Sự biến thiên của hàm sô đặng việt hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 + mx 2 − 4 x + 3 .
3
Tìm m để hàm số đã cho
a) nghịch biến trên R

b) đồng biến trên khoảng (1;3)
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =

1 3
x − mx 2 + (1 − 2m ) x + 1 .
3

Tìm m để hàm số đã cho

a) đồng biến trên R
b) đồng biến trên khoảng (1; +∞ )
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + ( m + 1) x 2 − 3x + m + 2 .
Tìm m để hàm số đã cho

a) nghịch biến trên ( −1;1)
b) đồng biến trên khoảng (1; +∞ )
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 + ( m − 1) x + 4m .
Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên ( −1;1)

Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 − 3 x 2 + mx + 4 . Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên ( −1; +∞ )
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =

1 3
x + ( 2m − 1) x 2 + mx + 2 .
3

Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên ( 0;1)
1
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 + ( m + 1) x 2 + ( 2m + 1) x + m .
3
Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên ( 0; 2 )

Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =

1 4
x − ( 2m + 1) x 2 + m − 1 . Tìm m để hàm số đã cho
2

a) nghịch biến trên ( 0;3)
b) nghịch biến trên ( −2; −1)

LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP
1
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 + mx 2 − 4 x + 3 .
3
Tìm m để hàm số đã cho
a) nghịch biến trên R
b) đồng biến trên khoảng (1;3)

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Lời giải:
Ta có y ' = − x + 2mx − 4
2

a) Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ' ≤ 0 ⇔ m 2 − 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2
Vậy với −2 ≤ m ≤ 2 thì hàm số luôn nghịch biến trên R
b) Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;3)

⇔ − x 2 + 2mx − 4 ≥ 0, ∀x ∈ [1;3] (do y ' liên tục tại x = 1, x = 3 )

x2 + 4
= g ( x ) ( *)
x
(*) đúng khi 2m ≥ max g ( x ) , ∀x ∈ [1;3]
⇔ 2m ≥

x = 2

 x = −2 ( loai )
13
5
Ta có: g (1) = 5, g ( 2 ) = 4, g ( 3) =
⇒ max g ( x ) = 5 ⇒ 2m ≥ 5 ⇔ m ≥

3
2
5
Vậy với m ≥ thì hàm số đồng biến trên khoảng (1;3)
2
1
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − mx 2 + (1 − 2m ) x + 1 .
3
Tìm m để hàm số đã cho
a) đồng biến trên R
b) đồng biến trên khoảng (1; +∞ )
x2 − 4
Ta có g ' ( x ) =
; g '( x) = 0 ⇔
x2

Lời giải:
Ta có y ' = x − 2mx − 2m + 1
a) Hàm số đồng biến trên R
⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ' ≤ 0 ⇔ m2 + 2m − 1 ≤ 0 ⇔ −1 − 2 ≤ m ≤ −1 + 2
2

Vậy với −1 − 2 ≤ m ≤ −1 + 2 thì hàm số đồng biến trên R
b) Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞ )

⇔ x 2 − 2mx − 2m + 1 ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) (do y ' liên tục tại x = 1 )

x2 + 1
⇔ 2m ≤
= g ( x ) ( *)

x +1
(*) đúng khi 2m ≤ min g ( x ) , ∀x ∈ [1; +∞ )
Ta có: g ' ( x ) =

x2 + 2 x − 1

( x + 1)

2

> 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇒ g ( x ) đồng biến

⇒ min g ( x ) = g (1) = 1 ⇒ 2m ≤ 1 ⇔ m ≤

1
2

1
thì hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ )
2
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + ( m + 1) x 2 − 3x + m + 2 .
Tìm m để hàm số đã cho
a) nghịch biến trên ( −1;1)
Vậy với m ≤

b) đồng biến trên khoảng (1; +∞ )
Ta có y ' = 3x + 2 ( m + 1) x − 3

Lời giải:

2

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) khi y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −1;1)
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

⇔ 3x 2 + 2 ( m + 1) x − 3 ≤ 0, ∀x ∈ [ −1;1] (do y ' liên tục tại x = −1, x = 1 )

⇔ 2 ( m + 1) x ≤ 3 − 3 x 2

• TH1: x ∈ ( 0;1] ⇒ 2 ( m + 1) ≤

(1)

3 − 3x 2
= g ( x)
x

(1)

đúng khi 2 ( m + 1) ≤ min g ( x ) , ∀x ∈ ( 0;1]

3x2 + 3
< 0 ⇒ g ( x ) nghịch biến
Ta có: g ' ( x ) = −
x2

⇒ min g ( x ) = g (1) = 0 ⇒ 2 ( m + 1) ≤ 0 ⇔ m ≤ −1
3 − 3x 2
= g ( x)
x
( 2 ) đúng khi 2 ( m + 1) ≥ max g ( x ) , ∀x ∈ [ −1;0 )

• TH2: x ∈ [ −1; 0 ) ⇒ 2 ( m + 1) ≥

( 2)

3x2 + 3
< 0 ⇒ g ( x ) nghịch biến
x2
⇒ max g ( x ) = g ( −1) = 0 ⇒ 2 ( m + 1) ≥ 0 ⇔ m ≥ −1

Ta có: g ' ( x ) = −

Từ 2 trường hợp ⇒ m = −1
Vậy với m = −1 thì hàm số nghịch biến trên ( −1;1)

b) Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞ )

⇔ 3x 2 + 2 ( m + 1) x − 3 ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) (do y ' liên tục tại x = 1 )

3 − 3x 2
( *)
x
(*) đúng khi 2 ( m + 1) ≥ max g ( x ) , ∀x ∈ [1; +∞ )
⇔ 2 ( m + 1) ≥

3x2 + 3
< 0 ⇒ g ( x ) nghịch biến
x2
⇒ max g ( x ) = g (1) = 0 ⇒ 2 ( m + 1) ≥ 0 ⇔ m ≥ −1

Ta có: g ' ( x ) = −

Vậy với m ≥ −1 thì hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ )

Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 + ( m − 1) x + 4m .
Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên ( −1;1)

Lời giải:
Ta có: y ' = 3 x + 6 x + m − 1
2

Hàm số nghịch biến trên ( −1;1) khi y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −1;1)

⇔ 3x 2 + 6 x + m − 1 ≤ 0, ∀x ∈ [ −1;1] (do y ' liên tục tại x = −1, x = 1 )
⇔ m ≤ −3 x 2 − 6 x + 1 = g ( x )

(*)
(*) đúng khi m ≤ min g ( x ) , ∀x ∈ [ −1;1]
Ta có: g ' ( x ) = −6 x − 6; g ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1
Ta có: g ( −1) = 4, g (1) = −8 ⇒ min g ( x ) = −8 ⇒ m ≤ −8
Vậy với m ≤ −8 thì hàm số nghịch biến trên ( −1;1)

Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 − 3 x 2 + mx + 4 . Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên ( −1; +∞ )
Lời giải:
Ta có y ' = −3 x 2 − 6 x + m.

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Hàm số đã cho nghịch biến trên ( −1; +∞ ) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −1; +∞ )

⇔ −3 x 2 − 6 x + m ≤ 0, ∀x ∈ ( −1; +∞ ) ⇔ m ≤ 3x 2 + 6 x, ∀x ∈ ( −1; +∞ ) .
Xét hàm số f ( x ) = 3x 2 + 6 x với x ∈ ( −1; +∞ ) có f ' ( x ) = 6 x + 6.
 f ' ( x ) = 0
6 x + 6 = 0
 x = −1
⇔
⇔
⇔ x ∈∅.

 x ∈ ( −1; +∞ )
 x ∈ ( −1; +∞ )
 x ∈ ( −1; +∞ )
Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( −1; +∞ ) ta được m ≤ f ( −1) = −3.
Đ/s: m ≤ −3.
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =

1 3
x + ( 2m − 1) x 2 + mx + 2 .
3

Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên ( 0;1)

Lời giải:
Ta có y ' = x 2 + 2 ( 2m − 1) x + m = x 2 − 2 x + m ( 4 x + 1) .
Hàm số đã cho nghịch biến trên ( 0;1) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1)
⇔ x 2 − 2 x + m ( 4 x + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ m ( 4 x + 1) ≤ 2 x − x 2 ⇔ m ≤
Xét hàm số f ( x ) =

2x − x2
, ∀x ∈ ( 0;1) .
4x + 1

2x − x2
−4 x 2 − 2 x + 2
với x ∈ ( 0;1) có f ' ( x ) =
.
2
4x + 1
( 4 x + 1)

  x = −1


1
1
 f ' ( x ) = 0
−4 x − 2 x + 2 = 0

⇔
⇔
⇔x= .



 x=
2
2
 x ∈ ( 0;1)
 x ∈ ( 0;1)

 x ∈ ( 0;1)
Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( 0;1) ta được m ≤ f ( 0 ) = 0.
2

Đ/s: m ≤ 0.
1
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 + ( m + 1) x 2 + ( 2m + 1) x + m .
3
Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên ( 0; 2 )

Lời giải:
Ta có y ' = x 2 + 2 ( m + 1) x + 2m + 1 = x 2 + 2 x + 1 + 2m ( x + 1) = ( x + 1) + 2m ( x + 1) .
2

Hàm số đã cho đồng biến trên ( 0; 2 ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) ⇔ ( x + 1) + 2m ( x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 )
2

⇔ x + 1 + 2m ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) ⇔ x ≥ −2m − 1, ∀x ∈ ( 0; 2 ) ⇔ x ∈ [ −2m − 1; +∞ ) , ∀x ∈ ( 0; 2 )
1
Do đó YCBT ⇔ −2m − 1 ≤ 0 ⇔ −2m ≤ 1 ⇔ m ≥ − .
2
1

Đ/s: m ≥ − .
2
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Facebook: LyHung95

1 4
x − ( 2m + 1) x 2 + m − 1 . Tìm m để hàm số đã cho
2

a) nghịch biến trên ( 0;3)
b) nghịch biến trên ( −2; −1)
Lời giải:
a) Ta có y ' = 2 x3 − 2 ( 2m + 1) x = 2 x ( x 2 − 2m − 1) .
Hàm số đã cho nghịch biến trên ( 0;3) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ 2 x ( x 2 − 2m − 1) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;3)

⇔ x 2 − 2m − 1 ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ m ≥
Xét hàm số f ( x ) =

x2 − 1
, ∀x ∈ ( 0;3) .
2

x2 − 1
với x ∈ ( 0;3) có f ' ( x ) = x > 0, ∀x ∈ ( 0;3) .

2

Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( 0;3) ta được m ≥ f ( 3) = 4.

Đ/s: m ≥ 4.
b) Ta có y ' = 2 x3 − 2 ( 2m + 1) x = 2 x ( x 2 − 2m − 1) .
Hàm số đã cho nghịch biến trên ( −2; −1) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −2; −1)

(

)

⇔ 2 x x 2 − 2m − 1 ≤ 0, ∀x ∈ ( −2; −1) ⇔ x 2 − 2m − 1 ≥ 0, ∀x ∈ ( −2; −1) ⇔ m ≤
Xét hàm số f ( x ) =

x2 − 1
, ∀x ∈ ( −2; −1) .
2

x2 − 1
với x ∈ ( −2; −1) có f ' ( x ) = x < 0, ∀x ∈ ( −2; −1) .
2

Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( −2; −1) ta được m ≤ f ( −1) = 0.

Đ/s: m ≤ 0.

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!