CÁC TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH của NGHIỆM SUY RỘNG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH cấp HAI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

-----------------------

NGÔ THỊ PHƯƠNG THANH

CÁC TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH
CỦA NGHIỆM SUY RỘNG PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:

60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. HÀ TIẾN NGOẠN

Hà Nội – Năm 2016


Mục lục
Mở đầu
1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Sobolev . . . . .
1.1.1 Không gian W k,p (Ω)

1.1.2 Các ví dụ . . . . . .
1.1.3 Không gian W0k,p (Ω)
1.2 Không gian Ho¨lder . . . . .
1.3 Các định lý nhúng . . . . . .
1.4 Nguyên lý loại trừ Fredholm

2

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

2 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng
2.1 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Nguyên lý cực đại yếu . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Tính giải được của bài toán Dirichlet . . . . . . . .
2.2 Tính khả vi của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Tính khả tích của đạo hàm cấp hai bên trong miền
2.2.2 Tính khả tích của đạo hàm cấp cao bên trong miền
2.3 Tính bị chặn toàn cục của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . .
2.4 Bất đẳng thức Harnack yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Nguyên lý cực đại mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Tính liên tục Ho¨lder của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Tính liên tục Ho¨lder bên trong miền . . . . . . . . .
2.7.2 Tính liên tục Ho¨lder trong lân cận của biên . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

5
5
5
5
6
7
8
17

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

19
19
19
20
23
25
25
28
29
34
34
35
36
36
38
43
44

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai, việc
nghiên cứu về tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
tuyến tính cấp hai là hết sức cần thiết. Thông thường các phương trình được
suy ra từ các định luật bảo toàn, nên chúng thường được viết dưới dạng bảo
toàn. Điều này cho phép định nghĩa lớp nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet
cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn mà trong đó độ trơn
của các hệ số và của nghiệm được đòi hỏi một cách tối thiểu.
Lớp nghiệm suy rộng thường được tìm trong các không gian Sobolev thích
hợp. Sau khi đã chỉ ra được sự tồn tại của nghiệm suy rộng, thì các nghiên cứu
về các tính chất định tính của chúng là rất cần thiết, và đã được nhắc đến trong
tài liệu tham khảo.
Để tìm hiểu những vấn đề đó, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình
là "Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng phương trình elliptic
tuyến tính cấp " .
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là chương 8 của cuốn sách chuyên khảo
[2].

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
tuyến tính cấp hai và các tính chất định tính của nghiệm suy rộng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai
Nguyên lý cực đại
Tính khả vi của nghiệm yếu
Tính bị chặn toàn cục của nghiệm yếu

2


- Bất đẳng thức Harnack
- Tính liên tục Ho¨lder của nghiệm yếu.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nội dung chủ yếu của luận văn là nghiên cứu các tính chất định tính của
nghiệm suy rộng như nguyên lý cực đại, các đánh giá địa phương và toàn cục
đối với nghiệm suy rộng.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức về
không gian Sobolev, không gian Ho¨lder, các định lý nhũng và Nguyên lý loại trừ
Fredholm.
Chương 2. Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng. Đây là nội
dung chính của luận văn, trình bày khái niệm nghiệm suy rộng, các điều kiện
đủ để nghiệm suy rộng tồn tại và duy nhất, nghiên cứu các tính chất định tính
của nghiệm suy rộng như nguyên lý cực đại, bất đẳng thức Harnack, tính liên
tục Ho¨lder.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được
một nghiên cứu tổng quan về các tính chất định tính của nghiệm suy rộng của
phương trình elliptic tuyến tính cấp hại.

3


Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chỉ bảo nghiêm
khắc của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn
cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi
muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô của Viện Toán Học, cũng như các thầy
cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 - 2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối
với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, tháng 3 năm 2016
Tác giả luận văn
Ngô Thị Phương Thanh

4


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Không gian Sobolev
Không gian W k,p (Ω)

Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên ∂Ω, không gian W k,p (Ω) được định
nghĩa như sau
Với k ∈ N; 1 ≤ p < +∞, đặt
W k,p (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u ∈ Lp (Ω); ∀α : |α| ≤ k}

(1.1)

trong đó α = (α1 , α2 , ..., αn ); αj ∈ N; |α| = α1 +α2 +...+αn và Dα u = Dxα11 Dxα22 ...Dxαnn ;
∂
.
Dxj = ∂x
j
Khi đó chuẩn của u ∈ W k,p (Ω) được định nghĩa bởi

 p1
u

k;p;Ω

= u

W k,p (Ω)

|Dα u|p dx .

(1.2)

p
.
Lp (Ω)

(1.3)

=

Ω |α|≤k

Một chuẩn khác tương đương là
u

p
W k,p (Ω)

Dα u

=
|α|≤k

Nhận xét: Nếu k1 < k2 thì W k2 ,p ⊂ W k1 ,p .
1.1.2

Các ví dụ

Ví dụ 1.1.1. Cho k = 0. Khi đó, ta có:
W 0,p = Lp (Ω)

.

5


Ví dụ 1.1.2. Cho k = 1. Khi đó, ta có:
W 1,p (Ω) = u(x); u(x) ∈ Lp (Ω); Dxj u ∈ Lp (Ω), ∀j ,

và

n

u

p
W 1,p (Ω)

= u(x)

p
Lp (Ω)

Dxj u

+

p
.
Lp (Ω)

j=1

Ví dụ 1.1.3. Cho k = 2. Khi đó, ta có:
W 2,p (Ω) = u(x) ∈ Lp (Ω); Dxj u, Dxj xk u ∈ Lp (Ω) ,

và

n

n

u

p
W 2,p (Ω)

= u(x)

p
Lp (Ω)

Dxj u

+
j=1

1.1.3

p
Lp (Ω)

Dxj xk u

+

p
.
Lp (Ω)

j,k=1

Không gian W0k,p (Ω)

Không gian Banach W0k,p (Ω) phát sinh do việc lấy bao đóng của C0k (Ω) trong
W k,p (Ω). Các không gian W k,p (Ω), W0k,p (Ω) không trùng nhau đối với miền Ω bị
chặn.
Đặc biệt, khi p = 2, W k,2 (Ω), W0k,2 (Ω) (đôi khi kí hiệu là H k (Ω), H0k (Ω) là các
không gian Hilbert với tích vô hướng
Dα uDα vdx.

(u, v)k =

(1.4)

Ω |α|≤k

Dùng sự kiện tích hữu hạn và các không gian con đóng của không gian Banach
tách được (phản xạ) là các không gian Banach tách được (phản xạ) ta suy ra
không gian W k,p (Ω), W0k,p (Ω) là tách được với 1 ≤ p < ∞ (phản xạ nếu 1 < p < ∞).
Kí hiệu: W0k,p (Ω) = C0k (Ω).
Khi đó
W0k,p (Ω) = u(x); u(x) ∈ W k,p (Ω), Dα u |∂Ω = 0, |α| ≤ k − 1 .

(1.5)

Trường hợp khi p = +∞, không gian Sobolev và Lipchitz có mối quan hệ với
nhau, cụ thể là:
k,∞
Wloc

(Ω) = C k−1,1 (Ω) với Ω tùy ý

W k,∞ (Ω) = C k−1,1 (Ω) với Ω đủ trơn.

6


1.2

Không gian H¨
older

Cho x0 là một điểm trên Rn và f là hàm được định nghĩa trên tập bị chặn
D chứa x0 . Nếu 0 < α < 1, ta nói f là liên tục Ho¨lder với lũy thừa α tại x0 nếu
đẳng thức
[f ]α;x0 = sup
D

|f (x) − f (x0 )|
|x − x0 |α

(1.6)

là hữu hạn.
Ta gọi [f ]α;x0 là α – hệ số Ho¨lder của f tại x0 đối với tập D. Rõ ràng nếu f liên
tục Ho¨lder tại x0 thì f liên tục tại x0 . Khi (1.6) xác định với α = 1, f được gọi
là liên tục Lipschitz tại x0 .
Ví dụ 1.2.1. Hàm f trên B1 (0) được cho bởi f (x) = |x|β , với 0 < β < 1, là liên
tục Ho¨lder với lũy thừa β tại x = 0, và liên tục Lipschitz khi β = 1.
Chú ý sự liên tục Ho¨lder sẵn sàng được mở rộng trên toàn tập D (tập D không

nhất thiết là bị chặn). Ta gọi f là liên tục Ho¨lder đều với lũy thừa α trong D
nếu đẳng thức
|f (x) − f (y)|
,0 < α
|x − y|α
x,y∈D

[f ]α;D = sup

1,

(1.7)

là hữu hạn. Và f là liên tục Ho¨lder địa phương với lũy thừa α trong D nếu f
là liên tục Ho¨lder đều với lũy thừa α trên tập compact D. Hai khái niệm này
hiển nhiên trùng nhau khi D compact. Hơn nữa, chú ý rằng liên tục Ho¨lder địa
phương có đặc tính mạnh hơn liên tục Ho¨lder theo từng điểm trong các tập con
compact. Một hàm liên tục Ho¨lder địa phương sẽ liên tục Ho¨lder theo từng điểm
trong tập D, miễn là hàm đó bị chặn trong D.
Sự liên tục Ho¨lder được chứng tỏ là tiêu chuẩn định lượng của tính liên tục.
Điều này cũng phù hợp với phương trình vi phân cục bộ. Hiển nhiên, đây còn
là sự khả vi phân đoạn. Điều này đã mở rộng ra không gian các hàm khả vi.
Cho Ω là tập mở trong Rn và k là số nguyên không âm. Không gian C k,α Ω
(C k,α (Ω)) được định nghĩa như những không gian con của C k Ω (C k (Ω)), bao
gồm các hàm có đạo hàm riêng thứ k là liên tục đều Ho¨lder (liên tục Ho¨lder
địa phương) với lũy thừa α trong Ω. Để đơn giản, ta kí hiệu: C 0 (Ω) = C(Ω);
C 0,α Ω = C α Ω ; C 0,α (Ω) = C α (Ω) với 0 < α < 1.
Hơn nữa, bằng cách đặt C k,0 Ω = C k Ω ; C k,0 (Ω) = C k (Ω), ta có không
gian C k (Ω)(C k (Ω)) nằm trong không gian C k,α (Ω)(C k,α (Ω)) với 0 ≤ α ≤ 1. Ta
cũng kí hiệu C0k,α (Ω) là không gian các hàm trên C k,α (Ω) và compact trong Ω.

7


Ta đặt:
[u]k,0;Ω = Dk u

0;Ω

[u]k,α;Ω = Dk u

α;Ω

= sup sup Dβ u , k = 0, 1, 2, ...
|β|=k Ω

= sup Dβ u

α;Ω

|β|=k

(1.8)

.

Với những nửa chuẩn này, ta định nghĩa các chuẩn liên kết sau:
k

k

u

C k (Ω)

= |u|k;Ω = |u|k,0;Ω =

C k,α (Ω)

0;Ω

,

(1.9)

j=0

j=0

u

Dj u

[u]j,0;Ω =

= |u|k,α;Ω = |u|k;Ω + [u]k,α;Ω = |u|k,Ω + Dk u

α;Ω

,

lần lượt theo thứ tự trên không gian C k (Ω), C k,α (Ω) . Nếu Ω bị chặn, với
d = diam Ω, ta đặt:
k

u

C k (Ω)

k
j

= |u|k;Ω =

dj D j u

d [u]j,0;Ω =
j=0

u

C k,α (Ω)

0;Ω

;

(1.10)

j=0

= |u|k,α;Ω = |u|k;Ω + dk+α [u]k,α;Ω = |u|k;Ω + dk+α Dk u

α;Ω

.

Không gian C k (Ω), C k,α (Ω) lần lượt cùng với các chuẩn trên là các không gian
Banach.
Chú ý rằng tích của các hàm liên tục Ho¨lder cũng là liên tục Ho¨lder. Thực
tế, nếu u ∈ C α (Ω), v ∈ C β (Ω) thì uv ∈ C γ (Ω) với γ = min(α, β) và

1.3

uv

C γ (Ω)

≤ max(1, dα+β−2γ ) u

uv

C γ (Ω)

≤ u

C α (Ω)

v

C α (Ω)

v

C β (Ω) ;

C β (Ω) .

Các định lý nhúng

Định lý 1.3.1. Giả sử Ω là miền bị chặn. Khi đó ta có các phép nhúng sau
np

W01,p (Ω)

⊂

với p < n
với p > n.

L n−p (Ω)
C 0 (Ω)

Hơn nữa, tồn tại một hằng số c = c(n, p) sao cho với mọi u ∈ W01,p (Ω) thì:
u

np
n−p

≤ c Du
1

p

với p < n,

p

với p > n.

1

sup |u| ≤ c |Ω| n − p Du

(1.11)

Chứng minh. Chúng ta thiết lập đánh giá (1.11) cho các hàm C01 (Ω)
Trường hợp p = 1
8


Rõ ràng với u bất kì thuộc C01 (Ω) và i bất kì, 1 ≤ i ≤ n, thì
xi

|u(x)| ≤

|Di u| dxi ,
−∞

do đó:


1
 n−1

+∞

n

n

|Di u| dxi 

|u(x)| n−1 ≤ 

.

(1.12)

i=1−∞

Bất đẳng thức (1.12) bây giờ được lấy tích phân liên tục với mỗi biến xi , i = 1, .., n.
Sau đó áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder tổng quát cho m = p1 = ... = pm = n − 1
cho mỗi tích phân, ta có:

 n1
n

u

n

n−1

|Di u| dx

≤

≤

1
n

i=1 Ω
n

(1.13)

|Di u| dx
i=1

Ω

1
≤ √ Di u
n

1.

Do đó, bất đẳng thức (1.11) được thiết lập cho trường hợp p = 1.
Các trường hợp còn lại có thể nhận được bằng cách thay thế u bằng lũy thừa
của |u| trong đánh giá (1.13). Theo cách này chúng ta nhận được, với γ > 1

u

γ
≤√
n

n
n−1

|u|γ−1 . |Du| dx
Ω

γ
≤ √ |u|γ−1
n

p

. Du

do bất đẳng thức Ho¨lder.
Bây giờ với p < n, ta có thể chọn γ thỏa mãn:
γn
(γ − 1) p
=
,
n−1
p−1

tức là: γ = (n−1)p

n−p .
Và do vậy, ta được:
u

np
n−p

γ
≤ √ Du
n

như cần tìm.

9

p,

p


Trường hợp p>n
Với p > n ta viết:

√
n |u|
u=
Du p

và với |Ω| = 1, ta có:
uγ

n

≤ γ uγ−1

p

;n =

n
p
;p =
.
n−1
p−1

Do đó:
u

γn

1

1− γ1
p (γ−1)

1

1− γ1
pγ

≤ γγ u
≤ γγ u

vì |Ω| = 1.

Cho phép thay thế γ bằng trị số δ ν , ν = 1, 2, ... mà δ =
có được:
u

n δν

≤ δ νδ

−ν

u

1−δ −ν
n δ ν−1

,

n
p

> 1. Do đó, chúng ta

ν = 1, 2, ...

Lặp lại ν = 1 và dùng (1.13), ta nhận được ν bất kì:
u

δν

νδ −ν

≤δ

≡ X.

Do vậy, nếu ν → ∞, ta được:
sup u ≤ X ,
Ω

và do đó:

X
sup |u| ≤ √ Du
n
Ω

p.
1

Để bỏ hạn chế |Ω| = 1 , ta xét biến đổi yi = |Ω| n xi .
Ta có:
1
1
X

sup |u| ≤ √ |Ω| n − p Du
n
Ω

p

như cần tìm.
Để mở rộng đánh giá (1.11) cho u tùy ý thuộc W01,p (Ω), ta giả sử {um } là một
dãy các hàm của C01 (Ω) tiến đến u trong W 1,p (Ω). Áp dụng đánh giá (1.11) cho
np
hiệu um1 − um2 , ta thấy rằng dãy {um } sẽ là dãy Cauchy trong L n−p (Ω) với p < n
và trong C 0 Ω với p > n. Do vậy, hàm giới hạn u sẽ nằm trong không gian
muốn có và thỏa mãn (1.11).

10


Chú ý: Hằng số tốt nhất thỏa mãn (1.11) cho trường hợp p < n là:
n!Γ (n/2)
1
C=− √
n π 2Γ (n/p) Γ (n + 1 − n/p)
n (p − 1)
γ=
n−p

1
n

γ 1−1/p ;

Khi p = 1, hằng số trên trở thành hằng số đẳng chu nổi tiếng n−1 (ωn )−1/n . Một
không gian Banach B1 được gọi là nhúng liên tục trong không gian Banach B2
(kí hiệu: B1 → B2 ) nếu tồn tại một ánh xạ bị chặn liên tục 1 ÷ 1 : B1 → B2 .
Định lý 1.3.1 có thể được phát biểu là các phép nhúng W01,p (Ω) → Lnp/(n−p) (Ω)
nếu p < n, và W01,p (Ω) → C 0 (Ω) nếu p > n. Bằng cách lập lại kết quả của Định
lý 1.3.1 k lần, chúng ta đạt được mở rộng của không gian W0k,p (Ω).
Hệ quả 1.3.1.
W0k,p (Ω)

Lnp/(n−kp) (Ω)
C m (Ω)

nếu kp < n
nếu 0 ≤ m < k − np .

Trường hợp thứ hai là hệ quả của trường hợp thứ nhất cùng với trường hợp
p > n trong Định lý 1.3.1.
Các đánh giá (1.11) và mở rộng của chúng đối với không gian W0k,p (Ω) chỉ ra
rằng một chuẩn trên W0k,p (Ω) có thể được xác định bởi:

1/p
u

W0k,p (Ω)

|Dα u|p dx

=

.

(1.14)

Ω |α|=k

Nói chung, W0k,p (Ω) không thể thay thế bởi W k,p (Ω) trong Hệ quả 1.3.1. Tuy
nhiên, thay thế này có thể thực hiện cho một lớp lớn các miền Ω bao gồm, chẳng
hạn các miền với biên liên tục Lipchitz. Tổng quát hơn, nếu Ω thỏa mãn điều
kiện nón trong đều (có nghĩa là tồn tại một hình nón cố định KΩ sao cho ∀x ∈ Ω
là đỉnh của hình nón KΩ (x) ⊂ Ω và giống như KΩ ), và có một phép nhúng:
W k,p (Ω)

Lnp/(n−kp) (Ω)
m (Ω)
CB

nếu kp < n
nếu 0 ≤ m < k − np .

(1.15)

trong đó CBm (Ω) = u ∈ C m (Ω) | Dα u ∈ L∞ (Ω) với |α| ≤ m .
Các kết quả nhúng của phần trước có thể thu được bằng cách khác và hoàn
thiện thông qua việc sử dụng đánh giá thế vị nào đó. Cho µ ∈ (0; 1] và định
nghĩa toán tử Vµ trên L1 (Ω) là thế vị Riesz sau đây
|x − y|n(µ−1) f (y)dy.

(Vµ f )(x) =
Ω

11

(1.16)


Toán tử Vµ được xác định tốt và ánh xạ L1 (Ω) vào chính nó sẽ xuất hiện như
một hệ quả phụ của bổ đề tiếp theo. Đầu tiên, ta nhận thấy bằng cách đặt f ≡ 1
trong (1.16),
Vµ 1 ≤ µ−1 ωn1−µ | Ω |µ .
(1.17)
Chọn R > 0 để |Ω| = |BR (x)| = ωn Rn . Khi đó:
|x − y|n(µ−1) dy ≤
Ω

|x − y|n(µ−1) dy
BR(x)

= µ−1 ωn Rnµ
= µ−1 ωn1−µ |Ωµ | .

Bổ đề 1.3.1. Toán tử Vµ , ánh xạ liên tục Lp (Ω) vào Lq (Ω) với q bất kì, 1 ≤ q ≤ ∞
thỏa mãn:
0 ≤ δ = δ(p, q) = p−1 − q −1 < µ.
(1.18)
Hơn nữa, với mọi f ∈ Lp (Ω),
Vµ f

q

≤

1−δ

1−δ
µ−δ

ωn1−µ |Ω|µ−δ f

(1.19)

p.

Chứng minh. Chọn r ≥ 1 sao cho:
r−1 = 1 + q −1 − p−1 = 1 − δ

Khi đó h(x − y) = |x − y|n(µ−1) ∈ Lp (Ω), và từ (1.17) ta thu được
h

r

≤

1−δ

1−δ
µ−δ

ωn1−µ |Ω|µ−δ .

Đánh giá (1.19) có thể thu được bằng cách phỏng theo chứng minh thông thường
của bất đẳng thức Young với phép tích chập trong Rn . Viết:
h |f | = hr/q hr(1−1/p) |f |p/q |f |pδ ,

ta có thể đánh giá bằng bất đẳng thức Ho¨lder
|Vµ f (x)| ≤





hr (x − y) |f (y)|p dy
Ω

1/q 
 




hr (x − y)dy
Ω

12

1−1/p 






|f (y)|p dy
Ω

δ



.


Do đó:
1/r

Vµ f

q

r

≤ sup

h (x − y)dy

f

Ω

≤

1−δ
µ−δ

p

1−δ

ωn1−µ |Ω|µ−δ f

p.

Bổ đề 1.3.2. Cho f ∈ Lp (Ω) và g = V1/p f . Khi đó tồn tại các hằng số c1 và c2
chỉ phụ thuộc vào n và p sao cho:
exp

g
c1 f

dx ≤ c2 |Ω| , p =
p

p
.
p−1

(1.20)

Ω

Chứng minh. Từ Bổ đề 1.3.1, ta nhận được với mọi q ≥ p
1−1/p

g

q

≤ q 1−1/p+1/q ωn

|Ω|1/q f

p,

do đó,
q/p

|g|q dx ≤ q 1+q/p ωn

q
p

|Ω| f

Ω

và hơn nữa với q ≥ p − 1
|g|p q dx ≤ p q ωn p q f

p
p

q

|Ω| .

Ω

Do đó:
N

Ω

N0

1
k!

|g|
c1 f

k

pk

dx ≤ p |Ω|
p

p ωn
cp1

kk
, N0 = [p] .
(k − 1)!

Chuỗi ở vế phải hội tụ với điều kiện cp1 > eωn p , từ định lý hội tụ đơn điệu ta có
đánh giá (1.20).

Các bổ đề tiếp theo nhằm làm rõ mối liên hệ giữa đạo hàm yếu và các thế vị
ở trên.
Bổ đề 1.3.3. Cho u ∈ W01,1 (Ω). Khi đó:
u(x) =

(xi − yi )Di u(y)
dy.
|x − y|n

1
nωn
Ω

13

(1.21)


Chứng minh. Giả sử rằng u ∈ C01 (Ω) và mở rộng u bằng cách cho u = 0 bên ngoài
Ω. Khi đó, với vectơ ω bất kì có |ω| = 1,
∞

u(x) = −

Dr u(x + rω)dr.
0

Tích phân đối với ω , ta có được:
∞

1
u(x) = −
nωn

Dr u(x + rω)drdω
0 |ω|=1

=

(xi − yi )Di u(y)
dy
|x − y|n

1
nωn
|Ω|

và (1.21) có được từ Bổ đề 1.3.1 và thực tế rằng C01 (Ω) là trù mật trong W01,1 (Ω).
Ngoài ra, ta còn có được với u ∈ W01,1 (Ω)
|u| ≤

1
V |Du|

nωn 1/n

(1.22)

Kết hợp Bổ đề 1.3.1 và bất đẳng thức (1.22), chúng ta có ngay phép nhúng
W01,p (Ω) → Lp (Ω) với p−1 − q −1 < n−1 , điều này gần như đã là kết luận của Định
lý 1.3.1. Trên thực tế, phiên bản yếu hơn sẽ phù hợp cho mục đích của phần
này. Khi kết hợp Bổ đề 1.3.2 với (1.22), ta có được một kết quả chính xác hơn
của trường hợp p = n được thể hiện trong định lý sau đây.
Định lý 1.3.2. Cho u ∈ W01,n (Ω). Khi đó tồn tại các hằng số c1 , c2 chỉ phụ thuộc
vào n, sao cho:
exp

|u|
c1 Du

n/(n−1)

dx ≤ c2 |Ω| .

(1.23)

n

Ω

Chú ý: Đánh giá (1.22) dễ dàng tổng quát cho các đạo hàm yếu bậc cao hơn.
Ta có, cho u ∈ W0k,1 (Ω),
|u| ≤

1
V
Dk u ,
(k − 1)!nωn k/n

(1.24)

và dùng Bổ đề 1.3.2 ta có được một mở rộng của Định lý 1.3.2. Cụ thể là, tồn tại
các hằng số c1 , c2 chỉ phụ thuộc vào n và k , sao cho nếu u ∈ W0k,p (Ω) với n = kp,
14


thì

p/(p−1)

exp

|u|
Dk u

c1

dx ≤ c2 |Ω| .

(1.25)

n

Ω

Trường hợp p > n của Định lý nhúng Sobolev có thể được chính xác hóa thông
qua bổ đề sau.
Bổ đề 1.3.4. Cho Ω lồi và u ∈ W 1,1 (Ω). Khi đó:
|u(x) − uS | ≤

dn
n |S|

|x − y|1−n |Du(y)| dy,
Ω

hầu khắp nơi trên Ω, trong đó:
uS =

1
|S|

udx,

d = diam Ω (đường kính của miền Ω),

S

và S là tập con đo được bất kì của Ω.
Chứng minh. Cho u ∈ C 1 (Ω), x, y ∈ Ω:
|x−y|

u(x) − u(y) = −

Dr u(x + rω)dr,

ω=

y−x
.
|y − x|

0

Tích phân theo y trên S , ta được:
|x−y|

|S| (u(x) − uS ) = −

dy

Dr u(x + rω)dr.
0

S

Kí hiệu
V (x) =

|Dr u(x)| , x ∈ Ω
0,
x∈
/ Ω.

15

(1.26)


Do đó, ta có:
∞

1
|u(x) − uS | ≤
|S|

V (x + rω)dr

dy
0

|x−y|∞

d

1
=
|S|

V (x + rω)ρn−1 dρdωdr
0 |ω|=1 0
∞

=

dn
n |S|

V (x + rω)dωdr
0 |ω|=1

=

dn
n |S|

|x − y|1−n |Dr u(y)| dy.
Ω

Ta có thể chứng minh Định lý nhúng của Morrey.
Định lý 1.3.3. Cho u ∈ W01,p (Ω), p > n, khi đó u ∈ C γ Ω , trong đó γ = 1 − n/p.
Hơn nữa, với hình cầu bất kì B = BR - hình cầu bán kính R,
osc u ≤ CRγ Du p ,

Ω∩BR

(1.27)

trong đó C = C(n, p), osc u = sup |u(x) − u(y)|.
ω

x,y∈ω

Chứng minh. Kết hợp đánh giá (1.26) và (1.19), cho S = Ω = B, q = ∞ và
µ = n−1 , ta có:
|u(x) − uB | ≤ C(n, p)Rγ Du

p

(hầu khắp nơi (Ω ∩ B)).

Từ đó suy ra kết quả vì:
|u(x) − u(y)| ≤ |u(x) − uB | + |u(y) − uB |
≤ 2C(n, p)Rγ Du

p

(hầu khắp nơi (Ω ∩ B)).

Kết hợp Định lý 1.3.1 và Định lý 1.3.3, với u ∈ W01,p (Ω) và p > n, ta có đánh
giá:
(1.28)
|u|0,γ ≤ C 1 + (diam Ω)γ Du p

16


Hơn nữa, kết quả của các Định lý 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3 có thể tóm lược theo sơ đồ
sau đây:
Lnp/(n−p) (Ω),
W01,p (Ω) → Lϕ (Ω),

p

ϕ = exp |t|n/(n−1) − 1, p = n
n
λ = 1 − , p > n.
p

Cλ Ω ,

trong đó Lϕ (Ω) là kí hiệu của không gian Orlicz với hàm ϕ xác định.
Từ Bổ đề 1.3.1 và 1.3.3 ta có: Với u ∈ W01,p (Ω), 1 ≤ p < ∞
u

p

1
|Ω|
ωn

≤

1/n

Du

(1.29)

p.

Trong khi mà từ Bổ đề 1.3.1 và 1.3.4 ta có: với u ∈ W 1,p (Ω) và Ω lồi:
u − uS

p

≤

ωn
|S|

1−1/n

dn Du

p,

(1.30)

d = diam Ω là đường kính của miền Ω.

Định lý 1.3.4. Các không gian W01,p (Ω) được nhúng compact
i) vào trong các không gian Lq (Ω) với mọi q < np/(n − p) nếu p < n và
ii) vào trong C 0 Ω nếu p > n.
Bổ đề 1.3.5. Giả sử u ∈ W 1,p (Ω). Khi đó ∆h u ∈ Lp (Ω ) với mọi Ω ⊂⊂ Ω thỏa
mãn h < dist(Ω , ∂Ω) và ta có:
∆h u

Lp (Ω )

≤ Di u

Lp (Ω) .

Bổ đề 1.3.6. Cho u ∈ Lp (Ω), 1 < p < ∞ và giả sử tồn tại hằng số K sao
cho ∆h u ∈ Lp (Ω ) và ∆h u Lp (Ω ) ≤ K với mọi h > 0 và Ω ⊂⊂ Ω thỏa mãn
h < dist(Ω , ∂Ω). Khi đó đạo hàm yếu Di u tồn tại và thỏa mãn Di u

1.4

Lp (Ω)

≤ K.

Nguyên lý loại trừ Fredholm

Cho H1 và H2 là các không gian Hilbert. Một ánh xạ T : H1 → H2 được gọi là
compact (hoặc liên tục hoàn toàn) nếu ánh xạ T biến các tập bị chặn trong H1
thành các tập tiền compact trong H2 hoặc ánh xạ T biến các dãy bị chặn trong
H1 thành các dãy trong H2 mà có dãy con hội tụ. Từ đấy kéo theo các ánh xạ
tuyến tính compact thì cũng liên tục nhưng điều ngược lại thì không đúng trừ
khi H2 là không gian hữu hạn chiều. Nguyên lý Fredholm (hoặc lý thuyết Riesz
17


- Schauder) liên quan đến các toán tử tuyến tính compact từ không gian Hilbert
H vào chính nó và là một mở rộng của lý thuyết các ánh xạ tuyến tính trong
các không gian hữu hạn chiều.
Giả sử T là toán tử tuyến tính compact từ H và H. Khi đó, toán tử liên hợp
∗
T cũng là tuyến tính compact. Ta có các định lý sau.
Định lý 1.4.1. Các không gian bao gồm nghiệm của các phương trình thuần
nhất
x − T x = 0,

x − T ∗ = 0,

là các không gian hữu hạn chiều trong H và có cùng số chiều.
Định lý 1.4.2. Cho T là ánh xạ tuyến tính compact của không gian Hilbert H
vào chính nó. Khi đó, ta có Nguyên lý loại trừ Fredholm sau đây
(i) hoặc phương trình thuần nhất x−T x = 0 có nghiệm không tầm thường x ∈ H
(ii) hoặc với mỗi y ∈ H, phương trình x − T x = y với T ∗ có nghiệm duy nhất
x ∈ H. Hơn nữa, toán tử (I − T )−1 tồn tại và bị chặn.
Định lý 1.4.3. Cho H là không gian Hilbert và T là ánh xạ tuyến tính compact
từ H vào chính nó. Khi đó, tồn tại một tập đếm được Λ ⊂ R không có điểm giới
hạn ngoại trừ khả năng λ = 0, như vậy nếu λ = 0, λ ∈
/ Λ thì các phương trình
λx − T x = y, λx − T ∗ x = y

(1.31)

xác định được duy nhất nghiệm x ∈ H, với mọi y ∈ H, và các ánh xạ nghịch đảo
(λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 là bị chặn. Nếu λ ∈ Λ, các không gian nghiệm của các
ánh xạ λI − T, λ − T ∗ có số chiều hữu hạn dương và phương trình (1.31) là giải
được nếu và chỉ nếu y trực giao với không gian nghiệm của λI − T ∗ trong trường
hợp thứ nhất và trực giao với không gian nghiệm của λI − T trong trường hợp
còn lại.

18


Chương 2

Các tính chất định tính của nghiệm
suy rộng

2.1
2.1.1

Nghiệm suy rộng
Định nghĩa

Cho toán tử L có dạng
Lu = Di aij (x) Dj u + bi (x) u + ci (x) Di u + d (x) u

(2.1)

các hệ số aij , bi , ci , d (i, j = 1, ..., n) giả sử là các hàm đo được trong miền bị
chặn Ω ⊂ Rn . Ta quy ước rằng phép cộng được lấy theo các chỉ số lặp. Nếu giả
sử hàm u khả vi yếu và các hàm aij Dj u + bi u, ci Di u + du, i = 1, ..., n khả tích địa
phương. Khi đó, u là nghiệm của Lu = 0(≥ 0, ≤ 0) trong Ω nếu
aij Dj u + bi u Dv − ci Di u + du v dx = 0 (≤ 0, ≥ 0)

L (u, v) =

(2.2)

Ω

với mọi hàm không âm v ∈ C01 (Ω). Nếu các hệ số của L khả tích địa phương và
hàm u ∈ C 2 (Ω) thì từ (2.2) suy ra Lu = 0 (≥ 0, ≤ 0) theo nghĩa cổ điển cũng thỏa
mãn các quan hệ trong chiều suy rộng. Hơn nữa, nếu các hệ số aij , bi có các đạo
hàm riêng khả tích địa phương, khi đó nghiệm suy rộng u ∈ C 2 (Ω) còn được gọi
là nghiệm cổ điển.
Định nghĩa 2.1.1. Cho f i , g, i = 1, .., n là các hàm thuộc L2 (Ω). Khí đó, hàm
u(x) ∈ W 1,2 (Ω) được gọi là nghiệm yếu hay nghiệm suy rộng của phương trình

không thuần nhất
Lu = g + Di f i
(2.3)

19


trong Ω nếu đẳng thức tích phân sau được thỏa mãn
f i Di v − gv dx với ∀v ∈ W01,2 (Ω) .

L (u, v) = F (u) =

(2.4)

Ω

Ta thấy nghiệm cổ điển trong (2.3) cũng là nghiệm suy rộng và một nghiệm
suy rộng trong C 2 (Ω) cũng là nghiệm cổ điển khi các hệ số của L là trơn một
cách thích hợp.
Giả sử L là elliptic trong Ω, tức là tồn tại số dương λ sao cho
aij (x) ξi ξj ≥ λ |ξ|2 với ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn .

(2.5)

Ta giả sử L có các hệ số bị chặn, tồn tại một vài hằng số Λ và ν ≥ 0 với ∀x ∈ Ω,
ta có:
aij (x)

2

≤ Λ2 ; λ−2

bi (x)

2

+ ci (x)

2

+ λ−1 |d (x)| ≤ ν 2 .

(2.6)

Hàm u thuộc không gian Sobolev W 1,2 (Ω) là nghiệm của bài toán Dirichlet
Lu = g + Di f i , u = ϕ trên ∂Ω nếu u là nghiệm suy rộng của phương trình (2.3),
ϕ ∈ W 1,2 (Ω) và u − ϕ ∈ W01,2 (Ω).
Hàm v trong (2.2) và (2.4) được gọi là hàm thử. Từ điều kiện (2.6), ta có:
aij Dj uDi v + bi uDi v + ci vDi u + |duv| dx

L (u, v) ≤

(2.7)

Ω

≤C u

W 1,2 (Ω)

v

W 1,2 (Ω)

(bất đẳng thức Schwarz).

Nếu cố định u ∈ W 1,2 (Ω), ánh xạ v → L (u, v) là phiếm hàm tuyến tính bị chặn
trên W01,2 (Ω). Bởi vậy, tính đúng đắn của (2.2) khi v ∈ C01 (Ω) suy ra tính đúng
đắn của (2.2) khi v ∈ W01,2 (Ω).
Đánh giá (2.7) chỉ ra rằng toán tử L sinh ra qua (2.2) dạng song tuyến tính
L(u, v) trên không gian Hilbert W 1,2 (Ω),W01,2 (Ω). Cố định u ∈ W 1,2 (Ω), Lu có
thể được định nghĩa bởi phần tử của không gian đối ngẫu của W01,2 (Ω) bằng
cách đặt Lu (v) = L (u, v), v ∈ W01,2 (Ω). Theo Định lý Riesz, W01,2 (Ω) có thể đồng
nhất với không gian đối ngẫu của nó, và hiển nhiên toán tử L sinh ra ánh xạ
W 1,2 (Ω) → W01,2 (Ω). Do đó, tính giải được của bài toán Dirichlet trong phương
trình (2.3) được quy về tính nghịch đảo của ánh xạ này.

2.1.2

Nguyên lý cực đại yếu

Ta biết, nguyên lý cực đại yếu cổ điển có một mở rộng tự nhiên đến các toán
tử dạng bảo toàn. Để làm rõ hơn điều này, ta yêu cầu khái niệm bất đẳng thức
20


tại biên cho các hàm trong không gian Sobolev W 1,2 (Ω). Cụ thể, u ∈ W 1,2 (Ω)
thỏa mãn u ≤ 0 trên ∂Ω nếu phần dương của hàm u+ = max {u, 0} ∈ W01,2 (Ω) .
Nếu u liên tục trong lân cận ∂Ω, khi đó u ≤ 0 trên ∂Ω, và bất đẳng thức được
hiểu theo nghĩa cổ điển. Các định nghĩa còn lại của bất đẳng thức tại ∂Ω hiển

nhiên được kéo theo. Ví dụ: u ≥ 0 trên ∂Ω nếu −u ≤ 0 trên ∂Ω; u ≤ v ∈ W 1,2 (Ω)
trên ∂Ω nếu u − v ≤ 0 trên ∂Ω;
sup u = inf k|u ≤ k trên ∂Ω, k ∈ R ;

inf u = − sup (−u) .
∂Ω

∂Ω

∂Ω

Với nguyên lý cực đại yếu cổ điển, ta đặt điều kiện rằng hệ số của u là không
dương. Giá trị tương ứng trong (2.1) là Di bi + d nhưng vì đạo hàm Di bi không
nhất thiết phải là các hàm, tính không dương của giới hạn này cần làm rõ trong
nghiệm suy rộng, ta giả sử:
dv − bi Di v dx ≤ 0 ∀v ≥ 0, v ∈ C01 (Ω) .
Ω

(2.8)

Vì bi và d bị chặn, bất đẳng thức (2.8) sẽ vẫn đúng với mọi v ∈ W01,1 (Ω) không
âm.
Bây giờ ta khẳng định nguyên lý cực đại yếu sau đây.
Định lý 2.1.1. Cho u ∈ W 1,2 (Ω) thỏa mãn Lu ≥ 0 (≤ 0) trên Ω. Khi đó:
inf u ≥ inf u− ,

sup u ≤ sup u+
Ω

Ω

∂Ω

∂Ω

(2.9)

trong đó u− = max(−u, 0); u+ = max(u, 0).
Chứng minh. Nếu u ∈ W 1,2 (Ω), v ∈ W01,2 (Ω), ta có uv ∈ W01,1 (Ω) và Duv =
vDu + uDv . Ta có thể viết bất đẳng thức L (u, v) ≤ 0 dưới dạng:
aij Dj uDi v − bi + ci vDi u dx ≤
Ω

duv − bi Di (uv) dx ≤ 0
Ω

với mọi v ≥ 0 sao cho uv ≥ 0 (theo (2.8)). Do đó, vì các hệ số bị chặn trong
(2.6), ta có:
aij Dj uDi vdx ≤ 2λv
Ω

v |Du| dx

(2.10)

Ω

với mọi v ≥ 0 sao cho uv ≥ 0. Trong trường hợp đặc biệt bi + ci = 0, định lý được
chứng minh ngay khi v = max {u − l, 0} với l = sup u+ . Trong trường hợp chung,
∂Ω

ta chọn k sao cho l ≤ k < sup u, và ta đặt v = (u − k)+ (nếu không tồn tại k thỏa
Ω

mãn thì định lý được chứng minh). Theo quy tắc dây chuyền, ta có v ∈ W01,2 (Ω)
21


và
Du , u > k (v = 0) ,
0 u ≤ k (v = 0) .

Dv =

Do đó, từ (2.10) ta có:
aij Dj vDi vdx ≤ 2λν

v |dv| dx, τ = supp Dv ⊂ supp v.
τ

Ω

Vì vậy, từ tính elliptic nghiêm ngặt của L, (2.5),
|Dv|2 dx ≤ 2ν

v |Dv| dx ≤ 2ν v

2;τ

Dv

2.

τ

Ω

Bởi vậy:

Dv

2

≤ 2τ v

2;τ

.

Áp dụng bất đẳng thức Sobolev, Định lý 1.3.1, với n ≥ 3, ta có:

v

2n/(n−2)

≤C v

2;τ

≤ C |supp Dv|1/n v

2n/(n−2)

với C = C (n, ν), vì vậy:
|supp Dv| ≥ C −n .

Trong trường hợp n = 2,ta có bất đẳng thức trên với C = C (n, ν, |Ω|) từ bất thức
Sobolev nếu thay 2n/ (n − 2) bằng một số bất kỳ lớn hơn 2. Bởi vậy những bất
đẳng thức này phụ thuộc vào k tiến tới sup u.
Ω

Hàm u phải đặt supremum trên Ω trên tập có độ đo dương, đồng thời Du = 0.Từ
đó mâu thuẫn với bất đẳng thức trước nên sup u ≤ l.
Ω

Tính duy nhất nghiệm của bài toán suy rộng Dirichlet trong phương trình
(2.3) là hệ quả của Định lý 2.1.1.

Hệ quả 2.1.1. Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.5), (2.6) và (2.8). Cho
u ∈ W01,2 (Ω) thỏa mãn Lu = 0 trong Ω. Khi đó u = 0 trên Ω.

22


2.1.3

Tính giải được của bài toán Dirichlet

Định lý 2.1.2. Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.5), (2.6) và (2.8). Khi
đó với ϕ ∈ W 1,2 (Ω) và g, f i ∈ L2 (Ω) , i = 1, ..., n, bài toán Dirichlet suy rộng

Lu = g + Di f i trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω có nghiệm suy rộng và nghiệm này là duy
nhất.
Chứng minh. Định lý 2.1.2 sẽ được suy ra từ Nguyên lý loại trừ Fredholm đối
với toán tử L. Đầu tiên, ta quy bài toán Dirichlet về trường hợp ϕ = 0. Đặt
w = u − ϕ, từ (2.3) ta có

Lw = Lu − Lϕ
= g − ci Di ϕ − dϕ + Di f i − aij Dj ϕ − bi ϕ
= g + Di f i .

Từ điều kiện của L và ϕ, ta có g, f i ∈ L2 (Ω) , i = 1, ..., n và w ∈ W01,2 (Ω).
Bởi vậy, ta chứng minh được Định lý 2.1.2 trong trường hợp ϕ ≡ 0 Ta đặt
gv − f i Di v dx, v ∈ H. Ta có:
H = W01,2 (Ω) , g = g, f 1 , ..., f n và F (v) = −
Ω

|F (v)| ≤ g

2

v

W 1,2 (Ω)

nên ta có F ∈ H∗. Nếu song tuyến tính L được xác định bởi (2.2) là bức và bị
chặn trên H, ta có thể kết luận ngay sự tồn tại và duy nhất của nghiệm đối với
bài toán Dirichlet.
Bổ đề 2.1.1. Cho L thỏa mãn điều kiện (2.5) và (2.6). Khi đó:
L (u, u) ≥

λ
2

|Du|2 dx − λν 2
Ω

u2 dx.
Ω

Chứng minh.
aij Di uDj u + bi − ci uDi u − du2 dx

L (u, u) =
Ω

λ |Du|2 −

≥

λ
|Du|2 − λν 2 u2
2

Ω

=

λ
2

|Du|2 dx − λν 2
Ω

u2 dx.
Ω

23

(bất đẳng thức Schwar’s),

(2.11)


Với σ ∈ R, ta định nghĩa toán tử Lσ là Lσ = Lu − σu. Từ Bổ đề 2.1.1, ta thấy
Lσ là bức nếu σ đủ lớn hoăc |Ω| đủ nhỏ. Để tiếp tục, ta định nghĩa phép nhúng
I : H → H∗ bởi
Iu (v) =
uvdx, v ∈ H.
(2.12)
Ω

Từ đó, ta có:
Bổ đề 2.1.2. Ánh xạ I là compact.
Chứng minh. Ta có thể viết I = I1 I2 , vớiI2 : H → L2 (Ω) là phép nhúng tự nhiên
và I1 : L2 (Ω) → H∗ được xác định bởi (2.12). Theo tính compact, I2 là compact,
vì vậy I1 là liên tục hoàn toàn. Từ đó kéo theo I compact.
Tiếp tục, ta chọn σ0 sao cho Lσ0 là bị chặn và bức trên không gian Hilbert H.
Phương trình Lu = f với u ∈ H,F ∈ H∗ tương đương với phương trình
Lσ0 u + σ0 Iu = F.

Ta có, L−1
σ0 là ánh xạ liên tục 1-1 từ H∗ vào H. Áp dụng vào phương trình trên,
ta có phương trình tương đương
−1
u + σ0 L−1
σ0 Iu = Lσ0 F.

(2.13)

Ánh xạ T = −σ0 L−1
σ0 compact bởi Bổ đề 2.1.2 và do đó theo Nguyên lý loại trừ
Fredholm. Sự tồn tại của hàm u ∈ H thỏa mãn phương trình (2.13) là hệ quả
của tính duy nhất nghiệm của phương trình Lu = 0 trong H. Bằng kết quả về
sự duy nhất, kéo theo Định lý 2.1.2.
Ta định nghĩa toán tử liên hợp L∗ của L:
L∗ u = Di aij Dj u − ci u − bi Di u + du.

(2.14)

Vì L∗ (u, v) = L (u, v) với u, v ∈ H = W01,2 (Ω) nên L∗ là liên hợp của L trong
không gian Hilbert H. Thay L bởi Lσ , lập luận tương tự, ta thấy phương trình
−1
Lσ u = F sẽ tương đương với phương trình u + (σ0 − σ) L−1
σ0 Iu = Lσ0 F và ánh
xạ liên hợp T ∗ của ánh xạ compact Tσ = (σ0 − σ) L−1
σ0 I được cho bởi công thức
−1
∗
∗
Tσ = (σ0 − σ) Lσ0

I.

24