Bài tập tính khoảng cáh giữa hai đường thẳng chéo nhau

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

KHO NG CÁCH T

Chuyên đ : Hình h c không gian

ĐI M T I M T

ĐÁP ÁN BÀI T P T

LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

a 17
, hình chi u vuông
2
góc H c a S trên m t ph ng ( ABCD) là trung đi m c a đo n AB . G i K là trung đi m c a đo n AD .

Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a , SD 
Tính theo a kho ng cách gi a hai đ

ng th ng HK và SD .
Gi i:

Ta có SH  ( ABCD)


17a 2  a 2
 SH  HD  SH  SD  HD  SD  ( HA  DA ) 

  a2   a 3
4
 4

Do HK // BD  HK // (SBD)  d ( HK, SD)  d ( HK,(SBD))  d ( H ,(SBD)) (1)
2

2

2

2

2

K HE  BD ( E  BD )  BD  (SHE )

S

F
B

C
E

H
A

K

D

 HF  BD
 HF  ( SBD)  d ( H , ( SBD))  HF (2)
K HF  SE ( F  SE ), khi đó 
 HF  SE
a
a
Xét tam giác HEB , ta có: HE  HB sin HBE  .sin 450 
2
2 2
Xét tam giác SHE , ta có:

1
1
1
1
8
25
a 3
(3)


 2  2  2  HF 
2
2
2
3a
3a
5

HF
SH
HE
a

T (1); (2) và (3), suy ra d ( HK , SD) 

a 3
.
5

Bài 2 (D – 2014). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A , m t bên SBC là tam
giác đ u c nh a và m t ph ng ( SBC ) vuông góc v i m t đáy. Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng
th ng SA, BC .
( Ta s ch ra đ

Gi i:
c BC  SA nên s d ng đo n vuông góc chung c a hai đ

ng th ng SA, BC )

K HK  SA (1) ( K  SA) .
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

 BC  SH
Ta có 
 BC  ( SHA)  BC  HK (2)
 BC  AH
T (1), (2) , suy ra d (SA, BC )  HK .
Tam giác SBC đ u c nh a nên SH 
Ta có AH 

S

a 3
2

BC a
 . Xét tam giác SHA :
2
2

K
C

H

B

1
1
1
4
4
16
a 3


 2  2  2  HK 
2
2
2
3a
3a
4
HK
SH
AH
a
a 3
A
.
4
Bài 3 (D – 2014). Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông, g i M là trung đi m c a AB . Tam giác

V y d (SA, BC ) 

SAB cân t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy ( ABCD) , bi t SD  2a 5 , SC t o v i đáy

( ABCD) m t góc 600 . Tính theo a kho ng cách gi a hai đ

ng th ng MD và SA.

Gi i:

S

2a 5
E
H

A

D

I
M

600

B

C

Theo gi thi t SM  ( ABCD) , do đó góc t o b i SC và m t ph ng ( ABCD) là SCM  600 .
Ta có ABCD là hình vuông nên MC  MD , khi đó xét tam giác SMC và SMD ta có:
SC
SM  MC tan 600  SC 2  MD2  3MC 2  SC 2  MC 2  MC 
a 5

2
 SM  MC tan 600  a 15
2

 BC 
2
2
Xét tam giác MCB , ta có: BM  BC  MC  
  BC  5a  BC  2a
2


D ng hình bình hành AMDE , khi đó:
MD // AE  MD // ( SAE )  d (MD, SA)  d (MD,(SAE))  d (M ,(SAE)) (1)
2

2

2

K MI  AE ( I  AE )  AE  (SMI )

 MH  AE
 MH  ( SAE )  d ( M , (SAE ))  MH (2)
K MH  SI ( H  SI ) , khi đó 
 MH  SI

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

Lúc này ta s tính MI theo 2 cách :
Cách 1:
Ta có cos IMA  cos DAE 

E

IM AD
MA. AD a .2a 2a

 IM 


MA AE
AE
a 5
5

A

D

I

Cách 2:

2S
2a 2 2a
1

AM .CD  a 2  MI  AME 
AE
2
5
a 5
Xét tam giác SMI , ta có:
Ta có SAME  SAMD 

M
C

B

1
1
1
1
5
79
2a 15 2a 1185

(3)



 2 
 MH 

2
2
2
2
2
15a
4a
60a
79
MH
SM
MI
79
T (1); (2) và (3), suy ra d ( MD, SA) 

2a 1185
.
79

Bài 4 (A – 2010). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a. G i M và N l n l t là
trung đi m c a các c nh AB và AD; H là giao đi m c a CN v i DM. Bi t SH vuông góc v i m t ph ng
(ABCD) và SH  a 3 . Tính kho ng cách gi a hai đ

ng th ng DM và SC theo a.

Gi i:
Ta có ADM  DCN (c.g.c)  ADM  DCN

S

Mà ADM  CDM  ADC  900  DCN  CDM  900
Suy ra CHD  900 hay DM  CN
M t khác DM  SH , suy ra DM  (SHC )
H HK  SC , khi đó HK là đo n vuông góc chung c a
DM và SC , do đó: d ( DM , SC )  HK .

K

2

a 5
a
Ta có CN  DC 2  DN 2  a 2    
2
2
Xét tam giác vuông CDN ta có:

D

N

DC 2
a 5 2a

DC  CH .CN  CH 
 a2 :

2
CN
5
Xét tam giác vuông SHC , có:
2

A

C
H
M

B

1
1
1
1
5
19
2a 57
2a 57
. V y d ( DM , SC) 
.


 2 2 

 HK 
2
2
2
2
3a
4a
12a
19
HK
SH
CH
19

Bài 5 (A, A1 – 2012). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a. Hình chi u vuông góc c a S
trên m t ph ng (ABC) là đi m H thu c c nh AB sao cho HA = 2HB. Góc gi a đ ng th ng SC và m t
ph ng (ABC) b ng 600 . Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA và BC theo a.
Gi i:
Ta có SH  ( ABC ) , suy ra  SC,( ABC )   SCH  600
D ng đi m D sao cho ADBC là hình bình hành
Khi đó BC // AD  BC // ( SAD)
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 3 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

 d ( BC, SA)  d ( BC,(SAD))  d ( B,(SAD))

Chuyên đ : Hình h c không gian
S

(1)

3
d ( B, ( SAD)) BA 3

  d ( B, ( SAD))  d ( H , (SAD)) (2)
2
d ( H , ( SAD)) HA 2
K HI  AD ( I  AD ), suy ra AD  (SHI ) (*)

K

K HK  SI ( K  SI ), mà HK  AD (theo (*))
(3)
Suy ra HK  (SAD)  d ( H ,(SAD))  HK
Ta có AH 

I

A

a 3

2
2a
, suy ra HI  AH sin 600 
AB 
3
3
3

600

D

H

C

B

4a 2
2a 1 7 a 2
a 7
Xét tam giác ACH ta có: CH  a 
 2a . . 
 CH 
9
3 2
9
3
2

Suy ra SH  CH tan 600 
Xét tam giác SHI , có:

2

a 7
a 21
. 3
3
3

1
1
1
3
3
24
a 42

 2  2  2  2  HK 
2
2
7a
7a
12
HK
SH
HI
a

(4)

a 42
.
8
Bài 6 (A – 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i B, AB = BC = 2a; hai m t
ph ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M là trung đi m c a AB; m t ph ng qua
SM và song song v i BC, c t AC t i N. Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 600 . Tính
kho ng cách gi a hai đ ng th ng AB và SN theo a.
Gi i:
S
( SAB)  ( ABC )
Ta có 
 SA  ( ABC )  CB  ( SAB)
( SAC )  ( ABC )

T (1), (2), (3), (4) ta đ

c: d ( BC , SA) 

Khi đó  (SBC ),( ABC )   SBA  600
 SA  AB tan 600  2a 3
T N k đ ng th ng  , song song v i AB
K AI   ( I   ), suy ra   (SAI ) (*)

H

K AH  SI ( H  SI ), mà   AH (theo (*))
Suy ra AH  (SIN)  d ( A,(SIN))  AH

I

Ta có AB // IN  AB // ( SIN )

N

A

C

 d ( AB, SN)  d ( AB,(SIN))  d ( A,(SIN))  AH (1)

Ta có AINM là hình ch nh t , nên AI  MN 
Ta có:

BC
a
2

1
1
1
1
1
13
2a 39
 2
 2

 AH 

2
2
2
2
12a
13
AH
AI
AS
a 12a

T (1) và (2), suy ra d ( AB, SN ) 

M

(2)

B

2a 39
.
13

Bài 7 (D – 2008). Cho l ng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB  BC  a , c nh

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

bên AA'  a 2 và M là trung đi m c a BC . Tính theo a kho ng cách gi a hai đ
Gi i:

ng th ng AM, B’C.

G i N là trung đi m c a BB ' , khi đó B ' C // MN  B ' C // ( AMN )
Suy ra d ( B ' C, AM )  d ( B ' C,( AMN))  d (C,( AMN))  d ( B,( AMN)) (1)
K BI  AM ( I  AM )  AM  ( NBI ) (*)

B'

A'

K BH  NI ( H  NI ), mà BH  AM (theo (*)
Suy ra BH  ( AMN)  d ( B,( AMN))  BH (2)
N

BC a
BB ' a 2
Ta có BN 
; BM 



2
2
2
2
Xét tam giác BNI , ta có:
1
1
1
1
1
1
2
4 1
7

 2 


 2 2 2  2
2
2
2
2
2
BH
BN
BI
BN

BM
BA a
a
a
a

 BH 

C'
H

B

A
I

M

a 7
(3)
7

C

a 7
T (1), (2), (3), suy ra d ( B ' C , AM ) 
.
7
Bài 8. Cho hai tam giác đ u ABC, ABD không cùng n m trên m t m t ph ng. Bi t AB  a và CD  2a .

Tính kho ng cách gi a hai đ

ng th ng AB và CD .
Gi i:

G i M là trung đi m c a AB . Do ABC, ABD là các tam giác đ u
c nh a nên suy ra CM  DM 

a 3
và
2

 AB  CM
 AB  (CMD) (*)

 AB  DM
G i N là trung đi m c a CD , khi đó: MN  CD
Mà MN  AB (theo (*)), suy ra MN là đo n vuông góc chung c a
AB và CD , do đó: d ( AB, CD)  MN
Ta có CN 

D

N

C

A
M

CD
 a , khi đó xét tam giác MNC ta có:
2

B

2

a 3
a 7
a 7
2
. V y d ( AB, CD ) 
.
MN  CM  CN  
  a 
2
2
 2 
2

2

Bài 9. Cho l ng tr ABC. A' B ' C ' có đáy là tam giác đ u c nh a . i m A' cách đ u ba đi m A, B, C .
Góc gi a AA' và m t ph ng ( ABC ) b ng 600 . Tính theo a kho ng cách gi a hai đ

ng th ng A' B và

CC ' .
Gi i:

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

A'

A

600

C'

B'
a

K

H

N

Chuyên đ : Hình h c không gian

C

M

B
G i H là tr ng tâm tam giác ABC và M là trung đi m c a BC , khi đó A'. ABC là hình chóp đ u
Suy ra A' H  ( ABC ) , suy ra góc t o b i AA' và m t ph ng ( ABC ) là góc A' AH  600
Tam giác ABC đ u c nh a nên AM 

a 3
2
a 3
 AH  AM 
2
3
3

a 3
.tan 600  a .
3
Ta có CC '/ / AA'  CC '/ /( ABB ' A')  d ( A' B, CC ')  d (CC '( ABB' A'))  d (C,( ABB' A'))
 A' H  AH tan A' AH 

d (C , ( ABB ' A')) CN

 3  d (C, ( ABB ' A'))  3d ( H , ( ABB ' A'))
d ( H , ( ABB ' A')) HN
Suy ra d ( A' B, CC ')  3d ( H ,( ABB ' A')) (1) .

G i CH

( ABB ' A')   N 

D ng HK  A' N ( K  A' N ), khi đó:
 AB  ( A' NH )  AB  HK
 HK  ( ABB ' A')  d ( H , ( ABB ' A'))  HK (2)

 HK  A' N
1
1 a 3 a 3
.
Ta có HN  CN  .

3
3 2
6

Xét tam giác A' NH , ta có:

1
1
1
1 12 13
a 13
(3)


 2  2  2  HK 
2

2
2
13
HK
A' H
HN
a
a
a

T (1); (2) và (3), suy ra: d ( A' B, CC ') 

3a 13
.
13

Bài 10. Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB  a , BD  a 3 . M t bên SAB
là tam giác đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy. G i M là đi m thu c c nh SD sao cho
MD  2MS . Tính theo a kho ng gi a hai đ ng th ng AD và MC .
Gi i:
( SAB)  ( ABCD)
a 3

G i H là trung đi m c a AB  SH  AB và SH 
. Do ( SAB) ( ABCD)  AB  SH  ( ABCD) .
2
( SAB)  SH  AB

Ta có AD // BC  AD // ( MBC )  d ( AD, MC)  d ( AD,(MBC))  d ( A,(MBC) .
Cách 1: Dùng k thu t chuy n đ nh

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

S
M

K
A

D

T

H
B

G i AC

C

I

DH  T , khi đó T là tr ng tâm c a tam giác ABD 

DT
DM
2
 MT // SH
TH
MS

Suy ra MT  ( ABCD) .
K TI  BC ( I  BC ), suy ra BC  (MTI )

TK  BC
 TK  ( MBC )  d (T , ( MBC ))  TK (1)
K TK  MI ( K  MI ), khi đó 
TK  MI
Ta có

TI CT 2
2
2a
2
2 a 3 a 3
MT DM 2
và

  MT  SH  .



  TI  AB 
3
3 2
3
SH
DS 3
3
3
AB CA 3

1
1
1
3
9
21
2a 21
(2)

 2  2  2  2  TK 
2
2
4a
4a
21
TK
MT TI
a

3
d ( A, ( MBC )) AC 3
( MBC )  C 

  d ( A, ( MBC ))  d (T , ( MBC )) (3)
2
d (T , ( MBC )) TC 2

Xét tam giác MTI , ta có:
M t khác: AT

T (1); (2) và (3), suy ra: d ( A, ( MBC )) 

a 21
.
7

Cách 2: (Làm tr c ti p)
S
M

N

E

A

D

H

B

C

 AD  SH
 AD  ( SAB)  MN  (SAB)
Trong tam giác SAD , k MN // DA ( N  SA) . Ta có 
 AD  AB
 AE  MN  (MBC )
 AE  ( MBC )  d ( A, ( MBC ))  AE
K AE  BN ( E  BN ), khi đó: 
 AE  BN  (MBC )
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

NA MB 2
2
2 a2 3 a2 3


  SBNA  SBAS  .

SA SD 3
3
3 4
6
Áp d ng đính lý cosin trong tam giác NBA, ta có:

Ta có

BN 2  AB2  AN 2  2 AB. AN.cos NAB  a 2 

4a 2
2a
7a 2
a 7
 2.a. .cos 600 
 BN 
9
3
9
3

a2 3
2S
6  a 21 . V y d ( A, ( MBC ))  a 21
Suy ra AE  BNA 
BN
7
7

a 7
3
2.

Bài 11. Cho hình h p ABCD.A' B ' C ' D ' có A'. ABD là hình chóp đ u, AB  AA'  a . Tính theo a
kho ng cách gi a hai đ ng th ng AB ' và A' C ' .
Gi i:

B'

C'

I
A'

D'

K
a

C

B

a

M
O

H

A

D

G i H là tr ng tâm tam giác ABD
Do A' ABD là hình chóp đ u, nên A' H  ( ABD) hay A' H  ( ABCD)
Tam giác ABD đ u c nh a nên AO 

2
2 a 3 a 3
a 3
 AH  AO  .

2
3
3 2
3

3a 2 a 6

Khi đó A' H  A' A  AH  a 
.
9
3
2

2

2

G i A' C ' B ' D '  I 
Do A' C ' // AC  A' C ' // ( B ' AC )  d ( AB ', A' C ')  d ( A' C ',( B ' AC ))  d ( I ,( B ' AC )) (1)


a 6
 IM  A' H 
K IM  AC ( M  AC )  IM // A' H  
3
 IM  ( A' B ' C ' D ')

Ta có ( B ' AC ) ( A' B ' C ' D ')   // A' C '    IM
Do IB '  AC  IB '      ( IB ' M )

 IK  
 IK  ( B ' AC )  d ( I , ( B ' AC )  IK (2)
K IK  B ' M ( K  B ' M ), khi đó: 
 IK  B ' M
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Ta có IB ' 

Chuyên đ : Hình h c không gian

B ' D ' BD a

 . Xét tam giác IB ' M , ta có:
2
2
2

1
1
1
4
3
11
a 22


 2  2  2  IK 
2
2
2
2a
2a
11
IK
IB ' IM
a

T (1); (2) và (3), suy ra: d ( AB ', A' C ') 

(3)

a 22
.
11

Bài 12. Cho hai tia chéo nhau Ax, By h p v i nhau góc 600 , nh n AB  a làm đo n vuông góc chung.
Trên tia By l y đi m C sao cho BC  a . G i D là hình chi u vuông góc c a C lên Ax . Tính kho ng
cách gi a hai đ

ng th ng AC và BD .
Gi i:

D ng tia Az song song và cùng chi u v i By , khi đó:
C

( Ax, By)  ( Ax, Az)  xAz  600

y

a

Qua B , d ng đ ng th ng song song v i AC c t đ ng
th ng Az t i đi m E , khi đó ACBE là hình bình hành

B

Do đó AE  BC  a ; EAD  1200 và AC // BE  AC // ( BDE )
a

Suy ra d ( AC, BD)  d ( AC,( BDE))  d ( A,( BDE)) (1)
K AI  ED ( I  ED ) và AH  BI ( H  BI )
Khi đó ED  ( ABI )  ED  AH  AH  ( BDE )
Suy ra d ( A,( BDE))  AH

(2)

D ng CK  Az ( K  Az )  CK // AB
 AB  Ax  AB  Ax

 AB  ( ADK )
Mà 
 AB  By  AB  Az

z
K
H

A
E

I

D

x

Suy ra CK  ( ADK)  CK  AD . M t khác CD  AD (gi thiêt), do đó :
AD  (CDK)  AD  DK hay tam giác ADK vuông t i D

Ta có ABCK là hình vuông nên AK  BC  a  AD  AK cos 600 

a
2

Xét tam giác ADE , ta có:

DE 2  AE 2  AD 2  2 AE. AD cos1200  a 2 

Ta có: SAED

a2
a  1  7a 2
a 7
 2a . .    
 ED 
4
2  2
4
2

1
1
AE. AD sin1200
 AI .DE  AE. AD sin1200  AI 

2

2
DE

Khi đó xét tam giác vuông ABI , ta có:

T (1); (2) và (3), suy ra d ( AC , BD) 

Hocmai – Ngôi tr

a 3
a. .
2 2 a 3
2 7
a 7
2

1
1
1
1
28
31
a 93

 2  2  2  2  AH 
2
2
3a
3a
31

AH
AB
AI
a

(3)

a 93
31

ng chung c a h c trò Vi t !!

Giáo viên

: Nguy n Thanh Tùng

Ngu n

:

T ng đài t v n: 1900 69-33

Hocmai.vn
- Trang | 9 -