Đề thi HSG lớp 9

Dạy học sáng tạo qua giải bài tập toán
Bài toán sau nhằm minh hoạ ý tởng rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh
thông qua việc giải bài tập toán , nội dung bài toán nh sau :
" Cho tam giác ABC vuông tại A , AD là phân giác . Chứng minh hệ thức :
( 1/ AB ) + ( 1 / AC ) =

2 / AD " .
Ta thực hiện tiến trình giải bài toán theo các bớc sau :
Bớc 1: Tìm hiểu bài toán :
Đối với bài toán hình học , nói chung phải vẽ hình xong mới có thể hiểu và
nhìn đợc bài toán một cách tổng hợp , để từ đó phân tích các chi tiết cần thiết .
Hình vẽ phải có tính tổng quát ( không vẽ vào trờng hợp đặc biệt ) , dễ nhìn thấy
các tính chất và những quan hệ về độ lớn giữa các góc hay các đoạn thẳng cho
trong bài toán . Trong bài toán cụ thể này , giả thiết cho 1 tam giác vuông và phân
giác của góc vuông , cần chứng minh tổng các nghịch đảo của 2 cạnh góc vuông
bằng nghịch đảo của phân giác AD nhân với 2 .
* Bớc 2 : Xây dựng chơng trình giải : B

Từ hệ thức cần chứng minh I D

B' A D' C
Hình 1
Ta có thể phân tích để tìm cách giải theo các hớng nh sau :
. H ớng 1 : Xét vế trái của hệ thức cần chứng minh , ta thấy
ADACAB
211
=+
ACAB
ACAB
ACAB .
11

+
=+
Điều này gợi cho ta suy nghĩ có thể làm xuất hiện tổng 2 độ dài AB + AC , chẳng
hạn bằng cách kéo dài CA về phía A , trên đó lấy B' sao cho
AB' = AB , ta sẽ có CB' = AB + AC . Từ đây nếu chứng minh đợc BB' // AD
rồi áp dụng định lý Talét trong tam giác ta sẽ suy ra đợc điều cần chứng minh .
Việc chứng minh BB' // AD hết sức đơn giản vì chúng có 2 góc so le trong cùng
bằng 45
0
.
. H ớng 2 : Căn cứ vào tỷ số 2 / AD , ta có thể nghĩ đến hớng tạo tam giác
vuông cân ( vì cạnh huyền của tam giác vuông cân bằng 2 nhân cạnh góc
vuông) , vấn đề ở đây là tạo tam giác vuông cân trên cơ sở có sẵn những điểm
nào ? Việc trả lời câu hỏi đó dẫn đến 2 cách sau :
Cách 1 : Vẽ AB' AB và có độ dài bằng AB ( sao cho A nằm giữa C và
B' ) , ta có tam giác ABB' vuông cân và BB' // AD . Đây lại chính là cách làm ở h-
ớng 1 . Nh vậy từ 2 xuất phát điểm gợi hớng suy nghĩ khác nhau , có thể cùng dẫn
tới một cách giải quyết .
Cách 2 : Vẽ D D' AC , ta có tam giác ADD' vuông cân và DD' //
AB , từ đó sẽ suy ra điều cần chứng minh .
.H ớng 3 : Sử dụng phơng pháp diện tích, ta thấy S
ABC
= S
ADC
+ S
ADB
, việc tính
diện tích các tam giác ADC và ADB có 2 cách nh sau:
Cách 1 : Tính diện tích các tam giác ADB và ADC theo sin của góc 45
0

để xuất hiện số 2.
Cách 2 : Tính diện tích các tam giác ADB và ADC theo công thức bằng
1/2 cạnh đáy nhân đờng cao tơng ứng.
* Bớc 3 : Trình bày lời giải :
Với bài toán này có thể chọn một trong các hớng phân tích trên để trình bày lời
giải . Ví dụ :
Vẽ tia đối của tia AC , trên đó lấy B' sao cho AB' = AB , ta có :
. CA + AB = CB'
. Tam giác ABB' vuông cân ( vì AB = AB' , góc BAB' vuông )
BB' = 2 AB và ABB' = 45
0
.
Mặt khác AD là phân giác góc vuông  BAD = 45
0
.
Mà góc ABB' và góc DAB lại ở vị trí so le trong nên BB' // AD
Theo định lý Talét trong tam giác có :

Bài toán đợc chứng minh .
Bớc 4 : Nghiên cứu lời giải và hớng khai thác bài toán mới :
1. Có thể trình bày lời giải theo các hớng còn lại ( đã nêu trong phần xây dựng ch-
ơng trình giải ) để so sánh và tìm hớng khai thác .
2. Nếu thay phân giác trong AD bởi phân giác ngoài AE , dễ thấy kết quả lúc
này là :

Nh vậy có thể thêm câu hỏi cho bài toán trên : '' Hệ thức sẽ thay đổi ra sao nếu
cho AD là phân giác ngoài của tam giác ? '' .
3. Tiếp tục khai thác lời giải của bài toán ta thấy để sử dụng đợc định lý Talét ,
phải vẽ thêm các đờng song song với AD từ B hoặc từ C , chẳng hạn ta vẽ
BB' // AD và CC' // AD ( B' AC ; C' AB ) , ta sẽ đợc kết quả thú vị về

mối quan hệ giữa 3 đoạn thẳng song song AD, BB', CC' đó là:
B' C'
A

B D C
Hình 2
ADACABAD
AB
AC
ABAC
AD
BB
AC
CB 211.2''
=+=
+
=
AEACAB
211
=
'
1
'
11
CCBBAD
+=
Kết quả này không phụ thuộc vào tam giác ABC là tam giác vuông và cũng
không sử dụng đến giả thiết AD là phân giác . Điều này dẫn chúng ta đến với bài
toán mới nh sau : Cho tam giác ABC , D là 1 điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC . Từ B và
C vẽ BB' và CC' cùng // AD ( B' AC ; C' AB ) .

a / Chứng minh hệ thức :

b / Xét trờng hợp D ở ngoài đoạn BC ? .
4. Hơn thế nữa , áp dụng bài toán mới ở trên ta thấy : nếu cho trớc 2 đoạn
thẳng có độ dài là a và b , sẽ dựng đợc đoạn thẳng có độ dài x thoả mãn :
Từ đó có thể xét bài toán khái quát nh sau :
Cho 2002 đoạn thẳng có độ dài a
1
, a
2
, ..., a
2002
. Hãy nêu cách dựng một đoạn
thẳng có độ dài x thoả mãn :

5.Có thể xét bài toán dới góc độ động nh sau :
Cho góc vuông xAy, At là tia phân giác . D là 1 điểm cố định thuộc At, một
cát tuyến quay xung quanh D cắt Ax tại B, cắt Ay tại C .
Chứng minh
Không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến qua D.
( Theo bài toán ban đầu ta có tổng này bằng 2 / AD )
Tóm lại : Việc hớng dẫn học sinh giải một bài toán nh đã trình bày ở trên trong
quá trình dạy học nói chung và trong bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng đã góp phần
'
1
'
11
CCBBAD
+=
bax

111
+=
200221
1111
aaax
+++=
ACAB
11
+
kích thích sự học tập một cách sáng tạo ở học sinh . Các em dần tạo thành thói
quen thay thế các dữ kiện của bài toán bằng các dữ kiện tơng đơng , thói quen đặc
biệt hoá hay khái quát hoá bài toán một cách tự nhiên , thói quen tìm nhiều giải
pháp cho một tình huống để vơn tới sự hoàn thiện , thói quen nhìn nhận một vấn
đề dới nhiều góc độ khác nhau . Và nh vậy , việc giải quyết đợc mỗi một bài tập
đặt ra hay phát hiện ra một bài toán mới là một quá trình tìm tòi sáng tạo , huy
động linh hoạt các kiến thức - kỹ năng và các phẩm chất của trí tuệ . Do đó học
sinh thực sự cảm thấy mình là chủ thể của nhận thức , họ đợc học tập bằng hoạt
động của chính mình dới sự hớng dẫn khuyến khích của ngời thầy .
Nguyễn Thị Lan Hơng
Giáo viên THCS Chu Văn An
TP Thái nguyên Tỉnh Thái nguyên.