Lý thuyết về các lũy đẳng trong các vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vũ Vân Trang

LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC
VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vũ Vân Trang

LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC
VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán Tin
và Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để
tôi thực hiện luận văn trong thời gian cho phép.
Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn là PGS.TS. Bùi Tường Trí.
Thầy đã nhiệt tình hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Dù đã cố gắng thực hiện và hoàn thành luận văn bằng tất cả tâm huyết và năng
lực của mình nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận
được ý kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô và các bạn.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng 09 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Vũ Vân Trang

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
BẢNG KÝ HIỆU ......................................................................................................... 3
LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 4
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................................... 5
1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành ..........................................................................5
1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun ......................................................................7
1.3. Radical của vành ......................................................................................................10

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH
KHÔNG GIAO HOÁN ............................................................................................. 15
2.1. Lũy đẳng ...................................................................................................................15

2.2. Lũy đẳng tâm ............................................................................................................18
2.3. Lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ .....................................................................19
2.4. Lũy đẳng nguyên thủy .............................................................................................19
2.5. Lũy đẳng địa phương ...............................................................................................20
2.6. Lũy đẳng bất khả quy ..............................................................................................23
2.7. Lũy đẳng đẳng cấu ...................................................................................................25
2.8. Sự nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành R .27
2.9. Lũy đẳng tâm và sự phân tích khối ........................................................................34

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 43

2


BẢNG KÝ HIỆU
ℤ

Vành các số nguyên

𝑍(𝑅)

Tâm của vành 𝑅

𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑀, 𝑁)

Nhóm các 𝑅 – đồng cấu từ 𝑀 đến 𝑁

𝐴↠𝐵
𝑀𝑅

B là ảnh toàn cấu của A
𝑅 – môđun phải 𝑀

𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑀)

Vành các 𝑅 – tự đồng cấu của 𝑀

𝑈(𝑅)

Nhóm các phần tử khả nghịch của vành 𝑅

ACC

Điều kiện dây chuyền tăng

𝑀𝑛 (𝐷)

𝑟𝑎𝑑 𝑅
DCC

Vành ma trận vuông cấp n trên 𝐷

Căn Jacobson của 𝑅

Điều kiện dây chuyền giảm

3

LỜI NÓI ĐẦU
Trước hết ta thấy rằng trong vành giao hoán có lũy đẳng 𝑒 thì vành 𝑅 được

phân tích thành tích trực tiếp của hai vành con 𝑅𝑒 và 𝑅(1 − 𝑒). Theo nhiều nghiên
cứu trong lý thuyết vành giao hoán, chúng ta chỉ thu hẹp nghiên cứu trong các vành 𝑅

không thể phân tích được nghĩa là 𝑅 ≠ 0 và 𝑅 không phân tích được thành tích trực

tiếp của hai vành con khác không. Các vành này là các vành chỉ có các phần tử lũy
đẳng tầm thường là 0 và 1. Đối với vành không giao hoán, nhận xét trên sẽ hợp lí nếu
ta thay từ “lũy đẳng” thành “lũy đẳng tâm”. Do đó, một vành 𝑅 khác không là không

phân tích được nếu và chỉ nếu nó không có phần tử lũy đẳng tâm không tầm thường.
Tuy nhiên trong các vành này có thể có nhiều phần tử lũy đẳng không là lũy đẳng tâm
không tầm thường. Do vậy trong lý thuyết các vành không giao hoán định lý về các
lũy đẳng có vai trò nổi bật hơn trong lý thuyết các vành giao hoán. Đặc biệt là vai trò
của lũy đẳng tâm trong sự phân tích khối của các vành.

4


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đại số không giao
hoán. Quy ước trong chương: không nói gì thêm thì 𝑅 là vành không giao hoán có
đơn vị, môđun M là một 𝑅 – môđun phải.

1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành
Định nghĩa 1.1.1

Cho tập hợp R khác rỗng , trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí hiệu

là “+” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói R, +,. là một vành nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) R, + là một nhóm giao hoán.
(2) R,. là một nửa nhóm.
(3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, với các phần tử tùy ý
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 ta có: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 và (𝑦 + 𝑧)𝑥 = 𝑦𝑥 + 𝑧𝑥

Nếu phép nhân trong 𝑅 giao hoán thì ta gọi 𝑅 là vành giao hoán, nếu phép

nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi 𝑅 là vành có đơn vị.
Định nghĩa 1.1.2

Một bộ phận 𝐴 khác rỗng của vành 𝑅 cùng với hai phép toán của vành 𝑅 cảm

sinh trên 𝐴 thành một vành thì ta nói 𝐴 là vành con của vành 𝑅.
Định nghĩa 1.1.3

Cho 𝑅 là một vành, một vành con 𝐴 của 𝑅 được gọi là iđêan trái (hoặc iđêan

phải) của vành 𝑅 nếu thỏa mãn điều kiện: 𝑟𝑎 ∈ 𝐴 (hoặc 𝑎𝑟 ∈ 𝐴), ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑟 ∈ 𝑅.

Vành con 𝐴 của 𝑅 được gọi là iđêan của vành 𝑅 nếu 𝐴 vừa là iđêan trái vừa là

iđêan phải của vành 𝑅.
Định lý 1.1.4

Giả sử 𝐴 là iđêan của vành (𝑅, +, . ) trên nhóm thương (𝑅�𝐴 , +) ta định nghĩa

phép toán nhân như sau: (𝑥 + 𝐴)(𝑦 + 𝐴) = 𝑥𝑦 + 𝐴.

Khi đó (𝑅�𝐴 , +, . ) là một vành, gọi là vành thương của 𝑅 trên 𝐴.
5


Định nghĩa 1.1.5
Một phần tử 𝑎 của vành 𝑅 là lũy linh nếu tồn tại 𝑛 sao cho a n = 0 .
Định nghĩa 1.1.6

Một iđêan một phía (hoặc hai phía) 𝐴 ⊆ 𝑅 được gọi là nil nếu 𝐴 chứa các phần

tử lũy linh; 𝐴 được gọi là lũy linh nếu 𝐴𝑛 = 0 với 𝑛 là số tự nhiên nào đó.
Định nghĩa 1.1.7

Cho 𝑅 là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong 𝑅 đều khả

nghịch thì 𝑅 được gọi là một vành chia (hay là một thể).
Định nghĩa 1.1.8

Vành 𝑅 là đơn nếu 𝑅 2 ≠ 0 và 𝑅 có đúng hai iđêan là (0) và 𝑅.
Định nghĩa 1.1.9

Vành 𝑅 được gọi là Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các iđêan phải đều có

phần tử tối tiểu.

Định nghĩa 1.1.10

Vành 𝑅 được gọi là Noether phải nếu mọi tập khác rỗng các iđêan phải đều có

phần tử tối đại.

Định nghĩa 1.1.11

Vành 𝑅 được gọi là vành nguyên tố nếu 𝑎𝑅𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 thì 𝑎 = 0 hoặc

𝑏 = 0.

Định nghĩa 1.1.12
Vành 𝑅 được gọi là nửa nguyên tố nếu nó không có iđêan lũy linh khác không.
Định nghĩa 1.1.13

Một ánh xạ 𝑓 từ vành 𝑅 vào vành 𝑅′ được gọi là một đồng cấu vành nếu 𝑓 bảo

toàn các phép toán, nghĩa là:

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)
𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)

Một đồng cấu từ vành 𝑅 vào vành 𝑅 được gọi là một tự đồng cấu của 𝑅. Một

đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh được gọi lần lượt là đơn cấu, toàn
cấu, đẳng cấu.

Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng
6


cấu từ 𝑅 vào 𝑅′ thì ta nói 𝑅 đẳng cấu với 𝑅′, kí hiệu: 𝑅 ≅ 𝑅′.
1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun
Định nghĩa 1.2.1

Cho 𝑅 là một vành tùy ý và 𝑀 là một nhóm cộng aben. 𝑀 được gọi là một 𝑅 –

môđun phải nếu có một ánh xạ 𝑓: 𝑀 𝑥 𝑅 ⟶ 𝑀,
sao cho ∀𝑚, 𝑚1 , 𝑚2 ∈ 𝑀 và ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 thì:

(𝑚, 𝑟) ↦ 𝑓(𝑚, 𝑟) = 𝑚𝑟

(1) m(a + b) = ma + mb.

(2) (m1 + m2 )a =m1a + m2 a.
(3) (ma)b = m(ab).
Định nghĩa 1.2.2
𝑀 là 𝑅 – môđun thì tập 𝐴(𝑀) = {𝑟 ∈ 𝑅/𝑀𝑟 = 0} được gọi là tập linh hóa của

M trong R .

Định nghĩa 1.2.3
𝑀 được gọi là 𝑅 – môđun trung thành nếu 𝑀𝑟 = (0) thì 𝑟 = 0.

Như vậy 𝑀 là 𝑅 – môđun trung thành khi và chỉ khi 𝐴(𝑀) = {0}.
Mệnh đề 1.2.4

𝐴(𝑀) là iđêan hai phía của 𝑅, hơn nữa 𝑀 là 𝑅/𝐴(𝑀) – môđun trung thành.

Kí hiệu 𝐸(𝑀) tập hợp tất cả các tự đồng cấu của nhóm cộng M . Khi đó, 𝐸(𝑀)

lập thành một vành với phép cộng và phép nhân ánh xạ thông thường.

Với mỗi a ∈ R , ta định nghĩa Ta : M → M sao cho mTa= ma, ∀m ∈ M .
Mệnh đề 1.2.5

𝑅/𝐴(𝑀) đẳng cấu với một vành con của vành 𝐸(𝑀).

Đặc biệt nếu 𝑀 là 𝑅 – môđun trung thành thì 𝐴(𝑀) = {0} khi đó 𝑅 được xem

là vành con của vành 𝐸(𝑀). Bây giờ ta xét những phần tử nào trong E ( M ) mà giao

hoán được với tất cả Ta .

Định nghĩa 1.2.6
Ta đặt 𝐶(𝑀) = {𝜓 ∈ 𝐸(𝑀)/𝜓𝑇𝑎 = 𝑇𝑎 𝜓, ∀𝑎 ∈ 𝑅}
7


Khi đó 𝐶(𝑀) là vành con của vành 𝐸(𝑀), hơn nữa nó cũng là vành các tự

đồng cấu môđun của 𝑀.

Khi đó 𝐶(𝑀) là vành con của vành 𝐸(𝑀), hơn nữa nó cũng là vành các tự

đồng cấu môđun của 𝑀.
Định nghĩa 1.2.7

Cho 𝑅 – môđun 𝑀 và tập ∅ ≠ 𝑁 ⊂ 𝑀, 𝑁 được gọi là môđun con của 𝑀 nếu:
1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁: 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁

2) ∀𝑎 ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑁: 𝑥𝑎 ∈ 𝑁
Định nghĩa 1.2.8

𝑀 được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả quy) nếu 𝑀𝑅 ≠ 0 và 𝑀 có đúng

hai môđun con là (0) và 𝑀
Định nghĩa 1.2.9

Một vành 𝑅 được gọi là nửa đơn nếu 𝑅 là R - môđun đơn.
Bổ đề 1.2.10 (Bổ đề Schur)

Nếu 𝑀 là môđun đơn thì 𝐶(𝑀) = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) là vành chia.

Định nghĩa 1.2.11
quy.

Vành 𝑅 được gọi là vành nguyên thủy nếu 𝑅 có môđun trung thành bất khả
Định nghĩa 1.2.12

đơn.

Môđun 𝑀 được gọi là nửa đơn nếu nó là tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun
Định nghĩa 1.3.13

𝑀 được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền tăng (ACC) nếu mọi dãy tăng các

môđun con 𝑀1 ⊊ 𝑀2 ⊊ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại 𝑛 sao cho:
𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi đó 𝑀 được gọi là môđun Noether.

Môđun 𝑀 được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền giảm (DCC) nếu mọi dãy

giảm các môđun con 𝑀0 ⊋ 𝑀1 ⊋ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại 𝑛 sao
cho: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi đó 𝑀 được gọi là môđun Artin.
Mệnh đề 1.2.14

Nếu 𝑁 là một môđun con của 𝑅 – môđun 𝑀 thì tập hợp 𝑀/𝑁 với phép cộng và
8