Các vấn đề về góc trong hình không gian phần 1 thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

CÁC V N

ng)

Hàm s

V GÓC (PH N 01)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ

c biên so n kèm theo bài gi ng Các v n đ v góc (Ph n 01) thu c khóa h c Luy n

thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
tr

ng t i website Hocmai.vn.

s d ng hi u qu , B n c n h c

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i C, AC = 2, BC = 4. C nh bên SA = 5 vuông
góc v i đáy. G i D là trung đi m c nh AB. Tính góc gi a AC và SD
Gi i:
Ta có : AB = 2 5 ,
G i M là trung đi m c a BC ,ta có : DM = 1
SD =

SA2  AD2  30 ,

SC =

SA2  AC 2  29

SM =

SC 2  CM 2  33

SD 2  MD 2  SM 2 30  1  33
1
(*)
Ta có : cos SDM 


2SD.MD
2 30
30
Góc  gi a hai đ ng th ng AC và SD là góc gi a hai đ ng th ng
DM và SD hay  bù v i góc  SDM . Do đó : cos  =
V y  = arcos

1
30

1
30

Bài 2: Cho t di n ABCD, g i M và N l n l t là trung đi m BC, AD. Bi t AB = CD = 2a, MN = a 3 .
Tính góc gi a 2 đ ng th ng AB và CD
Gi i:
G i P là trung đi m AC. Khi đó MP // AB, NP // CD và MP = NP = a
 ( AB, CD)  (MP , NP )
Trong tam giác MPN ta có:
MP 2  NP 2  MN 2 2a 2  3a 2
1


2MP.NP
2a .a
2
0
 MPN  120
cosMPN=

V y (MP , NP )  600  ( AB, CD)  600

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông t i A và D, AD=DC=a, AB=2a. SA vuông góc
v i AB và AD, SA=

2 3a
. Tính góc gi a 2 đ

3

ng th ng:

a, DC và SB
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

b, SD và BC
Gi i:
a. Do DC / / AB  ( DC, SB)  ( AB, SB)  
2a 3
3
SA
Tam giác SAB vuông t i A nên  là góc nh n, khi đó tan  
 3 
   300

2a
3
AB

V y ( DC, SB)  30 0
b. G i I là trung đi m AB, khi đó AI=a. T giác ADCI là hình bình hành, l i có AI=AD=a nên là hình
thoi, mà góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông c nh a  DI  a 2
T giác BIDC là hình bình hành nên BC // DI
Khi đó (SD, BC)  (SD, DI )  
Tam giác SAI vuông t i A nên SI 2  SA2  AI 2 

7a 2
3

7a 2
Tam giác SAD vuông t i A nên SD  SA  AD 
3
Áp d ng đ nh lý hàm s cosin trong tam giác SDI:
2

2

2

SD 2  DI 2  SI 2

2SD.DI

2a 2
3

>0

42
a 21
.a 2
a.
3
3
Suy ra SDI là góc nh n và SDI =arccos
42
cosSDI 

Bài 4: Cho hình l ng tr tam giác đ u ABC. A' B' C ' có AB  1, CC '  m (m  0). Tìm m bi t r ng góc
gi a hai đ ng th ng AB ' và BC ' b ng 600 .
Gi i:
-K

BD / / AB '

( D  A' B ')

 ( AB ', BC ')  ( BD, BC ')  600

 DBC '  600 ho c DBC '  1200.

- N u DBC '  600
Vì l ng tr đ u nên BB '  ( A' B ' C ').
Áp d ng đ nh lý Pitago và đ nh lý cosin ta có

BD  BC '  m2  1 và DC '  3.

K t h p DBC '  600 ta suy ra BDC ' đ u.
Do đó

m2  1  3  m  2.

- N u DBC '  1200
Áp d ng đ nh lý cosin cho BDC ' suy ra m  0 (lo i).
V y m  2.
Bài 5: Cho hình chóp t giác SABCD có đáy là hình thoi c nh b ng

5 , AC = 4, chi u cao SO = 2 2 ,

đây AC  BD  O . G i M là trung đi m c a SC. Tìm góc gi a hai đ

ng th ng SA và BM.

Bài gi i:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

Có góc gi a hai đ

ng)

Hàm s

ng th ng SA và BM là góc gi a MO và BM (vì MO//SA)





2
1
1
1
2 2  22  3
SA 
SO 2  OA2 
2
2
2
2
2
AC  BC  AB2 16  5  5 2


có Cos ACB=
2. AC.BC
2.4. 5
5

MO 

S

M t khác trong tam giác BOC có
BO2  OC 2  BC 2  2cos ACB.OC.BC=4+5-2.

2
2. 5  1
5

M

 BO  1
Vì SO là chi u cao nên SO vuông góc v i m t ph ng đáy

O

=> SO vuông góc v i BO
SB  SO 2  BO 2 

2 2 

D

A

2

B

 12  3

C

1
SC  3
2
SB2  SC 2  BC 2 9  12  5
4


cos BSC=
2.SB.SC
2.3.2 3 3 3
có SC=SA=2 3  SM 

BM 2  SB2  SM 2  2.SB.SM .cos BSC=9+3-2.3. 3.

4
3 3

4

 BM  2

BM 2  MO 2  BO 2 4  3  1
3
3




2.BM .MO
2
2.2. 3 2 3
 BMO=300
V y góc gi a 2 hai đ ng th ng SA và BM= 300
Cos BMO=

Bài 6: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy là tam giác vuông cân ABC t i B, trong đó BA = BC = 2a và
SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). Bi t r ng SB t o v i m t ph ng (ABC) 1 góc b ng 600. Tìm góc
gi a hai đ ng th ng AB và SC.
Bài gi i:
T Ck đ
Có SB 

ng th ng CD// AB, CD=AB. Khi đó góc gi a AB và SC chính là góc gi a CD và SC.

2a
 4a , SA  SB2  AB2  2a 3 .
cos 600

S

SC  SB2  BC 2  2a 5 vì CB  AB, SA  CB   SAB  CB  SB
SD  SA2  AD2  4a (vì SA vuông góc v i (ABC))

D

1
DC 2  SC 2  SD 2 4a 2  20a 2  16a 2


cos SCD 
2.DC.SC
2.2a .2a 5
5
 1 
 SCD  arccos 

 5

 1 
V y góc gi a AB và SC là: arccos 

 5
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

A

B
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

C
- Trang | 3 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Bài 7 (t gi i): Cho t di n đ u ABCD v i K là trung đi m c a CD .
a) Tính góc gi a 2 đ ng th ng AB và CD .
b) Tính góc gi a hai đ ng th ng AK và BC .
áp s :

a) ( AB,CD) = 90o,

b) ( AK, BC) = arcos

3
6

Bài 8 (t gi i) : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh là 2 2 . Cho SC  (ABC) và
SC = 1 . G i D, E l n l t là trung đi m c a AB và BC. Tính góc gi a hai đ ng th ng CD và SE .
áp s : Góc (CD,SE) = 45o

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 4 -