tIET 53 54 gioi han hàm so(t1,2)

Giáo án ĐS và GT 11
Ngày soạn: 15.1.2016
Ngày dạy: 18.1.2016 (tiết 1)
20.1.2016( tiết 2)

GV Nguyễn văn Hiền
Tuần 22
Tiết: 53-54

Bài 2:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A/. Mục tiêu: Thông qua nội dung bài học, giúp học sinh nắm được:
1. Kiến thức:
- Biết khái niệm giới hạn của hàm số.
- Biết (không chứng minh):
+/ Nếu lim f ( x) = L , f (x) ≥ 0 với x ≠ x0 thì L ≥ 0 và lim f ( x) = L
x→ x0

x→ x0

f ( x) ± g ( x) ] , lim [ f ( x).g ( x) ] , lim f ( x ) .
[
+/ Định lí về giới hạn: xlim
→ x0
x→ x0
x→ x0 g ( x )
2. Kĩ năng:
Trong một số trường hợp đơn giản, tính được
- Giới hạn của hàm số tại một điểm.
- Giới hạn một bên của hàm số.
- Giới hạn của hàm số tại ±∞ .
3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó.

B/. Phương pháp dạy học: Gợi mở + Nêu và giải quyết vấn đề
C/. Chuẩn bị:
1. GV: Giáo án, Tài liệu giảm tải,…
2. HS: Sgk, chuẩn bị trước bài mới.
D/. Thiết kế bài dạy:
1. Ổn định lớp
2. Bài mới

TIẾT 53
Hoạt động 1: (Giới hạn của hàm số tại 1 điểm)
Hoạt động của GV và HS
Ghi bảng – trính chiếu
Gv đặt vấn đề về giới hạn hữu hạn bằng 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm.
cách xét bài toán như trong sách giáo 1.1. Định nghĩa:
khoa.
2 x2 − 2 x
Xét
hàm
số:
.
f
x
=
(
)
2n + 2
x −1
Gv: Cmr f ( xn ) = 2 xn =
n
2 xn2 − 2 xn

2n + 2
f
x
=
= 2 xn =
( xn ≠ 1) (đpcm)
a) Ta có: ( n )
Chú ý: xn → 1 ⇒ xn ≠ 1
xn − 1
n
Gv: Tìm lim f ( xn ) = ?
2n + 2
2

= lim  2 + ÷ = 2
b) lim f ( xn ) = lim
Hs:
n
n

Tính
2
2 xn − 2 xn
2n + 2
2

= lim 2 xn = 2 ⇔ ( xn → 1)
c) Ta có: lim f ( xn ) = lim
lim f ( xn ) = lim
= lim  2 + ÷ = 2

xn − 1
n
n

Gv: Cmr lim f ( xn ) = 1 ⇔ xn → 1∀ ( xn )
Định nghĩa 1:
Gv: Ta thấy với mọi dãy số (xn) bất kì sao lim f ( x ) = L ⇔ ∀ ( x ) ∈ K \ { x } : lim x = x ⇒ lim f ( x ) = L
n
0
n
0
n
cho xn → 1 thì f(xn) → 2 . Ta nói hàm số x → x0
f(x) có giới hạn là 2 khi x dần tới 1. Từ đó
gv cho học sinh phát biểu định nghĩa 1 Ví dụ 1:
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng

1


Giáo án ĐS và GT 11

GV Nguyễn văn Hiền

Giả sử (xn) là dãy số bất kì thoả mãn xn ≠ −2; xn → −2 khi
n → +∞ . Ta có:
xn2 − 4
lim
f
x

=
lim
= lim ( xn − 2 ) = −4
( n)
Gv hướng dẫn học sinh làm VD1 trang
xn + 2
124 Sgk
2
Gv: Theo yêu cầu của bài toán ta cần Cm Vậy, lim x − 4 = −4
x →−2 x + 2
điều gì?. Vì sao?.
Gợi ý: Sử dụng định nghĩa 1 để chứng
C = C ; lim x = x0
minh.
Nhận xét: xlim
→ x0
x → x0
2
xn − 4
Chú ý: f ( xn ) =
. Hàm số không
xn + 2
xác định tại điểm x0 nhưng lại có giới hạn
tại x0.
Gv viên gọi một học sinh nêu nhận xét.
Hs: Nêu nhận xét
lim C = C ; lim x = x0
Sgk.
Gv:
Khoảng

K
( a; b ) , ( − ∞ ; b ) , ( a; + ∞ ) , ( − ∞ ; + ∞ )

x → x0

có

thể

là:

x → x0

Hoạt động 2: (Định lí về giới hạn hữu hạn)
Hoạt động của GV và HS
Gv cho học sinh đọc hiểu các định lí về
giới hạn hữu hạn ở định lí 1 Sgk trang
125.
x2 + 1
=?
Gv: Tính lim
x →3
2 x
Gợi ý: Ap dụng các định lí về giới hạn.
Gv gọi học sinh lên bảng thực hiện và cả
lớp nhận xét.
Hs: Tính giới hạn
x2 + x − 2
Gv: Tìm lim
=?

x →1
x −1
Hs: theo dõi
Gv: Ta áp dụng định lí 1 ngay có được
không?. Vì sao?. Vậy phải làm gì để áp
dụng được?.
(Rút gọn trước khi áp dụng định lí 1)
x2 − 1
Gv: Tìm lim
?
x →−3 x + 1
Gv: Ap dụng được định lí 1 ngay. Vì sao?.
Hs: Vì giới hạn của tử và mẫu đều khác 0

Ghi bảng – trính chiếu
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm.
1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1: (Sgk)
Ví dụ 2: lim
x →3
=

x2 + 1
2 x

=

lim x.lim x + lim1
x →3

x →3

x →3

lim 2. lim x
x →3

lim ( x 2 + 1)
x →3

x →3

=

(

lim 2 x
3.3 + 1

x →3

2. 3

=

)

=

lim x 2 + lim1

x →3

x →3

lim 2.lim x
x →3

=

x →3

5
3

Ví dụ 3: Ta có:
( x − 1) ( x + 2 )
x2 + x − 2
lim
= lim
= lim ( x + 2 ) = 3
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
x 2 − lim 1 9 − 1
( x2 − 1) xlim
x 2 − 1 xlim
→ −3
→ −3

x→ −3
=
=
=
= −4
Ví dụ 4: lim
x→ − 3 x + 1
lim ( x + 1)
lim x + lim 1 − 3 + 1
x→ − 3

x→ − 3

x→ − 3

Củng cố:
• Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm và kí hiệu.
• Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số.
Dặn dò:
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng

2


Giáo án ĐS và GT 11

GV Nguyễn văn Hiền

• Nắm vững định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm và các định lí về giới hạn cuả hàm số
• Bài tập về nhà: Bài 3 trang 132 Sgk. Xem trước các phần còn lại.

Rút kinh nghiệm:

…………………………………………………………………………………………….
TIẾT 54
4 − x2
x →−2 x + 2

* Kiểm tra bài cũ: Tìm lim

* Nội dung bài mới:
1. Đặt vấn đề: Trong định nghĩa 1 về giới hạn của hàm số khi x → x0 , ta xét dãy số (xn) bất kì,
xn ∈ ( a; b ) \ { x0 } , xn → x0 . Giá trị xn này có thể lớn hơn hay nhỏ hơn x 0. Nếu ta xét dãy (xn) mà
xn >x0 hoặc xn2. Triển khai bài:
Hoạt động 1: (Giới hạn một bên)
Hoạt động của GV và HS

Ghi bảng – trình chiếu
1.3. Giới hạn một bên
Từ việc đặt vấn đề GV nêu định nghĩa giới hạn Định nghĩa 2:
một bên của hàm số.
•
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).
lim+ f ( x ) = L ⇔ ∀ ( xn ) , x0 < xn < b : xn → x0 ⇒ lim f ( xn ) = L
x → x0

Gv: Từ định nghĩa ta thừa nhận định lí sau:
Gv yêu cầu học sinh làm ví dụ 4 trang 127 Sgk
Hs: Lên bảng làm bài
Gv: Tìm lim− f ( x ) = ?; lim+ f ( x ) = ?

x →1

x →1

−

Chú ý: x → 1 ( x < 1); x → 1+ ( x > 1)
Gv: Có tồn tại hay không lim f ( x ) ?. Vì sao?.
x →1

Hs: Trả lời

•
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).
lim− f ( x ) = L ⇔ ∀ ( xn ) , a < xn < x0 : xn → x0 ⇒ lim f ( xn ) = L
x → x0

Định lí:
lim f ( x ) = L ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L
x → x0

x → x0

x → x0

Ví dụ 1: Ta có:
lim− f ( x ) = lim− ( x 2 − 3 ) = −2
x →1

x →1

x →1+

x →1

lim f ( x ) = lim+ ( 5 x + 2 ) = 7

f ( x ) ≠ lim− f ( x ) ⇒ ∃ lim f ( x )
Ta thấy: xlim
x →1
→1+
x →1

Hoạt động 2: (Giới hạn của hàm số tại vô cực)
Hoạt động của GV và HS

Ghi bảng – trình chiếu

Gv đặt vấn đề như HĐ3 Sgk. Từ đó nêu định 2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực nghĩa là Định nghĩa 3:
khi x → ±∞ .
•
Cho hàm số y = f(x) xác định trên ( a; +∞ )
Ta nói y= f(x) có giới hạn là L khi x → +∞ nếu với
dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞ ta có
f ( xn ) = L . Kí hiệu: lim f ( x ) = L .
x →+∞

•
Cho hàm số y = f(x) xác định trên ( −∞; a )

Ta nói y= f(x) có giới hạn là L khi x → −∞ nếu với
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng

3


Giáo án ĐS và GT 11

GV Nguyễn văn Hiền

Gv yêu cầu học sinh đọc hiểu ví dụ 5 trang 128
Gv nêu chú ý Sgk trang 129 Sgk

dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → −∞ ta có
f ( xn ) = L . Kí hiệu: lim f ( x ) = L .
x →−∞

Ví dụ 2: (Sgk)
Chú ý:
3x 2 − 2 x
Gv: Tìm lim
x →+∞
x2 + 1

C
= 0 ( C = const , k ∈ N ∗ )
x →±∞
x →±∞ x k
•
Định lí 1 trang 125 vẫn còn đúng khi

x → ±∞
Ví dụ 3:
2
3−
3x 2 − 2 x
x =3
lim
= lim
x →+∞ x 2 + 1
x →+∞
1
1+ 2
x
•

Gv yêu cầu Hs áp dụng định lí 1 để tìm giới hạn
của hàm số trên.
Hs: Lên bảng làm bài
Gv: Chữa, bổ sung

lim C = C ; lim

Củng cố: Thông qua nội dung tiết dạy các em cần nắm:
• Định nghĩa giới hạn một bên và định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
• Các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0
Dặn dò:
• Làm bài tập Bài 4 , 6 trang 132 Sgk.
• Tham khảo trước mục III còn lại.

Rút kinh nghiệm:

……………………………………………………………………………………………………

Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng

4