Một số ứng dụng của phép biến hình trong không gian vào giải toán

ii

Một số ứng dụng của
phép biến hình trong
không gian vào giải
toán


ii

MỤC LỤC


iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Kí hiệu

Chú thích

d
Đ(d)

Phép đối xứng qua đường thẳng

N( O, k )

O
Phép nghịch đảo tâm

k

với hệ số

R( d , ϕ )

ϕ

d
Phép quay quanh một đường thẳng

S( O , π )

theo góc quay

O
Phép chiếu xuyên tâm

đến mặt phẳng

( P)

S( P )
Phép đối xứng qua mặt phẳng

r
u

T ur
( )
Phép tịnh tiến theo vectơ

V( O , k )

O
Phép vị tự tâm

ZO

k
(hoặc phương tích

k
với hệ số vị tự

O
Phép đối xứng qua tâm

(π)

)


4

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian
và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về
“Hình và Số”. Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các
cấu trúc trừu tượng được định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng lý luận
học (lôgic) và ký hiệu toán học. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều

khoa học, toán học được mệnh danh là “Ngôn ngữ của vũ trụ”.
Môn Toán trong nhà trường phổ thông giữ vai trò và vị trí hết sức quan
trọng. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học
sinh hệ thống kiến thức, kỹ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện
cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới như cẩn thận,
chính xác, có tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm
mĩ.
Hình học là môn khoa học suy diễn, đòi hỏi người học phải có sự tư
duy và khả năng tưởng tượng tốt. Theo quan điểm của Toán học hiện đại, hình
học là một môn khoa học nghiên cứu các tính chất của các hình bất biến đối
với nhóm phép biến hình nào đó của không gian hình học.
Cách đây khoảng mười sáu năm về trước, các phép biến hình chưa có
trong nhà trường phổ thông. Đến năm 2000, các phép biến hình mới được đưa
vào nhà trường phổ thông. Điều đó chứng tỏ rằng đã chuyển hình học từ khoa
học thực nghiệm sang khoa học suy diễn. Việc chuyển như vậy là bước đầu
cho việc “Đại số hóa hình học”, tức là nghiên cứu hình học bằng công cụ đại
số. Do vậy đòi hỏi người học phải có sự tư duy tốt.
Điều đó cho thấy sự “Ưu việt” của phép biến hình trong môn Toán nhà
trường phổ thông. Hơn nữa, có những bài toán hình học được giải thông qua
phép biến hình đôi khi nhanh và gọn hơn khi giải bằng cách thông thường,
giúp học sinh tránh được một số sai lầm, ngộ nhận khi giải bằng phương pháp
thông thường, đồng thời nâng cao năng lực tổng quát hóa, tương tự hóa cho
học sinh, đem lại nhiều hứng thú học tập, tìm tòi, nghiên cứu cho học sinh.


5

Do vậy, để giải được bài tập về phép biến hình trong không gian, yêu
cầu học sinh phải nắm được những kiến thức cơ bản về những khái niệm, tính
chất, có kĩ năng giải toán linh hoạt trong việc giải các bài toán về các phép

biến hình trong không gian.
Nghiên cứu về các phép biến hình trong không gian và ứng dụng vào
giải toán với mong muốn góp phần giúp học sinh phổ thông một công cụ mới
để giải toán. Đồng thời, tạo ra tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc, học
sinh, sinh viên quan tâm đến phép biến hình trong không gian và ứng dụng
vào giải toán.
Vì những lí do trên, em mạnh dạn chọn đề tài “Một số ứng dụng của
phép biến hình trong không gian vào giải toán” làm Khóa luận tốt nghiệp
của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
- Hệ thống, phân loại một số ứng dụng của phép biến hình trong không
gian vào giải toán.
- Xây dựng phương pháp chung và ví dụ minh họa cho từng ứng dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về định nghĩa, tính chất cơ bản của các phép biến hình trong
không gian.
- Hệ thống, phân loại ứng dụng của các phép biến hình trong không
gian vào giải toán chứng minh, tìm quỹ tích, dựng hình và bài toán trong hệ
toạ độ Đề - các vuông góc Oxyz.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo
trình có liên quan đến ứng dụng của phép biến hình trong không gian vào giải
toán.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài
liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.


6

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực

tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình
thức của khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: các phép biến hình trong không gian.
- Phạm vi: Khóa luận tập trung chủ yếu vào việc trình bày ứng dụng
của các phép biến hình trong không gian vào giải toán, cụ thể là ứng dụng của
các phép biến hình trong không gian vào giải toán chứng minh, bài toán tìm
quỹ tích, bài toán dựng hình và một số bài toán trong hệ toạ độ Đề - các Oxyz.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khoá luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về phép
biến hình trong không gian đồng thời phân loại một số ứng dụng của phép
biến hình trong không gian vào giải toán. Thông qua đó xây dựng phương
pháp chung và ví dụ minh hoạ cho từng ứng dụng. Khoá luận là tài liệu tham
khảo hữu ích cho học sinh trung học phổ thông và sinh viên ngành sư phạm
Toán.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, danh mục các ký hiệu, kết luận, tài liệu tham
khảo, khóa luận được chia thành các chương:
Chương 1: Phép biến hình trong không gian
Nội dung chương này trình bày những định nghĩa, tính chất cơ bản của
phép biến hình trong không gian.
Chương 2: Một số ứng dụng của phép biến hình trong không gian vào giải
toán
Nội dung chương này hệ thống, phân loại ứng dụng của phép biến hình
trong không gian vào giải toán.


7

CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

1.1 Định nghĩa phép biến hình trong không gian
1.1.1 Định nghĩa
f.

Trong không gian cho một quy tắc

Với mỗi điểm

f

quy tắc
M

ta xác định được duy nhất điểm

M '.

Khi đó ta nói

biến

M

thành

M'

). Điểm

M

bất kì, theo

M'

là ảnh của

f :M a M '

f

qua phép biến đổi (quy tắc)

M

và được ký hiệu

f

(đọc là
M '; f

được gọi là tạo ảnh của

là một phép

biến đổi hình học hay nói ngắn gọn hơn là một phép biến hình.
Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu
f

trong phép biến đổi

và

M 1'

khác

M 2' ,

M 1' , M 2'

thì

M1

tương ứng là ảnh của

và

M2

M 1, M 2

là hai điểm phân biệt.

f

Nếu

f

được xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta nói

là

phép biến hình trong không gian.
1.1.2 Phép biến đổi 1 – 1
Ta biết rằng mỗi ảnh của một điểm
nhiều tạo ảnh khác

M.

Nếu mỗi ảnh của

M
M

f

qua phép biến đổi

có thể có

chỉ có duy nhất một tạo ảnh ứng

f

với nó thì ta nói

là một phép biến đổi một đối một (song ánh) hay vắn tắt là

1 − 1.

1.1.3 Phép biến đổi đồng nhất
f

Ta nói

f

là phép biến đổi đồng nhất, nếu

biến mọi điểm

không gian thành chính nó, và ký hiệu phép đồng nhất là

Id .

M

trong


8

Như vậy:

Id ( M ) = M , ∀M .

1.1.4 Phép biến đổi ngược
f :M a M '

Giả sử

với mọi điểm
g

một phép biến đổi
f

của

biến

M'

thành

M

M

trong không gian. Nếu tồn tại
g

, thì ta nói

f

hay

là phép biến đổi có ngược, và ký hiệu :

Như vậy: Nếu

M '= f (M)

thì

M = f −1 ( M ' ) ,

là phép biến đổi ngược
g = f −1.

và

f −1 o f = f o f −1 = Id .

1.1.5 Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến đổi
f

Cho hai phép biến đổi

g.

và

Với mỗi điểm

g : M ' a M ".

và

Phép biến đổi biến
f

M

thành

M"

M

f :M a M '

bất kỳ

được gọi là tích của hai

g

phép biến đổi

và

g o f :M a M"

hoặc

và ta ký hiệu tích của hai phép biến đổi đó là
g ( f ) : M a M ".

Tóm lại, tích của hai phép biến đổi là một phép biến đổi nhận được từ
việc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến đổi đã cho.
Cho

n

phép biến đổi

cho là một phép biến đổi
thứ tự nhất định
đó ta thực hiện

f1

n

F

f1 , f 2 ,..., f n ( n > 2 ) .

Tích của

n

phép biến đổi đã

có được bằng cách thực hiện liên tiếp theo một

phép biến đổi đó và ta viết

trước, tiếp đến là

f 2 , f3 ,..., f n .

F = f n o f n−1 o ... o f 2 o f1,

trong


9

1.1.6 Hai phép biến đổi trùng nhau
f

Cho hai phép biến đổi
nhau) và được kí hiệu

và

f = g,

f

g.

g

Ta nói

và

nếu ảnh của mọi điểm

trùng nhau (hoặc bằng
M

trong không gian của
M, f :M a M '

hai phép biến đổi đó trùng nhau. Nghĩa là, với mọi điểm

và

g : M a M '.

Cho một tập hợp điểm
f

nếu

X.

f

Ta nói

g

và

trùng nhau trên tập hợp

X,

g

và

trùng nhau cục bộ trên

X.

1.1.7 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một
phép biến đổi
Ta nói điểm
O

thành

O

f,

là điểm bất động của một phép biến đổi

biến

O.

Ta nói đường thẳng
f,

nếu mọi điểm thuộc
Ta nói mặt phẳng

nếu mọi điểm thuộc

( P)

d

d

là đường thẳng bất động của một phép biến đổi
f.

là điểm bất động của

( P)

f,

là mặt phẳng bất động của một phép biến đổi
f.

là điểm bất động của

Ta nói đường thẳng

d

bất biến của một phép biến đổi

( P)

) thành chính nó.

( P)

(mặt phẳng
f,

phẳng

f

nếu

) là đường thẳng (mặt phẳng)

f

nếu

biến đường thẳng

d

(hoặc mặt


10

Rõ ràng, nếu đường thẳng
f,

phép biến đổi

thì

d

d

(hoặc mặt phẳng

(hoặc mặt phẳng

( P)

( P)

) là bất động đối với
f.

) là bất biến đối với

1.1.8 Ảnh của một hình qua một phép biến đổi
Cũng như hình học phẳng, trong hình học không gian ta xem mỗi hình

không gian là một tập hợp điểm. Cho một hình không gian

( F)

của mọi điểm thuộc

được gọi là ảnh của
Ta ký hiệu

( F)

( F).

Tập hợp ảnh

f

qua một phép biến đổi

lập thành một hình

( F ')

qua phép biến đổi đó.

f :( F ) a

( F ')

hoặc

( F ') = { M '/

}

f : M a M ' M ∈( F ) .

1.1.9 Hai hình trùng nhau
Ta nói hai hình trong không gian

( F1 )

và

( F2 )

trùng nhau, nếu mọi

điểm của hình này thuộc hình kia và ngược lại. Hai hình trùng nhau được ký

hiệu là

( F1 ) ≡ ( F2 ) .

Nếu mọi điểm của

( F2 )

và ký hiệu là

( F1 )

thuộc

( F2 ) ,

thì ta nói

( F1 )

là hình con của

( F1 ) ⊂ ( F2 ) .

1.2 Phép đối xứng qua tâm
1.2.1 Định nghĩa
O.
Cho trước một điểm

O
M
khác
ta xác
uuuur uuuu
r
OM ' = −OM .

M'

định điểm

Nếu

M'

Với mỗi điểm
sao cho

O
M

O,

M
trùng với

thì

Hình 1.1


11

M'

O.

trùng với

Khi đó ta nói
xứng tâm

O

M'

là ảnh của

M

trong phép đối xứng qua tâm

Z O : M a M '.

) và được ký hiệu

O

Điểm

O

(hoặc đối

được gọi là tâm đối

xứng.

Cho một hình

ZO

biến đổi

xứng với

( F).

Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc

lập thành một hình

( F)

qua

O.

Nếu

tâm đối xứng. Ta ký hiệu

( F)

( F ')

và

ZO : ( F ) a

được gọi là ảnh của

( F ')

( F)

( F)

trùng nhau, thì ta nói

trong phép

hoặc hình đối

( F)

là hình có

( F ') .

1.2.2 Tính chất
Tính chất 1:
Tính chất 2:
chính là

ZO

ZO

có một điểm bất động duy nhất là điểm

ZO

là phép biến đổi 1 – 1 và có phép biến đổi ngược cũng

.
A ', B '

Tính chất 3: Nếu

ZO ,

thì

O.

A, B

lần lượt là ảnh của

trong phép biến đổi

uuuur uuur
A ' B ' = − AB.
A, B, C , D

Tính chất 4: Nếu

là bốn điểm cùng nằm trong một mặt

A ', B ', C ', D '

phẳng và
đổi

ZO

là các ảnh tương ứng của các điểm đó trong phép biến
A ', B ', C ', D '

, thì bốn điểm

cũng nằm trong một mặt phẳng.


12

Chứng minh: Gọi

( P)

A, B , C , D

là mặt phẳng chứa bốn điểm

.

Ta xét trường hợp tồn tại ba trong bốn điểm không thẳng hàng, chẳng hạn

A, B, C.
A ', B ', C '

Khi đó

Vì

x, y

không thẳng hàng và tồn tại các số thực
uuur uuur uuur
AD = x AB + y AC.

sao cho

uuuuur uuur uuuuur uuur uuuur uuur
A ' D ' = − AD, A ' B ' = − AB, A ' C ' = − AC ,

nên
uuuuur uuuur uuuur
A ' D ' = x A ' B ' + y A ' C '.

Hệ thức đó chứng tỏ

D'

A ', B ', C '

thuộc mặt phẳng đi qua ba điểm

.

1.2.3 Hệ quả: Phép biến đổi ZO biến:
i) Mặt phẳng

với

( P)

. Nếu

O

( P)

thành mặt phẳng

thuộc

, thì

ZO

và

( P ') ( P )
//

hoặc

là phép đối xứng qua tâm

( P ')

O

trùng

xác định

( P) .

trong

ii) Nửa mặt phẳng

( P ')

( P)

( P ')

và

( P)

( P)

thành nửa mặt phẳng

( P ')

và

( P ') ( P )
//

hoặc

lập thành một mặt phẳng.

Chứng minh: Để chứng minh Hệ quả ii) ta dựa vào bổ đề sau đây:
Bổ đề: Trong mặt phẳng

phẳng

( P1 )

và

( P2 ) .

( P)

cho đường thẳng

d

chia

( P)

thành hai nửa mặt

r uur
d
0 IA
I
Trên ta lấy một điểm và dựng các vectơ khác :


13

nằm trên

uur
d IB

,

nằm trong

( P1 )

x, y

tại cặp số thực

sao cho

bất kì thuộc nửa mặt phẳng

uur
IB ⊥ d .

và

Với điểm

uuur uur uur
IM = xIA + yIB

( P1 )

là

y>0

M

bất kì thuộc

( P)

tồn

(*). Điều kiện cần và đủ để

M

trong đẳng thức (*).

d

I
A
B
•

M

P
Thật vậy, nếu

hình chiếu của

M

M

trên

thuộc
d

và

( P1 )
IB

, thì

M

không thuộc

tương ứng. Khi đó

d

. Gọi

uuuur
uur
IM 2 ↑↑ IB

uuuur uur
IM 2 = yIB.

y >0

nếu tồn tại số
thỏa mãn điều kiện
uuur uuur uuuur
uuur uur uur
IM = IM 1 + IM 2
IM = xIA + yIB
Vì
với

, nên ta suy ra

y >0
.

Hình 1.2

M 1, M 2

là

nếu và chỉ


14

Ta chứng minh Hệ quả ii).
r
uur
uur
uur
0
IA
IB
IA
Ta xét các vectơ
và
khác , trong đó
nằm trên bờ của nửa

mặt phẳng

( P)

( P)

. Với điểm

,

uur
IB

M

thuộc

( P)

bất kì thuộc

I ', A ', B ', M '.

ứng thành

thẳng
Vì

M

I ' A'

Gọi

và điểm

thuộc

( P)

và

B'

uur
IB

( P)

( P ')

vuông góc với bờ của nửa mặt phẳng

phép biến đổi

ZO

I , A, B, M

biến

tương

là nửa mặt phẳng được xác định bởi đường

. Ta chứng minh rằng

M'

thuộc

( P ')

.

x, y

, theo bổ đề trên tồn tại cặp số
uuur uur uur
IM = xIA + yIB
.

sao cho

ZO

Từ định nghĩa của phép biến đổi
ta có
uuuuur uuur uuuur uur uuuur uur
uuuuur uuuur uuuur

I ' M ' = − IM , I ' A ' = − IA, I ' B ' = − IB
I ' M ' = xI ' A ' + yI ' B '.
và (*) ta suy ra
Đẳng thức này chứng tỏ
Ngược lại, nếu

M'

M'

là ảnh qua phép đối xứng
iii) Góc nhị diện

thuộc nửa mặt phẳng

thuộc

ZO

, thì tồn tại điểm

.

M

thuộc

( P)

nhận

M'

.

( P, Q )

của hai nhị diện bằng nhau.

( P ')

( P ')

thành nhị diện

( P ', Q ')

và số đo các góc phẳng


15

( S, R)

iv) Mặt cầu

nón

của

( N ')
( N)

thành mặt cầu

( S ', R ')

; hình nón

( N)

thành hình

có bán kính đáy và độ dài đường sinh bằng các yếu tố tương ứng

(T)

; hình trụ

thành hình trụ

sinh bằng các yếu tố tương ứng của

( T ')

(T)

có bán kính đáy và độ dài đường

.

v) Tích của ba phép đối xứng qua ba tâm phân biệt là một phép đối
xứng qua tâm.
Chứng minh: Ta ký hiệu
A, B, C

phân biệt
động. Gọi

. Ta đặt
O

Z A , Z B , ZC

Z = ZC o Z B o Z A

là điểm bất động của

Z

là các phép đối xứng qua ba điểm
và chứng tỏ rằng

Z

có điểm bất

, theo định nghĩa ta có

Z A : O a O ', Z B : O ' a O '', ZC : O '' a O

uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur
− AO ' = AO, − BO '' = BO ', CO '' = −CO.

và
Ta có:
uuuur uuuur uuur uuuur
uuur uuuur
BO ' = − BO '' ⇔ BA + AO ' = − BC + CO ''
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
⇔ BA + BC = O ' A + O '' C = AO + CO = AB + BO + BO − BC
uuur uuur
uuur
⇔ 2 BA + BC = 2 BO
uuur uuur uuur
⇔ BO = BA + BC.

(

(

)

Hệ thức đó chứng tỏ điểm cố định

có

ZA : M a M '

O ' a O '',

do đó

)

và

O a O ',

O

tồn tại. Với điểm

do đó

M

bất kì khác

O

uuuuur uuuur
O ' M ' = −OM ; Z B : M ' a M ''

uuuuuur uuuuur
O '' M '' = −O ' M '; Z C : M '' a M '''

và

O '' a O,

, ta

và

do đó


16

uuuuur uuuuuur
OM ''' = −O '' M ''.

Từ các kết quả trên ta suy ra

uuuuur uuuur
OM ''' = −OM .

Đây là điều cần

chứng minh.
1.2.4 Phép đối xứng tâm trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc Oxyz
I ( a , b, c ) .

Cho điểm
ảnh của

M

M ( x, y , z )

Với điểm

trong phép đối xứng qua

I.

ta ký hiệu

M ' ( x ', y ', z ' )

là

Theo định nghĩa, ta có:

 x ' = 2a − x
uuuur
uuur 
IM ' = − IM ⇔  y ' = 2b − y
 z ' = 2c − z

M
d
M’

Hệ phương trình trên xác định tọa độ điểm

M'

hoặc xác định một phép đối

I.

xứng qua

1.3 Phép đối xứng qua một đường thẳng
(Phép đối xứng trục)
1.3.1 Định nghĩa
Cho trước một đường thẳng
M

điểm

sao cho
Nếu

M

ta nói
M'

không thuộc
d

Với mỗi

ta xác định điểm

là đường trung trực của đoạn

thuộc

M'

d

d.

d,

thì

M'

trùng với

là điểm đối xứng với

là ảnh của

Đường thẳng

d

M

M

M.

M'

MM '.

Khi đó

qua

d

Hình 1.3

hoặc

qua phép đối xứng đó và được ký hiệu Đ(d):

được gọi là trục đối xứng.

M a M '.


17

Nếu quy tắc đó được xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta có
một phép đối xứng qua một đường thẳng

d

trong không gian, hay nói ngắn

gọn hơn là một phép đối xứng trục.

Cho một hình

( H).

Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc hình

phép biến đổi Đ(d) lập thành một hình

( H)

qua

d

hoặc ảnh của

trùng nhau, thì ta nói

( H)

( H)

( H ')

(H)

qua

được gọi là hình đối xứng với

trong phép biến đổi đó. Nếu

(H)

và

( H ')

là hình có trục đối xứng.

1.3.2 Tính chất
Tính chất 1: Phép biến đổi Đ(d) có một đường thẳng bất động duy nhất
là

d

và Đ(d) có phép biến đổi ngược. Phép biến đổi ngược của Đ(d) là chính nó.
A ', B '

Tính chất 2: Nếu
biến đổi Đ(d), thì

KH ⊥ AA '

là ảnh của hai điểm

H

và

K

lần lượt là trung điểm của

KH ⊥ BB '.

AA '

và

và
Ta xét
uuur uuur uuur 2
uuur uuur
AB 2 = AH + HK + KB = AH 2 + KH 2 + KB 2 + 2 AH .KB;
uuuur uuur uuuur 2
uuuur uuuur
2
2
2
2
A ' B ' = A ' H + HK + KB ' = A ' H + KH + KB ' + 2 A ' H .KB '.

(

)

(

)

·uuur uuur ·uuuur uuuur
AH , KB = A ' H , KB ' ,

Vì

tương ứng qua phép

A ' B ' = AB.

Chứng minh: Gọi
có

A, B

(

) (

)

Từ các kết quả trên ta suy ra

nên

uuur uuur uuuur uuuur
AH .KB = A ' H .KB '.

AB 2 = A ' B '2

Hệ quả: Phép biến đổi Đ(d) biến:

hay

A ' B ' = AB.

BB '

, ta


18

i) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
ii) Đường thẳng
AB

d

A' B '

thành đoạn

thành đường thẳng
A ' B ' = AB;

và

d ';

tia

Ox

thành tia

xOy

Ox ';

đoạn

x 'O ' y '

góc

thành góc

và

·x ' O ' y ' = xOy
· .

iii) Mặt cầu

( O, R )

( O ', R ) .

thành mặt cầu

Tính chất 3: Phép biến đổi Đ(d) biến bốn điểm cùng nằm trong một mặt
phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.
A, B, C

Chứng minh: Giả sử
A, B, C , D.

điểm

là ba điểm không thẳng hàng trong bốn

A ', B ', C '

Gọi

lần lượt là ảnh của ba điểm đó trong phép biến
A ', B ', C '

đổi Đ(d). Hiển nhiên

phẳng

( P ')

ảnh của

D

không thẳng hàng. Vì vậy tồn tại duy nhất mặt

đi qua ba điểm đó. Gọi

cạnh tam giác, chẳng hạn

thuộc

nên

D'

thuộc

Trường hợp 2: Nếu
giác

ABC.

A, B, C

là mặt phẳng đi qua

qua phép biến đổi Đ(d). Ta chứng minh

Trường hợp 1: Nếu

( P ') ,

( P)

Ta nối

D

D
D

D'

thuộc

;

D'

là

( P ') .

thuộc vào một trong các đường thẳng chứa ba

thuộc

BC ,

khi đó

D'

cũng thuộc

B ' C '.

Vì

B 'C '

( P ') .
D

không thuộc các đường thẳng chứa ba cạnh tam
A, B, C

với các điểm

và giả sử đường thẳng

AD

cắt


19

BC

N.

tại

( P ') ,

nên

N'

Gọi

D'

N,

là ảnh của

N'

khi đó

thuộc

( P ') .

A' N '

Do

thuộc

( P ') .

cũng thuộc

Hệ quả:
i) Phép đối xứng Đ(d) biến một mặt phẳng

( P ')

( P)

và

trùng với

( P ')

, khi

d

thuộc

( P)

thành một mặt phẳng

( P ) ( P ) ( P ') ,
;

//

khi

d

//

( P)

; nửa

mặt phẳng thành nửa mặt phẳng; miền đa giác lồi thành miền đa giác lồi; hình

tròn

( I,r)

thành hình tròn
d

Chứng minh: Nếu

ảnh của
d

Nếu

M,

//

khi đó

( P)

không thuộc

( P)

thuộc

X

và

( P ') .

d '.

( P)

( P ')

MM '

và giả sử

Với mỗi điểm

X'

( I ', r ) .

Vì

. Vậy

cắt

( P)

thuộc
X

thuộc

d ',

thuộc
X'

d.

cắt

( P)

và

Do đó

( P ')

M

là điểm bất kỳ thuộc

MM '

thuộc

, nên

X'

thuộc

là điểm chung của

trùng nhau hay

d

thuộc

( P) .

( P)

d

d ',

,

thuộc

M'

( P)

thế thì

và

X

( P ') .

thuộc

là

.

d ' d.

//

biến nó thành điểm

( P ')

và

M'

và

theo một giao tuyến

phép đối xứng qua

( P)

( P)

( P)

( P ') ,

X'

nên

Điều đó chứng tỏ

Mâu thuẫn đó chứng tỏ

( P)

//


20

Ta xét nửa mặt phẳng
d.

Ta kẻ tia

Ox

thuộc

( P)

phép biến đổi Đ(d). Khi đó

bờ là

d '.

nằm trên
thuộc

Ox

Giả sử
Ox

, thì

M

M'

A ', B '

thuộc

. Ký hiệu

O'x'

nằm trên

và

d'

d'

AB

O'x'

chứa

và

nên

M'

O'x'

d

( P)

và do đó
M

M'

và
M'

và

là ảnh của

thuộc

( P ') .

) thuộc

M.

Nếu

có các đầu mút thuộc tia

tương ứng, khi đó
M

d

là ảnh của

A ', B '

(ảnh của

và điểm

xác định một nửa mặt phẳng

A, B

là ảnh của
AB,

với bờ là đường thẳng

là điểm bất kỳ thuộc

, thì ta xét đoạn

Gọi

( P)

A ' B '.

thuộc

( P ')

và

Điều đó chứng tỏ

O

thuộc

Ox

qua

( P ')

Nếu

M
Ox

d '.

M'

với
M

không
và

Vì

d.

M

thuộc

( P ') .
Mỗi miền đa giác lồi là phần chung của các nửa mặt phẳng mà bờ là
các đường thẳng chứa các cạnh của đa giác, vì vậy ảnh của các phần chung
của nó là một đa giác lồi.
Mỗi hình tròn là thiết diện của một hình cầu và một mặt phẳng. Vì vậy
ảnh của thiết diện này là một hình tròn, xác định bởi thiết diện là tương giao
của mặt cầu ảnh và mặt phẳng ảnh (của mặt cầu và mặt phẳng tạo ảnh).
ii) Phép đối xứng Đ(d) biến góc nhị diện thành một góc nhị diện và số
đo các góc phẳng của hai nhị diện đó bằng nhau.
iii) Phép đối xứng Đ(d) biến hình nón

( N)

thành hình nón

( N ′)

và hai

hình nón đó có độ dài đường sinh bằng nhau, bán kính đáy bằng nhau; hình


21

trụ

(T)

thành hình trụ

( T ′)

có độ dài đường sinh bằng nhau, bán kính đáy

bằng nhau.
1.3.3 Phép đối xứng qua một đường thẳng trong hệ tọa độ Đề - các vuông
góc Oxyz
Oxyz

Ta xét biến đổi Đ(x) trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc

xứng

x

ảnh của

Gọi
của

H

trùng với trục
M

Ox.

Với điểm

ta ký hiệu

qua phép đối xứng đó. Ta tìm tọa độ của

là hình chiếu của

MM ',

M ( x0 , y0 , z0 )

M

trên

Ox,

khi đó

mà trục đối

M'

H ( x0 ,0,0 ) .

M ' ( x ', y ', z ' )

theo tọa độ của

Vì

H

là

M.

là trung điểm

nên
 x ' = x0

 y ' = − y0
z ' = −z
0



.

Hệ phương trình đó xác định một phép đối xứng qua trục
Oy

luận tương tự phép đối xứng qua

biến

M

 x ' = − x0

 y ' = y0 .
z ' = −z
0

1.4 Phép đối xứng qua một mặt phẳng
(Phép đối xứng mặt)

thành

M'

Ox.

Bằng cách lập

có tọa độ


22

1.4.1 Định nghĩa

( P) .
Cho trước một mặt phẳng

M
Với mỗi điểm

M'

( P)

ta xác định điểm

là mặt phẳng trung trực của đoạn

( P)

M

MM '.

( P)

không thuộc

sao cho
Nếu

thuộc

M'
, thì

Khi đó ta nói

M
là điểm đối xứng của

M'

phẳng

P

( P)

qua

M

là ảnh của

( P)

M.
chính là

M'
hay

M

M'

qua phép đối xứng qua mặt

và được ký hiệu

Hình 1.4

S( P ) : M a M '.

Mặt phẳng

( P)

được gọi là mặt

phẳng đối xứng.
Nếu quy tắc đó xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta có một
phép đối xứng qua mặt phẳng, hay nói ngắn gọn là phép đối xứng mặt.
Cho một hình

biến đổi

( P)
( F)

hay

S( P )

( F).

Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc

lập thành một hình

( F ')

là ảnh của

( F)

( F ')

. Nếu

( F)

qua phép

được gọi là hình đối xứng của

( F)

và

( F ')

( F)

qua

trùng nhau, thì ta nói hình

là hình có mặt phẳng đối xứng.

1.4.2 Tính chất
Tính chất 1 : Phép biến đổi

mặt phẳng

( P)

.

S( P )

có một măt phẳng bất động duy nhất là


23

Chứng minh : Giả sử
M

Với điểm

bất kỳ thuộc

chứng tỏ

( P ')

và

( P ')

MM .

phẳng trung trực của

( P)

( P ')

là mặt phẳng bất động khác

,

S( P )

biến

Điều đó chứng tỏ

S( P )

Chứng minh : Giả sử

và

đường thẳng

M1

và

vuông góc với

của cả hai đoạn thẳng

M 1M '

và

S( P )

M2

cùng vuông góc với

M 1M 2

M

Tính chất 3 : Nếu

biến đổi

, thì

thuộc

( P)

là mặt

. Mâu thuẫn đó

M 2M '

M '.

có cùng một ảnh là

( P) .

( P)

.

tại

M'

Điều đó chứng tỏ
H.

. Vì vậy

Mặt khác,

M1

A ', B '

S( P )

. Khi đó,

( P)

.

là phép biến đổi 1 – 1 và có phép biến

đổi ngược. Phép biến đổi ngược chính là

M 2M '

thành

M

của

S( P )

trùng nhau.

Tính chất 2 : Phép biến đổi

M 1M '

M

( P)

H

trùng với

Khi đó,

nằm trên

là trung điểm

M 2.

A, B

là ảnh của hai điểm

tương ứng qua phép

A ' B ' = AB.

Oxyz

Chứng minh : Chọn hệ tọa độ
Oy.

Trong hệ toạ độ có các điểm

A ( 0,0, z1 )

sao cho

và

( P)

chứa các trục

B ( x2 ,0, z2 ) .

Gọi

Ox

và

A ' ( 0,0, − z1 )


24

và

B ' ( x2 ,0, − z2 )

A

là các ảnh tương ứng của

và

B.

Từ đó ta suy ra được

A ' B ' = AB.

S( P )

Hệ quả: Phép biến đổi

biến:

i) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của
ba điểm đó.

ii) Đường thẳng

d

( P)

không thuộc

song với nhau hoặc cắt nhau trên

( P)

thành đường thẳng

. Tia

Ox

thành tia

d'

O ' x '.

hoặc song
xOy

Góc

x 'O ' y '

thành góc
iii) Mặt cầu

và hai goác bằng nhau.

( I , R)

thành mặt cầu

Tính chất 4: Phép biến đổi

S( P )

( I ', R ) .

biến bốn điểm cùng nằm trong một mặt

phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.
A, B, C , D

Chứng minh: Giả sử

là bốn điểm cùng nằm trong một mặt

A ', B ', C ', D '

phẳng.

lần lượt là ảnh của chúng qua phép biến đổi

S( P )

. Ta

A ', B ', C '

chứng minh rằng

cùng nằm trong một mặt phẳng. Ta xét các trường

hợp sau:
A, B, C

Trường hợp 1: Ba điểm
thẳng hàng. Vì vậy nếu
thuộc đường thẳng

D

A ' B '.

A ', B ', C '

thẳng hàng. Khi đó

không thuộc đường thẳng

AB

, thì

cũng
D'

cũng không

A ', B ', C ', D '

điều đó chứng tỏ bốn điểm

thuộc một


25

mặt phẳng. Nếu
thuộc

AB

thuộc

AB

, thì

D'

thuộc

A ' B '.

Ta chọn điểm

A, B, C , D

để xác định mặt phẳng chứa

A' B '

cùng với

D

, khi đó

E'

E

A ', B ', C ', D '

cũng xác định mặt phẳng chứa

Trường hợp 2: Ba điểm

.
A ', B ', C '

không thẳng hàng. Khi đó

không thẳng hàng và chúng xác định mặt phẳng

thuộc

không

là ảnh của

A, B, C

D'

E

( A ' B ' C ') .

Thật vậy, nếu
ABC ,

chứa ba cạnh tam giác

thì

D

D'

( A ' B ' C ') .

Ta chứng minh

thuộc vào một trong các đường thẳng

( A ' B ' C ') .

thuộc

các đường thẳng đó thì trong ba đường thẳng nối

D

Nếu

D

không thuộc

A, B, C

với

có ít nhất một

đường thẳng cắt một trong các đường thẳng chứa ba cạnh tam giác. Chẳng
hạn

AD

thẳng

cắt

A' D '

BC

tại

E.

Gọi

E'

E,

là ảnh của

có hai điểm chung

A'

và

E'

khí đó

với

E'

thuộc

( A ' B 'C ') ,

B ' C '.

nên

D'

Đường

thuộc

( A ' B 'C ') .
Hệ quả: Phép biến đổi
i) Mặt phẳng

( Q)

S( P )

biến:

thành mặt phẳng

( Q ')

song song hoặc cắt nhau theo một giao tuyến trên

và hai mặt phẳng đó hoặc

( P) .

Nửa mặt phẳng thành

nửa mặt phẳng. Miền đa giác phẳng thành miền đa giác phẳng. Nhị diện thành
một nhị diện và số đo các góc phẳng của chúng bằng nhau.