Chứng minh quan hệ vuông góc sogn song trong hình không gian

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

CH NG MINH QUAN H VUÔNG GÓC SONG SONG
TÀI LI U BÀI GI NG
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
Ví d 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. G i M , N, P l n l
c a các c nh AB, CD, SA. Ch ng minh:
Phân tích h

1) MN // ( SBC ) .

t là trung đi m
2) SC // ( MNP ) .

ng gi i (Trong bài gi ng)
Gi i:

S

 MN / / BC
1) Do 
 MN // ( SBC ) (đpcm).
 MN  ( SBC )
2) Ch ng minh SC // ( MNP ) .
Cách 1:
G i O là giao đi m c a MN và AC
Khi đó PO là đ ng trung bình trong tam giác SAC
Suy ra OP // SC .

 SC / /OP
 SC // ( MNP ) (đpcm).
V y
 SC  ( MNP ); OP  ( MNP )
Cách 2:
 MP / / SB
 ( MNP ) // ( SBC ) (1)
Ta có 
 MN / / BC
M t khác, SC  (SBC ) (2). T (1) và (2), suy ra SC // ( MNP ) .
B

P

A

D

M

N

O
C

Ví d 2 (THPTQG – 2016). Cho hình l ng tr ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân t i B ,

AC  2a . Hình chi u vuông góc c a A' trên m t ph ng ( ABC ) là trung đi m c a c nh AC , đ

ng th ng

A' B t o v i m t ph ng ( ABC ) m t góc 450 . Ch ng minh A' B  B ' C .

Phân tích h

ng gi i (Trong bài gi ng)
Gi i:
G i H là trung đi m c a AC  A' H  ( ABC )  A' H  AC (1).
Ta có HB là hình chi u vuông góc c a A' B trên ( ABC )

A'

C'

Suy ra ( A' B,( ABC ))  ( A' B, HB)  A' BH  450 .
Suy ra tam giác A' HB vuông cân t i H .
Cách 1:
Do ABC vuông cân, suy ra BH  AC (2).
T (1) và (2), suy ra: AC  ( A' HB)  AC  A' B (*).
AC
Ta có A' H  BH 
a
2

B'

A
 AA'  A' H 2  AH 2  a 2  a 2  a 2 .
M t khác: AB2  BC 2  AC 2  2 AB2  4a 2
 AB  a 2

 AA'  AB  ABB ' A' là hình thoi  AB '  A' B (2*).
T (*) và (2*), suy ra A' B  ( AB ' C )  A' B  B ' C (đpcm).

C

H

B
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33 Cách

1

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

Cách 2:
G i I là giao đi m c a A' B và AB ' .
Suy ra HI là đ ng trung bình trong tam giác AB ' C  IH // B ' C .
M t khác IH  A' B nên suy ra A' B  B ' C (đpcm).
Cách 3:





A'

Ta có: A' B.B ' C  A' B. B ' A AC  A' B.B ' A A' B. AC



C'



 A' B.B ' A A' H  HB . AC

 A' B.B ' A A' H . AC  HB. AC (*)
AC
Ta có A' H  BH 
a
2

B'

 AA'  A' H 2  AH 2  a 2  a 2  a 2 .
M t khác: AB2  BC 2  AC 2  2 AB2  4a 2
A
 AB  a 2
 AA'  AB  ABB ' A' là hình thoi  AB '  A' B (2).
L i có: A' H  AC và BH  AC (3)

T (2) và (3), suy ra:
A' B.B ' A A' H . AC  HB. AC  0  0  0  0 (2*)
T (*) và (2*), suy ra: A' B.B ' C  0  A' B  B ' C (đpcm).

I
C

H

B
Cách 2+3

Nh n xét: V a r i ta đã li t kê ra các cách ti p c n khi bài toán yêu c u ch ng minh các quan h song
song, vuông góc. Song khi làm bài chúng ta nên u tiên ngh t i nh ng cách v i t n xu t có m t nhi u
nh t c ng nh m i quan h qua l i gi a các quan h song song, vuông góc (đ ng – đ ng, đ ng – m t,
m t – m t) đ ch n ra cách gi i t i u nh t. (Các b n xem chi ti t s đ t duy t ng k t này trong n i
dung bài gi ng).
Ví d 3. Cho hình chóp t giác S. ABCD có đáy là hình vuông. M t bên SAD là tam giác đ u và trong
m t ph ng vuông góc v i đáy. G i M , P l n l t là trung đi m c a SB, CD . Ch ng minh AM  BP .
Phân tích h

ng gi i (Trong bài gi ng)
Gi i:
S
G i H là trung đi m c a AD và do tam giác SAD đ u
SH  AD


nên ta có: ( SAD)  ( ABCD)
  SH  ( ABCD)

( SAD) ( ABCD)  AD 

M

Suy ra SH  BP (1)
D th y BPC  CHD (c.g.c)

 CBP  DCH  CBP  HCB  900  BP  CH (2)

A

T (1) và (2), suy ra BP   SHC  (3)

 HC / / AC
 ( SHC ) / /( MAN ) (4)
M t khác: 
 MN / / SC

B
N

H
D

T (3) và (4), suy ra BP   MAN   BP  AM

C

P

hay AM  BP (đpcm).

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

Giáo viên

: Nguy n Thanh Tùng

Ngu n

:

T ng đài t v n: 1900 69-33

Hocmai.vn
- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Hình h c không gian

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Hình h c không gian

- Trang | 2 -