TỪ bất ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN đến bài TOÁN cân BẰNG

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC
———————o0o——————–

VŨ THỊ HẢI YẾN

TỪ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

Người hướng dẫn: GS. TSKH. Lê Dũng Mưu

Hà Nội - 2015


Mục lục
Mở đầu

3

1 CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ

5

1.1. Không gian Euclidean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Không gian định chuẩn, không gian Euclidean . . . . .

6

1.2. Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2. Hàm lồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3. Một số tính chất của ánh xạ trên tập lồi . . . . . . . . . . . .

17

2 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

20

2.1. Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1


2.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) 23
2.3. Phương pháp chiếu để giải bài toán (VIP) . . . . . . . . . . .

25

2.3.1. Phương pháp chiếu cơ bản để giải bài toán (VIP) . . .

26

2.3.2. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm để giải bài toán (VIP) 31

3 BÀI TOÁN CÂN BẰNG

37

3.1. Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . .

39

3.3. Phương pháp chiếu để giải bài toán cân bằng (EP) . . . . . .

44

3.3.1. Phương pháp chiếu cơ bản để giải bài toán cân bằng
(EP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.3.2. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm (IPSM) để giải bài

toán (EP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận

49
58

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

61


Mở đầu
Toán học là bản lề then chốt cho mọi ngành khoa học và nó có ứng dụng
rộng rãi trong thực tiễn nhất là trong kinh tế. Ngày nay có rất nhiều nhà
kinh tế học cũng như các nhà toán học tập trung nghiên cứu phát triển các
lý thuyết toán học, đặc biệt là lý thuyết tối ưu toán học về tăng trưởng kinh
tế.
Bài toán cân bằng là vấn đề quan trọng trong lý thuyết tối ưu và đã được
nghiên cứu qua các công trình của Nikaido và Isoda, Ky Fan, L.D Muu và
W Oettli,. . . . Bài toán cân bằng có mối liên hệ với nhiều bài toán khác, đặc
biệt là bài toán bất đẳng thức biến phân. Để giải bài toán cân bằng có nhiều
phương pháp khác nhau và một trong những phương pháp đang được phát
triển là phương pháp chiếu. Phương pháp chiếu này cũng dùng để giải bài
toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân rất hiệu quả.
Luận văn: "Từ bất đẳng thức biến phân đến bài toán cân bằng" nhằm
mục đích trình bày những vấn đề cơ bản nhất về bài toán bất đẳng thức biến
phân, bài toán cân bằng và phương pháp chiếu để giải hai bài toán này. Qua
đó để thấy được sự phát triển từ bài toán bất đẳng thức biến phân đến bài

toán cân bằng.
Luận văn được chia làm 3 chương:
3


Chương 1: "Các kiến thức bổ trợ" trình bày các kiến thức cơ bản về không
gian Euclidean, tập lồi, hàm lồi, một số tính chất về ánh xạ trên tập lồi sẽ
được sử dụng trong các chương sau.
Chương 2: "Bài toán bất đẳng thức biến phân" trình bày về bài toán bất
đẳng thức biến phân, sự tồn tại nghiệm của bài toán và phương pháp chiếu
để giải bài toán.
Chương 3: "Bài toán cân bằng" giới thiệu về bài toán cân bằng, sự tồn tại
nghiệm của bài toán, phương pháp chiếu để giải bài toán và chỉ ra mối liên
hệ của bài toán cân bằng với bài toán bất đẳng thức biến phân.
Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc
tìm hiểu tài liệu và trình bày lại các kết quả đã được nghiên cứu theo chủ đề
đặt ra. Mặc dù đã có cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu
xót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo, của các nhà
nghiên cứu và của các độc giả quan tâm đến luận văn này.
Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Viện Toán học, trung
tâm Đào tạo Sau đại học của Viện Toán, các thầy cô giáo, các cán bộ công
nhân viên trong Viện Toán đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện
cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại Viện Toán. Đặc biệt, tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS – TSKH Lê Dũng Mưu đã tận tình chỉ
bảo, hướng dẫn và giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 8 năm 2015
Tác giả
VŨ THỊ HẢI YẾN
4

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về không gian Euclidean, tập
lồi, hàm lồi và một số tính chất về ánh xạ trên tập lồi sẽ được sử dụng trong
các chương sau. Nội dung của chương này lấy trong các tài liệu [1], [2], [3].

1.1.
1.1.1.

Không gian Euclidean
Tích vô hướng

Cho X là một không gian vectơ, trong đó có xác định một hàm hai biến

x, y , gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y nếu nó thỏa mãn các tính
chất:

(i) x, y = y, x ,
(ii) x + y, z = x, z + y, z ,
(iii) αx, y = α x, y , ∀α ∈ R,
(iv) x, x > 0 nếu x = 0, x, x = 0 nếu x = 0.

5


1.1.2.

Chuẩn

Cho X là một không gian vectơ, trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X , ta
có một số x , gọi là chuẩn của nó nếu thỏa mãn các điều kiện:

(i) x > 0 nếu x = 0; x = 0 nếu x = 0,
(ii) αx = |α| x (tính thuần nhất của chuẩn),
(iii) x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác),
(Với mọi x, y ∈ X và với mọi số α).
1.1.3.

Không gian định chuẩn, không gian Euclidean

a. Không gian định chuẩn
Một không gian định chuẩn X là một không gian vectơ, trong đó ứng với mỗi
phần tử x ∈ X , ta có một số x , gọi là chuẩn của nó được xác định trong
mục 1.1.2.
b. Không gian Euclidean
Với mỗi số nguyên không âm n, không gian của các bộ n số thực tạo thành
một không gian vectơ n chiều trên R, ký hiệu là Rn .
Một phần tử của Rn được viết là x = (x1 , x2 , ..., xn ), trong đó xi (i = 1, n) ∈
R. Không gian Rn là không gian Euclidean.
Trên không gian Euclidean Rn xác định tích vô hướng của hai vectơ x, y như
sau:
n

x, y =

xi y i ,
i=1

và chuẩn

6


n

x =

x, x =

(xi )2 , (gọi là chuẩn Euclidean).

i=1

Nhận xét: Với mọi số thực α ta có:

0 ≤ x − αy, x − αy = x, x − 2α x, y + α2 y, y .
Tam thức bậc hai theo α này phải có ∆ ≤ 0 tức là

| x, y |2 − x, x y, y ≤ 0 hay | x, y | ≤ x . y .
Đây là bất đẳng thức Schwarz.

1.2.

Tập lồi và hàm lồi

1.2.1.

Tập lồi

Định nghĩa 1.2.1. Một tập C ⊂ Rn được gọi là một tập lồi nếu C chứa mọi
đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kì của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] thì λx + (1 − λ)y ∈ C .
Ví dụ 1.2.1. a. Các nửa không gian đóng hay các nửa không gian mở đều là
các tập lồi.
b. Các hình vuông hay các hình elip đều là các tập lồi.
Mệnh đề 1.2.1. Tập C lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các
điểm của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi
k

∀k ∈ N; ∀λ1 ; ...; λk > 0 :

1

k

k

λj = 1; ∀x ; ...; x ∈ C ⇒
j=1

j=1
7

λj xj ∈ C .


Ta nói C là tổ hợp lồi của các điểm (vectơ) x1 ; ...; xk nếu

k

x=

k

λj xj , λj > 0, ∀j = 1; k,

λj = 1.
j=1

j=1

Định nghĩa 1.2.2. Một tập C được gọi là tập a-phin nếu nó chứa đường
thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C .
Bao a-phin của C là giao của tất cả các tập a-phin chứa C . Ký hiệu là af f C .
Mệnh đề 1.2.2. C = ∅ là tập a-phin khi và chỉ khi nó có dạng C = L + a
với L là một không gian con của C và a ∈ C . Không gian con L này được
xác định duy nhất.
Định nghĩa 1.2.3. Không gian L trong Mệnh đề 1.2.2 được gọi là không
gian con song song với C .
Thứ nguyên (hay chiều) của một tập a-phin C được định nghĩa bởi thứ
nguyên của không gian con song song với C và được ký hiệu là dimC .
Thứ nguyên của một tập C bất kỳ được định nghĩa như là thứ nguyên của
bao a-phin của nó. Tức là

dimC := dim(af f C).
Định nghĩa 1.2.4. Một tập F ⊆ C được gọi là một diện của tập lồi C nếu

F là tập lồi có tính chất là
∀x, y ∈ C : tx + (1 − t)y ∈ F ; 0 < t < 1 ⇒ [x, y] ⊂ F .
Điểm cực biên là điểm có thứ nguyên bằng 0.
Tia cực biên là một diện nửa đường thẳng.
8


Hướng cực biên là hướng của tia cực biên .
Tập hợp tất cả các điểm cực biên của C kí hiệu là V (C) và tập hợp tất cả
các hướng cực biên của C kí hiệu là U (C).
Định lý 1.2.1. (Định lý biểu diễn tập lồi) Nếu C là một tập lồi đóng không
chứa trọn một đường thẳng nào thì

C = CoV (C) + ConeU (C).
Tức là mọi điểm của C đều biểu diễn được như là tổng của một tổ hợp lồi
của các điểm cực biên và tổ hợp không âm của các hướng cực biên.
Định nghĩa 1.2.5. Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng aT x = α
tách C và D nếu

aT x ≤ α ≤ aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.
Ta nói siêu phẳng aT x = α tách mạnh C và D nếu

sup aT x < α < inf aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.
x∈C

y∈D

Định lý 1.2.2. (Định lý tách 1) Cho C và D là 2 tập lồi khác rỗng trong Rn
sao cho C ∩ D = ∅. Khi đó có một siêu phẳng tách C và D.

Định lý 1.2.3. (Định lý tách 2) Cho C và D là 2 tập lồi khác rỗng trong
Rn sao cho C ∩ D = ∅. Giả sử có ít nhất một tập là compact. Khi đó hai tập
này có thể tách mạnh được bởi một siêu phẳng.
Định lý không đúng nếu có ít nhất một tập là compact và tập còn lại không
đóng.
9


Chẳng hạn, C = {0}; D = (x; 0) ∈ R2 |x > 0 . Khi đó, hai tập này không
thể được tách mạnh bởi một siêu phẳng.
Định nghĩa 1.2.6. Cho C = ∅ (không nhất thiết lồi) và y là một vectơ bất
kì, đặt dC (y) := inf x − y . Ta nói dC (y) là khoảng cách từ y đến C .
x∈C

Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC (y) = π − y thì ta nói π là hình chiếu (vuông
góc) của y trên C . Kí hiệu: π = pC (y).
Định nghĩa 1.2.7. Cho C ⊂ Rn ; x0 ∈ C . Nón pháp tuyến ngoài của C tại

x0 là tập hợp
NC (x0 ) := w/wT (x − x0 ) ≤ 0, ∀x ∈ C .
Định nghĩa 1.2.8. Cho x0 ∈ C . Ta nói aT x = α là siêu phẳng tựa của C
tai x0 , nếu

aT x0 = α, aT x ≥ α∀x ∈ C .
Như vậy siêu phẳng tựa của C tại x0 là siêu phẳng đi qua x0 và để tập C về
một phía.
Mệnh đề 1.2.3. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó:
(i) Với mọi y ∈ Rn , π ∈ C hai tính chất sau tương đương:
a. π = pC (y),
b. y − π ∈ NC (π).

(ii) Với mọi y ∈ Rn , hình chiếu pC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.
(iii) Nếu y ∈
/ C , thì pC (y) − y, x − pC (y) = 0 là siêu phẳng tựa của C tại

pC (y) và tách hẳn y khỏi C , tức là
pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0, ∀x ∈ C ,
10


và

pC (y) − y, y − pC (y) < 0.
(iv) Ánh xạ y → pC (y) có các tính chất sau:
a. pC (x) − pC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ C , (tính không giãn).
b. pC (x) − pC (y), x − y ≥ pC (x) − pC (y) 2 , (tính đồng bức).
Đây là mệnh đề quan trọng được dùng trong chương sau nên ta sẽ chứng
minh mệnh đề này.
Chứng minh. (i) Giả sử có a). Lấy x ∈ C và λ ∈ (0; 1). Đặt

xλ := λx + (1 − λ)π .
Do x, π ∈ C và C lồi, nên xλ ∈ C . Hơn nữa do π là hình chiếu của y , nên

π − y ≤ y − xλ . Hay
π−y

2

≤ λ(x − π) + (π − y) 2 .

Khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế cho λ > 0, ta có:

λ x−π

2

+ 2 x − π, π − y ≥ 0.

Điều này đúng với mọi x ∈ C và λ ∈ (0; 1). Do đó khi cho λ tiến đến 0, ta
được:

π − y, x − π ≥ 0∀x ∈ C

11


Vậy y − π ∈ NC (π).

Bây giờ giả sử có b). Với mọi x ∈ C , ta có:

0 ≥ (y − π)T (x − π) = (y − π)T (x − y + y − π)
= y−π

2

+ (y − π)T (x − y).

Từ đây và b), dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

y−π

2

≤ (y − π)T (y − x) ≤ y − π

y−x .

Suy ra y − π ≤ y − x ∀x ∈ C , và do đó π = p(y).
(ii) Do dC (y) = infx∈C x − y nên theo định nghĩa của cận dưới đúng (infimum), tồn tại một dãy xk ∈ C sao cho

lim xk − y = dC (y) < +∞
k

Vậy dãy xk bị chặn, do đó nó có một dãy con xkj hội tụ đến một điểm

π nào đó. Do C đóng, nên π ∈ C . Vậy
π − y = lim xkj − y = lim xk − y = dC (y).
j

k

Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C .
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy, nếu tồn tại hai
điểm π và π 1 đều là hình chiếu của y trên C , thì

y − π ∈ NC (π), y − π 1 ∈ NC (π 1 ).
Tức là
12


π − y, π 1 − π ≥ 0.

và

π 1 − y, π − π 1 ≥ 0.
Cộng hai vế của bất đẳng thức này ta suy ra π − π 1 ≤ 0, và do đó π = π 1 .
(iii) Do y − π ∈ NC (π), nên

π − y, x − π ≥ 0, ∀x ∈ C .
Vậy π − y, x = π − y, π là một siêu phẳng tựa của C tại π . Siêu phẳng
này tách y khỏi C vì y = π , nên

π − y, y − π = − π − y

2

< 0.

(iv) Theo phần (ii) ánh xạ x → p(x) xác định khắp nơi. Do z − p(z) ∈

NC (p(z)) với mọi z , nên áp dụng với z = x và z = y , ta có:
x − p(x), p(y) − p(x) ≤ 0,
và

y − p(y), p(x) − p(y) ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức lại sẽ được

p(y) − p(x), p(y) − p(x) + x − y ≤ 0.
Từ đây và theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, suy ra

13

p(x) − p(y) ≤ x − y .
Để chứng minh tính đồng bức, áp dụng tính chất b) của i, lần lượt với p(x)
và p(y), ta có:

p(x) − x, p(x) − p(y) ≤ 0.
y − p(y), p(x) − p(y) ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức ta được:

p(x) − p(y) + y − x, p(x) − p(y)
= p(x) − p(y), y − x + p(x) − p(y)

2

≤ 0.

Chuyển vế ta có

p(x) − p(y), x − y ≥ p(x) − p(y) 2 .
Đây chính là tính đồng bức cần được chứng minh.
1.2.2.

Hàm lồi

Định nghĩa 1.2.9. Cho C ⊆ Rn là tập lồi và f : C → R ∪ {+∞}. Kí hiệu

domf := {x ∈ C/f (x) < +∞} được gọi là miền hữu dụng của f .
Tập epif := {(x, µ) ∈ C × R/f (x) ≤ µ} được gọi là tập trên đồ thị của f .
Định nghĩa 1.2.10. Cho ∅ = C ⊆ Rn lồi và f : C → R ∪ {+∞}. Ta nói f
là hàm lồi trên C nếu epif là một tập lồi trong Rn+1 .

Định nghĩa trên tương đương với f là hàm lồi nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0; 1).
14


Hàm f được gọi là hàm lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C .
Hàm f được gọi là chính thường nếu domf = ∅ và f (x) > −∞ với mọi x.
Hàm f được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số η > 0 nếu ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0; 1)
ta có:

1
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ) x − y
2

2

Mệnh đề 1.2.4. Một hàm f : C → R ∪ {+∞} là lồi trên C khi và chỉ khi

∀x, y ∈ C; ∀α > f (x); ∀β > f (y); ∀λ ∈ [0; 1]
⇒f (λx + (1 − λ)y) ≤ λα + (1 − λ)β.
Bổ đề 1.2.1. Cho C là một tập con lồi của Rn . Một hàm khả vi f : C → R
là lồi nếu và chỉ nếu

f (x) − f (y) ≥ ∇f (y), x − y , ∀x, y ∈ C .
Ví dụ 1.2.2. a. Hàm afin f (x) := aT x + α, trong đó a ∈ Rn , α ∈ R là hàm
vừa lồi, vừa lõm trên toàn không gian.
b. Hàm khoảng cách: Cho C là tập lồi, đóng, hàm khoảng cách đến tập C
được định nghĩa bởi dC (x) := min x − y là hàm lồi.
y∈C

Định nghĩa 1.2.11. Cho f : Rn → R ∪ {+∞} và x0 ∈ Rn sao cho f (x0 ) <

+∞. Nếu với một vectơ y ∈ Rn mà giới hạn
f (x0 + λy) − f (x0 )
lim
λ 0
λ
tồn tại (hữu hạn hay vô hạn) thì ta nói f có đạo hàm theo hướng y tại điểm

x0 .
Kí hiệu là f (x0 , y).
15



0
nếu x < 0,
Ví dụ 1.2.3. Cho f (x) = 1
nếu x = 0,

+∞ nếu x > 0.
Ta có

f (0 − λ) − f (0)
f (−λ) − 1
0−1
= lim
= lim
= −∞,

λ 0
λ 0
λ 0
λ
λ
λ
f (0 + 0) − f (0)
1−1
f (0; 0) = lim
= lim
= 0,
λ 0
λ 0
λ
λ
f (0 + λ) − f (0)
f (λ) − 1
+∞ − 1
f (0; 1) = lim
= lim
= lim
= +∞.
λ 0
λ 0
λ 0
λ
λ
λ
f (0; −1) = lim

Định nghĩa 1.2.12. Cho f : Rn → R ∪ {+∞}. Ta nói x∗ ∈ Rn là dưới đạo
hàm của f tại x nếu

x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z), ∀z .
Kí hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x).
Khi ∂f (x) = ∅ thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại x.
Ví dụ 1.2.4. Đặt δC (x) :=

0
nếu x ∈ C,
là hàm chỉ của một tập lồi
+∞ nếu x ∈
/ C.

C = ∅.
Khi đó với x0 ∈ C thì

∂δ C (x0 ) = x∗ / x∗ , x − x0 ≤ δC (x), ∀x .
Với x ∈
/ C , thì δC (x) = +∞, nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy

∂δ C (x0 ) = x∗ / x∗ , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C = NC (x0 ).
Vậy dưới vi phân của một hàm chỉ của một tập lồi C = ∅ tại một điểm

x0 ∈ C chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0 .
16


1.3.

Một số tính chất của ánh xạ trên tập lồi

Định nghĩa 1.3.13. Một ánh xạ đa trị f : C → 2Y từ một tập C trong
không gian định chuẩn X vào một không gian định chuẩn Y , gọi là đóng, nếu
đồ thị của nó

{(x, y) : x ∈ C, y ∈ f (x)},
là tập đóng trong không gian X × Y .
Định lý 1.3.4. (Định lý Kakutani) Cho một tập lồi, compact C ⊂ Rn và một
ánh xạ đa trị đóng f : C → 2C từ C vào chính nó, sao cho với mọi x ∈ C ,

f (x) là tập lồi, compact, không rỗng. Khi ấy f có một điểm bất động, nghĩa
là có một điểm x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ f (x∗ ).
Định nghĩa 1.3.14. Cho C là một tập lồi đóng, khác rỗng trong Rn . Ánh
xạ F : C → Rn .
Ánh xạ F được gọi là đơn điệu mạnh trên C với hệ số µ > 0, nếu

F (x) − F (y), x − y ≥ µ x − y 2 , ∀x, y ∈ C .
Ánh xạ F được gọi là đơn điệu trên C , nếu

F (x) − F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C .
Ánh xạ F được gọi là giả đơn điệu trên C nếu với mỗi cặp x, y ∈ C ta có

F (y), x − y ≥ 0 kéo theo F (x), x − y ≥ 0.
Ví dụ 1.3.5. Cho F (x) = Q(x).

F là đơn điệu trên toàn không gian khi Q là ma trận vuông, đối xứng, nửa
17

xác định dương.

F là đơn điệu mạnh trên toàn không gian khi Q là ma trận vuông, đối xứng,
xác định dương.
Định nghĩa 1.3.15. Cho C là một tập lồi trên Rn và F : C → Rn là một
ánh xạ. Ánh xạ F được gọi là Lipschitz với hằng số L nếu với mỗi cặp điểm

x, y ∈ C ta có:
F (x) − F (y) ≤ L x − y .
Một hàm F : Rn → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x với hằng số
Lipschitz L nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho

F (x) − F (y) ≤ L x − y ∀x, y ∈ U .
Hàm F được gọi là Lipschitz địa phương trên C nếu nó Lipschitz địa phương
tại mọi điểm thuộc C (tất nhiên hằng số Lipschitz có thể khác nhau ở mỗi
điểm).
Định nghĩa 1.3.16. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn . Một
song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} được gọi là một song hàm cân bằng nếu

f (x, x) = 0 với mỗi x ∈ C .
Định nghĩa 1.3.17. Một hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là nửa liên tục
dưới đối với E , tại một điểm x, nếu như với mọi dãy xk ⊂ E, xk → x ta
có lim inf f (xk ) ≥ f (x).
Hàm f được gọi là nửa liên tục trên, đối với E , tại x nếu −f nửa liên tục
dưới, đối với E , tại x.
Hàm f được gọi là liên tục đối với E , tại x nếu nó vừa nửa liên tục trên và
18


nửa liên tục dưới, đối với E , tại x.

Nếu f liên tục đối với E , tại mọi điểm thuộc tập A thì f liên tục đối với E
trong tập A.
Định nghĩa 1.3.18. Một hàm số thực f được gọi là tựa lồi trên một tập lồi

C nếu với mỗi số thực γ tập mức dưới {x ∈ C/f (x) ≤ γ} lồi.
Dễ thấy rằng nếu f tựa lồi trên C thì với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0; 1] ta có:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max(f (x), f (y)).
Hàm f được gọi là tựa lõm trên C nếu −f là hàm tựa lồi trên C .
Nhận xét: Mọi hàm lồi (lõm) trên C đều tựa lồi (tựa lõm) trên C . Nhưng
ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ như hàm phân thức afin

aT x + α
f (x) := T
(trong đó a, b, x ∈ Rn ; α, β ∈ R).
b x+β
Hàm này vừa tựa lồi, vừa tựa lõm trên mọi tập lồi C , mà trên đó mẫu số
khác 0 nhưng không là hàm lồi, hàm lõm trên C .
Kết luận chương
Chương này đã trình bày các kiến thức cơ bản về không gian Euclidean,
tập lồi, hàm lồi và một số tính chất của ánh xạ trên tập lồi. Chương tiếp theo
của luận văn sẽ trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân có sử dụng
các kiến thức của Chương 1.

19


Chương 2

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

BIẾN PHÂN
Toán tử chiếu vừa trình bày trong Chương 1 có ứng dụng quan trọng trong
việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Chương 2 này sẽ nghiên cứu về
bài toán bất đẳng thức biến phân cùng với các điều kiện về sự tồn tại nghiệm
của bài toán và một phương pháp để giải bài toán này là phương pháp chiếu.
Nội dung của chương này lấy trong các tài liệu [1], [4], [5], [6].

2.1.
2.1.1.

Phát biểu bài toán và ví dụ
Phát biểu bài toán

Nhiều bài toán trong tối ưu hóa, phương trình vật lý toán và nhiều vấn đề
trong kinh tế, kĩ thuật, cân bằng giao thông đô thị . . . đều có thể mô tả dưới
dạng bài toán bất đẳng thức biến phân như sau:
Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn và F : C → Rn là một
ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (gọi tắt là VIP)
phát biểu như sau:
20


Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C .
Bài toán bất đẳng thức biến phân có mối quan hệ với nhiều bài toán khác.
Sau đây, chúng ta xét mối quan hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân
(VIP) với bài toán tối ưu (OP).
2.1.2.

Ví dụ

Ví dụ 2.1.6. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn và f : C → R
là một hàm lồi, khả vi. F : C → Rn là một ánh xạ sao cho F (x) = ∇f (x).
Khi đó bài toán (VIP) và bài toán (OP) là tương đương.
Chứng minh.
Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (VIP), tức là

F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C .
Theo Bổ đề 1.2.1, hàm f là lồi nên ta có:

f (y) − f (x∗ ) ≥ ∇f (x∗ ), y − x∗ , ∀y ∈ C.
Mà F (x) = ∇f (x), vậy f (x∗ ) ≤ f (y), ∀y ∈ C , nghĩa là x∗ là nghiệm của bài
toán (OP).
Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (OP), theo điều kiện tối ưu
của hàm lồi ta có:

21


0 ∈ ∇f (x∗ ) + NC (x∗ ).
Từ 0 ∈ ∇f (x∗ ) + NC (x∗ ), ta suy ra −∇f (x∗ ) ∈ NC (x∗ ), hay

−F (x∗ ) ∈ NC (x∗ ),
tức là

−F (x∗ ), y − x∗ ≤ 0, ∀y ∈ C ⇔ F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C.
Vậy x∗ là nghiệm của bài toán (VIP).
Trên đây, chúng ta đã xét bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) với F
là ánh xạ đơn trị. Tiếp theo, chúng ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân
với F là ánh xạ đa trị, bài toán này gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân
tổng quát, cụ thể nó được phát biểu như sau:

Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn và F : C → π(Rn ) là ánh
xạ đa trị. Bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát (gọi tắt là GVIP) là
bài toán
Tìm x∗ ∈ C sao cho ∃f ∗ ∈ F (x∗ ), f ∗ , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C .
Tiếp theo, chúng ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, đó là
dạng tổng quát của bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (VIP), công
thức của nó phù hợp với nhiều bài toán thực tế trong nhiều lĩnh vực khác
nhau như kinh tế, kĩ thuật, toán lí, . . . . Bài toán này được phát biểu như
sau:

22


Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn và F : C → Rn là một
ánh xạ liên tục, ϕ : Rn → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, lồi, chính
thường và không nhất thiết là hàm khả vi. Bài toán bất đẳng thức biến phân
hỗn hợp (gọi tắt là MVIP) là bài toán
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), y − x∗ + ϕ(y) − ϕ(x) ≥ 0, ∀x, y ∈ C .
Ta thấy nếu ϕ là hàm hằng thì bài toán (MVIP) trở thành bài toán (VIP).
Trường hợp đặc biệt, trong bài toán bất đẳng thức biến phân nếu F (x) = Ax
với A là ma trận của ánh xạ tuyến tính thì có bài toán bất đẳng thức biến
phân affine được nghiên cứu trong [6].

2.2.

Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
(VIP)

Ta sẽ xem xét sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
(VIP) dựa vào phép chiếu vuông góc.

Mệnh đề 2.2.5. (xem [1], trang 73) Giả sử τ > 0. Với mỗi x ∈ C , đặt

1
h(x) := pC (x − F (x)).
τ
Khi đó x∗ = h(x∗ ) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán (VIP).
Chứng minh. Theo tính chất của phép chiếu thì h là ánh xạ đơn trị từ C vào

C . Do (i) trong Mệnh đề 1.2.3 ta có:
1
x∗ = h(x∗ ) := pC (x∗ − F (x∗ )),
τ
23


khi và chỉ khi

1
x∗ − x∗ + F (x∗ ), x − x∗
τ

≥ 0, ∀x ∈ C .

Bất đẳng thức cuối cùng đúng khi và chi khi F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C ,
tức là x∗ là nghiệm của bài toán (VIP).
Hệ quả 2.2.1. (xem [1], trang 74) Nếu C là tập lồi, compact và F liên tục
trên C thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) có nghiệm.
Chứng minh. Do phép chiếu lên một tập lồi, đóng là liên tục và do F liên tục
trên C nên h là ánh xạ liên tục trên C , vì nó là hợp của hai ánh xạ liên tục.
Do h là ánh xạ liên tục từ C vào C nên theo Định lý điểm bất động

Brouwer thì h tồn tại điểm bất động. Theo Mệnh đề 2.2.5 thì điểm bất động
này là nghiệm của bài toán (VIP).
Mệnh đề 2.2.6. (xem [1], trang 75) Giả sử C là tập lồi, đóng và ánh xạ

F : C → Rn đơn điệu mạnh trên C với hệ số µ và Lipschitz trên C với hằng
số L. Khi đó nếu τ >

L2
2µ ,

thì

1
h(x) := pC (x − F (x))
τ
là ánh xạ co trên C với hệ số co

δ=

2µ L2
1−
+ 2.
τ
τ

Chứng minh. Do tính không giãn của phép chiếu, nên

h(x) − h(y)

2

1
1
≤ x − F (x) − (y − F (y))
τ
τ
24

2