BDT các trường THPT tỉnh bình định, 2016 thầy nguyễn phú khánh

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1.

Biên tập: Nguyễn Phú Khánh

Cho a, b, c là các số thưc dương thỏa mãn abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

bc
a (b  c )
2



ca
b (a  c )
2



ab
c (a  b )
2

 Phân tích:
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 , khi đó min P 

3
2

 Lời giải:

Vì abc  1 nên đặt a 

1
1
1
x2
y2
z2
, b  , c   xyz  1 , khi đó biểu thức P 


x
y
z
yz xz yx

Bài toán trở thành: “ Cho x , y, z  0 thỏa mãn xyz  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ”
x2

BĐT Cô-si:

yz



yz
 x,
4

y2

xz



xz
 y,
4

yx
z
yx 4
z2

1
1
1
3
Suy ra P  ( x  y  z )  x  y  z  P  ( x  y  z )  .3. 3 xyz 
2
2
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  a  b  c  1
3
khi a  b  c  1
2
 Bài tập tương tự:

Vậy min P 

Cho a, b, c là các số thưc dương thỏa mãn ab  bc  ca  3abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
1
1
P


2
2
a (3a 1)
b (3b 1)
c (3c 1) 2
TRƯỜNG THPT SỐ II PHÙ MỸ – BÌNH ĐỊNH
 Hướng dẫn:
1
1
1
x3
y3
z3
Đặt x  , y  , z   x  y  z  3, khi đó biểu thức P 


2
2
2
a
b
c
 y  z  x  z   y  x 

Bài toán trở thành: “ Cho x , y, z  0 thỏa mãn x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ”
P

xyz 3
3
 .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  a  b  c  1 và min P 
4
4
4

Bài 2.

Cho a, b, c là các số thực dương và a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P

bc
3a  bc



ca
3b  ca



ab
3c  ab

TRƯỜNG THPT SỐ 2 AN LÃO – BÌNH ĐỊNH
 Phân tích:

Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 , khi đó min P 

3
2

 Lời giải:
Vì a  b  c  3 nên
BĐT Cô-Si:

bc
3a  bc



bc
a ( a  b  c )  bc



bc
(a  b )( a  c )



bc  1
1 



2  a  b a  c 

1
1
2


, đẳng thức xảy ra khi b  c
a b a c
( a  b )( a  c )


ca

Tương tự



ca  1
1 

 và


2  b  a b  c 

ab



3b  ca

3c  ab
bc  ca
ab  bc
ab  ca
a b  c 3
Suy ra P 




2( a  b ) 2( c  a ) 2(b  c )
2
2

ab  1
1 




2  c  a c  b 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 .
3
Vậy min P  khi a  b  c  1
2
 Bài tập tương tự:
1. Cho x , y, z là các số thưc dương thỏa mãn x  y  z  1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

x 2 ( y  z ) y 2 ( z  x ) z 2 ( x  y)


.
yz
zx
xy

TRƯỜNG QUỐC HỌC QUY NHƠN – BÌNH ĐỊNH
2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  2b  c  0 và a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  2 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 

a c 2
a  b 1

.
a (b  c )  a  b  1 ( a  c )(a  2b  c )

TRƯỜNG THCS &THPT iSCHOOL QUY NHƠN – BÌNH ĐỊNH
 Hướng dẫn:
1. Nhận xét: x 2  y 2  xy  xy với x , y   , do đó x 3  y 3  xy ( x  y ) với x , y  0 hay
x 2 y2
y2 z 2
z2 x2

 x  y . Tương tự:
  y  z, 
zx
y
x

z
y
x
z

Khi đó: P 

x 2 x 2 y 2 y2 z 2 z 2
  
   2( x  y  z )  2
y
z
z
x
x
y

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z 

1
và min P  2
3

2. BĐT Cô-Si: ab  bc  ac  2  a 2  b 2  c 2  a 2  2bc  2ab  2ac  2  a 2  bc  ab  ac
Khi đó: 2 ab  ac   2  a  b a  c 
 a b  c   a  b  1 

a  b a  c  2 
2



a c 2
2

a b  c   a  b  1 a  b

1
a  b 1
a  b 1
2
Lại có: a  c a  b  2c   a  c  a  b  2c   a  b  

4
a  c a  2b  c  a  b 2

2
a  b 1
1
1
1 1
1 
1
1



   
   max P 
2

2

a  b a  b 
a  b a  b 
4  2 a  b 
4
4
2

Do đó: P 
Bài 3.

Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn : a  b  c 
P

1
3

a  3b



1
3

b  3c



3

3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
4
1
c  3a

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU QUANG – BÌNH ĐỊNH
 Phân tích:
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a  b  c 
 Lời giải:

1
, khi đó min P  3
4


1 1 1
Ta có: ( x  y  z )      3 3 xyz
 x y z 

P

1

a  3b
BĐT Cô-Si:
3



1
3

b  3c



1
3

c  3a



3
3

xyz

9

1 1 1
9
  
(*)
x y z xyz

9
3

a  3b  b  3c  3 c  3a
3

do (*)

a  3b  1  1 1
 a  3b  2
3
3
b

3
c

1

1
1
3 b  3c 1.1 
 b  3c  2
3
3
c

3
a

1


1
1
3 c  3a 1.1 
 c  3a  2
3
3

1
1 3
Suy ra 3 a  3b  3 b  3c  3 c  3a   4 a  b  c   6   4.  6  3

3
3  4
3

a  3b 1.1 

Do đó P  3

a  b  c  3
1
Đẳng thức xảy ra khi 
a b c 
4

4
a  3b  b  3c  c  3a  1
1
Vậy min P  3 khi a  b  c 
4

 Bài tập tương tự:
Cho a, b, c là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 b  c  4 a  3c 12 b  c 
P


.
2a
3b
2a  3c
TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG – BÌNH ĐỊNH

 Hướng dẫn:
Với x  0, y  0 
P  11  2 



1 1
4
 
* . Đẳng thức xảy ra khi x  y
x y xy

3 b  c 
2a


4 a  3c  12 b  c 
 1 

8


3b  2a  3c

1
4 a  3b  3c 4 a  3b  3c 4a  3b  3c
1
4 


.4   4a  3b  3c   
 2a 3b 2a  3c 
2a
3b
2 a  3c

1
1
4
4
4
16
1
1
4
16
 
;




 

2a 3b 2a  3b 2a  3b 2a  3c 4 a  3b  3c
2a 3b 2a  3c 4 a  3b  3c

Khi đó P  11  16  P  5 . Vậy min P  5 khi b  c 
Bài 4.

2a
3

Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn : a  b  c 1 . Chứng minh rằng:
1
1
1
 2
 2
9
a  2bc b  2ac c  2ab
2

TRƯỜNG THPT TAM QUAN – BÌNH ĐỊNH
 Lời giải:
Đặt : x  a 2  2bc ; y  b 2  2ac ; z  c 2  2ab .
1
1
1
1 1 1

 2
 2
9    9
a  2bc b  2ac c  2ab
x y z
1 1 1
Bài toán trở thành : Cho x , y, z  0 thỏa mãn x  y  z  1 . Chứng minh rằng :    9
x y z

Khi đó : x  y  z  a  b  c   1 và
2

2


BĐT Cô-Si:
 1 1 1
1 1 1
1
   33
  x  y  z .     9 (*)
 x y z 
x y z
xyz

x  y  z  3 3 xyz và

1 1 1
   9 ( đpcm )
x y z

Vì x  y  z  1 nên (*) suy ra

Đẳng thức xảy ra khi x  y  z
 Bài tập tương tự:
Cho a, b, c là ba số thực không âm, chứng minh rằng:
a3
a 3  b  c 

3



b3
b 3  c  a 

3



c3
c 3  a  b 

3

1

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH ĐỊNH
 Hướng dẫn:
Xét BĐT:

1 x 3 1 

x2
, x  0
2

Thật vậy, theo BĐT Cô - si, ta có: 1  x 3  1  x 1  x  x 2  

1  x  1 x  x 2
x2
1
2
2

Áp dụng vào bài toán :
a3
a 3  b  c 

3

Tương tự, cũng có:

b3
b 3  c  a 

3

1





 b  c 
1  
 a 

3

b2
a  b2  c 2
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .



1
a2

2
a2  b2  c 2
1  b  c 
1  

2  a 

 2 ;

c3
c 3  a  b 

3



1

c2
a  b2  c2
2

3