Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phần 1 đoàn việt hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. MẶT PHẲNG CÓ CHỨA ĐƯỜNG CAO
Ví dụ 1. [Video]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AB = 2a; BC =

3a
; AD = 3a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của
2

BD. Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ C đến mặt phẳng (SBD)
b) từ B đến mặt phẳng (SAH)
Ví dụ 2. [Video]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2a; BD = 2a 2. Gọi H là
trọng tâm tam giác ABD, biêt rằng các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ C đến mặt phẳng (SHD)
b) từ G đến mặt phẳng (SHC), với G là trọng tâm tam giác SCD.
Ví dụ 3. [ĐVH]: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác vuông tại
B, AB = a, ACB = 300 , AA′ = 2a 2 .

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( A′BC ) .
b) Gọi M là trung điểm của BB′ . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A′BC ′ ) .
Lời giải:

AB
AB
a) Ta có tan ACB =
⇒ BC =
=a 3
BC
tan ACB

AC =

AB 2 + BC 2 = a 2 + 3a 2 = 2a
1
Ta có d ( G , ( A ' BC ) ) = .d ( A, ( A ' BC ) )
3
Kẻ AN ⊥ A ' B
 BC ⊥ AB
Ta có 
⇒ BC ⊥ ( A ' BC ) ⇒ BC ⊥ AN
 BC ⊥ A ' A
Mà AN ⊥ A ' B ⇒ AN ⊥ ( A ' BC )

⇒ AN = d ( A, ( A ' BC ) )

1
1
1
1
1
=
+

= 2 + 2
2
2
2
AN
AA '
AB
8a
a
9
2a 2
2a 2
= 2 ⇒ AN =
⇒ d ( G, ( A ' BC ) ) =
3
9
8a
1
b) Ta có d ( M , ( A ' BC ' ) ) = d ( B ', ( A ' BC ' ) )
2
Kẻ BH ⊥ A ' C ', BK ⊥ KB

Xét ∆A ' AB :

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

 A ' C ' ⊥ BH
Ta có 
⇒ A ' C ' ⊥ ( B ' HB ) ⇒ A ' C ' ⊥ B ' K mà B ' K ⊥ BH ⇒ B ' K ⊥ ( A ' BC ')
 A 'C' ⊥ BB '
⇒ B ' K = d ( B ', ( A ' BC ') )
1
1
1
1
1
4
a 3
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ B'H =
2
2
2
2
B'H
B ' A'
B 'C '
a
3a
3a
1
1
1
4

1
35
2a 6
a 6
=
+
= 2 + 2 =
Xét ∆B ' HB :
⇒ B'K =
⇒ d ( M , ( A ' BC ' ) ) =
2
2
2
BB ' 3a
B'K
B'H
8a
24a
35
35
Ví dụ 4. [ĐVH]: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = 2a, AB = 4a, SD = 5a . Cạnh
bên SA vuông góc với đáy.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .

Xét ∆A ' B ' C :

1
b) Gọi M là trung điểm của BC , N nằm trên SB sao cho SN = SB . Tính khoảng cách từ N đến mặt
3
phẳng ( SMD ) .

a) Kẻ AI ⊥ SB
 BC ⊥ AB
Ta có 
⇒ BC ⊥ ( SAB )
 BC ⊥ SA

Lời giải:

⇒ BC ⊥ AI mà AI ⊥ SB ⇒ AI ⊥ ( SBC )

⇒ AI = d ( A, ( SBC ) )

SA = SD 2 − AD 2 = 25a 2 − 4a 2 = a 21
1
1
1
1
Xét ∆SAB :
=
+
=
2
2
2
AI
AS
AB
21a 2
1

37
4a 21
+
=
⇒ AI =
2
2
16a
336a
37
⇒ d ( A, ( SBC ) ) =

4a 21
37

b) Gọi J là giao điểm của AB và DM
1
1
Ta có d ( N , ( SMD ) ) = d ( B, ( SMD ) ) = d ( A, ( SMD ) )
3
6
Kẻ AH ⊥ DM , AK ⊥ SH
 DM ⊥ AH
⇒ DM ⊥ ( SAH ) ⇒ DM ⊥ AK mà AK ⊥ SH ⇒ AK ⊥ ( SDM )
Ta có 
 DM ⊥ SA

⇒ AK = d ( A, ( SDM ) )

Ta có S ADM =

Xét ∆SAH :

2S
1
1
8a 2
8a
S ABCD = 4a 2 mà S ADM = AH .DM ⇔ AH = ADM =
=
2
2
DM
17
16a 2 + a 2

1
1
1
1
17
421
8a 21
4a 21
=
+
=
+
=
⇒ AK =

⇒ d ( N , ( SMD ) ) =
2
2
2
2
2
2
AK
AS
AH
21a
64a
1344a
421
3 421

Ví dụ 5. [ĐVH]: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền có độ dài bằng
25a
8a . Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM . Biết SH ⊥ ( ABC ) và SB =
2
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAM ) .
b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) .
Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a) Kẻ BK ⊥ AM
 BK ⊥ SH
Ta có 
⇒ BK ⊥ ( SAM )
 BK ⊥ AM

⇒ BK = d ( B, ( SAM ) )

AB = 8a ⇒ AC = BC = 4a 2
1
1
Ta có S AMB = S ABC = BK . AM
2
2
1
AC.BC 4a 10
⇔ AC.BC = BK . AM ⇔ BK =
=
2
2 AM
5
4a 10
⇒ d ( B, ( SAM ) ) =
5
b) d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( M , ( SAC ) ) = 4d ( H , ( SAC ) )
Kẻ HE ⊥ AC , HF ⊥ SE
 AC ⊥ HE
Ta có 
⇒ AC ⊥ ( SHE ) ⇒ AC ⊥ HF

 AC ⊥ SH
Mà HF ⊥ SE ⇒ HF ⊥ ( SAC )

⇒ HF = d ( H , ( SAC ) )

Xét ∆BAM : BH 2 =

BA2 + BM 2 AM 2
a 521
−
= 26a 2 ⇒ BH = a 26 ⇒ SH = SB 2 − BH 2 =
2
4
2

1
MC = a 2
2
1
1
1
1
4
529
a 1042
Xét ∆SHE :
=
+
= 2 +
=

⇒ HF =
2
2
2
2
2
HF
HE
HS
2a
521a
1042a
529
4a 1042
⇒ d ( B, ( SAC ) ) =
529
HE =

Ví dụ 6. [ĐVH]: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, gọi M là trung điểm cạnh AD, hình chiếu
3a
vuông góc của S trên mặt đáy trùng với trung điểm của đoạn BM biết SM =
và SH = a . Tính các
2
khoảng cách sau:
a) d ( A; ( SBM ) ) .
b) d ( D; ( SBM ) )

Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
a) Ta có: HM = SM 2 − SH 2 =

Facebook: Lyhung95

a 5
.
2

Khi đó: BM = 2 HM = a 5 .
Lại có: AB = 2 AM do vậy:

BM = AM 2 + ( 2 AM ) ⇔ 5a 2 = 5 AM 2 ⇔ AM = a
2

Khi đó AB = 2a .
Dựng AE ⊥ BM lại có AE ⊥ SH ⇒ AE ⊥ ( SBM )
Do vậy d ( A; ( SBM ) ) = AE =

AM . AB

AM 2 + AB 2
b) Dựng DE ⊥ BM tương tự ta có:
2a
d ( D; ( SBM ) ) = DF = AE =
.
5

=

2a
.
5

Ví dụ 7. [ĐVH]: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AD = 2a . Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S trên mặt đáy là điểm H thoả mãn HA = 2 HB . Biết rằng SA = a 5 và SH = a . Tính các khoảng
cách sau:
a) d ( A; ( SHD ) ) .
b) d ( C ; ( SHD ) ) .

Lời giải:
a) Ta có: HA = SA − SH = 2a ⇒ HB = a
Khi đó AB = CD = 3a .
Dựng AE ⊥ HD lại có AE ⊥ SH ⇒ AE ⊥ ( SHD ) .
2

2

Khi đó d ( A; ( SHD ) ) = AE =

AH . AD

AH 2 + AD 2
b) Tam giác AHD vuông cân tại A nên

=a 2.

ADH = 450 ⇒ HDC = 450 .

Dựng CF ⊥ DH lại có CF ⊥ SH suy ra
3a
d ( C ; ( SHD ) ) = CF = CD.sin HDC =
.
2
3a
Đáp số: a) d = a 2 b) d =
2

Ví dụ 8. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của CD, hình
chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 600. Tính
khoảng cách

a) từ B đến (SAM).
b) từ C đến (SAH)
Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a) Kẻ BN ⊥ AM lại có BN ⊥ SH ⇒ BN ⊥ ( SAM ) ⇒ d ( B; ( SAM ) ) = BN
Ta có: ABN = DAM ; cos DAM =

AD
=
AM

2a

( 2a )

2

+ a2

=

2
5

2
4a
=
5
5
b) Kẻ CO ⊥ AM ta có CO ⊥ AH ⇒ CO ⊥ ( SAH )

Vậy BN = AB.cos ABN = 2a.

⇒ d ( C ; ( SAH ) ) = CO = CM .cos MCO = CM .cos ABN =

2a
5
Ví dụ 9. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a. Hình chiếu
vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho HB = 2 HA . Biết góc giữa SC và (ABCD)
bằng 450. Tính khoảng cách

a) từ D đến (SHC).
b) từ trung điểm M của SA đến (SHD)
Hướng dẫn: (Các em tự vẽ hình nhé)
a 97
a 97
+) Ta dễ dàng tính được HC =
; ( SC ; ABCD ) = SCH = 450 ⇒ SH = HC =
3
3
+) Kẻ DD1 ⊥ HC ⇒ DD1 ⊥ ( SHC ) ⇒ DD1 = d ( D; SHC )
Sử dụng tính toán qua công cụ diện tích ta dễ dàng có
2a.3a 18a
18a
2 S HDC = DD1.HC = DC.d ( H ; DC ) ⇒ D.D1 =
=
⇒ d ( D; SHC ) =
a 93
97
97
3
1
b) Do M là trung điểm của SA nên d ( M ; SHD ) = d ( A; SHD )
2

2a
.3a
AH . AD
6a
+) Kẻ AK ⊥ HD ⇒ AK ⊥ ( SHD ) ⇒ AK = d ( A; SHD ) , mà AK =

= 3
=
HD
85
a 85
3
3a
Tư đó suy ra d ( M ; SHD ) =
.
85
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!