),...).
Trong nghiên cứu định tính một số vấn đề cần được nghiên cứu để làm

sáng tỏ cấu trúc của tập nghiệm là:
+) Tính đóng của tập nghiệm;
+) Tính compact của tập nghiệm;
+) Tính liên thông, liên thông đường, liên thông đường gấp khúc của tập
nghiệm;...
Mục đích của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu về tính
compact và tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán tối ưu Pareto;
Chủ yếu dựa trên tài liệu [14].
Luận văn trình bày tính compact và tính liên thông của tập nghiệm
trong bài toán tối ưu Pareto, trong đó hàm mục tiêu và hàm ràng buộc là
tựa lõm. Do tính chất tựa lõm của hàm mục tiêu và hàm ràng buộc không
đủ để khẳng định tính chất tôpô của tập nghiệm nên ta cần thêm một vài
điều kiện để chứng minh tính compact và tính liên thông của tập nghiệm
trong bài toán tối ưu Pareto.
Luận văn được chia làm hai chương với nội dung như sau.

5


Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi và ánh xạ
đa trị, là các kiến thức chuẩn bị cho Chương 2.
Chương 2 trình bày tính compact và tính liên thông của tập nghiệm
trong bài toán tối ưu Pareto và mối quan hệ giữa tính compact và tính
liên thông, dựa theo bài báo [14], có tham khảo thêm một số tài liệu khác.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy
PGS. TS. Tạ Duy Phượng, cùng với sự nỗ lực của bản thân và sự động
viên của bạn bè.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS. TS. Tạ
Duy Phượng, tới các thầy cô trong Viện Toán học đã giảng dạy và tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tôi để hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin cảm ơn tất cả bạn bè đặc biệt là các bạn lớp cao học K21
Viện Toán học đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời
gian học tập và làm luận văn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình đã luôn quan tâm và động viên trong
suốt quá trình học và làm luận văn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 08 năm 2015

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Loan

6


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của giải
tích vô hạn chiều như: các không gian metric, không gian vectơ, các hàm
lồi, hàm vectơ lồi, hàm lõm, hàm lõm suy rộng và khái niệm liên thông,
ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị,... cần thiết cho việc trình
bày các nội dung của chương sau.

1.1
1.1.1

Giải tích lồi
Không gian metric và không gian vectơ

Định nghĩa 1.1. Cho tập X = ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào
tập các số thực R được gọi là metric trên X nếu các tiên đề sau thỏa mãn:
i) d(x, y) > 0 nếu x = y, d(x, y) = 0 nếu x = y;
ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .
Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là không gian metric, kí hiệu

7


là (X, d) hay thường được viết là X . Số d(x, y) được gọi là khoảng cách
giữa hai phần tử x và y . Các phần tử của X được gọi là các điểm.

Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian metric, một điểm a ∈ X và

B là tập con của X . Khoảng cách từ một điểm a đến tập B được xác định
bởi:

d(a, B) := inf d(a, b).
b∈B

Định nghĩa 1.3. Một tập M trong không gian R được gọi là compact nếu
mọi dãy {xn } ⊂ M đều chứa một dãy con {xnk } hội tụ tới một điểm thuộc

M.
Định nghĩa 1.4. Một tập X được gọi là không gian vectơ trên R nếu
trên đó xác định phép cộng hai phần tử với nhau và phép nhân một số với
một phần tử được định nghĩa sao cho thỏa mãn 8 tiên đề, tức là với mọi

x, y ∈ X và α ∈ R thì x + y và αx thỏa mãn 8 tiên đề sau:

1) x + y = y + x (tính chất giao hoán của phép cộng vectơ);
2) (x + y) + z = x + (y + z) (tính chất kết hợp của phép cộng vectơ);
3) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x + 0 = x, với mọi x ∈ X (tính chất
phép cộng vectơ có phần tử trung hòa);

4) Với mỗi x ∈ X có phần tử −x ∈ X sao cho x + (−x) = 0 (phần tử −x
gọi là phần tử đối của x) (tính chất phép cộng vectơ có phần tử đối);

5) 1 · x = x (tính chất phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng);
6) α (βx) = (αβ) x (α, β là những số bất kỳ) (tính chất phép nhân vô
hướng tương thích với phép nhân trong trường các số vô hướng);

7)

(α + β) x = αx + βx (tính chất phép nhân vectơ phân phối với phép

cộng vô hướng);

8) α(x + y) = αx + αy (tính chất phép nhân vô hướng phân phối với
phép cộng vectơ).
8


1.1.2

Hàm lõm

Với mọi a, b ∈ Rm ta kí hiệu đoạn thẳng [a, b] và khoảng (a, b) như sau:

[a, b] = {x|x ∈ Rn , x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]} ;

(a, b) = {x|x ∈ Rm , x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ (0, 1)} .
Định nghĩa 1.5. Giả sử X là một tập khác trống nào đó trong không gian
Euclide hữu hạn chiều Rm . Tập X được gọi là lồi nếu X chứa mọi đoạn
thẳng nối hai điểm của nó, tức là λx1 + (1 − λ)x2 ∈ X với mọi cặp điểm

x1 , x2 của X và mọi số thực λ ∈ [0, 1].
Định nghĩa 1.6. Giả sử X là một tập khác trống trong Rm . Tập X được
gọi là mở trong Rm nếu với mọi x ∈ X tồn tại một hình cầu mở tâm x với
bán kính dương nằm trọn trong X .
Định nghĩa 1.7. Cho X là một tập khác trống, lồi trong không gian
Euclide hữu hạn chiều Rm . Hàm số f : X → R được gọi là lõm trong X
nếu với mỗi cặp điểm x1 , x2 của X và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta có

f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
Định nghĩa 1.8. Hàm f : X → R được gọi là lồi trong X nếu −f lõm
trong X , tức là f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) với mỗi cặp
điểm x1 , x2 của X và mọi số thực λ ∈ [0, 1].
Trong một số bài toán, ví dụ như khi nghiên cứu bài toán tối ưu, hàm lõm
(lồi) chưa đủ để chứng minh tính duy nhất nghiệm. Vì vậy người ta phải
xét một lớp hàm hẹp hơn lớp hàm lõm, đó là lớp hàm lõm ngặt.
Định nghĩa 1.9. Hàm f : X → R được gọi là lõm ngặt trên X nếu

f (λx1 + (1 − λ)x2 ) > λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ X, x1 = x2
và λ ∈ (0, 1).
9


Cho f là một hàm xác định trên X . Ta xét bài toán tìm cực đại của
hàm f trên X , tức là tìm x
¯ ∈ X sao cho f (¯

x) ≥ f (x) với mọi x ∈ X .
Định nghĩa 1.10. Điểm x
¯ ∈ X được gọi là điểm cực đại địa phương của
hàm f nếu tồn tại một hình cầu mở Bε (¯
x) tâm x¯, bán kính ε > 0 sao cho

f (¯
x) ≥ f (x) với mọi x ∈ Bε (¯
x) ∩ X .
Tính chất 1.1.1. Giả sử f (x) là hàm lõm. Khi đó f (x) đạt cực đại địa
phương tại điểm x
¯ khi và chỉ khi f (x) đạt cực đại toàn cục tại x¯.
Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên, vì mỗi điểm cực đại toàn cục
cũng là điểm cực đại địa phương.
Ta chứng minh điều kiện cần bằng phản chứng. Giả sử x
¯ là điểm cực đại
địa phương của f nhưng x
¯ không là điểm cực đại toàn cục, dựa vào tính
lõm của hàm f để chỉ ra mâu thuẫn.
Giả sử D là miền xác định của hàm f . Do x
¯ là điểm cực đại địa phương
của f nên tìm được ε > 0 sao cho f (¯
x) ≥ f (x) với mọi x ∈ D thỏa mãn

x − x¯ < ε. Nếu x¯ không là điểm cực đại toàn cục của f trên D thì tìm
được x ∈ D sao cho f (x ) > f (¯
x) hay f (x ) − f (¯
x) > 0.
Đặt xλ = λx + (1 − λ)¯
x với λ ∈ [0, 1].

Khi đó xλ ∈ D (vì x
¯ ∈ D, x ∈ D và theo giả thiết D là lồi). Hơn nữa

xλ − x¯

=

λ (x − x¯)

= λ x − x¯

< ε với λ > 0 đủ nhỏ, tức là

xλ ∈ D ∩ B(¯
x, ε). Do f là hàm lõm nên với λ > 0 đủ nhỏ ta có:
f (xλ ) ≥ λf (x ) + (1 − λ)f (¯
x) = f (¯
x) + λ(f (x ) − f (¯
x)) > f (¯
x)
(vì f (x ) − f (¯
x) > 0 và λ > 0). Suy ra f (xλ ) > f (¯
x) (trái với giả thiết x¯
là điểm cực đại địa phương). Vậy nếu x
¯ là điểm cực đại địa phương của f
thì x
¯ phải là điểm cực đại toàn cục.
Tính chất 1.1.2. Nếu x
¯ ∈ X là điểm cực đại của hàm lõm ngặt f trên
tập lồi X thì nó là điểm cực đại duy nhất.

10


Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử x
¯ là điểm cực đại của f nhưng x¯ không duy nhất. Khi đó tìm
được điểm x = x
¯ sao cho f (x ) = f (¯
x). Đặt xλ = λx + (1 − λ)¯
x với

λ ∈ (0, 1), vì hàm f là hàm lõm ngặt nên f (xλ ) = f (λx + (1 − λ)¯
x) >
λf (x ) + (1 − λ)f (¯
x) với mọi λ ∈ (0, 1). Do f (x ) = f (¯
x) nên bất đẳng
thức trên cho thấy f (xλ ) > λf (x )+(1−λ)f (¯
x) = f (¯
x) với mọi λ ∈ (0, 1).
Do vậy f (xλ ) > f (¯
x) (vô lí với x¯ là điểm cực đại của hàm lõm ngặt trên
tập lồi X ). Vậy điểm cực đại của hàm lõm ngặt là duy nhất.
1.1.3

Hàm lõm suy rộng

Định nghĩa 1.11. Hàm f xác định trên một tập lồi X ⊂ Rm được gọi
là tựa lõm (quasi-concave) trên X , nếu với mỗi cặp điểm x1 , x2 của X và
mọi số thực λ ∈ [0, 1] thì f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ min {f (x1 ), f (x2 )} .
Hàm f được gọi là tựa lồi nếu −f là tựa lõm, tức là

f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ max {f (x1 ), f (x2 )} .
Nhận xét 1.1. Hàm đơn điệu f : R → R vừa tựa lõm, vừa tựa lồi.
Chứng minh. Giả sử f : R → R là hàm đơn điệu. Lấy λ ∈ [0, 1] và x1 < x2 .
Khi ấy x1 ≤ xλ ≤ x2 . Nếu f là hàm giảm thì min {f (x1 ), f (x2 )} =

f (x2 ) ≤ f (xλ ) ≤ f (x1 ) = max {f (x1 ), f (x2 )} . Với f là hàm tăng suy
ra min {f (x1 ), f (x2 )} = f (x1 ) ≤ f (xλ ) ≤ f (x2 ) = max {f (x1 ), f (x2 )} .
Vậy min {f (x1 ), f (x2 )} ≤ f (xλ ) ≤ max {f (x1 ), f (x2 )} hay hàm đơn điệu

f vừa tựa lõm, vừa tựa lồi.
Định nghĩa 1.12. Hàm f xác định trên một tập lồi X ⊂ Rm được gọi là
tựa lõm ngặt (strictly quasi-concave) trên X nếu với mỗi cặp điểm x1 , x2
của X và x1 = x2 , λ ∈ (0, 1) thì f (λx1 + (1 − λ)x2 ) > min {f (x1 ), f (x2 )}.
11


Nhận xét 1.2. (Tính lõm kéo theo tính tựa lõm) Hàm lõm là hàm tựa
lõm. Hàm lõm ngặt là hàm tựa lõm ngặt.
Chứng minh. Giả sử f : X → R là hàm lõm. Lấy bất kì x1 , x2 ∈ X , không
mất tính tổng quát ta xem f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Từ định nghĩa hàm lõm, đặt xλ := λx1 +(1−λ)x2 thì f (xλ ) ≥ λf (x1 )+(1−

λ)f (x2 ), với mọi λ ∈ [0, 1] hay f (xλ ) ≥ f (x2 ) + λ(f (x1 ) − f (x2 )) ≥ f (x2 ),
với mọi λ ∈ [0, 1] (vì λ ≥ 0 và f (x1 ) ≥ f (x2 )). Suy ra f (xλ ) ≥ f (x2 ) =
min {f (x1 ), f (x2 )} hay f (xλ ) ≥ min {f (x1 ), f (x2 )}, với mọi λ ∈ [0, 1].
Chứng tỏ hàm lõm f là tựa lõm.
Tương tự, ta thay dấu ≥ bởi dấu > thì ta cũng chứng minh hàm lõm ngặt

f là tựa lõm ngặt.

Định nghĩa 1.13. Hàm f : X ⊂ Rm → R được gọi là tựa lõm nửa ngặt
(semi-strictly quasi-concave) trên X nếu f là tựa lõm và với mọi x1 , x2
của X , f (x1 ) = f (x2 ) và λ ∈ (0, 1) thì

f (λx1 + (1 − λ)x2 ) > min {f (x1 ), f (x2 )} .
Nhận xét 1.3. 1) Hàm tựa lõm ngặt là tựa lõm nửa ngặt nhưng ngược lại
không đúng.

2) Hàm tựa lõm nửa ngặt là tựa lõm nhưng ngược lại không đúng.
Chứng minh. 1) Giả sử f : X → R là tựa lõm ngặt. Khi ấy f (xλ ) =

f (λx1 + (1 − λ)x2 ) > min {f (x1 ), f (x2 )}, với mọi x1 , x2 ∈ X và x1 = x2
với mọi λ ∈ (0, 1). Suy ra f (xλ ) ≥ min {f (x1 ), f (x2 )} . Chứng tỏ f là tựa
lõm trên X .
Hơn nữa, nếu f (x1 ) = f (x2 ) thì x1 = x2 . Suy ra f (xλ ) = f (λx1 + (1 −

λ)x2 ) > min {f (x1 ), f (x2 )} với mọi λ ∈ (0, 1). Vậy f là tựa lõm nửa ngặt.
Ngược lại không đúng được chỉ ra ở ví dụ sau:
12


x, nếu x ∈ [0, 1];
1, nếu x ∈ (1, 2].
Hàm f là tựa lõm nửa ngặt trên X nhưng không tựa lõm ngặt trên X .
Ví dụ 1.1.1. Cho X = [0, 2] và f (x) =

Hình 1.1
Vì f là hàm không giảm nên theo nhận xét 1.1 thì hàm f là tựa lõm.
Với x1 , x2 ∈ X . Giả sử f (x1 ) = f (x2 ). Khi ấy hoặc 0 ≤ x1 < x2 ≤ 1 hoặc

0 ≤ x1 < 1 ≤ x2 ≤ 2.
Với 0 ≤ x1 < x2 ≤ 1 thì f (x1 ) = x1 < f (x2 ) = x2 và f (xλ ) = xλ > x1 =

min {f (x1 ), f (x2 )} với mọi λ ∈ (0, 1) .
Với 0 ≤ x1 < 1 ≤ x2 ≤ 2 thì f (x1 ) = x1 < 1 = f (x2 ).
Vậy min {f (x1 ), f (x2 )} = min {x1 , 1} = x1 < f (xλ ) với mọi λ ∈ (0, 1) .
Vậy f (x) là tựa lõm nửa ngặt trên X .
Nhưng f không là tựa lõm ngặt trên X . Lấy x1 = 1 = x2 = 2 và λ =
thì f (1) = 1 = f (2) và xλ = λx1 + (1 − λ)x2 =

f

3
2

1
2

·1+

1
2

1
2

· 2 = 32 . Mà

= 1 = min {f (1), f (2)} . Vậy f không là tựa lõm ngặt.

2) Giả sử hàm f là tựa lõm nửa ngặt. Theo định nghĩa tựa lõm nửa
ngặt thì hàm f là tựa lõm.
Ngược lại không đúng được chỉ ra ở ví dụ sau đây:

13



 0, nếu x ∈ [−2, 0]
Ví dụ 1.1.2. Cho X = [−2, 2] và f (x) =
x, nếu x ∈ (0, 1]

1, nếu x ∈ (1, 2]
Hàm f liên tục và tựa lõm trên X . Nhưng hàm f không tựa lõm nửa ngặt
trên X .

Hình 1.2
Ta thấy hàm f (x) là liên tục và đồng biến trên [−2, 2] . Nên hàm f là tựa
lõm trên X = [−2, 2] (theo Nhận xét 1.1).
Lấy x1 = −2 = x2 = 2 và λ =

1
2

thì f (−2) = 0 < f (2) = 1 và xλ =

λx1 +(1−λ)x2 = 12 ·(−2)+ 12 ·2 = 0. Ta có f (0) = 0 = min {f (−2), f (2)} .
Vậy hàm f không là tựa lõm nửa ngặt trên X = [−2, 2] .

1.1.4

Hàm vectơ lõm và hàm vectơ lõm suy rộng

Định nghĩa 1.14. Một tập D ⊆ Rm được gọi là nón nếu λ ≥ 0 và x ∈ D
thì λx ∈ D.
Giả sử Rm là không gian Euclide hữu hạn chiều.
Ta đưa vào các kí hiệu sau:
m
Rm
+ = {x = (x1 , x2 , ...., xm ) ∈ R : xi ≥ 0, i = 1, ..., m} ;

14


m
Rm
++ = {x = (x1 , x2 , ..., xm ) ∈ R : xi > 0, i = 1, 2, ..., m} .
m
m
Rm
+ được gọi là nón octant không âm của R , còn R++ được gọi là nón

octant dương của Rm .
Chúng ta xây dựng khái niệm thứ tự trong Rm sinh bởi nón Rm
+ như sau:
Giả sử a = (a1 , a2 , ..., am )T và b = (b1 , b2 , ..., bm )T là những vectơ trong
không gian Euclide m-chiều Rm . Ta viết a ≤ b (tương ứng a < b) nếu

ai ≤ bi (tương ứng ai < bi ) với mọi i = 1, 2, ..., m. Như vậy,
a ≤ b ⇔ b − a ≥ 0, b − a ∈ Rm

+;
a < b ⇔ b − a > 0, b − a ∈ Rm
++ .
Định nghĩa 1.15. Tập D ⊆ Rm được gọi là nón lồi nếu D là nón và D
là tập lồi.
Ví dụ 1.1.3. Rm
+ là một nón lồi.
Một nón không nhất thiết là một tập lồi.
Ví dụ 1.1.4. D = x ∈ R2 \R2++ là nón nhưng không lồi.

Hình 1.3

15


Mệnh đề 1.1. Một tập D là nón lồi khi và chỉ khi có các tính chất sau:

(i) λD ⊆ D, ∀λ ≥ 0.
(ii) D + D ⊆ D.
Chứng minh. Giả sử D là nón lồi. Ta phải chứng minh D thỏa mãn hai
tính chất (i) và (ii). Vì D là một nón nên theo định nghĩa nón ta có (i).
Do D là một tập lồi, nên với mọi x, y ∈ D và chọn λ =

1
2

thì 21 (x+y) ∈ D.

Vậy theo (i) ta có (x + y) ∈ D.
Ngược lại, giả sử có (i) và (ii). Ta phải chứng minh D là nón lồi. Từ (i)

suy ra D là một nón. Giả sử x, y ∈ D và λ ∈ [0, 1], từ (i) suy ra λx ∈ D
và (1 − λ)y ∈ D. Theo (ii) ta có λx + (1 − λ)y ∈ D. Vậy D là nón lồi.
Giả sử X là một tập lồi khác trống trong Rm và fi : X → Rn , i = 1, ..., n.
Định nghĩa 1.16. Hàm f = (f1 , f2 , ..., fn )T : X → Rn , i = 1, ..., n được
gọi là lõm (concave) trên X nếu mọi hàm fi là lõm trên X , tức là nếu với
mỗi cặp điểm x1 , x2 của X , mọi số thực λ ∈ [0, 1] thì

fi (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ λfi (x1 ) + (1 − λ)fi (x2 ),
với mọi i = 1, ..., n.
Định nghĩa 1.17. Hàm f = (f1 , f2 , ..., fn )T : X → Rn , i = 1, ..., n được
gọi là tựa lõm (quasi-concave) trên X nếu mọi hàm fi là tựa lõm trên X ,
tức là với mỗi cặp điểm x1 , x2 của X và λ ∈ (0, 1) thì

fi (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ min {fi (x1 ), fi (x2 )} ,
với mọi i = 1, ..., n.
Định nghĩa 1.18. Hàm f = (f1 , f2 , ..., fn )T : X → Rn , i = 1, ..., n được
gọi là tựa lõm ngặt (strictly quasi-concave) trên X nếu mọi hàm fi là tựa

16


lõm ngặt trên X , tức là với mỗi cặp điểm x1 , x2 ∈ X và x1 = x2 , λ ∈ (0, 1)
thì fi (λx1 + (1 − λ)x2 ) > min {fi (x1 ), fi (x2 )} , với mọi i = 1, ..., n.
Định nghĩa 1.19. Hàm f = (f1 , f2 , ..., fn ): X → Rn được gọi là tựa
lõm nửa ngặt (semi-strictly quasi-concave) trên X nếu mọi hàm fi là tựa
lõm nửa ngặt trên X , tức là {fi }ni=1 là tựa lõm và với mọi x1 , x2 ∈ X ,

fi (x1 ) = fi (x2 ) với mọi i = 1, 2, ..., n và λ ∈ (0, 1) thì
fi (λx1 + (1 − λ)x2 ) > min {fi (x1 ), fi (x2 )} ,
với mọi i = 1, 2, ..., n.

Chúng ta nhận xét rằng khái niệm hàm vectơ lõm nêu trên đòi hỏi khá
ngặt: mọi hàm thành phần phải có tính chất lõm tương ứng. Mặt khác,
các định nghĩa trên không thể hiện mối quan hệ tổng thể giữa các hàm
thành phần tạo nên hàm vectơ. Định nghĩa hàm lõm dưới đây của Wantao
và Kunping trong [11] về hàm F -tựa lõm ngặt, đã thể hiện rõ hơn mối
quan hệ tổng thể giữa các hàm thành phần của hàm vectơ.
Định nghĩa 1.20. Hàm f = (f1 , f2 , ..., fn )T : X → Rn được gọi là F lõm (concave) trên X nếu với mỗi cặp x1 , x2 ∈ X , tồn tại một chỉ số

i0 ∈ {1, 2, ..., n} sao cho với mọi λ ∈ [0, 1] thì
fi0 (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ λfi0 (x1 ) + (1 − λ)fi0 (x2 ).
Định nghĩa 1.21. Hàm f = (f1 , f2 , ..., fn )T : X → Rn được gọi là F -tựa
lõm (quasi-concave) trên X nếu với mọi x1 , x2 ∈ X , tồn tại một chỉ số

i0 := i0 (x1 , x2 ) ∈ {1, 2, ..., n} sao cho với mọi λ ∈ [0, 1] thì
fi0 (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ min{fi0 (x1 ), fi0 (x2 )}.
Nhận xét 1.4. Hàm lõm là hàm F -tựa lõm. Tuy nhiên khái niệm hàm

F -lõm là yếu hơn, vì với mỗi cặp x1 , x2 ∈ X cụ thể chỉ cần tồn tại một chỉ
17


số i0 ∈ {1, 2, ..., n} sao cho với mọi λ ∈ [0, 1] để bất đẳng thức fi0 (λx1 +

(1 − λ)x2 ) ≥ λfi0 (x1 ) + (1 − λ)fi0 (x2 ) được thỏa mãn với mọi λ ∈ [0, 1]
mà thôi.
Định nghĩa 1.22. Hàm f = (f1 , f2 , ..., fn )T : X → Rn được gọi là F -tựa
lõm ngặt (strictly quasi-concave) trên X nếu với mỗi cặp x1 , x2 ∈ X và

x1 = x2 , tồn tại một chỉ số i0 ∈ {1, 2, ..., n} sao cho với mọi λ ∈ (0, 1) thì
fi0 (λx1 + (1 − λ)x2 ) > min{fi0 (x1 ), fi0 (x2 )}.

Ví dụ 1.1.5. Giả sử X = [−2, 2]. Hàm mục tiêu f = (f1 , f2 ) được xác định
x, nếu − 2 ≤ x ≤ 0
0, nếu − 2 ≤ x ≤ 0
như sau: f1 (x) =
, f2 (x) =
0, nếu 0 < x ≤ 2
−x, nếu 0 < x ≤ 2
Hàm f là tựa lõm trên X = [−2, 2], cả hai hàm f1 (x) và f2 (x) đều không
là tựa lõm ngặt. Nhưng nó là F -tựa lõm ngặt trên [−2, 2].

Hình 1.4a

Hình 1.4b
18


Chứng minh. +) Dễ thấy f1 là hàm đơn điệu giảm trên [−2, 2] nên f1 là
tựa lõm (theo Nhận xét 1.1). Nhưng f1 không là tựa lõm ngặt. Thật vậy,
lấy x1 = −2 = x2 = 0 và λ =
1
2

· (−2) +

1
2

1
2

thì f1 (−2) = 0, f1 (0) = 0 và xλ =

· 0 = −1. Ta có f1 (−1) = 0 = min {f1 (−2), f1 (0)}. Vậy f1

không là tựa lõm ngặt.
+) Dễ thấy f2 là hàm đơn điệu tăng trên [−2, 2] nên f2 là tựa lõm (theo
Nhận xét 1.1). Nhưng f2 không là tựa lõm ngặt. Thật vậy, lấy x1 = 0 =

x2 = 2 và λ =

1
2

thì f2 (0) = 0 = f2 (2) và xλ =

1
2

· (0) + 21 · 2 = 1. Ta có

f2 (1) = 0 = min {f2 (0), f2 (2)}. Vậy f2 không là tựa lõm ngặt.
+) Nhưng f = (f1 , f2 ) là F - tựa lõm ngặt trên [−2, 2]. Thật vậy:
Với x1 < x2 < 0, tồn tại i0 = 2 sao cho với mọi λ ∈ [0, 1] và ∀xλ ∈ (x1 , x2 )
thì f2 (xλ ) > f2 (x1 ) = min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} .
Với 0 < x1 < x2 , tồn tại i0 = 1 sao cho với mọi λ ∈ [0, 1] và ∀xλ ∈ (x1 , x2 )
thì f1 (xλ ) = −xλ > −x2 = min {f1 (x1 ), f1 (x2 )} .
Với x1 < 0 < x2 , tồn tại i0 = 1 (hoặc i0 = 2) sao cho với mọi λ ∈ [0, 1]
và ∀xλ ∈ (x1 , x2 ) thì f1 (xλ ) > min {f1 (x1 ), f1 (x2 )}, tương tự f2 (xλ ) >

min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} .

Vậy f là F - tựa lõm ngặt trên [−2, 2] .
Với mỗi x1 , x2 . Kí hiệu I (x1 , x2 ) = {i ∈ {1, 2, ..., n} : fi (x1 ) = fi (x2 )} .
Định nghĩa 1.23. Hàm f = (f1 , f2 , ..., fn )T : X → Rn được gọi là F - tựa
lõm nửa ngặt (semi-strictly quasi-concave) trên X nếu nó là F - tựa lõm
và với mọi x1 , x2 ∈ X , nếu tập I (x1 , x2 ) = ∅, tồn tại ít nhất một chỉ số

i0 ∈ I (x1 , x2 ) và với mọi λ ∈ (0, 1) thì
fi0 (λx1 + (1 − λ)x2 ) > min{fi0 (x1 ), fi0 (x2 )}.
Nhận xét 1.5. Các ví dụ sau đây chỉ ra rằng lớp hàm F - tựa lõm nửa
ngặt thật sự rộng hơn lớp hàm tựa lõm nửa ngặt.
19


Ví dụ 1.1.6. Giả sử X = [−2, 2] ⊂ R, f = (f1 , f2 ): X → R2 được xác
−x, nếu x ∈ [−2, 0],
x, nếu x ∈ [−2, 0],
định như sau: f1 (x) =
f2 (x) =
0, nếu x ∈ [0, 2].
−x, nếu x ∈ [0, 2].
f không phải là tựa lõm nửa ngặt, tuy nhiên nó là F - tựa lõm nửa ngặt
trên X .

Hình 1.5a

Hình 1.5b

Chứng minh. Dễ thấy f1 là hàm đơn điệu giảm trên [−2, 2] nên f1 là tựa
lõm (theo Nhận xét 1.1).
Lấy x1 = −2 = x2 = 2 và λ =

xλ =

1
2

1
2

thì f1 (−2) = 2 = f1 (2) = 0. Và

· (−2) + 12 · 2 = 0 suy ra f1 (0) = 0 = min {f1 (−2), f1 (2)}. Vậy f1

không là tựa lõm nửa ngặt trên [−2, 2] .
Với mọi x1 , x2 ∈ [−2, 2]. Có các trường hợp sau:

20


Trường hợp 1: Với x1 ≤ x2 ≤ 0 thì x1 < xλ < x2 và f2 (x1 ) < f2 (x2 ) ta có

f2 (xλ ) ≥ f2 (x1 ) = min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} , được thể hiện dưới hình vẽ sau:

Hình 1
Trường hợp 2: Với 0 ≤ x1 ≤ x2 thì x1 ≤ xλ ≤ x2 và f2 (x1 ) > f2 (x2 )
ta có f2 (xλ ) ≥ f2 (x2 ) = min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} , được thể hiện dưới hình vẽ
sau:

Hình 2
Trường hợp 3: Với x1 ≤ 0 ≤ x2 và f2 (x1 ) ≥ f2 (x2 ) và xλ có hai trường

hợp sau:
Trường hợp 3a: Với x1 ≤ xλ ≤ 0 thì f2 (xλ ) ≥ f2 (x1 ) ≥ min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} ,
được thể hiện dưới hình vẽ sau:

21


Hình 3a
Trường hợp 3b: Với 0 < xλ ≤ x2 thì f2 (xλ ) ≥ f2 (x2 ) = min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} ,
được thể hiện dưới hình vẽ sau:

Hình 3b
Trường hợp 4: Với x1 ≤ 0 ≤ x2 và f2 (x1 ) ≤ f2 (x2 ) và xλ có hai trường
hợp sau:
Trường hợp 4a: Với x1 ≤ xλ ≤ 0 thì f2 (xλ ) ≥ f2 (x1 ) = min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} ,
được thể hiện dưới hình vẽ sau:

22


Hình 4a
Trường hợp 4b: Với 0 < xλ ≤ x2 thì f2 (xλ ) ≥ f2 (x2 ) ≥ min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} ,
được thể hiện dưới hình vẽ sau:

Hình 4b
Chứng tỏ f2 là tựa lõm trên [−2, 2] .
Với f2 (x1 ) = f2 (x2 ). Ta phải chứng minh f2 (xλ ) > min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} .
(i) Giả sử f2 (x1 ) < f2 (x2 ). Có hai khả năng như sau:
Với x1 < xλ < 0 thì f2 (xλ ) > f2 (x1 ) = min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} ;
Với x1 < 0 < xλ < x2 thì f2 (xλ ) > f2 (x2 ) ≥ min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} .

(ii) Giả sử f2 (x1 ) > f2 (x2 ). Có hai khả năng như sau:
Với x1 < xλ < 0 thì f2 (xλ ) > f2 (x1 ) ≥ min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} ;
Với x1 < 0 < xλ < x2 và 0 < x1 < xλ < x2 thì f2 (xλ ) > f2 (x2 ) =

min {f2 (x1 ), f2 (x2 )} .
23