Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thi đặng việt hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 + 2 .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm m để phương trình x3 −

3 2
x + 2m − 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có đúng 1 nghiệm lớn
2

hơn 2.

Lời giải:
a) Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y = lim ( 2 x3 − 3 x 2 + 2 ) = −∞ ; lim y = lim ( 2 x3 − 3 x 2 + 2 ) = +∞ .
x →−∞

x →−∞

x →+∞

x →+∞

x = 0
- Đạo hàm: y ' = 6 x 2 − 6 x = 0 ⇔ 

x =1
- Bảng biến thiên:
x

−∞

y’
y

1

0
+

0

−

0

2
−∞

+∞
+
+∞

1

Nhận xét: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCD = 2 ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = 1 .

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;0 ) và (1; +∞ ) .; hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1)
• Đồ thị.

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) PT ⇔ 2 x3 − 3x 2 + 4m − 2 = 0 ⇔ 2 x3 − 3x 2 + 2 = 4 − 4m (1) .
Số nghiệm của PT(1) trên là số giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = 4 − 4m ( là đường thẳng
song song với trục Ox)
Do vậy PT(1) có đúng 3 nghiệm khi d cắt ( C ) tại đúng 3 điểm phân biệt ⇔ 1 < 4 − 4m < 2 .
Tuy nhiên trong 3 nghiệm đó không có nghiệm lớn hơn 2 do vậy không có giá trị của m thoã mãn YCBT.

1
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1 .
3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm m để phương trình x3 + 6 x 2 − 15 x + 2 − 3m = 0 có đúng 2 nghiệm ?
c) Tìm m để phương trình

1 3
x + 2 x 2 − 5 x + 2m − 5 = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm
3

dương.

Lời giải
a) Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
 1

 1

- Giới hạn: lim y = lim  − x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1 = +∞ ; lim y = lim  − x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1 = −∞
x →−∞
x →−∞
x →+∞
x →+∞
 3

 3

x
=
1

- Đạo hàm: y ' = − x 2 − 4 x + 5 = 0 ⇔ 
 x = −5
- Bảng biến thiên:
x

−∞

y’

-5
+

0

−

0

+∞
+

5
3

+∞
y

1

−103
3

−∞

−103
5
; hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCD = 4 .
3
3

Hàm số đồng biến trên khoảng ( −5;1) ; hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;5) và (1; +∞ ) .

Nhận xét: Hàm số đạt cực tiểu tại x = −5 và yCT =
• Đồ thị.

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

b) PT ⇔ − x3 − 6 x 2 + 15 = 2 − 3m ⇔

Facebook: LyHung95

−1 3
2 − 3m
−1 3
−1 − 3m
x − 2 x 2 + 5x =
⇔
x − 2 x2 + 5x − 1 =
(1) .
3
3
3
3

Số nghiệm của PT(1) trên là số giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y =

−1 − 3m

( là đường
3

thẳng song song với trục Ox)
Do vậy PT(1) có đúng 2 nghiệm khi d cắt ( C ) tại đúng 2 điểm phân biệt ⇔ 1 < 3 − 3m < 2

 −1 − 3m −103
=
 3
 m = 34
3
⇔
⇔
.
 m = −2
 −1 − 3m = 5
 3
3
c) PT ⇔

−1 3
x − 2 x 2 + 5 x − 1 = 2m − 6 ( 2 )
3

Số nghiệm của PT(2) trên là số giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = 2m − 6 ( là đường thẳng

song song với trục Ox)
Do vậy PT(1) có đúng 2 nghiệm trong đó có đúng 2 nghiệm dương khi đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3

điểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương ⇔ 0 < 2m − 6 <

Vậ y 3 < m <

5
23
⇔3< m<
.
3
6

23
là giá trị cần tìm.
6

Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 2 .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm m để phương trình − x 4 + 2 x 2 + 1 − 3m = 0 có 4 nghiệm phân biệt ?
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

c) Tìm m để phương trình 2 x 4 − 4 x 2 + 3m − 5 = 0 có đúng 2 nghiệm ?
Lời giải :
a) Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y = lim ( x 4 − 2 x 2 + 2 ) = +∞ ; lim y = lim ( x 4 − 2 x 2 + 2 ) = +∞ .
x →−∞

x →−∞

x →+∞

x →+∞

x = 0
- Đạo hàm: y ' = 4 x − 4 x = 0 ⇔ 4 x ( x − 1) = 0 ⇔  x = 1
 x = −1
- Bảng biến thiên:
3

2

x

−∞

-1

−

y’

0

+∞

0
+

0

1

−

0

2

+∞
+
+∞

y
1

1

Nhận xét: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1; 0 ) và (1; +∞ ) ; hàm số nghịch biến trên các khoảng

( −∞; −1) và ( 0;1)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 và yCD = 2 ; hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1 và yCT = 1 .
• Đồ thị.

Hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
b) Phương trình ⇔ x 4 − 2 x 2 = 1 − 3m ⇔ x 4 − 2 x 2 + 2 = 3 − 3m (1) .
Số nghiệm của PT(1) trên là số giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = 3 − 3m ( là đường thẳng

song song với trục Ox)
Do vậy PT(1) có 4 nghiệm ⇔ d cắt ( C ) tại 4 điểm phân biệt ⇔ 1 < 3 − 3m < 2 ⇔ 2 > 3m > 1

⇔

2
> m >1.
3

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

c) PT ⇔ x 4 − 2 x 2 =

Facebook: LyHung95

5 − 3m
9 − 3m
⇔ x4 − 2x2 + 2 =
( 2) .
2
2

Số nghiệm của PT(2) trên là số giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng y =

9 − 3m
( đường thẳng song
2

song với trục Ox)
7

 9 − 3m
m = 3
 2 =1
⇔
.
Do vậy PT(1) có 2 nghiệm ⇔ d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt ⇔ 
m < 5
 9 − 3m > 2

 2
3
7
5
Vậy m = ; m < là giá trị cần tìm.
3
3

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!