Tương giao hàm bậc ba phần 4 đặng việt hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC BA – P4 (Tham khảo)
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CĐ, CT VÀ ỨNG DỤNG
Phương pháp tìm pt đường thẳng qua CĐ, CT của hàm bậc 3:
Thực hiện phép chia đa thức y cho y ' ta được y = y '.h( x) + r ( x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia.
Khi đó y = r(x) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

Ý nghĩa : Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có tác dụng giúp ta lấy ra tọa độ của các
điêm cực đại, cực tiểu, trong các bài toán xử lí có liên quan đến tung độ cực đại và cực tiểu.
Ứng dụng của đường thẳng đi qua CĐ, CT:
+) Tìm đk để hàm số có cực đại, cực tiểu.
+) Viết được phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu (chú ý cách chứng minh nhanh). Giả sử

đường thẳng viết được có dạng ∆ : y = ax + b . Ta có một số trường hợp thường gặp
a = A
∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B khi 
b ≠ B
∆ vuông góc với đường thẳng d : y = Ax + B khi a. A = −1
∆ tạo với đường thẳng d : y = Ax + B một góc φ nào đó thì cos φ =

nd .n∆
nd . n∆

=

aA + bB

a 2 + b 2 . A2 + B 2

Cuối cùng, đối chiếu với đk tồn tại cực đại, cực tiểu ta được giá trị cần tìm của tham số m.
x3
− mx 2 + (5m − 4) x + 2
3
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng

Ví dụ 1: [Video]. Cho hàm số y =
d : 8 x + 3 y + 9 = 0.

Ví dụ 2: [Video]. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 7 x + 3
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng
d : 9 x + 8 y + 1 = 0.

Ví dụ 3: [Video]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
d : x + 4 y − 5 = 0 góc 450.

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số: y = − x3 + 3mx 2 + 3 (1 − m2 ) x + m3 − m2
Xác định m để hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu A, B sao cho ∆OAB vuông tại O

Lời giải:
Ta có: y ' = −3x + 6mx + 3 (1 − m ) , y ' = 0 ↔ − x + 2mx + (1 − m2 ) = 0 ( ∗) .
2

2

2

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Nhận xét: ∆ (∗) = 1 > 0, ∀m . Vậy hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực đại,
'

 x1 + x2 = 2m
cực tiểu thỏa mãn: 
2
 x1 x2 = m − 1
m
1
Thực hiện phép chia cho y ' ta được: y = y '  x −  + 2 x − m 2 + m
3
3
Vậy đường thẳng đi qua các điểm cực đại cực tiểu có dạng: y = 2 x − m2 + m

Vậy tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu là: A ( x1 ; y1 ) = ( x1 ;2 x1 − m 2 + m ) ; B ( x2 ; y 2 ) = ( x2 ;2 x2 − m2 + m )
Để 2 điểm cực đại, cực tiểu tại A, B tạo với O một tam giác vuông tại O thì:
OA.OB = 0 ⇔ x1 x2 + ( 2 x1 − m 2 + m )( 2 x2 − m2 + m ) = 0

⇔ 5 x1 x2 − 2m 2 ( x1 + x2 ) + 2m ( x1 + x2 ) + m 4 − 2m3 = 0 ⇔ m 4 − 6m3 + 9m 2 − 5 = 0


1± 5
m =

2
⇔ ( m 2 − 5m + 5 )( m 2 − m − 1) = 0 ⇔ 

5± 5
m =

2
1 ± 5 5 ± 5 
;
Vậ y m ∈ 
 là các giá trị cần tìm.
2 
 2
1
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − x + m + 1
3

Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu. Xác định m sao cho khoảng cách
giữa các điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.

Lời giải:
Đạo hàm y ' = x 2 − 2mx − 1, y ' = 0 ⇔ x 2 − 2mx − 1 = 0
Ta có: ∆ ' = m 2 + 1 > 0, ∀m ⇒ Hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m và hoành độ các điểm
 x1 + x2 = 2m
cực đại, cực tiểu luôn thỏa mãn: 
 x1 x2 = −1
m 2
2
1
Thực hiện phép chia cho y ' ta được: y = y '  x −  − ( m 2 + 1) x + m + 1

3 3
3
3
2
2
Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu có dạng: y = − ( m 2 + 1) x + m + 1
3
3
2
2
2
2

 

Vậy tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu là: A  x1 ; − ( m 2 + 1) x1 + m + 1 ; B  x2 ; − ( m 2 + 1) x2 + m + 1
3
3
3
3

 

Do đó, khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu là:
2
2
2
4
2
2 

2 2

 4
2
AB = ( x1 − x2 ) +  ( m + 1) ( x1 − x2 )  = ( x1 − x2 ) 1 + ( m 2 + 1)  = ( 4m 2 + 4 ) 1 + ( m 2 + 1) 
3

 9

 9

 4  4
Đặt: t = m 2 + 1 ≥ 1 ⇒ AB 2 = 4t 1 + t 2  = ( 4t 3 + 9t ) . Để AB nhỏ nhất ⇔ ( 4t 3 + 9t ) nhỏ nhất.
 9  9
3
Xét hàm f ( t ) = 4t + 9t D = [1; +∞ )

→ y ' = 12t 2 + 9 > 0, ∀t ≥ 1 ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên D
Suy ra f ( t ) ≥ f (1) = 13 . Vậy ABMin =
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

2 13
⇔ t =1↔ m = 0
3

1
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − 3mx + 4
3
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường
thẳng ( d ) : y = −2 x + 1 một góc 450
Lời giải:
Đạo hàm: y ' = x − 2mx − 3m, y ' = 0 ⇔ x − 2mx − 3m = 0 ( ∗)
2

2

Để hàm số có cực đại cực tiểu thì phương trình ( ∗) luôn có 2 nghiệm phân biệt:
m > 0
⇔ ∆ ' = m2 + 3m > 0 ⇔ 
( • ) . Với điều kiện này thì hàm số có cực đại và cực tiểu.
 m < −3
1  
m2 
1
Thực hiện phép chia cho y ' ta được: y = y '  x − m  − 2  m +
x + 4 + m2

3  
3 
3
m2 

Vậy đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có dạng: y = −2  m +

x + 4 + m2

3 

2
m 

Đặt: k = −2  m +
→ y = kx + 4 + m 2 ( ∆ )

3 

Để ( ∆ ) tạo với đường thẳng ( d ) : y = −2 x + 1 một góc 45o :
1

k=
1
2
2
2

⇔ cos ( ∆ ) ; ( d )  = cos 45 =
=
⇔ 5 ( k + 1) = 2 ( k − 2 ) ⇔ 3k + 8k − 3 = 0 ⇔
3

2
5. k 2 + 1
 k = −3
o

k −2

(**Cách khác: Sử dụng CT : tan ( ∆ ) ; ( d )  =

a1b2 − a2b1
)
a1a2 + b1b2


−3 ± 7
1
m2 

=
→
−
+
= 1 ⇔ 2 m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔ m =
k
2
m
(l )



3
3 
2



Kết hợp với điều kiện ( • ) ↔

−3 ± 3 3
 k = −3 ⇔ 2m 2 + 6m − 9 = 0 ⇔ m =
(TM )

2
Vậy m =

−3 ± 3 3
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
2

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x3 + 3m 2 x 2 + 1 (với m là tham số thực).
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho

a) đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : 2 x + y + 1 = 0
b) AB = 2 5, với A, B là tọa độ các điểm cực trị
2
c) xCÑ
+ 2 xCT = 8

Hướng dẫn:
PT đường thẳng qua CĐ, CT là y = 2m 2 x + 1,

Đ/s: a) m = ±

1
2

b) m = ±1

(∆)
c) m = −2

Lời giải
Ta xét hàm: y = − x3 + 3m 2 x 2 + 1 , y ' = −3 x 2 + 6m 2 x; y '' = −6 x + 6m 2 .

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x = 0 ⇒ y =1
y' = 0 ⇔ 
.
2
6
 x = 2m ⇒ y = 4m + 1
Để hàm số có cả cực đại và cực tiểu thì 2m 2 ≠ 0 hay m ≠ 0 .

y '' ( 0 ) = 6m 2 > 0 ⇒ điểm cực tiểu A ( 0;1) ; y '' ( 2m2 ) = −6m 2 < 0 ⇒ điểm cực đại B ( 2m 2 ; 4m6 + 1) .
a) Để AB vuông góc với d thì AB.ud = 0 ⇔ ( 2m 2 ; 4m6 ) (1; −2 ) = 0 ⇔ 2m 2 − 8m6 = 0 ⇔ m = ±

1
.
2

b)
AB = 2 5 ⇔

( 2m ) + ( 4m )
2 2

6 2

= 2 5 ⇔ 4m 4 + 16m12 = 20 ⇔ 4 ( m 4 − 1)( 4m8 + 4m 4 + 5 ) = 0 ⇔ m = ±1 .

c) x 2CD + 2cCT = 8 ⇔ 4m 4 = 8 ⇔ m = ± 4 2 .
Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 2 (với m là tham số thực).
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt các trục tọa độ tạo
thành một tam giác có diện tích bằng 4.

Lời giải
x = 0
Ta có y = x3 − 3mx 2 + 2 , y ' = 3 x 2 − 6mx . Cho y ' = 0 ⇔ 
.
 x = 2m
Để hàm số có cả cực đại và cực tiểu thì y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức là m ≠ 0 .
Ta có y =

1
( x − m ) . y '+ 2m2 x + 2 ⇒ phương trình qua cực trị là y = 2m2 x + 2 .
3

Tại x = 0 ⇒ y = 2 , y = 0 ⇒ x = −

1
.
m2

1
1
1
Nên diện tích tam giác tạo bởi với các trục là S = .2. 2 = 4 ⇔ m = ± .
2 m
2
Vậy m = ±

1
là giá trị cần tìm.
2

Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 + 1 (với m là tham số thực).
Tìm m để hàm số có đạt cực trị tại A, B sao cho AMB = 900 với M (−2; 2)

Lời giải
Ta có y = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 + 1 , y ' = 3 x 2 − 6mx + 3 ( m2 − 1) .
 x = m − 1 ⇒ y = −3m + 3
Cho y ' = 0 ⇔ 
 x = m + 1 ⇒ y = −3m − 1

Từ đây ta tìm được 2 điểm cực trị là A ( m − 1; −3m + 3) và B ( m + 1; −3m − 1) .
Trung điểm của AB là I ( m; −3m + 1) .
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Để AMB = 900 thì IM =

AB
⇔
2

( m + 2 ) + ( 3m + 1)
2

2

=

Facebook: LyHung95

m = 0
2 5
⇔ 10m 2 + 10m = 0 ⇔ 
2
 m = −1

Vậy m = 0 và m = −1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + (m − 6) x + m − 2 (1), với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm A(1; −4) đến đường thẳng đi
12
qua hai điểm cực trị bằng
.

265
Lời giải
Ta có: y′ = 3 x 2 − 6 x + m − 6 .
Hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ PT y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆′ = 32 − 3(m − 6) > 0 ⇔ m < 9

(*)

2

1
4
Ta có: y = ( x − 1).y′ +  m − 6  x + m − 4
3
3
3


2

4
⇒ PT đường thẳng qua 2 điểm cực trị ∆: y =  m − 6  x + m − 4
3
3

m = 1
6m − 18
12
⇒ d ( A, ∆) =
=

⇔ 
1053 (thoả (*))
m=
2

265
4m − 72m + 333
249


Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!