de thi thu thpt quoc gia mon toan so gd dt ha noi nam 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12 THPT

HÀ NỘI

Năm học 2015 – 2016
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút(Đề gồm 01 trang)

Bài 1(1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x4 – 2x2
y=

Bài 2(1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số

2x −1
x −1

biết d có hệ số góc bằng -1

Bài 3(1,0 điểm)
1) Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm phần thực của số phức ω = 3z –
P = log 2 4 +

z

1
log 27 3 9

2) Tính giá trị của biểu thức
π

2

I = ∫ ( x + 2 cos x).cosxdx
0

Bài 4(1,0 điểm). Tính tích phân I =
Bài 5(1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 2; -1), B(3; 0; -5) và mặt phẳng
(P):2x – y – z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường
thẳng d đi qua điểm A, cắt trục Ox và song song với mặt phẳng (P).

Bài 6(1,0 điểm)1) Giải phương trình

π

3 s in3x+cos3x=2sin  2x+ ÷
3


2) Hội đồng coi thi THPT Quốc gia gồm 30 cán bộ coi thi đến từ ba trường THPT trong đó có 12 giáo viên
trường A, 10 giáo viên trường B, 8 giáo viên trường C. Chủ tịch hội đồng coi thi chọn 2 các bộ coi thi chứng
kiến niêm phong gói đựng bì để thi. Tính xác suất để 2 cán bộ coi thi được chọn là giáo viên của hai trường
THPT khác nhau.
·
BAC
= 600

Bài 7(1,0 điểm).Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a,
, cạnh bên SA
a 3
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =

. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, CM.
Bài 8(1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H(5,5) là hình chiếu
vuông góc của A trên cạnh BC, đường phân giác trong góc A của tam giác ABC nằm trên đường thẳng x- 7y
+20 = 0. Đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác ABC đi qua điểm K(-10, 5). Tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác ABC biết điểm B có tung độ dương.

Truy cập trang web để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn mới nhất!
1


Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

 x 2 (1 + y 2 ) − 1 + x 2 = 1 − xy

(2 x − 7 xy )( 3 x − 2 − x + 3 xy ) = 5

x 2 + y 2 + z 2 = xy + xz + 10 yz
Câu 10(1,0 điểm).Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn
, tìm giá trị nhỏ nhất của
3
3x
P = 8 xyz − 2
y + z2
biểu thức
ĐÁP ÁN - ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12 THPT
Năm học 2015 – 2016
Môn: TOÁN

Bài 1.

y = x4 − 2 x2
1. TXĐ: D= R
2. Sự biến thiên

lim y = lim y = +∞

x →−∞

x →+∞

y ' = 4 x3 − 4 x

x = 0
y ' = 0 ⇔ 4 x − 4 x = 0 ⇔ 4 x( x − 1) = 0 ⇔  x = −1
 x = 1
3

x
y’
y

-∞
+∞

2

-1
0
-1

+

0
0
0

-

1
0
-1

+∞
+
+∞

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại điểm (0;0)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (-1;-1); (1;-1)
3. Đồ thị
Giao với trục tung tại (0;0)
Giao với trục hoành tại điểm ; (0;0)
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
Đồ thị: HS tự vẽ hình
Bài 2.

Truy cập trang web để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn mới nhất!
2

y=

2x −1
−1
⇒ y' =
x −1
( x − 1) 2

Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị hàm số

y '( x0 ) = −1 ⇔
Ta có:

 x0 − 1 = 1
 x0 = 2
−1
= −1 ⇔ ( x0 − 1) 2 = 1 ⇔ 
⇔
2
( x0 − 1)
 x0 − 1 = −1  x0 = 0

+) TH1: x0 = 2 ta có y0 = 3
 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2;3) là: y = - x + 5

+) TH2: x0 = 0 ta có y0 = 1
 Phương trình tiếp tuyến tại M(0;1) là: y = - x + 1

Bài 3.

1) z = 3 + 2i

⇒ z = 3 − 2i
w = 3z − z = 3(3 + 2i ) − (3 − 2i ) = 9 + 6i − 3 + 2i = 6 + 8i

Vậy phần thực của số phức w là 6.
1
P = log 2 4 +
log 27 3 9
2)

= log 2 2 2 +

1
log 7 32
32

1
4
log 3 3
7
7
= 2+
4
15
=
4
= 2+

Bài 4:

π
2

π
2

π
2

0

0

0

I = ∫ ( x + 2 cos x ).cosxdx = ∫ x.cosxdx + ∫ 2 cos 2 xdx = I1 + I 2

Truy cập trang web để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn mới nhất!
3


π
2

I1 = ∫ x.cosxdxx
0

Giải I1 ta có:

Đặt

u = x
 du = dx
⇔

dv = cosxdx
v = s inx
π
2

π
2
0

π
2

I1 = ∫ x.cosxdx = x.s inx − ∫ sinxdx =
0

0

π
π
π
+ cosx 02 =
2
2

-1


π
2

π
2

π
2
0

s in2x
I 2 = ∫ 2 cos xdx = ∫ (1 + cos 2x)dx = x +
2
0
0
2

π
2
0

=

π
2

Giải I2 ta có:
Vậy I= π - 1

Bài 5.
A(1;2;-1); B(3;0;-5)
uuu
r
⇒ AB = (2; −2; −4)

Gọi I là trung điểm của AB nên I(2;1;-3)
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm I và có vtpt là

uuu
r
AB

2(x – 2 ) – 2 (y – 1 ) – 4 (z + 3) = 0
 x – 2 – y + 1 – 2z – 6 = 0
 x – y - 2z – 7 = 0
Gọi vectơ chỉ phương của d là (a; b; c). Do đường thẳng d đi qua A( 1; 2; -1) nên d có dạng:
x −1 y − 2 z + 1
=
=
a
b
c

. Mà d cắt Ox, chẳng hạn tại điểm có tọa độ (d; 0 ; 0) thì :

d − 1 −2 1
=
= → b + 2c = 0
a

b c

.

(a; b; c) ⊥ n( P ) = (2; −1; −1) → 2 a − b− c = 0

Do d song song với (P) nên :

.

Truy cập trang web để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn mới nhất!
4


Từ đây chọn a = 1 ta được b = 4; c = - 2. Vậy phương trình đường thẳng d là:

x −1 y − 2 z + 1
=
=
1
4
−2

Bài 6.

π
3 s in3x+cos3x=2sin(2x+ )
3
3
1

π
s in3x+ cos3x=sin(2x+ )
2
2
3
π
π
π
⇔ cos s in3x+ sin cos3x=sin(2x+ )
6
6
3
⇔

1)

π
π
⇔ sin(3 x + ) = sin(2x+ )
6
3
π
π

3 x + 6 = 2x+ 3 + k 2π
⇔
3 x + π = π − 2x- π + k 2π

6
3

π

x
=
+ k 2π

6
⇔
k ∈Z
 x = π + k 2π

10
5
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm như trên

2) Không gian mẫu Ω là tập hợp chọn 2 cán bộ coi thi chứng kiến niêm phong gói đựng bì đề thi”. Do đó

C302

số cách chọn 2 cán bộ trong 30 cán bộ coi thi là: n(Ω)=
=435
Gọi D là biến cố “ chọn được 2 giáo viên của 2 trường THPT khác nhau”.
Tính n(D):
1
1
C12
.C10

+) TH1: Số cách chọn 2 cán bộ trong đó có 1 giáo viên trường A, 1 giáo viên trường B là:
1

C12
.C81

+) TH2: Số cách chọn 2 cán bộ trong đó có 1 giáo viên trường A, 1 giáo viên trường C là:
1
C10
.C81

+) TH3: Số cách chọn 2 cán bộ trong đó có 1 giáo viên trường B, 1 giáo viên trường C là:
 Số cách chọn 2 cán bộ coi thi là giáo viên của 2 trường THPT khác nhau là:
1
1
1
1
C12
.C10
C12
.C81 C10
.C81
n(D) =
+
+
=296

Xác suất để chọn 2 cán bộ coi thi được chọn là giáo viên của 2 trường THPT khác nhau là: P(D) =

296
435

Truy cập trang web để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn mới nhất!

5


Câu 7:

 AC = 4a
1
1
·
BAC
= 60 → 
→ V = a 3. .2a.2a 3 = 2a 3 (dvtt )
3
2
 BC = 2a 3

.

Trong mặt phẳng ABC, qua B dựng đường thằng d song song với CM. Từ A hạ AK vuông góc với d, hạ AH
vuông góc SK.
SA ⊥ ( ABC ) → SA ⊥ BK → BK ⊥ ( SAK ) → BK ⊥ AH → AH ⊥ ( SBK )

Ta có:

.

1
d ( A, ( SBK )) = AH =
2

1
1
1
+
2
SA
AK 2

Mà : CM // ( SBK) nên d(SB, CM) = d( CM, (SBK)) = d(M, (SBK)) =
BC
·
BMC
= ·ABK = 60 → sinBMC =
=
CM
→ AK =

Do

2a 3
a 2 + 12a 2

=

.

2 39 AK
=
13
AB

4a 39
2a 87
→ d ( SB, CM ) =
13
29

Câu 8:
Phân tích: Gặp yếu tố về đường phân giác, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng kẻ vuông góc, “ tìm điểm đối xứng
với 1 điểm đã biết” . Tuy nhiên ở đây, do cả 2 cạnh AB, AC đều không có bất cứ điểm nào, ta cần tìm 1 cặp
cạnh khác( mà AD chính là góc tạo bởi 2 cạnh này). Do xuất hiện H, ta bắt đầu xoay quanh H………
Lời giải:

Ta có: Do tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến nên :

Truy cập trang web để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn mới nhất!
6


AM = BM = MC =

BC
·
·
·
→ MAC
= MCA
= BAH
2

( cùng phụ với góc HAC). Do AD là phân giác nên ta dễ dàng

·
·
HAD
= DAM

suy ra:
. Từ H dựng đường vuông góc với AD, cắt AM tại E, cắt AD tại F. Dễ có E là điểm đối
xứng với H qua AD.
Phương trình HK: 7( x – 5) + ( y – 5 ) = 0 hay 7x + y – 40 = 0. Tọa độ F là nghiệm của hệ:
26

x
=

 x − 7 y + 20 = 0
27 11
5
⇔
→ E( ; )

5 5
7 x + y − 40 = 0
 y = 18

5

. Từ đó phương trình EK hay AM chính là:

2( x + 10) + 11( y – 5) = 0 hay 2x + 11y - 35 = 0. Tọa độ A là giao của AM và AD nên A( 1; 3).

Phương trình BC là:

Tọa độ M
(x −

13
( ; 2)
2

uuur
 AH (4; 2)
→ 2( x − 5) + ( y − 5) = 0 ⇔ 2 x + y − 15 = 0

 qua H (5;5)

.Phương trình đường tròn tâm M bán kính AM hay ngoại tiếp tam giác ABC là:

13 2
125
) + ( y − 2)2 =
2
2

. Tọa độ B, C sẽ là giao của đường tròn và đường thẳng BC nên:

2a + b − 15 = 0 → b = 15 − 2a → ( a −
Gọi B( a; b) thì:

.

 a = 9  B(9; −3)
13 2
125
) + (15 − 2a − 2) 2 =
⇔
→
2
4
 a = 4  B(4;7)

.

Do B có tung độ dương nên ta kết luận: A( 1; 3); B( 4; 7); C( 9; -3).
Câu 9:
Phân tích: Trước hết ta cần dự đoán xem đâu là phương trình cần xử lý đầu tiên. Bài toán này cũng không quá
khó để nhận ra, vì phương trình số (2) “ khó lòng biến đổi”. Phương trình (1) nếu “ hoang mang” sử dụng casio
nhập Y = 100 nhận được X = 0,01, nhậm Y = 10 nhận X = 0,1 tức là dễ có ngay XY – 1 = 0 là nhân tử( tức là
vế phải = 0)…..
Lời giải:

Truy cập trang web để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn mới nhất!
7


(1) ⇔

x2 + x2 y 2 −1 − x2
x (1 + y ) + 1 + x

2

2

2

+ xy − 1 = 0 ⇔ ( xy − 1)(

xy + 1
x (1 + y 2 ) + 1 + x 2
2

+ 1) = 0 ⇔ xy = 1
( Do biểu thức trong

xy + 1 + x 2 (1 + y 2 ) + 1 + x 2
x (1 + y ) + 1 + x
2

2

2

; x 2 (1 + y 2 ) + xy ≥ xy + ( xy ) 2 ≥ 0

ngoặc bằng

)
(2 x − 7)( 3 x − 2 − x + 3) = 5 ⇔ 4 x 2 − 24 x + 35 = 5( 3 x − 2 + x + 3)

Thay vào (2) ta được:
.( Lưu ý cần liên
hợp đẩy tổng 2 căn sang vế phải không “ dây dưa với tích 2x – 7 nếu không liên hợp sẽ phức tạp hơn).
Tới đây bấm máy và liên hợp là cách “ dê nghĩ và hầu hết các bạn sẽ làm theo”
−9( x 2 − 7 x + 6)
x2 − 7 x + 6
5 3x − 2 − (3 x + 2) + 5 x + 3 − ( x + 9) = 4 x − 28 x + 24 ⇔
+
= 4( x 2 − 7 x + 6)
5 3 x − 2 + (3x + 2) 5 x + 3 + ( x + 9)
2

⇔ ( x 2 − 7 x + 6)(4 +

x≥

( Do

x = 1
1
9
+
)=0⇔ 
5 x + 3 + x + 9 5 3x − 2 + (3x + 2)
x = 6

2
1
→
≤

3
5 x+3+ x+9

1
9
< 4;
> 0)
2 2
5 3 x − 2 + (3x + 2)
5 3+ + + 9
3 3

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là

1
(1;1); (6; )
6

.

.

Câu 10:
Phân tích: Trước hết ta cần đánh giá điểm rơi của BDT trước. Do y, z đối xứng nhau nên ta đự đoán ngay y = z.
Thế vào giả thiết và thế vào giải nốt min ta có x = 4; y = z = 1.
Lời giải:
gt ⇔ x 2 + ( y + z ) 2 − x( y + z ) = 12 yz ≤ 3(y + z) 2 ⇔ ( x + y + z )( x − 2 y − 2 z ) ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 y + 2 z → y 2 + z 2 ≥

khác:

x2
8

Mặt

x
3
3
x2
12 yz = ( − y − z ) 2 + x 2 ≥ x 2 → yz ≥
2
4
4
16

Truy cập trang web để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn mới nhất!
8


P ≥ 8 x.

Từ đây ta có:

x 2 3 x3 ( x − 4) 2 ( x + 8)
−
=
− 64 ≥ −64
16 x 2
2
8

.

Vậy MinP = -64, đạt tại chẳng hạn x = 4; y = z = 1.
Đáp án được thực hiện bởi Ban chuyên môn Tuyensinh247.com

Xem thêm: />
Nguồn trang web:

Truy cập trang web để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn mới nhất!
9