Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở trường trung học phổ thông việt nam

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Lan

BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Lan

BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học môn bộ Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
2


LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, giảng
viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh, người đã bỏ nhiều công sức, giúp
đỡ và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô: PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thị Hoài Châu,
TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Vũ Như Thư Hương và các quý thầy
cô đã tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu trong suốt thời gian tham gia lớp cao
học chuyên ngành didactic Toán. Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti đã có những
ý kiến đóng góp quý báu cho luận văn.
Xin chân thành cảm ơn:
• Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho
chúng tôi trong suốt khóa học.
• Ban giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán-Tin trường THPT Tân Phước đã giúp
đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến các bạn học viên cùng lớp didactic Toán khóa 22,
những người đã chia sẻ khó khăn, vui buồn với tôi trong suốt những năm tháng cao học.
Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến những người thân yêu trong gia đình đã
động viên, khích lệ, quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn
này.

Nguyễn Thị Tuyết Lan

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................ 4
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát .......................................................................5
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu ........................................................................................7
3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu ....................................................7
4. Tổ chức luận văn .............................................................................................................8

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC .................................................................................................. 9
1.1. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn..........................................9
1.1.1. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [a] ...................................................... 9
1.1.2. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [b] .................................................... 18
1.2. Kết luận chương 1......................................................................................................23

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TOÁN VIỆT NAM 25
2.1. Phân tích Chương trình ............................................................................................25
2.2. Phân tích sách giáo khoa ...........................................................................................26
2.2.1. Phân tích SGK lớp 10 ........................................................................................... 26
2.2.2. Phân tích SGK lớp 11 ........................................................................................... 31
2.2.3. Phân tích SGK lớp 12 ........................................................................................... 37
2.3. Kết luận chương 2......................................................................................................55

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................... 60

3.1. Mục đích thực nghiệm ...............................................................................................60
3.2. Hình thức – tổ chức thực nghiệm .............................................................................60
3.2.1. Thực nghiệm 1 ...................................................................................................... 60
3.2.2. Thực nghiệm 2 ...................................................................................................... 60
3.3. Giới thiệu các câu hỏi thực nghiệm ..........................................................................60
3.3.1. Giới thiệu thực nghiệm 1 ...................................................................................... 60
3.3.2. Giới thiệu thực nghiệm 2 ...................................................................................... 61
3.4. Phân tích thực nghiệm ..............................................................................................62
3.4.1. Phân tích thực nghiệm 1 ....................................................................................... 62
3.4.2. Phân tích thực nghiệm 2 ...................................................................................... 65
2


KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................ 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 77

3


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Kí hiệu
SGK
KSSBT

Từ được viết tắt
Sách giáo khoa
Khảo sát sự biến thiên

BBT

Bảng biến thiên

KSHS

Khảo sát hàm số

ĐT
THPT

Đồ thị
Trung học phổ thông

SGKCB10

Sách giáo khoa Đại số cơ bản 10

SGKNC10

Sách giáo khoa Đại số nâng cao 10

SGVCB10

Sách giáo viên Đại số cơ bản 10

SGVNC10

Sách giáo viên Đại số nâng cao 10

SGKCB11

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích cơ bản 11

SGKNC11

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích nâng cao 11

SGVCB11

Sách giáo viên Đại số và Giải tích cơ bản 11

SGVNC11

Sách giáo viên Đại số và Giải tích nâng cao 11

SGKCB12

Sách giáo khoa Giải tích cơ bản 12

SGKNC12

Sách giáo khoa Giải tích nâng cao 12

SGVCB12

Sách giáo viên Giải tích cơ bản 12

SGVNC12

Sách giáo viên Giải tích nâng cao 12

4


MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong tất cả các đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông (THPT) và tuyển sinh Đại học –
Cao đẳng của Việt Nam, bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (KSSBT và vẽ
ĐT hàm số) luôn xuất hiện trong câu hỏi số 1. Chẳng hạn:
Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y =

x+2
(1)
2x + 3

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung
lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010
Câu I(2,0 điểm) Cho hàm số y =
−x4 − x2 + 6
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
=
y

1
x −1 .
6

Qua nhiều lần chỉnh lí nhưng Chương trình, sách giáo khoa (SGK) Việt Nam vẫn giữ lại bài
toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số với đầy đủ các bước như sau:
I – SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số.
2. Sự biến thiên
•

Xét chiều biến thiên của hàm số:
o Tính đạo hàm y ' ;
o Tìm các điểm tại đó đạo hàm y ' bằng 0 hoặc không xác định;
o Xét dấu đạo hàm y ' và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

•

Tìm cực trị.

•

Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

•

Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
CHÚ Ý

5

1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một
chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.
2. Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa
độ.
3. Nên lưu ý đến tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
[7, tr.31]

Chúng tôi nhận thấy trình tự để khảo sát một hàm số là tìm tập xác định, khảo sát sự biến
thiên của hàm số đó rồi dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên để vẽ đồ thị hàm số. Hơn
nữa, bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số là bài toán tổng hợp khá nhiều kiến thức về hàm số
như: tập xác định, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tính đối
xứng của hàm số,…. Nếu so với các đề thi Tú Tài của Pháp thì một bài toán khảo sát hàm
với các bước như trong chương trình Toán Việt Nam không còn tồn tại nữa.
Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong chương trình dạy học Toán lớp 12 của Việt Nam
chỉ hạn chế ở một số dạng hàm số quen thuộc như:
• Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) ,
• Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) ,

=
• Hàm phân thức hữu
tỉ y

ax + b
, (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) ,
cx + d

• Hàm bậc hai trên
bậc nhất y

=

ax 2 + bx + c
(ad ≠ 0) .
dx + e

Như vậy, SGK lớp 12 chỉ giới thiệu tối đa 4 dạng hàm số trên. Chúng tôi tự hỏi, nếu gặp bài
toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số của những hàm số có dạng khác bốn dạng mà SGK đưa ra thì
HS sẽ ứng xử như thế nào?
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Bài toán khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị hàm số ở trường Trung học phổ thông Việt Nam” .
Chúng tôi khởi đầu nghiên cứu của mình với các câu hỏi xuất phát như sau:
Câu hỏi 1: Trong các giáo trình giải tích cho những năm nhất Đại học, bài toán KSSBT
và vẽ ĐT hàm số có còn xuất hiện hay không? Nếu có thì những tính chất nào của hàm số
mà các giáo trình này yêu cầu khảo sát và những dạng hàm số nào được yêu cầu khảo sát?
Câu hỏi 2: Trong các SGK hiện hành ở bậc THPT, những tính chất nào của hàm số được
yêu cầu khảo sát? Đối với các tính chất của hàm số được yêu cầu khảo sát trong bài toán
KSSBT và vẽ ĐT hàm số thì những dạng hàm số nào đã xuất hiện khi nghiên cứu riêng các

6


tính chất trên? Các dạng hàm số nào không còn được quan tâm trong bài toán KSSBT và vẽ
ĐT hàm số ở lớp 12?

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic toán. Cụ thể, chúng
tôi sử dụng lý thuyết nhân học, lý thuyết tình huống để phục vụ cho nghiên cứu của mình.
Dưới tham chiếu của lý thuyết nhân học, đối tượng nghiên cứu của chúng tôi – bài toán
KSSBT và vẽ ĐT hàm số - có thể được xem là một kiểu nhiệm vụ - chúng tôi kí hiệu

TKSSBT-ĐT. Như chúng tôi đã nói trong phần mở đầu, kiểu nhiệm vụ này huy động nhiều đối
tượng tri thức của giải tích. Như vậy, mục tiêu chính của luận văn là nghiên cứu các điều
kiện sinh thái xoay quanh kiểu nhiệm vụ này trong thể chế dạy học Toán bậc THPT.
Chúng tôi phát biểu câu hỏi ban đầu bằng ngôn ngữ của các công cụ didactic.
Q1: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong các giáo trình giải
tích dành cho sinh viên những năm nhất Đại học? Những ràng buộc và hạn chế nào xoay
quanh các tính chất và dạng hàm số của bài toán này trong các giáo trình Đại học?
Q2: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong thể chế dạy học
toán bậc THPT? Vấn đề khảo sát hàm thông qua việc nghiên cứu các tính chất hàm số và vẽ
đồ thị hàm số tiến triển như thế nào trong thể chế dạy học toán bậc THPT?

3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là tìm câu trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2 đã đặt ra ở mục 2. Để đạt
được mục đích này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:
 Thứ nhất, chọn phân tích hai giáo trình giải tích dùng cho sinh viên những năm đầu của
bậc Đại học để làm rõ vị trí và đặc trưng của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số. Điều này
góp phần trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong chương 1: Bài toán khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở bậc Đại học.
 Thứ hai, chúng tôi tiến hành phân tích Chương trình, SGK và tham khảo một số luận văn
nghiên cứu về các tính chất của hàm số để thấy được vị trí của bài toán KSSBT và vẽ ĐT
hàm số trong chương trình dạy học toán bậc THPT. Qua đó thấy được ảnh hưởng của quan
hệ thể chế đến ứng xử của HS khi giải quyết bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số. Những việc
làm trên góp phần trả lời cho câu hỏi Q2. Vấn đề này được chúng tôi trình bày trong chương
2: Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong Chương trình và SGK toán ở
Việt Nam.
7


Từ kết quả phân tích giáo trình đại học, chương trình và SGK giúp chúng tôi đặt ra giả
thuyết nghiên cứu hoặc câu hỏi nghiên cứu.

 Thứ ba, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm tình huống. Cuối
cùng, tiến hành thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm, đối chiếu với phân tích tiên nghiệm
và hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu hoặc trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra. Vấn đề
này được chúng tôi trình bày trong chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm.

4. Tổ chức luận văn
Luận văn gồm 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.
Phần mở đầu, chúng tôi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, khung lý
thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận
văn.
Phần nội dung, gồm có 3 chương:
 Chương 1 - Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở bậc Đại học
Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ vị trí của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm
số trong các giáo trình Đại học.
 Chương 2 - Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong Chương trình và
sách giáo khoa Toán ở Việt Nam
Trong chương này, chúng tôi sẽ làm rõ vị trí và sự tiến triển của bài toán KSSBT và vẽ ĐT
hàm số thông qua việc nghiên cứu các tính chất và vẽ đồ thị trong các SGK hiện hành. Từ
những kết quả phân tích có được chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết nghiên cứu.
 Chương 3 – Nghiên cứu thực nghiệm
Trong chương này, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm nhằm kiểm chứng giải thuyết
nghiên cứu hoặc trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra trong chương 2.
Phần kết luận
- Trình bày tóm tắt các kết quả đạt được của luận văn.
- Đề cập những hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn.

8


CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ

THỊ HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC
Trong chương này, chúng tôi đi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 như sau:
Q1: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong các giáo trình
giải tích dành cho sinh viên những năm nhất Đại học? Những ràng buộc và hạn chế nào
xoay quanh các tính chất và dạng hàm số của bài toán này trong các giáo trình Đại học?
Ngoài ra, nếu xem tri thức trong Giáo trình Đại học gần với tri thức bác học thì những kết
quả phân tích của chương này sẽ được chúng tôi chọn làm tham chiếu cho phân tích ở
chương tiếp theo, chương 2: Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong
Chương trình và sách giáo khoa Toán Việt Nam.
Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ tham khảo các giáo trình toán dùng ở bậc đại học.
Cụ thể, chúng tôi chọn hai giáo trình sau để phân tích:
• Nguyễn Đình Trí (chủ biên) (2008), Toán học cao cấp tập 2, Nxb Giáo dục.
• Ngô Thành Phong (2004), Giải Tích Toán học, Nxb Đại học KHTN.
Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng tôi kí hiệu hai giáo trình trên lần lượt là [a] và [b].
Chúng tôi chọn các giáo trình này vì đây là giáo trình được sử dụng phổ biến ở các trường
Đại học - Cao đẳng. Hơn nữa,
Bộ giáo trình “Toán học cao cấp” này được soạn căn cứ vào chương trình khung đã được ban
hành, và thực tế giảng dạy của hệ cao đẳng của một số trường đại học kĩ thuật và căn cứ vào
chương trình môn Toán hiện nay của các trường Trung học Phổ thông, […]
[19, tr.3].

Với mục tiêu nghiên cứu đề ra, chúng tôi chỉ đặc biệt chú ý đến các nội dung liên quan đến
bài toán KSSBT và vẽ ĐT ở cấp độ đại học.

1.1. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn
Từ các kiến thức của hàm số đã nghiên cứu như tập xác định, miền giá trị, đồ thị hàm số,
tính đơn điệu, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ của hàm số, giới hạn hàm số, đạo hàm của hàm
số, … các giáo trình trên đưa ra các định lý về giá trị trung bình và ứng dụng của nó, bài
toán KSSBT và vẽ ĐT là một trong những ứng dụng của các định lý này. Trong hai giáo
trình, bài toán KSSBT và vẽ ĐT đều được đưa vào bài cuối của mỗi chương. Sau đây,

chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán KSSBT và vẽ ĐT lần lượt trong các giáo trình trên.
1.1.1. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [a]
9


1.1.1.1 Khảo sát hàm số y = f(x)
Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [a] được cho bởi trình tự sau:
Việc khảo sát hàm số thường theo trình tự dưới đây:
(1) Miền xác định của f.
(2) Chiều biến thiên: tìm khoảng tăng, giảm của hàm số.
(3) Cực trị (nếu có).
(4) Tính lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu có).
(5) Tiệm cận (nếu có).
(6) Bảng biến thiên.
(7) Vẽ đồ thị. [19, tr. 171]

Qua trình tự khảo sát hàm số (KSHS) trên, chúng tôi thấy rằng để khảo sát một hàm số trải
qua 7 bước. Đồng thời bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) đã huy động nhiều kiến
thức về hàm số và những kiến thức này đã được đưa vào trình tự KSHS một cách tường
minh như: miền xác định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận, đồ thị của
hàm số. Các tính chất được yêu cầu trong trình tự KSHS, chúng tôi thấy các tính chất như
cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận có kèm theo phía sau chữ “nếu có” hoặc “nếu cần
thiết”. Như vậy, các tính chất cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận không bắt buộc khảo
sát trong bài toán này. Riêng bước xét tính đơn điệu của hàm số thì không chú thích thêm
điều đó. Điều này chứng tỏ rằng tính đơn điệu là tính chất luôn được yêu cầu khảo sát ở tất
cả các hàm số.
Để minh họa cho trình tự trên, [a] có đưa ra ví dụ sau:
Sau đây, lấy một thí dụ cốt để minh họa các bước khảo sát:
Xét hàm số f ( x ) =

x3
.
x −1

(1) Hàm số chỉ xác định khi

x
x3
≥ 0 , tức là x ≤ 0 hoặc x > 1.
≥ 0 nghĩa là khi
x −1
x −1

Miền xác định D f là (−∞,0] ∪ (1, +∞) .
(2) Muốn xét chiều biến thiên của hàm số, phải tính f ' ( x ) .

3
x
Ta có: f ' ( x=
) x− 
2  ( x − 1)3

f ' ( x ) = 0 khi x = 0 và x =

3
.
2

f ' ( x ) không xác định khi 0 < x ≤ 1 .

Sau đây là bảng dấu của đạo hàm f ' ( x )

10


Từ bảng dấu của f’ suy ra:
f(x) giảm khi x < 0 hoặc 1 < x <
f(x) tăng khi x >

3
2

3
.
2

(3) Cực trị:
Đạo hàm

f ' đổi dấu từ - sang + khi vượt qua

x=

3
3
do đó x = là điểm cực tiểu,
2
2

3 3 3

; lưu ý: điểm x = 0 không phải là điểm cực trị.
f( )=
2
2
(4) Muốn xét tính lồi, lõm; ta tính f '' : f '' ( x ) =

f '' cùng dấu với

1 3
x
. .
f ( x ) 4 ( x − 1)3

x
nên f '' ≥ 0 trong miền xác định, do đó f(x) là hàm số lồi.
x −1

(5) x = 1 là điểm hàm số không xác định, do đó đồ thị có một tiệm cận đứng có phương trình x =
1. Muốn tìm tiệm cận xiên ta viết f(x) dưới dạng:

f=
(x)

x3
= x
x −1

1



x
1 2
= x 1 +

x −1
x −1


Dúng công thức khai triển Taylor của (1 + x )α khai triển Taylor có:
1


1 2
1
1 1
1
−
+
1+
.o( x )
1 +
 =
2
x −1
2( x − 1) 8 ( x − 1) ( x − 1)2

Do đó có thể viết:
x
k
1 x

f (x) =
x+
−
+
.o( x )
2
2( x − 1) 8 ( x − 1) ( x − 1)2

Từ biểu thức trên suy ra:
x → +∞, có f ( x )  x +

x
1
x+
2( x − 1)
2

x → −∞, có f ( x )  x −

x
1
 −x −
2( x − 1)
2

Vậy f(x) có hai tiệm cận xiên:

11

1
khi x → +∞
2
1
y = − x − khi x → −∞
2
y= x +

• Chú ý:
Trong nhiều trường hợp để việc khảo sát được đơn giản, người ta còn chú ý phát hiện các đặc
điểm của hàm số f, chẳng hạn phát hiện tính chu kì và tính chẵn, lẻ của hàm số f.
Một hàm số f(x) xác định trong một khoảng đối xứng [-a,a] được gọi là hàm chẵn nếu
f ( x )= f (− x ) ; x ∈ [− a, a] ; hàm lẻ nếu f ( x ) =−( f (− x )) ; x ∈ [− a, a] .

Vì đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung và đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ
nên khi khảo sát các hàm số này chỉ cần xét x ≤ 0 hoặc x ≥ 0 rồi lấy đối xứng là có toàn bộ đồ
thị.
(6) Từ những kết quả trên có bảng biến thiên sau:

Hình 5.7
(7) Đồ thị. [19, tr.171-174]

Qua ví dụ trên, chúng tôi nhận thấy rằng:
- Hàm số được yêu cầu khảo sát có thể là một hàm căn thức.
- Các bước khảo sát thực hiện đúng theo trình tự KSHS. Trong ví dụ này, đồ thị hàm số
không có điểm uốn còn các tính chất còn lại đều được khảo sát.
- Ngoài những kiến thức được nêu ra trong trình tự KSHS, trong quá trình tìm tiệm cận
của hàm số (bước 5) đã dùng đến kiến thức về giới hạn của hàm số. Cụ thể là tính giới hạn
của hàm số khi x dần ra vô cực, kết quả của việc tính giới hạn này được ghi vào bảng biến
thiên ở bước 6.

12


- Bên cạnh đó, trước khi đưa ra bảng biến thiên và đồ thị của hàm số, [a] đưa ra chú ý về
tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số. Nếu biết được các tính chất này của hàm số thì phạm
vi khảo sát sẽ thu hẹp lại trên khoảng đóng hay mở nào đó rồi lấy đối xứng là được toàn bộ
đồ thị hàm số. Tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số không có mặt trong trình tự KSHS mà
chỉ được nêu thông qua lời giải của ví dụ. Như vậy, việc khảo sát tính chẵn lẻ và tuần hoàn
của hàm số trong bài toán này trong giáo trình [a] chỉ mang tính khuyến khích.
Như vậy, qua trình tự KSHS và ví dụ chúng tôi nhận thấy những kiến thức về hàm số được
sử dụng cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [a] là: miền xác
định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận của hàm số, giới hạn hàm số,
tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của hàm số. Trong đó, tính đơn điệu của hàm số là tính chất
luôn được yêu cầu khảo sát ở tất cả các hàm số, riêng các tính chất còn lại không cần thiết
khảo sát mà chỉ khuyến khích nhằm làm cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được đơn
giản và chính xác hơn.
1.1.1.2. Khảo sát đường cho dưới dạng tham số

 x = f (t )
Các đường thường cho dưới dạng hệ phương trình 
; t ∈ D, D ⊂  , mỗi phương
=
y
g
(
t
)

trình là một hàm số theo biến t. Trong những điều kiện xác định, đường cong cho dưới

dạng tham số có thể xác định nhiều hàm ẩn của y theo x. Việc khảo sát các đường cho
dưới dạng tham số có thể nói là phức tạp hơn bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) vì
phải khảo sát đồng thời nhiều hàm số trong cùng một lúc. Và được cho bởi trình tự sau:
Có thể khảo sát một đường cong cho dưới dạng tham số theo trình tự dưới đây:
- Miền xác định, các điểm gián đoạn của các hàm số x = x(t), y = y(t). Nhận xét tính chẵn - lẻ,
tuần hoàn (nếu có).
- Xét x ' (t ), y ' (t ) để xét chiều biến thiên của x, y theo t .
- Tìm các tiệm cận của đường cong (nếu có):
Nếu lim y(t ) = ±∞ và lim x (t ) = a thì có tiệm cận đứng x = a (t0 có thể là ±∞ ).
t → t0

t → t0

Nếu lim x (t ) = ±∞ và lim y(t ) = b thì có tiệm cận ngang y = b.
t → t0

t → t0

Nếu lim x (t ) và lim y(t ) cùng là vô cùng thì đường cong có thể có tiệm cận xiên, cụ thể nếu
t → t0

t → t0

y
đồng thời tồn tại các giới hạn
y
=
, b lim( y − kx ) thì tiệm cận xiên là =
k lim =

t → t0 x
t → t0

13

kx + b .


- Tìm các điểm đặc biệt của đường cong (nếu có) và tiếp tuyến của đường cong tại các điểm đặc
'
dy y t
biệt, hệ số góc của tiếp tuyến được tính theo công thức
=
dx x 't

- Bảng biến thiên và đồ thị. [19, tr.195]

Trình tự khảo sát đường cho dưới dạng tham số được tiến hành qua 5 bước và cũng huy
động đến: miền xác định, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tiệm cận, giới hạn, đạo
hàm và đồ thị của hàm số. Khác với bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x), các tính
chất chẵn lẻ, tính tuần hoàn giờ đây đã được yêu cầu khảo sát ngay trong trình tự khảo sát
đường cho dưới dạng tham số. Ngược lại, các tính chất như cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn
trước đây xuất hiện trong trình tự KSHS hàm số y = f(x) nhưng lại không yêu cầu khảo sát
trong trình tự này. Riêng tính đơn điệu của hàm số vẫn được giữ lại. Ngoài ra, để việc vẽ đồ
thị đường được chính xác hơn thì ở đây cần xác định một vài điểm đặc biệt và tiếp tuyến
của đường tại các điểm đặc biệt đó.
Để minh họa cho trình tự khảo sát trên giáo trình này đưa ra ví dụ như sau:
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi hệ phương trình tham số:
3
 x = a cos t


3
 y = a sin t

; t ∈ (−∞, ∞); a > 0

(9)

Rõ ràng x và y được xác định với mọi t và x và y không vượt ra ngoài khoảng [-a, a], vì vậy
đường cong không có tiệm cận, hơn nữa x và y là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π , do đó ta chỉ
cần khảo sát đường cong đã cho trong khoảng [0, 2π ]. Ta có

π
3π
−3a cos2 t sin t =
x 't =
0 khi t =
0; ; π ; ;2π
2
2
π
π
3
=
y 't 3a sin 2 t=
cos t 0=
khi t 0; ; π ; ;2π
2
2
Từ những tính toán trên, ta có bảng biến thiên sau:

Đồ thị đường cong trên gọi là đường axtrôit.

14


Hình 5.10
Nếu khảo sát tỉ mỉ hơn, ta nhận thấy rằng, với đường cong này ta có:
'
dy y t
3a sin 2 t cos t
= ' =
= −tgt.
dx x t −3a cos2 t sin t

Do đó
dy
= 0 tại t = 0; π ; 2π và tại các điểm đó tiếp tuyến thẳng đứng.
dx

Ngoài ra, từ hệ phương trình (9) ta cũng có thể khử t bằng cách để ý rằng
2

2

2

2

2

2

2

3
=
x 3 a=
cos2 t ; y 3 a 3 sin 2 t và do đó x 3 + y 3 =
a 3 (9' )

Phương trình (9’) là phương trình axtrôit viết trong hệ tọa độ Đềcác; cũng có thể thấy rằng
đường axtrôit dạng (9’) luôn nằm trong đường tròn tâm O và bán kính a.
[19, tr.179 - 180]

Qua ví dụ trên chúng tôi nhận thấy:
- Lời giải của ví dụ trên khảo sát các tính chất theo trình tự các bước đã đưa ra. Đường
cho dưới dạng tham số trong thí dụ không có tiệm cận, các hàm số trong hệ phương trình
tham số là các hàm lượng giác sin và cos, tuần hoàn với chu kì 2π nên phạm vi khảo sát
được thu hẹp lại trong khoảng [0, 2π ]. Do không xét đến cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn
của hàm số nên dựa vào bảng biến thiên chỉ xác định được các khoảng đơn điệu của các
hàm số và vẽ đồ thị.
- Việc tìm các điểm đặc biệt và tiếp tuyến tại các điểm đặc biệt đó không nhất thiết có
trong trình tự khảo sát vì đồ thị được đưa ra trước khi tìm các điểm đặc biệt và tiếp tuyến tại
các điểm đó. Hơn nữa, các công việc đó chỉ cần thiết khi khảo sát tỉ mỉ.
Như vậy, bài toán khảo sát đường cho dưới dạng tham số được thực hiện qua 5 bước và
cũng yêu cầu khảo sát nhiều kiến thức về hàm số như bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y
= f(x) nhưng các tính chất yêu cầu trong bài toán này có thay đổi so với bài toán KSSBT và
vẽ ĐT hàm số y = f(x). Cụ thể, trong trình tự khảo sát đường cho dưới dạng tham số tính
đơn điệu của hàm số được giữ lại và các tính chất như tính chẵn lẻ và tuần hoàn thay thế

cho tính lồi, lõm, cực trị, điểm uốn của hàm số. Điều này chứng tỏ, bài toán KSSBT và vẽ
ĐT hàm số y = f(x) dù trong trình tự khảo sát huy động đến nhiều kiến thức về hàm số
15


nhưng chỉ có tính đơn điệu của hàm số là luôn có mặt và các tính chất như tính chẵn lẻ, tuần
hoàn, tiệm cận, tính lồi, lõm, cực trị, điểm uốn không cần thiết khảo sát.
1.1.1.3 Khảo sát đường trong hệ tọa độ cực
Các bước khảo sát hàm số f = f (ϕ ) :
- Miền xác định của f( ϕ );
- Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị;
- Bảng biến thiên (xét sự biến thiên của f( ϕ ) theo ϕ ). [19, tr. 196]

Bên cạnh đó,
Để vẽ đồ thị được chính xác hơn, ta thường xác định tiếp tuyến với đường cong tại mỗi điểm M
của nó. [19, tr.185]

Bài toán KSSBT và vẽ ĐT đường dạng f = f (ϕ ) chỉ tiến hành qua 3 bước và không huy
động nhiều kiến thức của hàm số mà chỉ liên quan đến: miền xác định, tính đơn điệu của
hàm số. Như vậy, ở dạng này của bài toán KSSBT và vẽ ĐT chỉ khảo sát tính đơn điệu của
hàm số và các tính chất khác không xuất hiện trong trình tự khảo sát.
Chúng tôi sẽ trích dẫn một ví dụ minh họa các bước trên.
Ví dụ:
Vẽ đường hoa hồng ba cánh có phương
trình r a sin3ϕ , a > 0
=
Ở đây r là một hàm số tuần hoàn với chu kì

2π
, vì thế chỉ cần khảo sát hàm số này trong một

3

 π π
khoảng có độ dài bằng chu kì, chẳng hạn, khoảng  − ,  ; hơn nữa r là hàm số lẻ, do vậy chỉ
 3 3
 π
cần khảo sát trong khoảng  0,  .
 3

Ta có

r ' = 3a cos3ϕ
r ' 0=
khi ϕ
=
tgV=

π
6

r 1
= tg3ϕ
r' 3

Dưới đây cho bảng biến thiên của r theo ϕ :

16


 π π

 π
Đồ thị ứng với khoảng  0,  gồm một cánh, ứng với chu kì  − ,  gồm hai cánh đối xứng
 3 3
 3

nhau, lần lượt cho đồ thị quay các góc

2π
quanh cực sẽ có toàn bộ đồ thị.
3

Hình 5.15
[19, tr. 186 - 187]

Qua ví dụ trên, đường được yêu cầu khảo sát là hàm f (ϕ ) = a sin 3ϕ . Trước khi thực hiện
các bước trong trình tự khảo sát, giáo trình này đã khảo sát tính tuần hoàn và tính chẵn lẻ
của hàm số trên để thu hẹp phạm vi khảo sát. Bài toán này chỉ dựa vào tính đơn điệu của
hàm số để vẽ đồ thị mà không khảo sát các tính chất lồi, lõm, điểm uốn, cực trị hay tiệm cận
của đồ thị hàm số.
Như vậy, trong bài toán khảo sát đường trong hệ tọa độ cực thì ngoài tính đơn điệu của hàm
số, các tính chất như tính chẵn lẻ và tuần hoàn cũng được yêu cầu khảo sát dù không được
đưa vào trình tự khảo sát.
1.1.1.4 Phân tích bài tập về bài toán KSSBT và vẽ ĐT
Bài tập về bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong [a] như sau:
Bài 18: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
1. y =

2 − x2
,
1 + x4

2. y=

3. y =

x4 + 8
x3 + 1

4. y =

3

x3 − x2 − x + 1
x −2
x2 + 1

3

5. y =

1+ x 2

6. y =1 − x +

x

Bài 19: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
1. r = a + b cosϕ

=

2. r

a
cos3ϕ

(0 < a ≤ b)

(a > 0) .

[19, tr. 199- 200].

17

x3
x+3


Trong [a] đưa ra hai bài tập về bài toán KSSBT và vẽ ĐT: một về hàm số y = f(x), một về
đường trong tọa độ cực. Riêng bài toán khảo sát đường cho dưới dạng tham số có trong lí
thuyết nhưng không cho bài tập nào để thực hành. Các dạng hàm số được yêu cầu khảo sát
chủ yếu là các hàm phân thức (hữu tỉ hay chứa căn), hàm căn thức, các hàm lượng giác (chủ
yếu là hàm sin và cos) và các hàm được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của hai hay
nhiều hàm số (trị tuyệt đối và căn thức, đa thức và căn thức,…). Nhìn chung, bài toán
KSSBT và vẽ ĐT là bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về hàm số nhưng được đưa vào
cuối chương và không có ứng dụng hay phục vụ cho tri thức nào ngay sau đó (tất nhiên sau
đó, việc khảo sát hàm sẽ phục vụ cho việc tính diện tích và thể tích các hình phẳng bằng tích
phân). Mặt khác, với sự phát triển của công nghệ thông tin ngày nay thì việc sử dụng phần
mềm để nghiên cứu đồ thị của hàm số sẽ nhanh chóng hơn nên đã hạn chế kiểu nhiệm vụ
này. Do đó, bài toán KSSBT và vẽ ĐT dù có trong giáo trình nhưng chưa thật sự được chú
trọng.

1.1.1.5. Một số kết quả từ giáo trình [a]
Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [a] gồm có KSSBT và vẽ ĐT hàm số dạng y =
f(x), khảo sát đường cho dưới dạng tham số và đường trong hệ tọa độ cực. Bài toán KSSBT
và vẽ ĐT nói chung huy động đến nhiều kiến thức về hàm số như: miền xác định, tính đơn
điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, giới hạn của hàm số, đạo
hàm, tiệm cận và đồ thị của hàm số. Trong đó, tính đơn điệu của hàm số là tính chất luôn
được yêu cầu khảo sát trong các trình tự KSHS và kĩ thuật xét chiều biến thiên là dùng công
cụ giải tích đạo hàm. Đối với các tính chất: tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, cực trị, tiệm cận,
tính lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số không bắt buộc khảo sát. Các hàm số được yêu
cầu khảo sát gồm các hàm phân thức, căn thức, các hàm lượng giác và các hàm được tạo
thành từ tổng, hiệu, tích, thương của hai hay nhiều hàm số. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT
không phục vụ cho tri thức nào ngay sau đó và chưa thật sự được chú trọng trong giáo trình
này.
1.1.2. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [b]
Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [b] được cho bởi trình tự sau:
Các bước cơ bản vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
Bước 1: Tìm và xét dấu đạo hàm bậc nhất f ' ( x ) , xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và
cực trị địa phương của hàm f(x) ( f ' ( x ) = 0 và đổi dấu)

18